Sáng kiến kinh nghiệm thpt xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh thpt

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng gồm: T T Họ tên Doãn Huy Tùng Đinh Cao Thượng Lê Thị Lan Anh Nguyễn Xuân Trường Nơi công tác THPT Kim Sơn A THPT Kim Sơn A THPT Kim Sơn A THPT n Mơ A Chức danh Tỷ lệ % đóng góp vào việc chun tạo mơn sáng kiến Thư ký HĐGD Đại học 40% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Trình độ Ghi Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển lực giải toán Tổ hợp Xác suất của học sinh THPT Lĩnh vực năm áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo - Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020 Các từ viết tắt: - THPT: Trung học phổ thông - SGK: Sách giáo khoa Nội dung sáng kiến 4.1 Thực trạng giải pháp cũ thường làm - Hạn chế giải pháp cũ Trong chương trình tốn THPT tốn đếm và xác śt ln tốn khiến đa sớ học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Xét toán tiếng toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler” “Có cách chia n kẹo cho k em bé” Kết cách tư lời giải toán ứng dụng giải số toán sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Cơng nghệ thông tin Chất lượng cao (2021-2022) (ĐHCN-ĐHQGHN) Alice vừa đoạt giải quán quân kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp hàng dài n hộp có k hộp có quà đặc biệt Alice phép chọn k hộp lấy tất quà k hộp chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, khơng có hai hộp quà đặc biệt xếp cạnh Nhằm tăng xác suất chọn k hộp quà đặc biệt Alice định chọn k hộp quà mà hai hộp cạnh Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n k Gọi C số cách chọn k hộp mà khơng có hai hộp đứng cạnh dãy n hộp, tính C%(10^9+7)(trong % phép tốn chia lấy dư) + Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO) Bài 6: Một học sinh chia tất 30 viên bi vào hộp đánh số 1, 2, 3, 4, (sau chia có hộp khơng có viên bi nào) a Hỏi có cách chia viên bi vào hộp (hai cách chia khác có hộp có số bi hau cách chia khác nhau) + Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Câu 39 Có ghế kê thành hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B bằng: A B C D + Một số toán khác - (Bài tốn liên quan vấn đề trồng rừng) Ơng An trờng lim, long não và xà cừ một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có xà cừ nào được trờng cạnh nhau? - (Bài tốn bầu cử): Trong bầu cử, ứng cử viên A a phiếu bầu, ứng cử viên B b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu người Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc A B số phiếu bầu? - (Bài tốn mua vé): Có m + n người đứng quanh quầy vé, có n người có tiền 5.000 m người có tiền 10.000 Đầu tiên quầy khơng có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có cách xếp m + n người thành hàng để không người phải chờ tiền trả lại? Nhìn nhận vấn đề xung quanh tốn trên, chúng tơi nhận thấy số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy học vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung đề thi ưu, nhược điểm giải pháp dạy học để giải toán nội dung  Các toán nêu mức vận dụng vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất phát từ vấn đề thực tế Điều phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT 2018 nhằm phát triển lực giải tình  Để giải toán cần sử dụng toán tảng (kiến thức chương II ĐS> 11 Tổ hợp – Xác suất theo chương trình cịn trang bị nội dung chương trình khối 10,11,12 theo chương trình GDPT 2018) sử dụng phương pháp tư đề cập đến toán “Chia kẹo Euler”  Sách giáo khoa