I Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II I Phần mở đầu I 1Lý do chọn đề tài Năm học 2007 2008 là năm thứ sáu thực hiện chương trình sách giáo khoa mới Sau 6 năm thực hiện tôi nhận thấy sách giáo[.]
Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II I.Phần mở đầu I.1Lý chọn đề tài Năm học 2007-2008 năm thứ sáu thực chương trình sách giáo khoa Sau năm thực nhận thấy sách giáo khoa viết theo chương trình có cảI tiến tốt cho việc học học sinh việc dạy giáo viên Yêu cầu học sinh cần chủ động nắm kiến thức Giáo viên đóng vai trị chủ đạo học nên việc đổi phương pháp dạy học quan trọng Việc đổ phương pháp dạy học theo yêu cầu sách giáo khoa theo tư tưởng: “ Tích cực hố hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển lực tự học , nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm tin, hứng thú cho học sinh” Để đạt mục tiêu địi hỏi người giáo viên phải thể rõ phương pháp dạy học theo hướng đổi Đó cách thức hoạt động giáo viên việc đạo, tổ chức hoạt động học tập giúp cho học sinh phát kiến thức nắm kiến thức học Qua thực tế giảng dạy với đối tượng học sinh đại trà, em chủ yếu gia đình kinh doanh, bn bán nhỏ có thời gian quan tâm đến việc học em Các em học sinh chưa ý thức việc tự học cho nên kiến thức lớp kiến thức cũ hổng nhiều Bên cạnh số học sinh giỏi lại địi hỏi tìm tịi để nâng cao lực tư kiến thức cho em nhằm bồi dưỡng cho chất lượng mũi nhọn nhà trường Song song với việc cung cấp kiến thức cho học sinh cách đa dạng việc cập nhật phương tiện dạy học đại giúp học sinh hứng thú trình học tập Tất việc làm đòi hỏi cố gắng nỗ lực lớn giáo viên từ khâu soạn, Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II giảng việc bồi dưỡng chuyên môn nâng cao tay nghề Trong q trình giảng dạy tơi cố gắng lựa chọn phương pháp giảng dạy sử dụng phương tiện dạy học cho phù hợp với tiết dạy, phân môn, nghiên cứu kĩ nội dung để tìm cách truyền thụ dễ hiểu cho học sinh,giúp em hứng thú học mơn Tốn Trong nội dung đề tài tơi xin trình bày số kinh nghiệm vấn đề: Hướng dẫn học sinh giải tốn phân tích đa thức nhân tử nhằm phát huy tính tích cực học tập học sinh I.2 Mục đích nghiên cứu Trong chương trình đại số lớp tính tốn phép tính đa thức nhiều việc biến đổi đa thức thành tích quan trọng Việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào loạt dạng toán như: - Rút gọn phân thức - Giải phương trình - Qui đồng mẫu thức phân thức - Biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ - Tìm giá trị biến để biểu thức nguyên - Tìm giá trị biến để biểu thức có GTLN, GTNN Để giúp học sinh có kĩ tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giải tốt tốn tơi đặt cho mục tiêu rõ ràng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử là: làm để phát huy tốt tính tích cực học sinh thơng qua việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử I.3 Thời gian-Địa điểm - Thời gian:cả năm học 07- 08 - Địa điểm: lớp 8C2 & 8C3- Trường THCS Mạo Khê II Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II I.4 Đóng góp mặt lí luận thực tiễn II Phần nội dung II.1 Chương 1: Tổng quan Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Ngồi phương pháp bản: - Đặt nhân tử chung - Dùng đảng thức - Nhóm hạng tử Trong sách giáo khoa cịn giới thiệu thêm hai phương pháp: tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử Ngồi ta cịn sử dụng số phương pháp khác: Đặt ẩn phụ( đổi biến), hệ số bất định,xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác giảng dạy người giáo viên phảI giúp học sinh có kĩ lựa chọn phương pháp phù hợp với tập Đó việc rèn luyện trí lực, phát triển tư tốn học cho học sinh Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương phap sách giáo khoa Đặc biệt học sinh giỏi giúp em lựa chọn phương pháp thích hợp để giảI tốn khó Trong nội dung vấn đề nghiên cứu tơi đưa hai mục tiêu lớn: _Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Các phương pháp + Các phương pháp khác Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II _Giải tốn có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử + Bài toán rút gọn biểu thức + Bài tốn giải phương trình + Bài tốn giải bất phương trình + Bài tốn chứng minh tính chia hết I.2 Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.2.1.1 Các phương pháp II.2.1.