SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẾN TRE ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học : 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút Câu (2,0 điểm) I 3;9 a) Cho hàm số y ax a có đồ thị P Tìm a để P qua điểm d1 : y m 3 x 2m m d : y 2x b) Cho hai đường thẳng , với tham số Tìm m biết d1 cắt d d1 qua điểm M 4; 7 x T x 3 x x c) Rút gọn biểu thức m x 3 với x 0, x Câu (1,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 3x x 2m với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có độ dài cạnh huyền Câu (1,0 điểm) Giải phương trình : 3x x 3x Câu (1,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : x y 3 x y y 2 3 x y 37 2 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 4 x y 16 x y Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 16 x y 13z 15 Tìm giá trị lớn biểu thức A xy yz zx 2x y y z 2z x AD D BC Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác ABC 60 Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt hai đường thẳng AC , AB E , F a) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp đường tròn b) Gọi I trung điểm CF Chứng minh tam giác CDF tam giác vuông cân DI / / BE c) Cho diện tích tam giác BCF 3cm Tính độ dài cạnh AB ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) d) Cho hàm số Vì y ax a I 3;9 có đồ thị P Tìm a để P qua điểm I 3;9 P a a3 d : y m x 2m m d : y 2x e) Cho hai đường thẳng , với m d d d M 4; 7 tham số Tìm m biết cắt qua điểm d Vì qua điểm m d1 : y 2 x d (ktm) M 4; 7 7 m 3 2m m m 5 d : y 11 x 15 2 m Vậy f) T x T x 3 x x x Rút gọn biểu thức với x 0, x x 9 x x 9 2 x 3 x 3 x ( x 9) x x x x x x Câu (1,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 3x x 2m với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có độ dài cạnh huyền 3x x 2m 1 1 2m 6m 14 Đặt phương trình bậc hai Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ' 6m 14 m x1 x2 x x 2m Khi theo hệ thức Vi-et ta có : Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề : 2 x1 x2 m m 2m 113 0 m (tm(2)) x1 x2 48 x x x x 2m 1 2 4 1 x1 x2 2 Vậy m 113 48 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình : 3x x 3x 2 x2 ĐKXĐ: Ta có : 3x x 3x 3x x 3x 3x x 3x x 3x 4 x x (tm) 3x 3x 3x x 12 (tm) x x 36 x 48 x 32 x 12 S ; 3 Vậy Câu (1,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : x y 3 x y 3 Ta có: 2 3 x y y2 2 x y y x y 3 x y y x y xy y 12 x 3x y y x y xy y x 64 x 64 y 48 64 xy 48 y 144 x x 4 y 92 64 xy 144 x 72 y 48 y 120 y 33 2 x y y 108 * y 108 y 36 2 2 Mặt khác từ (*) suy x y M3 x y M9 mà 108 M9 y M9 2 Mà y 5 y 5 số phương lẻ nên y (ktm) 4 y 9 y 3 y 2 x 1 x; y 1; 2 Vậy x y 37 x y 16 x y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 1 2 2 3 Từ hệ phương trình ta có : x y 64 27 16 x y x y x x 16 x 64 y y y 27 x y 3 x y x y 3 Thế vào phương trình (1) ta y 1 y 4 x 3 y 37 y y 12 y 3 x x; y 3; 4 ; 4;3 Vậy nghiệm hệ phương trình Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 16 x y 13z 15 Tìm giá trị lớn biểu thức A xy yz zx 2x y y z 2z x 11 1 Áp dụng bất đẳng thức x y z x y z với x, y, z ta : 11 1 xy y 2x x x y x x y 2x y yx zx 6z 3y ; 14 x z 2z x Tương tự : y z Do A A xy yz zx 16 x y 13 z 2x y y z 2z x mà 16 z y 13z 15 nên: 15 5 A x yz Dấu xảy 12 Vậy Max A 5 xyz 12 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác AD D BC ABC 60 Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt hai đường thẳng AC , AB E , F d) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp đường tròn Xét ABC vng A có ABC 60 ACB 30 Lại có DF BC D FDB FDC 90 Xét BDF có FDB 90 FBD ABC 60 BFD 30 hay AFD 30 Xét tứ giác ADCF có AFD ACD 30 nên tứ giác ADCF nội tiếp đường tròn e) Gọi I trung điểm CF Chứng minh tam giác CDF tam giác vuông cân DI / / BE Do AD phân giác ABC BAD CAD 45 mà tứ giác ADCF nội tiếp nên CFD CAD CFD 45 Xét CFD có CFD 45, FDC 90 FCD 45 CF DI FC 1 Khi CFD vng cân D, mà I trung điểm Xét BCF có FD BC , CA BF Từ (1) (2) suy DI / / BE f) Cho diện tích tam giác BCF 3cm Tính độ dài cạnh AB FD CA E BE CF Do tứ giác ADCF nội tiếp nên BAD DCF hay BAD BCF Do ABD ∽ CBF ( g.g ) S ABD AB S AB cos B cos 60 ABD SCBF mà BC SCBF BC Mặt khác : S BCF 3cm S ABD Do AD phân giác ABC 93 cm AB DB AC DC S ABD DB AB ; cot B cot 60 Mà SCAD DC AC S ABD S ABD S ABC S S 3 CAD ABC Nên Lại có : S ABC 43 1 3 cm2 1 AB AC AB AC AB AB 2 Vậy AB 3cm