viết cịn mang tính hàn lâm: tập chủ yếu dừng lại mức nhận biết thông hiểu; nội dung đề cập đến đề thi đại học ; thi THPT Quốc gia trước (bây kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; thi kiểm tra đánh giá lực trường Đại học…có mức vận dụng vận dụng cao Mặt khác tập đề cập sách giáo khoa không phân chia theo dạng định hướng phương pháp tư cho học sinh  Sách tham khảo; nguồn tài liệu mạng Internet…hầu không đề cập đến cách hệ thống toán theo phương pháp tư trình bày lời giải tốn “Chia kẹo Euler” mà xuất rải rác  Vấn đề dạy học giáo viên: Khi giảng dạy phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặp phải nhiều khó khăn việc định hướng hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho toán, chia các dạng toán cho hợp lý nhất Thông thường đa số giáo viên chỉ dạy cho học sinh nắm được càng nhiều bài càng tốt, để từ đó thi gặp bài quen tḥc là có thể làm được Hoặc có định hình chia dạng để dạy cho học sinh chia theo đặc điểm đối tượng tham gia vào toán (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng dạng có nhiều cách tư để giải (đa dạng phương pháp dạng) Điều hạn chế tính logic việc xâu chuỗi tốn cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ nhiều phương pháp giải dạng tốn Từ khơng phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh q trình giải tốn  Vấn đề học học sinh: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động, lười tư tìm tịi sáng tạo; khả tự học chưa cao Do đó, tiếp cận toán thuộc nội dung hiểu lời giải khả vận dụng để giải tốn khác cịn hạn chế chưa hiểu rõ phương pháp tư 4.2 Giải pháp mới: - Sáng kiến hình thành theo dạng chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấp dạng tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn: + Vận dụng kết toán “Chia kẹo Euler” (Dạng đến dạng 6) + Vận dụng tư lời giải tốn “Chia kẹo Euler” tư “vách ngăn” với phương pháp dạy học đổi phát triển lực học sinh - Hệ thống lý thuyết trình bày cách đọng ngắn gọn - Các dạng tập xây dựng cách hệ thống, có phân chia mức độ, q trình hình thành lời giải có phân tích cách tư đường tìm lời giải sở giả thiết từ giúp học sinh tạo thói quen tư liên kết gặp toán lạ - Bài tập thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả phát huy hết lực thân * Nội dung giải pháp sáng kiến (Phụ lục 1) Có thể tóm tắt sau: - Phần thứ nhất: Cung cấp lại cách có hệ thống kiến thức đại số tổ hợp và xác suất - Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung bài toán “chia kẹo Euler”, cách giải và các kết quả - Phần thứ ba: Xây dựng một số dạng toán thường gặp vận dụng kết quả và cách tư của bài toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm dạng: + Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3: Đếm số + Dạng 4: Đếm số tập + Dạng 5: Đếm hình học + Dạng 6: Lưới tọa độ + Dạng 7: Các bài toán vận dụng “tư vách ngăn” - Phần thứ tư: Hệ thống bài tập vận dụng dưới hình trắc nghiệm - Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh nắm vận dụng kiến thức vào giải tình có liên quan q trình học tập Như vậy: Giải pháp giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trình học tập Kiến thức cần thiết nằm khuôn khổ sách giáo khoa hành, nhớ nhiều dạng tập cách máy móc, khơng phải tốn trình mua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh tự chủ động tìm lời giải độc lập cho tốn dựa lượng kiến thức có sẵn Do học sinh chủ động linh hoạt trước tốn khơng phải áp đặt theo khuôn mẫu định sẵn Các giải pháp nêu sử dụng phần lớn kiến thức mà học sinh học lớp