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngoặc, viết nhân tử lại vào ngoặc kèm theo dấu chúng VD: a) 5x2y - 10xy2 = 5xy( x - 2y) b) 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) = 4x(2y - z) – 7y(2y - z) = (2y - z) (4x - 7y) c) xm+3 xm(x3 +1) = xm x3 + xm( x3 + 1) = xm ( x3 + x3+1) = xm(2x3 + 1) II.2.1.1.2.Phương pháp dùng đẳng thức -Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử -Lưu ý hạng tử đẳng thức đơn thức , đa thức, học sinh cần nhận dạng tinh để phát đẳng thức -Các đẳng thức : Bình phương hiệu hiệu bình phương học sinh thường hay nhầm lẫn với nhau, cần có so sánh để khắc sâu cho học sinh VD: a) 25x2 - 16y2 = (5x + 4y) (5x - 4y) Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II b)(x+y)2 +2(x+y)(2m-n) +4m2-4mn+n2 = (x+y)2+2(x+y)(2m-n) +(2m-n)2 =(x + y + 2m - n)2 II.2.1.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử -Ap dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng phép trừ để phân tích đa thức thành nhân tử : AC – AD + BC - BD = A(C - D) + B(C - D) =(A + B)(C - D) -Hoặc nhóm nhóm hạng tử cho xuất đẳng thức bình phương tổng, bình phương hiệu ,hiệu hai bình phương… VD : a)3xy + x +15y + =(3xy + x)+(15y + 5) =x(3y + 1) +5(3y + 1) =(x + 5)(3y + 1) b)9 - x2 + 2xy – y2 = – (x2- 2xy + y2) = 32 –(x - y)2 =(3 – x + y)(3 + x- y) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta nhóm ba hạng tử cuối đa thức đưa vào dấu ngoặc đằng trước có dấu trừ để phân tích đa thức phương pháp dùng đẳng thức II 1.1.4 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử VD : a) 4x2- 8x + = 4x2- 8x + – ( tách hạng tử cuối) = (2x – 2)2 – 12 = (2x- -1)(2x -2 +1) = (2x - 3)(2x - 1) Hoặc : = 4x2- 2x - 6x + ( tách hạng tử thứ hai ) = 2x(2x - 1) - 3( 2x - 1) = (2x - 3)(2x - 1) b) x2- 6x – Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II Cách : x2- 6x +8 = x2 - 2x - 4x +8 = x(x - 2) -4(x- 2) = (x - 2)(x - 4) Cách : x2- 6x +8 = x2 - 6x + – = (x - 3)2 - 12 = (x- -1)(x – + 1) = (x - 2)(x - 4) Cách : x2- 6x +8 = x2 – - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) – 6(x - 2) = (x - 2)(x + - 6) = (x - 2)(x - 4) Cách : x2- 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x – 4) = (x – 4)(x + - 6) = (x - 2)(x - 4) Cách : x2- 6x+ = x2 - 4x + 4- 2x + = (x - 2)2-2(x - 2)=(x - 2)(x – -2) = (x - 2)(x - 4) Tuy có nhiều cách tách thơng dụng hai cách sau : Cách : Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Ap dụng phân tích tam thức ax2 +bx + c thành nhân tử ta làm theo bước sau : B1 : Tìm tích a.c B2 : Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách B3: Chọn hai thừa số có tổng b VD Phân tích đa thức : 9x2 + 6x - Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II Có: a = ; b = ; c = - + Tích a.c = 9(-8) = - 72 + phân tích -72 thành tích hai thừa số trái dấu thừa số dương có GTTD lớn để tổng hai số Có : -72 = (-2).36 = (-3).24 = (- 4).18 = (-6).12 = (-8).9 Chọn số có tổng -6 12 Vậy 9x2 + 6x – 8=9x2- 6x + 12x - =3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4) Trong trường hợp tam thức a x2 + bx + c có b số lẻ a khơng bình phương số nguyên giải theo cách Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương VD a) 9x2 + 6x – = 9x2 + 6x + 1- = (3x + 1)2 – = (3x – - 3)(3x – + 3) =(3x - 4)(3x + 2) b) 4x2 - 3x – = 4x2 – - 3x +3 = 4(x2 - 1) - 3(x - 1) = 4(x - 1)(x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(4x + 1) II.2.1.1.5.Phương pháp thêm bớt hạng tử Ta thêm bớt hạng tử để đua đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thông thường hay đưa dạng a2 –b2 sau thêm bớt VD a 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =(2x + 9)2 – (6x)2 =(2x2 - 6x + 9)(2x2 + 6x + 9) Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II b x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x +1 = x(x6- 1) + (x2 + x + 1) = x(x3- 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) =… =(x + x + 1)(x5 - x4 - x2 – x + 1) II 2.1.2 Các phương pháp khác II.2.1.2.1.Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) VD1: Phân tích thành nhân tử ; (x 2+ x)2 + 4x2 + 4x – 12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 Ta nhận thấy đặt x2+ x = y đa thức có dạng :y2 + 4y -12 tam thức bậc hai đối vớ y Ta có: y2 + 4y -12 =…… =(y + 6)(y - 2) =(x + x + 6)(x2 + x -2) =………… =(x2 + x + 6)(x + 2)(x- 1) *Chú ý : Tam thức bậc hai (x2 + x + 6) khơng phân tích thành nhân tử ( phạm vi số hữu tỉ ) VD2:Phân tích đa thức: 4x(x + y) (y + x + z) (x + z) + y2z2 = 4x ( x + y + z ) (x + y) (x + z) + y2z2 = 4(x2 + y2 + xz)(x2 + xy + xz+ yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m ta có : 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + yz = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m 2+ 4myz + y2z = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta có : 4x(x + y) (y + x + z) (x + z) + y2z2 =(2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II II.2.1.2.2.Phương pháp hệ số bất định : VD1:Phân tích đa thức : x3- 19x -30 Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích có dạng: (x + a)(x2 + bx +c)=x3 + (a +b)x2 + (ab + c)x + ac Ta phải tìm ba số a,b,c thoả mãn : x3- 19x -30= x3 +( a + b)x2+ (ab + c)x +ac Vì hai đa thức đồng nên : Vì a,c Z tích ac=-30 a,c Với a=2 ; c= 15 b=-2 thoả mãn hệ Đó số phải tìm Nên : : x3- 19x -30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15) VD2 :Phân tích đa thức : x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Nếu đa thức cho phân tích thành nhân tử phảI có dạng: (x2+a x+b) (x2+c x+d) = x4 +( a + c)x3+ (ac + b + d)x2 +(ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta có : x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1= x4 +( a + c)x3+ (ac + b + d)x2 +(ad + bc)x + bd Từ hệ ta : a = b = d = 1;c=5 Vậy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + =(x2 +x +1) (x2 +5x +1) II.2.1.2.3.Phương pháp tìm nghiệm đa thức : VD : Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 +3x2- Ta tách hgạng tử đa thức cách tìm nghiệm đa thức Ta có a nghiệm đa thức f(x) f(a) = Vậy đa thức f(x) chứa nhân tử x-a a phải nghiệm đa thức Ta lưu ý đa thức có nhân tử x-a nhân tử cịn lại x2+bx+c –ac = -4 tức a phải ước -4 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II TQ : đa thức với hệ số nguyên , nghiệm nguyên có phảI ước hạng tử khơng đổi Ước -4 Kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức Như đa thức chứa nhân tử x-1 ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Cách : x3 +3x2- = x3 - x2+ 4x2 - =x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1) =(x- 1)(x2 + 4x + 4) =(x - 1)(x + 2)2 Cách : x3 +3x2- = x3 - 1+ 3x2 – =(x- 1)(x2 + x + 1) +3(x - 1)(x + 1) = (x- 1)(x2 + x + 1+3x+3) = (x- 1)(x2 + 4x + 4) =(x - 1)(x + 2)2 Chú ý Nếu đa thức có tổng hệ số chứa nhân tử x-1 Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chứa nhân tử x+1 II.2.2.Giải tốn có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử II.2.2.1.Bài tốn rút gọn biểu thức VD: Cho A= a.Rút gọn A b Tính giá trị A với x = 998 c Tìm giá trị x để A > Đường lối giải Dựa tính chất phân số phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn xuất nhân tử chung đồng thời tìm ĐKXĐ biểu thức 10 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II thông qua nhân tử nằm mẫu Với học sinh : Rèn luyện kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn Giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức để phát triển trí thơng minh II.2.2.2 Bài tốn giải phương trình: Đường lối giải Đối với phương trình từ bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích : A(x) B(x) = A(x) = B(x) = VD : GiảI phương trình : (4x + 3)2 -25 = Ap dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình dạng: 8(2x - 1)(x + 2) = II.2.2.3 Bài toán giải bất phương trình: Đường lối giảI Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn đưa đa thức tử mẫu thành nhân tử quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích : A.B > A.B < hay bất phương trình dạng tổng quát VD Giải bất phương trình a >1 > >0 >0 11 