Đang tải... (xem toàn văn)
VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN LỚP 9 ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA I Căn bậc hai 1 Một số côn[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack TỔNG HỢP CƠNG THỨC TỐN LỚP ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA I Căn bậc hai Một số công thức cần nhớ ( ) = a + ab + b (1 + a ) = + a + a a+ b 2 ( a − b ) = a − ab + b (1 − a ) = − a + a a − b = ( a − b )( a + b ) 2 a a + b b = ( a + b)(a − ab + b) a a − b b = ( a − b)(a + ab + b) ( )( a = (1 + a )(1 − ) a + a) 1− a a = 1− a 1+ a + a 1+ a ( a =( a b +b a = a b −b ) ab ) ( ab ( a + b) a − b) Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A Điều kiện có nghĩa số biểu thức (1) A(x) đa thức A(x) ln có nghĩa (2) (3) A(x) có nghĩa B(x) B(x) A(x) có nghĩa A(x) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com (4) Facebook: Học Cùng VietJack A(x) có nghĩa B(x) > B(x) Tính chất bậc hai Với hai số a b không âm, ta có: a < b a b Các công thức biến đổi thức +) A A2 = A = −A +) Nếu A không âm +) A = A = A A = ( ) A A.B = A B (với A ; B 0) Tổng quát: A1A2 A n = A1 A A n với Ai (1 i n ) +) A A = (với A 0, B 0) B B +) Đưa thừa số A2 dấu bậc hai ta |A| Ta có: A 2B = A B +) Đưa thừa số vào dấu bậc hai: A B = A B ( với A ) A B = − A B ( với A < ) +) Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai: Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số bình phương A A.B A.B = = ( với B 0, A.B ) B B2 B +) Trục thức mẫu số: DẠNG 1: Mẫu biểu thức dạng tích thức số, ta nhân tử mẫu với thức Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack A A B = (B 0) B B A A B A B = = a.B a B a B ( ) DẠNG 2: Mẫu biểu thức dạng tổng có thức, ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu A – B A + B hai biểu thức liên hợp với (A – B)(A + B) = A2 – B2 C C( A B) = (A 0;A B2 ) A−B A B ( ) ( ) m A − B m m.(A − B) = = A2 − B A + B (A + B)(A − B) m A + B m m.(A + B) = = A2 − B A − B (A − B)(A + B) C C( A B) = (A 0;B 0;A B ) A − B2 A B m = A+ B m = A− B m ( A− B A+ B m ( ( ( )( A− B A+ B A− B )( ) ) A+ B ) ) = = m ( A− B ) A−B m ( A+ B A−B ) Phương trình chứa thức bậc hai (1) A2 = | A |= A = (2) B A = B (hoặc A ) A = B Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack (3) B A =B A = B (4) A + B = A = B = II Căn bậc ba +) ( a) 3 = a3 = a +) a < b a b +) ab = a b +) Với b , ta có a 3a = b 3b CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho trước a b Tính chất: Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b 0, trùng với đường thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = −b −b ta điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Ox a a Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi a = a +) d // d b b +) d d = A a = a a = a +) d d b = b +) d ⊥ d a.a = −1 e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a 0) * Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương * Hệ số góc đường thẳng y = ax + b - Hệ số a phương trình y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng y = ax +b f Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 x y - Đường thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) với x0.y0 + =1 x y0 Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(xA, yB) B(xA, yB) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) - Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức x + xB y + yB ; yM = A xM = A 2 2 CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I CÁC KHÁI NIỆM: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Phương trình bậc hai ẩn: + Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết (a b 0) + Một nghiệm phương trình cặp số x0; y0 thỏa mãn: ax0 + by0 = c + Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm + Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a 0;b a c đường thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: y = − x + b b Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c (1) + Dạng: ax + by = c ( ) + Nghiệm hệ nghiệm chung hai phương trình + Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng (d) - Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm *Nếu (d) song song với (d') hệ vơ nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vơ số nghiệm Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm II PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình phương pháp thế: + Bước 1: Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ ẩn) + Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn không không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối (hoặc nhau) (tạm gọi quy đồng hệ số) CHƯƠNG IV HÀM SỐ Y = AX2 (A 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I HÀM SỐ y = ax ( a ) ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax ( a ) Tính chất hàm số y = ax ( a ) a) Tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét: Nếu a > y > với x khác 0; y = x = Giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = Giá trị lớn hàm số y = Tính chất đồ thị hàm số y = ax ( a ) Đồ thị hàm số y = ax ( a ) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm thấp đồ thị Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm cao đồ thị II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa: Pt bậc hai ẩn pt có dạng: ax + bx + c = ( a ) (1), x ẩn; a, b, c số cho trước Cách giải a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: x = x = ax + bx = x ( ax + b ) = b ax + b = x = − a b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax + c = ax = −c x = − c a (2) c - Nếu − pt (2) vơ nghiệm, suy pt (1) cung vô nghiệm a c c - Nếu − x = − a a c) Đầy đủ: ax + bx + c = ( a ) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn = b2 − 4ac = b2 − ac + Nếu pt có nghiệm phân biệt: + Nếu pt có nghiệm phân biệt: x1 = −b + −b − ; x2 = 2a 2a x1 = −b + −b − ; x2 = a a + Nếu = pt có nghiệm kép: −b x1 = x = 2a + Nếu = pt có nghiệm kép: −b x1 = x = a + Nếu pt vơ nghiệm + Nếu pt vơ nghiệm d) Cho pt: ax + bx + c = ( a ) Điều kiện để phương trình: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com - Vô nghiệm: ( ) Facebook: Học Cùng VietJack - Nghiệm kép: = ( = ) - Có nghiệm phân biệt: ( ) a.c < ( ) - Có nghiệm dấu: P = x1.x ( ) - Có nghiệm dấu âm: P = x1.x S = x + x ( ) - Có nghiệm dấu dương: P = x1.x S = x + x ( ) - Có nghiệm khác dấu: P = x1.x III HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG b x + x = − a - Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt ax + bx + c = ( a ) x x = c a - Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét: + Nếu pt ax + bx + c = ( a ) có a + b + c = pt có nghiệm là: x1 = 1;x = c a + Nếu pt ax + bx + c = ( a ) có a − b + c = pt có nghiệm là: x1 = −1;x = − c a Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack u + v = S + Nếu suy u, v nghiệm pt: x − Sx + P = (điều kiện để tồn u.v = P u, v = S2 − 4P ) IV PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình trùng phương - Dạng tổng quát: ax + bx + c = ( a ) - Cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x = t ( t ) Khi ta có pt: at + bt + c = (đây pt bậc hai ẩn) Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm ĐKXĐ pt - Quy đồng mẫu thức vế pt, khử mẫu - Giải pt vừa nhận - Kết luận: so sánh nghiệm tìm với ĐKXĐ pt Phương trình tích - Dạng tổng quát: A( x ) B( x ) = A( x ) = - cách giải: A ( x ) B( x ) = B( x ) = HÌNH HỌC CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC có đường cao AH Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; CH = b'; BH = c' BH, CH hình chiếu AB AC lên BC Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ta có hệ thức sau: +) b2 = ab' ; c2 = ac' +) h2 = b'c' +) ah = bc +) a2 = b2 + c2 (Định lý Py-ta-go) +) 1 = + h b2 c2 Tỉ số lượng giác góc nhọn a) Định nghĩa sin = cos = 𝑐ạ𝑛ℎ đố𝑖 𝑐ạ𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ề𝑛 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑘ề 𝑐ạ𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ề𝑛 tan = cot = 𝑐ạ𝑛ℎ đố𝑖 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑘ề 𝑐ạ𝑛ℎ 𝑘ề 𝑐ạ𝑛ℎ đố𝑖 b) Tính chất +) Cho hai góc phụ Khi sin = cos ; Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com tan = cot ; Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack cot = tan cos = sin ; +) Cho góc nhọn Ta có < sin < 1; tan = sin cos tan.cot = < cos < cot = cos sin sin2 + cos2 = 1 + tan = cos + cot = sin d) Tỉ số lượng giác góc đặc biệt 300 450 600 900 sin 2 cos 2 2 tan 