Sự liên kết phần kiến thức với định hướng ban đầu khiến cho toán trở nên quen thuộc dễ tiếp cận Việc vận dụng cách phù hợp vào tốn cụ thể ln tạo mẻ quen thuộc với học sinh Các tập vận dụng giải pháp toán xuất tài liệu tham khảo Đề thi đại học năm gần tiếp cận cách hoàn toàn mẻ đồng thời gần gũi với mức độ suy luận em học sinh Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt 5.1 Hiệu kinh tế: + Tài liệu in ấn giá thành thấp + Học sinh tự học tự nghiên cứu tài liệu tránh việc học thêm gây lãng phí tốn 5.2 Hiệu xã hội + Có tính thực tiễn cao: Kiến thức nằm SGK hành Sáng kiến tập trung vào việc phân tích tư giúp học sinh tìm lời giải Hệ thống ví dụ tập mang tính sáng tạo, đáp ứng yêu cầu đổi Bài tập xây dựng kết hợp tự luận trắc nghiệm; đặc biệt tập tự luyện xây dựng hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử Các tốn đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT năm gần đây; đề thi HSG tỉnh quốc gia đề ĐGNL trường ĐH sử dụng cách định hướng tư giải pháp giải cách dễ dàng + Hình thành phẩm chất lực học sinh, phù hợp với yêu cầu chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo học tập Phát huy hứng thú niềm đam mê học tập Từ tự tin tham gia kì thi kiểm tra định kì thi học sinh giỏi; + Tính kết nối chia sẻ: Thông qua trao đổi chia sẻ sáng kiến với giáo viên trường đơn vị khác giúp giáo viên việc dạy học theo phương pháp mới, xác định nội dung trọng tâm bài, giáo viên sử dụng tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt nhiều công sức việc soạn bài, chuẩn bị lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có số dạng tốn hay để áp dụng trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giả sáng kiến, thành viên ban soạn thảo đề thi Sở; ngân hàng đề thi Sở có người tham gia ban soạn thảo đề Bộ + Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh học tập nghiên cứu cần đề cao phương pháp tư khả vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tiễn Đặc biệt, ứng dụng sáng kiến mơn Tốn trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình cho kết bật sau: Nội dung Kết Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Kết Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 02/03 giải (02 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) Số lượng học sinh 23 học sinh nhận giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh có kết (Có tổng điểm ba mơn khối thi truyền thống cao kỳ thi THPT 27,25 điểm) Quốc gia ĐTB mơn Tốn 8,32 Điểm trung bình mơn Tốn kì thi tốt nghiệp THPT 02/03 giải (01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải (01 giải Nhất, 02 giải Nhì) 35 học sinh (Có tổng điểm ba mơn khối thi truyền thống 27,0 điểm) ĐTB mơn Tốn 8,15 (ĐTB mơn Tốn tỉnh (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,22 7,06 ĐTB mơn Tốn tồn quốc ĐTB mơn Tốn tồn 6,68) quốc 6,61) Khi ứng dụng sáng kiến mơn Tốn trường THPT Yên Mô A, huyện Yên Mô , tỉnh Ninh Bình cho kết bật sau: Nội dung Kết Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 01/03 giải 03/05 giải (01 giải nhì) (02 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) Kết Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh 04/06 đạt giải ( 04 giải Khuyến khích) 06/06 đạt giải (03 giải Nhì, 02 giải Ba 01 giải Khuyến Khích) 08 học sinh 12 học sinh Số lượng học sinh nhận giải thưởng (Có tổng điểm ba mơn (Có tổng điểm ba mơn Đinh Bộ Lĩnh có khối thi truyền thống khối thi truyền thống kết cao kỳ 27,25 điểm) 27,00 điểm) thi THPT Quốc gia ĐTB mơn Tốn 7,83 Điểm trung bình mơn Tốn