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II Vì -2 < nên bất phương trình (x-2)(x-3) < Vậy < x < b x2 - 10x – > Phân tích vế trái thành nhân tử ta có : x2 - 10x – = (3x2 -12x) +(2x – 8) = 3x(x - 4) + 2(x - 4) = (x – 4)(3x - 2) Vậy bất phương trình tương đương với : (x – 4)(3x – > Lập bảng xét dấu tích ta có : x4 II.2.2.4 Bài toán chứng minh chia hết Đường lối giảI Biến đổi đa thức cho dạng tích có xuất thừa số có dạng chia hết VD : Chứng minh : Với ta có biểu thức : P = ( 4x+3)2 – 25 chia hết cho Phân tích P = ( 4x+3)2 – 25 = 8(2x-1)( x+1) chia hết cho Vậy P chia hết cho Chứng minh biểu thức : A= chia hết cho với n Z Ta có : A = = = 12 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II = Ta có n(n+1)(n+2) tích số ngun liên tiếp có thừa số chia hết cho , thừa số chia hết cho mà ( 2, 3) = nên tích chia hết cho Vậy Z A chia hết cho Kết luận : Trên dạng tập áp dụng kĩ phân tích đa thức thành nhân tử Tất nhiên khơng có dạng mà cịn số tập khác( khơng điển hình,ít gặp) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử Với dạng tập vân dụng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tịi phương pháp giải tốn nhanh hơn, thơng minh Đường lối giải tập học sinh biết vận dụng phương pháp thích hợp để giải Giáo viên tác động dến đối tượng cho phù hợp với học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỉ , học sinh giỏi nêu nét hướng dẫn giải theo đường ngắn Có học sinh tích cực tìm tịi phát huy trí lực Qua tập vận dụng kĩ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh rèn luyện, củng cố phương pháp tư tổng hợp II.3 Chương 3: Phương pháp nghiên cứu – Kết nghiên cứu II.3.1 Phương pháp nghiên cứu - Hệ thống hoá kinh nghiệm - Quan sát - Trắc nghiệm - Thực nghiệm 13 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II II.3.2.Kết nghiên cứu : Sau trình áp dụng việc làm vào hai lớp tốn mà tơi trực tiếp giảng dạy đối tượng học sinh giỏi có khả làm tập nâng cao áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rát tốt, với học sinh đối tượng đại trà em có kĩ làm tập vận dụng kiến thức thành thạo Cụ thể kết mơn Tốn hai lớp tơi dạy kiểm tra Đại số chương 1,2,3,4 sau : Bài Lớp 8C2 Lớp 8C3 Giỏi 22 Khá 12 15 TB 10 Yếu 2 Kém 0 Lớp 8C2 Lớp 8C3 Giỏi 22 Khá 15 17 TB 10 Yếu 0 Kém 0 Bài 14 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II Bài Lớp 8C2 Lớp 8C3 Giỏi 10 25 Khá 12 TB 11 Yếu Kém 0 Lớp 8C2 Lớp 8C3 Giỏi 10 25 Khá 14 TB 10 Yếu Kém 0 Bài Đặc biệt có em tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Huyện đạt điểm cao em : Trương Mạnh Cường – Lớp 8C3 Đào Minh Tùng – Lớp 8C3 15 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II III Phần kết luận – Kiến nghị Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lốn trải suốt chương trình đại số bậc THCS, có liên quan tới việc kết hợp với phương pháp khác tạo nên logic chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó Từ đơn giản đến phức tạp giúp cho học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kĩ , kĩ xảo phân tích Qua giúp cho học sinh hiểu sâu phát triển trí tuệ, tính chăm , tính xác, lực nhận xét , phân tích , phán đoán , tổng hợp kiến thức Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển tư học sinh qua việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Chắc chắn nhiều vấn đề cần bổ sung Rất mong góp ý chân thành đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn 16 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II Mạo khê ngày 30.4.2008 Người viết : Nguyễn Thị Thu Thuỷ IV Tài liệu tham khảo – Phụ lục IV.1.Tài liệu tham khảo 1.Toán bồi dưỡng học sinh lớp Toán nâng cao chuyên đề Đại số Để học tốt Tốn tập 1, Ơn kiến thức- Luyện kĩ đại số IV.2 Phụ lục I.Phần mở đầu Trang II Phần nội dung Trang II.1 Chương 1: Tổng quan 17 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II II.2 Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.3 Chương 3: Phương pháp nghiên cứu – Kết nghiên cứu III Phần kết luận – Kiến nghị Trang 15 IV Tài liệu tham khảo – Phụ lục Trang 16 18 Nguyễn Thị Thu Thuỷ – Trường THCS Mạo Khê II IV Nhận xét HĐKH cấp trường,phòng GDDT 19