3 kxđ cot 3 Tỉ số LG Hệ thức cạnh góc tam giác vuông b = asinB = acosC b = ctanB = ccotC c = asinC = acosB Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack c = btanC = bcot B CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN Sự xác định đường tròn - Một đường tròn xác định biết tâm O bán kính R đường trịn (kí hiệu (O;R)), biết đoạn thẳng đường kính đường trịn - Có vơ số đường trịn qua hai điểm Tâm chúng nằm đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm - Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường trịn Chú ý: Khơng vẽ đường trịn qua ba điểm thẳng hàng - Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác nội tiếp đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn +) Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn - Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn +) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền - Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ABC vuông A OA = OB = OC Quan hệ đường kính dây đường trịn - Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây AB ⊥ MN I IA = IB Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1:Trong đường trịn: - Hai dây cách tâm - Hai dây cách tâm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack AB = CD OH = OK Định lí 2: Trong hai dây đường trịn - Dây lớn dây gần tâm - Dây gần tâm dây lớn MN > CD OI < OK Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: d khoảng cách từ tâmcủa đường tròn đến đường thẳng, R bán kính Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Đường thẳng đường tròn cắt Số điểm chung Hệ thức d R dR ☞ Định lí: Nếu đường thẳng alà tiếp tuyến đường trịn (O) vng góc với bán kính qua tiếp điểm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑎 𝑙à 𝑡𝑖ế𝑝 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑐ủ𝑎 (𝑂) ⇔ 𝑎 ⊥ 𝑂𝐼 Tính chất hai tiếp tuyến cắt Định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm MA = MB MA ⊥ OA M1 = M MB ⊥ OB O1 = O Vị trí tương đối hai đường trịn Cho (O ; R) (O’; r) với R >r SỐ ĐIỂM VỊ TRÍ HÌNH CHUNG HỆ THỨC A Cắt O O' R B Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com r R – r < OO’< R A, B gọi + r giao điểm Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Tiếp xúc Facebook: Học Cùng VietJack A O R Tiếp xúc A gọi tiếp OO’ = R + r điểm O' r A gọi tiếp OO’ = R – r > điểm O' O r A R Không giao ((O) (O’) ngồi nhau) Khơng giao ((O) đựng (O’) ) r O O' OO’ > R + r OO’ < R – r R O R O' r Định lí: Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung {𝐴; 𝐵} = (𝑂) ∩ (𝑂′ ) ⇔ 𝑂𝑂′ 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑡𝑟ự𝑐 𝑐ủ𝑎 𝐴𝐵 +) Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm (𝑶) 𝒕𝒊ế𝒑 𝒙ú𝒄 (𝑶′) 𝒕ạ𝒊 𝑨 ⇔ 𝑨 ∈ 𝑶𝑶′ - Tiếp tuyến chung hai đường tròn: Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack O' O CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Góc tâm Số đo cung m A m cung AnB: cung lớn α O cung AmB: cung nhỏ A O α B B n n α = 1800 => AmB, AnB nửa đường tròn AOB = sđ AmB (O,R) có: AOB chắn AmB sđ AnB = 360 − AOB Định lí: Nếu C điểm nằm cung AB thì: sđAB = sđAC + sđCB Liên hệ cung dây Định lí 1: Với hai cung nhỏ đường trịn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung căng hai dây - Hai dây căng hai cung sđ AaB = sđ CbD AB = DC Định lí 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn BCD CbD BD DC Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Góc nội tiếp - Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn: B1 = sđ CbD Hệ quả: Trong đường trịn: - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung ( ) A1 = B1 chan CbD ; B1 = C1 AB = CD - Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung B1 = DOC - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn xAB = sđ AnB Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh nằm bên đường trịn Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn FHE = FxE + DyG Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn CMA = AxC + ByD Tứ giác nội tiếp - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180 +) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc A A A A B α O B D B α D C Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com D C B D C C Youtube: VietJack TV Official