kì thi tốt nghiệp THPT ĐTB mơn Tốn 7,64 (ĐTB mơn Tốn tỉnh (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,22 7,06 ĐTB mơn Tốn tồn quốc ĐTB mơn Tốn toàn quốc 6,68) 6,61) Các kết bật khác: - Trong nhóm tác giả, có thầy Dỗn Huy Tùng giáo viên Toán THPT Kim Sơn A hai năm học gần dạy đội tuyển HSG Toán lớp 12 có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh - Các thầy nhóm tác giả người hướng dẫn giảng dạy trực tiếp mơn Tốn cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20 - Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 mơn Tốn, trở thành thủ khoa tỉnh Ninh Bình khối thi B D07 Điều kiện khả áp dụng: 6.1 Điều kiện áp dụng: - Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hành; sau lớp 10,11,12 THPT học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới) - Kiến thức tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT 6.2 Khả áp dụng: + Đáp ứng nhu cầu dạy học giáo viên: đổi phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển lực phẩm chất (Do giải pháp trình bày dạng chủ đề dạy học) + Đáp ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển lực giải vấn đề thực tiễn học sinh nâng cao khả tư + Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hành CT GDPT 2018; xu đề thi kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL… + Trong tình hình dịch bệnh nay, việc dạy học phải tiến hành theo hình thức trực tuyến Khi rõ ràng việc tương tác thầy trị có hạn chế hơn, yêu cầu với người học cao tính tự giác tìm tịi Vì vậy, thấy tính khả thi giải pháp đề cập đến Ninh Bình, tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ Doãn Huy Tùng PHỤ LỤC Phần MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến thiết kế theo dạng chủ đề dạy học nhóm tác giả áp dụng q trình giảng dạy ơn tập cho các lớp và ôn thi học sinh giỏi 02 nhà trường THPT Kim sơn A THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ học sinh lớp mà tác giả đưa vào phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn Nội dung sáng kiến nhóm tác giả xây dựng thành các dạng toán thường gặp đó vận dụng kết quả và tư lời giải của bài toán “chia kẹo Euler”, ở mỗi dạng được thiết kế theo cấu trúc: Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận và tư Sáng kiến nguồn tài liệu cho thầy q trình giảng dạy tư liệu để em học sinh tự học cách tốt Các em học sinh đọc lời giải hướng dẫn suy luận ví dụ từ vận dụng vào làm tập hệ thống tập trình bày sáng kiến Phần MỢT SỚ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER” 2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1.1 Hai quy tắc đếm bản Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là hoặc 2.1.1.1 Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện Chú ý: + Quy tắc cộng được phát biểu ở có thể tổng quát cho công việc được hoàn thành bới nhiều hành động + Quy tắc cộng được phát biểu ở thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì: + Quy tắc cộng còn được mở rộng đối với các tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có thể chứng minh được rằng, với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có: (quy tắc bao hàm và loại trừ) Hoặc với tập hợp hữu hạn A,B,C ta có: 2.1.1.2 Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho công việc được hoàn thành bởi nhiều hành động liên tiếp 2.1.2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 10 + Số nghiệm nguyên dương mà Phương trình (*) lẻ Suy số nghiệm là: , (trừ c nhận giá trị 673 và 2019) + Tương tự với trường hợp cũng có số nghiệm là 1008 Do đó số nghiệm