UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: Tốn- Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07 tháng năm 2023 I PHẦN CHUNG (dành cho tất thí sinh) Bài (2,0 điểm) Thực phép tính cách hợp lý (nếu có thể): a) 240 − 2.(3.52 − 20 : 2 ); b) 13 − + −5 ; c) + + + + + 7 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21 Bài (2,5 điểm) 1) Tìm x, biết: a) ( x − 3) + = 22; 1 100 b) 3.5 + 5.7 + + 2x + 2x + = 609 ( )( ) 2) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2xy + 14x + y = 33 Bài (1,5 điểm) 1) Cho p p + số nguyên tố lớn Chứng minh p +8 hợp số 2) Cho tích gồm hai thừa số, biết thừa số thứ 78 thừa số thứ hai số tự nhiên có hai chữ số với chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Khi đổi chỗ chữ số thừa số thứ hai tích giảm 2808 đơn vị so với tích ban đầu Tìm tích ban đầu Bài (2,0 điểm) 1) Cô Hoa muốn lát cho phịng khách có dạng hình chữ nhật với chiều dài m, chiều rộng m Cô Hoa chọn loại gạch lát có dạng hình vng với độ dài cạnh 30 cm giá viên gạch 12 000 đồng Tính số tiền mua gạch Hoa phải trả để lát kín phịng khách a ( a + 1) + 2024 2) Cho a, b, c số tự nhiên khác Chứng tỏ phân số bc ( b + c ) chưa tối giản II PHẦN RIÊNG Dành cho thí sinh bảng A Bài (2,0 điểm) a 1 1 + + + + 1) Tổng phân số Chứng minh a chia hết cho 149 50 51 52 99 b 2) Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA cho 1 AD = AB, BE = BC, CF = CA Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt tạo thành 3 tam giác Chứng minh diện tích tam giác diện tích tam giác ABC Dành cho thí sinh bảng B Bài (2,0 điểm) 2023 1 1 1 A A = − + − + − B = + + + 1) Cho ; Tính ÷ 2022 1012 1013 2022 B 2) Cho hình bình hành ABCD có điểm E thuộc cạnh BC, điểm G thuộc cạnh AB AE = CG Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AE, K chân đường vng góc kẻ từ D đến CG So sánh độ dài DH DK Hết -(Đề thi có 01 trang) Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2022-2023 Mơn thi: Tốn - Lớp Bài Lời giải sơ lược 1.a (0,75 điểm) 240 − 2.(3.52 − 20 : 2 ) = 240 − 2.(3.25 − 20 : 4) Điểm 0,25 = 240 − 2.(75 − 5) = 240 − 2.70 0,25 = 240 − 140 = 100 0,25 1.b (0,75 điểm) 13 −5 − + 7 3 13 5 −2 = − + 7 13 −2 = − + ÷ 7 7 5 = = 3 0,25 0,25 0,25 1.c (0,5 điểm) 5 + + + + + 7.2 2.13 13.4 4.21 5 = + + + + + ÷ 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 4−3 7−4 − 13 − 16 − 13 21 − 16 + + + + + = ÷ 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 3.4 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − + − ÷ 4 7 8 13 13 16 16 21 1 = − ÷ = = 7 21 2.1-a (0,75 điểm) ( x − 3) + = 22 ( x − 3) + = 11 ( x − 3) = 0,25 0,25 x – = x – = -2 x = x = Vậy x ∈ { 5;1} Thiếu trường hợp trừ 0,25 điểm 2.1-b (0,75 điểm) 1 100 + + + = 3.5 5.7 ( 2x + 1) ( 2x + ) 609 2 200 + + + = 3.5 5.7 ( 2x + 1) ( 2x + ) 609 0,25 0,25 0,25 1 1 1 200 − + − + + − = 5 2x + 2x + 609 1 200 − = 2x + 609 1 = 2x + 203 0,25 0,25 2x + = 203 x = 100 Vậy x = 100 2.2 (1,0 điểm) 2xy + 14x + y = 33 2x(y + 7) + y = 33 2x(y + 7) + (y + 7) = 40 (2x + 1)(y + 7) = 40 0,25 0,25 Vì x, y số nguyên nên x + y + số nguyên => 2x + y + cặp ước nguyên 40 Lại có 2x + số lẻ nên ta có bảng sau: 2x + -5 -1 y+7 -8 -40 40 x -3 -1 y -15 -47 33 Vì x, y số nguyên nên (x; y) ∈ { (−3; −15);(−1; −47);(0;33);(2;1)} 0,25 0,5 3.1 (0,75 điểm) Vì p số nguyên tố lớn nên p M3 => p chia cho dư Nếu p chia cho dư p + chia hết cho mà p + > (do p > 3) => p+4 hợp số (loại p + số nguyên tố) Do p chia cho dư Khi p + chia hết cho mà p + > nên p + hợp số 3.2 (0,75 điểm) Gọi thừa số thứ hai lúc đầu ab (với a, b ∈ N ; a ≠ 0; a, b < 10) Theo ta có: Tích ban đầu là: 78 ab với a = 3b Khi đổi chỗ chữ số ab ta được: 78 ab - 78 ba = 2808 => 78.(10a+b) – 78(10b+a) = 2808 => 78.(9a-9b) = 2808 => a – b = mà a = 3b => 3b – b = => 2b = => b = => a = => ab = 62 Vậy tích ban đầu là: 78.62 = 4836 4.1 (1,0 điểm) Đổi m = 900 cm; m = 600 cm Diện tích phịng khách 900 600 = 540 000 (cm2) Diện tích viên gạch 30 30 = 900 (cm2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Tổng số viên gạch cần dùng để lát hết phòng khách 540 000 : 900 = 600 (viên) 0,25 Tổng số tiền cô Hoa phải trả 600 12 000 = 200 000 (đồng) 0,25 4.2 (1,0 điểm) Với a, b, c số tự nhiên khác a a + hai số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho ⇒ a ( a + 1) M2 mà 2024 M2 ⇒ a ( a + 1) + 2024M2 (1) Mặt khác, hai số b,c + Nếu có số chẵn bc ( b + c ) M2 + Nếu hai số b, c lẻ b + c số chẵn ⇒ b + c M2 ⇒ bc ( b + c ) M2 Do bc ( b + c ) M2 với số tự nhiên b, c (2) a ( a + 1) + 2024 Từ (1) (2) suy phân số chưa tối giản với a, b, c số tự bc ( b + c ) nhiên khác II PHẦN RIÊNG Dành cho thí sinh bảng A 5.1 (1,0 điểm) Ta thấy 149 = 50 +99, ta cộng 50 phân số theo cặp, cặp gồm hai phân số đầu cuối phân số cách hai phân số đầu cuối Do đó: a 1 1 = + ÷+ + ÷+ + + ÷ b 50 99 51 98 74 75 149 149 149 = + + + 50.99 51.98 74.75 Chọn mẫu chung 50.51 98.99, gọi thừa số phụ k1 ,k , ,k 25 a 149(k1 + k + + k 25 ) = b 50.51 98.99 a Phân số có tử chia hết cho 149 (là số ngun tố), cịn mẫu khơng chứa thừa số b a nguyên tố 149 nên rút gọn phân số đến tối giản, a chia hết cho 149 b 5.2 (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi tam giác tạo thành MNK (như hình vẽ) Giả sử SAKD = a SAKB = 3a, SAKC = 2SAKB = 6a (1) (vì SAEC = 2SAEB , SKEC = 2SKEB ) 0,25 Suy SACD = 7a, SABC = 21a Từ (1) (2) suy SAKC = (2) SABC = SABC 21 SABC Do đó, SAKC + SBMA + SCNB = SABC ⇒ SMNK = SABC 7 0,25 Tương tự, SBMA = SCNB = Dành cho thí sinh bảng B 5.1 (1,0 điểm) 1 1 Ta có A = − + − + − ; 2022 1 1 1 1 − 2.( + + + ) = + + + + + 2022 2022 1 1 1 1 − (1 + + + + ) = + + + + + 2022 1011 1 = + + + =B 1012 1013 2022 0,25 0,25 0,25 0,25 2023 A A Suy ra: = => ÷ B B = 12023 = 2023 A Vậy ÷ B (1,0 điểm) =1 0,25 0,25 Ta có hình bình hành ABCD tam giác CDG có chung đáy CD, chiều cao kẻ từ G xuống CD nên SABCD = 2SCDG (1) Tương tự ta có SABCD = 2SADE (2) Từ (1) (2) => SCDG = SADE CD.DK AE.DH ⇒ = ⇒ CD.DK = AE.DH 2 mà CG = AE nên DH = DK Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối cịn sai sót giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi khơng làm trịn -Hết - 0,25 0,25 0,25