thỏa mãn yêu cầu: + Vì mỗi tập có phần tử của A thỏa mãn yêu cầu sinh 3! nghiệm đã tính được Do đó số tập thỏa mãn là: DẠNG 5: Đếm hình học Ví dụ 1: Cho đa giác đều có 2021 đỉnh Có tam giác, tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều đã cho? LỜI GIẢI Từ giả thiết suy các đỉnh của tam giác, tứ giác không là các đỉnh kề của các đỉnh đa giác ban đầu, từ đó cho ta ý tưởng cách giải dạng toán tập Nhưng các đỉnh của đa giác được xếp đường tròn nên đếm ta cần cố định một đỉnh trước, tức là chọn đỉnh của tam giác, tứ giác thỏa mãn trước + Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC là tam giác có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều đã cho mà không cạnh nào là cạnh của đa giác - Chọn đỉnh A có 2021 cách chọn - Chọn đỉnh còn lại: Gọi là số đỉnh giữa A và B; B và C; C và A Khi đó: Số cách chọn đỉnh còn lại chính là số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) và bằng: - Do mỗi tam giác được đếm lần nên số tam giác cần đếm là: + Tương tự với số tứ giác thỏa mãn: Dễ dàng có thể suy bài toán tổng quát: đếm số k – giác từ n – giác đều Nhận xét: cho không có cạnh nào của k – giác là cạnh của n – giác Đáp số là: Ví dụ 2: Cho đa giác đều có 2013 đỉnh Người ta tô màu đỏ cho 100 đỉnh của đa giác đều đó Hỏi có cách tô màu cho giữa đỉnh được tô có ít nhất đỉnh không được tô màu? LỜI GIẢI + Chọn đỉnh tô đầu tiên : có 2013 cách chọn 54 + Chọn 99 đỉnh còn lại: Gọi là số đỉnh giữa 100 đỉnh với Khi đó: Dễ dàng đếm được số nghiệm phương trình (*) thỏa mãn (1) là: Đó cũng chính là số cách chọn 99 đỉnh còn lại + Do mỗi 100 – giác đó được đếm 100 lần, nên số cách tô màu là: Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích bằng 27 Một điểm P nằm tam giác được gọi là “điểm tốt” nếu có thể tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác có cùng diện tích? Đếm số điểm P? LỜI GIẢI + Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC đều thuộc 27 tia chung gốc P của điểm tốt P - đều là các số nguyên dương + Với mỗi điểm tốt P , đặt Dễ thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là Bổ đề: “Với mỗi điểm P nằm tam giác ABC, ta có: ” Từ hệ thức này ta dễ dàng chứng minh được rằng với mỗi bộ (x; y; z) chỉ tồn tại nhất một điểm P Do đó, số điểm tốt P là: 325 DẠNG 6: Lưới tọa độ Ví dụ 1: Cho lưới gồm các ô vuông, các nút được đánh số từ đến m theo chiều từ trái sang phải và từ đến n theo chiều từ dưới lên (như hình vẽ): Hỏi có đường khác từ nút (0; 0) đến nút (m; n) nếu chỉ cho phép cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên LỜI GIẢI 55 + Một đường thỏa mãn yêu cầu bài toán trải qua m + n bước mỗi bước chỉ có cách di chuyển (đây cũng chính là đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n)) + Trong m + n bước đó, ta chọn m bước để để di chuyển sang phải, còn n bước còn lại ta di chuyển lên Khi đó số đường di chuyển là: Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông hình vẽ dưới đây, người chơi chỉ được di chuyển quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước được một cạnh Có cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bằng bước? LỜI GIẢI Di chuyển quân từ A đến B bằng bước đó chính là đường di chuyển ngắn nhất, tức là ở mỗi bước di chuyển chỉ được phép lên hoặc sang phải Do đó theo ý ta suy số cách di chuyển là: DẠNG 7: Vận dụng tư vách ngăn Ví dụ 1: Thầy Bình trồng lim, long não và xà cừ một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có xà cừ nào được trồng cạnh nhau? LỜI GIẢI + Ta có: + Biến cố A: “Không có xà cừ nào được trồng cạnh nhau” - Trồng gồm lim và long não có 7! cách - Mỗi cách trồng đó, giữa có khoảng trống, ta chọn khoảng trống khoảng trống đó để trồng các xà cừ, số cách chọn vị trí là: - Mỗi cách chọn vị trí đó có 5! cách trồng các xà cừ Do đó: Ví dụ 2: Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn vòng 30 ngày Hỏi ban tổ chức có cách sắp xếp lịch thi đấu các trận đấu cho trận đấu kề phải cách ít nhất một ngày? LỜI GIẢI 56 Dựa theo giả thiết ta suy ngày thứ và ngày thứ 30 mỗi ngày có trận Do đó số cách sắp xếp các trận bằng số cách đặt trận còn lại vào 19 khoảng trống giữa 20 ngày mà không có trận đấu diễn Do đó, số cách sắp xếp lịch thi đấu là: Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo một hàng ngang cho khoảng cách giữa hai người cạnh là 0,5 mét Có cách chọn 10 học sinh hàng đó để sau chọn không tồn tại khoảng trống lớn mét giữa hai học sinh cạnh số các học sinh còn lại hàng? LỜI GIẢI Yêu cầu bài toán chính là số cách chọn 10 người hàng cho không có người nào đứng cạnh Giữa 26 người không được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trống cũng chính là số cách chọn thỏa mãn yêu cầu Do đó, số cách chọn là: Ví dụ 4: Có cách xếp bạn nữ và bạn nam vào 10 ghế ngồi mà không có hai bạn nữ nào được xếp cạnh nhau, nếu: Ghế xếp thành hàng ngang Ghế xếp quanh bàn tròn LỜI GIẢI Số cách xếp bạn nam: 6! Giữa bạn nam có khoảng trống, chọn khoảng trống số đó và xếp bạn nữ, số cách xếp là: Do đó số cách xếp thỏa mãn là: d) Cách thức tổ chức Các dạng toán được thiết kế dưới dạng các gói câu hỏi, các gói câu hỏi đã được các nhóm nghiên cứu nhận nhiệm vụ nên tùy thuộc vào việc lựa chọn gói câu hỏi thực hiện của các nhóm để tổ chức hoạt động: + Với các gói câu hỏi đã có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 2) - Nhận xét, đánh giá kết quả của nhóm nghiên cứu - Chính xác hóa lời giải - Đưa các lưu ý liên quan đến dạng toán + Với gói câu hỏi chưa có nhóm nghiên cứu nào thực hiện: (Tiết 3) - Tổ chức hoạt động nhóm lớp dưới sự hướng dẫn của giáo viên * Củng cố giao tập 57 + Giáo viên củng cố lại kiến thức học + Giao tập: Học sinh làm hệ thống bài tập trắc nghiệm (Phụ Lục 8) Hoạt động 5:Kiểm tra đánh giá học sinh thông qua kiểm tra trắc nghiệm 45 phút.(Thực lớp) Hoạt động 6: Rút kinh nghiệm 58 PHỤ LỤC 2.1: BỘ CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG Bộ câu hỏi sớ Ơng An có 10 lơ đất liền kề với 10 sổ đỏ Mỗi lô đất có diện tích (như hình vẽ): Ông An có người và muốn cho 10 lô đất này cho người mình Để chia đất, ông An quyết định xây các bức tường ngăn để chia khu đất này thành phần, mỗi phần ông cho một người của mình Hãy giúp ông An lên phương án xây mà cho đất ông An chỉ cần chuyển sổ đỏ cho các của mình 2.Tính xem ông An có cách thực hiện dự định của mình? Từ bài toán hãy nêu cách giải bài toán: a Có cách chia 10 cái kẹo cho em bé cho em nào cũng có kẹo? b Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: x1 + x2 + x3 = 10? c Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: x1 + x2 + + xk = n (n>=k)? Bộ câu hỏi số Bài 1:Một nhóm gồm học sinh Có cách xếp học sinh thành một hàng ngang Trong học sinh đó có học sinh lớp A, học sinh lớp B Có cách xếp học sinh thành một hàng ngang cho học sinh lớp A không đứng cạnh Có phần quà được trao thưởng cho bạn Có cách trao thưởng để mỗi bạn nhận được ít nhất một phần quà và không quá phần quà? Có cách trao thưởng phần quà cho học sinh để mỗi em nhận được ít nhất phần quà? Có cách trao thưởng phần quà cho học sinh mà có thể có học sinh không được nhận phần thưởng nào? Bài 2: 1.Tìm số nghiệm không âm của phương trình: x1 + x2 + + xk = n? 2.Có cách chia n cái kẹo cho k em bé? Bộ câu hỏi số 1.Phát biểu các bài toán tổng quát nhận thức được từ bộ câu hỏi trên? 2.Ngoài các bài toán tổng quát đó, em rút được phương pháp tư nào việc giải quyết các bài toán đếm? Lựa chọn tối thiểu một gói câu hỏi sau và hoàn thành: 59 Các gói câu hỏi lựa chọn của các nhóm 60 61 62 Đề xuất một số câu hỏi để kiểm tra các nhóm nghiên cứu còn lại ứng với nội dung gói câu hỏi đã chọn sau bài báo cáo? Đánh giá thực nghiệm a) Kiểm tra Sau hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết thực nghiệm tác giả tiến hành cho học sinh bao gồm hai đối tượng: Tại trường THPT Kim Sơn A, lớp học sinh có chất lượng gồm các lớp 11B1, 11B2, 12B3, 12B4 Tại trường THPT n Mơ A, lớp có học sinh chất lượng gồm 11A, 11E, 12A, 12C (được đánh giá tương đương nhau)làm kiểm tra 45 phút với đề kiểm tra Nội dung đề kiểm tra sau: 63 TRƯỜNG THPT KIM SƠN A TỔ TOÁN - TIN BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT Thời gian làm bài: 45 phút Đề thi gồm 20 câu trang Câu 1: Cho đa giác (H) có n đỉnh Biết số tam giác có đỉnh đỉnh (H) khơng có cạnh cạnh (H) gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) Khẳng định sau ? A B C D Câu 2:Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Tính xác suất để rút số mà số chữ số đứng sau ln lớn chữ số đứng trước ba chữ số đứng đôi khác ? A B C D Câu 3:Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 xếp ngẫu nhiên vào ghế thành dãy Tính xác suất để xếp học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 A B C D Câu 4: Cho đa giác (H) có 60 đỉnh nội tiếp đường trịn (O) Người ta lập tứ giác tùy ý có đỉnh đỉnh (H) Xác suất để lập tứ giác có cạnh đường chéo (H) gần với số số sau ? A B C D Câu 5: Cho tập hợp , Chọn ngẫu nhiên ba số từ Tìm xác suất để ba số chọn khơng có hai số hai số ngun liên tiếp A B C D Câu 6:Trong cửa hàng có bút giống , sách giống , 10 giống Hỏi có cách chọn bút, sách, để làm thành hộp quà gồm đồ ? A B C D Câu 7:Cho tập hợp Gọi S tập hợp gồm tất tập A, tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất để chọn phần tử có số lập thành cấp số nhân ? A B C D 64 Câu 8: Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí người hàng số cố định ), Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác suất để người chọn khơng có người đứng cạnh A B C D Câu 9: Cho đa giác 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh đa giác tơ màu xanh đỉnh cịn lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề Tính số cách tô màu đỉnh đa giác để B =14 A B C D Câu 10:Cho tập Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Có cách chọn số tập A cho hiệu số số có trị tuyệt đối khơng nhỏ 2? A B C D Câu 11:Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫy nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho ? A B C D Câu 12: Kỳ thi có 10 học sinh , xếp ngồi hai dãy ghế , dãy có ghế Thầy giáo có hai loại đề , gồm đề chẵn đề lẻ tính xác suất để học sinh nhận đề hai bạn ngồi kề khác loại đề ? A B C D Câu 13:Tìm số nghiệm ngun khơng âm bất phương trình sau : A B C D Câu 14:Có cách chia 15 kẹo cho em bé cho em có kẹo ? A B Câu 15:Có số tự nhiên C D thỏa mãn A B C D Câu 16: Cho tập hợp X gồm số tự nhiên có chữ số đơi khác có dạng Từ X lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số lấy số kẻ thỏa mãn A B C D 65 Câu 17: Cho hình chữ nhật với đỉnh bên trái A, bên phải B Có đường ngắn từ A đến B ? A B C D Câu 18:Dọc đường phố người ta dự định đặt chậu hoa hồng, chậu hoa hướng dướng Tìm số cách đặt chậu hoa cho hai hoa hồng có hoa hướng dướng hai đầu đặt chậu hoa hồng ? A B C D Câu 19:Tìm số nghiệm nguyên không âm hệ A B C D Câu 20: Có 17 thẻ phân biệt có thẻ ghi chữ ĐỖ, thẻ ghi chữ ĐẠI, thẻ ghi chữ HỌC , thẻ thẻ ghi chữ A,B,C,D 10 thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên từ thẻ Tính xác suất để rút thẻ mà ghép lại theo thứ tự ta dòng chữ B1 ĐỖ ĐẠI HỌC ? A B C D BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.A 2.A 12.A 3.C 13.B 4.D 14.A 5.D 15.A 6.B 16.C 7.B 17.B 8.C 18.B 9.B 19.A 10.B 20.C b) Đánh giá kết thực nghiệm Về thái độ học tập học sinh Học sinh hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng lực tự học, học sinh người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh hút vào hoạt động cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số em nắm vững kiến thức có ý thức hồn thành hoạt động cơng việc mà giáo viên giao cho Về kết kiểm tra THPT Kim Sơn A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11B2 Thực nghiệm 11B1 22 15 11 23 Tổng số học sinh 40 40 66 Đối chứng 12B3 Thực nghiệm 12B4 10 23 19 17 44 44 Về kết kiểm tra THPT Yên Mô A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11E Thực nghiệm 11A Đối chứng 12C Thực nghiệm 12A 3 10 20 20 21 18 25 19 Tổng số học sinh 36 48 40 45 Về kết kiểm tra hai trường Điểm/Lớp Lớp đối chứng K11 Lớp thực nghiệm K11 Lớp đối chứng K12 Lớp thực nghiệm K12 Yếu TB Khá Giỏi Tổng số học sinh 11 40 18 76 35 48 88 20 44 14 84 16 37 36 89 Phân tích kết kiểm tra theo trường Với khối 11: Lớp đối chứng có 95,0% 91.66% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 82.5% 75% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 95,0% 93.75% đạt khá, giỏi Với khối 12: Lớp đối chứng có 93,2% 92.5% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 70,5% 67.5 đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 81,8% 82.22% đạt khá, giỏi Phân tích kết kiểm tra theo số liệu tổng hợp Với khối 11: Lớp đối chứng có 93.42% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 76.31% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 94,31% đạt khá, giỏi 67 Với khối 12: Lớp đối chứng có 92.85% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 69.04% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 82.02% đạt khá, giỏi Nhận xét Các lớp đối chứng: Khả tiếp cận tốn có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải cịn nhiều thiếu sót Đặc biệt với số dạng toán lạ mà trước đề cho dạng tự luận thường không xuất hầu hết học sinh thuộc lớp đối chứng cảm thấy bỡ ngỡ hầu hết không giải đặc biệt số toán có hình thức lạ so với dạng tập trình bày SKG Khi giáo viên vấn em nội dung câu hỏi có đề đại phận học sinh lớp đối chứng có nhận xét đề lạ, em khơng biết tiếp cận tốn theo hướng Các lớp thực nghiệm: Khả vận dụng linh hoạt hơn, có sáng tạo Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Hầu hết em biết vận dụng lý thuyết để trả lời câu hỏi cách sáng tạo logic Bên cạnh đó, hai lớp có học sinh dừng lại việc bắt chước số tập mẫu, chưa hiểu rõ chất vấn đề làm ý đơn giản đề kiểm tra Một số em chưa thực tự lập giải tốn, cịn phụ thuộc vào dạng cố định làm, chưa có tư vận dụng linh hoạt giải toán Kết luận Kết thực nghiệm bước đầu thể tính hiệu tính khả thi sáng kiến Mặc dù tình hình thực tiễn địa phương, sáng kiến cần bổ sung thiết kế hợp lý tạo nhiều toán tương tự để giúp em có tập để thực hành vận dụng 68