Sáng kiến kinh nghiệm thpt ứng dụng của tỉ số thể tích

Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - *** - Trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm gần đây, câu hình học khơng gian ln câu khó đa số thí sinh, phần lớn em quên kiến thức hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 Do đó, việc học hình học khơng gian lớp 12, đặc biệt vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ lúng túng Trước tình hình với q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi thử giải tốn tính thể tích khối đa diện phương pháp tỉ số thể tích thấy có hiệu cho lời giải ngắn gọn nhiều; học sinh cần kiến thức hình học khơng gian lớp 11 làm Trước kì thi Đại học – Cao đẳng đến gần, với mong muốn cung cấp cho em học sinh thêm phương pháp để tính thể tích khối đa diện, nghiên cứu viết đề tài: “ Ứng dụng tỉ số thể tích ” Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 10 năm 2010 Người thực đề tài Huỳnh Đoàn Thuần GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang Sỏng kin kinh nghim – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net NỘI DUNG ĐỀ TÀI - *** I/ Cơ sở lý thuyết: Để tính thể tích khối đa diện bất kì, chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản biết cơng thức tính ( Khối lăng trụ , Khối chóp , Khối hộp chữ nhật , …) cộng kết lại Tuy nhiên nhiều trường hợp, việc tính thể tích khối lăng trụ khối chóp theo cơng thức lại gặp khó khăn khơng xác định đường cao hay diện tích đáy, chuyển việc tính thể tích khối việc tính thể tích khối biết thơng qua tỉ số thể tích hai khối Sau ta xét số tốn ví dụ minh hoạ Bài tốn1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S CMR: (1) Giải: Gọi H H’ hình chiếu vng góc A A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mp (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét SAH ta có (*) Do (**) Từ (*) (**) ta đpcm □ Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’ B C’ C ta (1’) Ta li cú GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Vậy: (2) Tổng qt hố cơng thức (2) ta có tốn sau đây: Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A1A2…An ( đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi ta có , (2’) Chứng minh (2’) phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành khối chóp tam giác áp dụng công thức (2) II/ Các dạng toán: Dựa vào hai toán trên, ta xét số tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M trung điểm CD I giao điểm AC BM Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ICM S.ABCD S Giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác BCD, A Vậy Ví dụ2: B Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp(AB’D’) Giải: Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC ti C Ta cú B GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net D O M I C S C' B' I A O D' O' C Trang D Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Suy Kẻ OO’//AC’ ( Do tính chất đương thẳng song song cách nên ta có SC’ = C’O’ = O’C Do Hay * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP S.ABC Từ tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng ( ) qua AB cắt SC, SD M N Tính để mặt phẳng ( ) chia hình chóp thành hai phần tích ĐS: DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ1: (ĐH khối B – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, , SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: S Áp dụng cơng thức (1) ta có M N 2a 2a a Suy B GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net A C Trang D Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực cơng thức gặp nhiều khó khăn, dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM tính VSBCA VSCAD dễ dàng nhiều 2/ Khi dạy học u cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: (ĐH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: S Ta có M A Lấy (a) x (b) vế theo vế ta Gọi H trung điểm AD ta có nên B H mà N D C P Do Vậy: (đvtt) Ví dụ3: (ĐH khối D – 2006 ) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: Ta có D N 2a M A a a a B GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net C Trang Sỏng kin kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net AM AN đường cao tam giác vuông SAB SAC nên ta có Tương tự Do VS.AMN = VS.ABC = Mà VS.ABC = VS.ABC Suy VA.BCMN = Vậy VA.BCMN = VS.ABC (đvtt) Ghi chú: Ta có hệ thức lượng tam giác vuông ABC A sau B ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) c b c' b' H C Ví dụ4: (ĐH khối B – 2006 , Đề GVDG cấp trường 2009 – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: S Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác ABC, a nên (1) Mặt khác (2) a A Ma I D O C B S Từ (1) (2) suy Mà Vậy M (đvtt) Ví dụ5: (ĐH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net B A H D C Trang Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải: Từ giả thiết ta tính Do tam giác SAC cân C nên M trung điểm SA Ta có (đvtt) * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có Tính thể tích tứ diện ABCD ĐS: Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a ĐS: Bài3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Gọi M, P trung điểm SA SC, mp(DMP) cắt SB N Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS: Bài4: (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ĐS: DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khó khăn xác định chân đường cao Khó khăn khắc phục ta tính khong cỏch GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang Sỏng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net thơng qua thể tích khối đa diện, mà khoảng cách độ dài đường cao khối đa diện Sau ta xét số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (ĐH khối D – 2002 ) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) Giải: D Ta có AB2 + AC2 = BC2 Do I Mặt khác CD = , BD = BC = Nên cân B, gọi I trung điểm CD A Vậy C B Ví dụ2: (ĐH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang, , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB CMR tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) S Giải: Ta có H vng A AH đường cao nên Ta có a Vậy Mà B A 2a D C vuông C ( AC2 + CD2 = AD2), Vậy Ví dụ3: (ĐH khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM v BC Gii: GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Gọi E trung điểm BB’,ta có EM//CB’ Suy B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có A' C' B' Ta có Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE, ta có Hơn , nên ta AE Mà AE = , a E H A a vuông B nên M B a C vuông B nên Do Vậy: Ghi chú: Có thể áp dụng cơng thức Hê – rơng để tính Ví dụ4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, hình chiếu vng góc B' C' A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) Giải: A' 2a Theo giả thiết ta có A’H (ABC) Tam giác ABC vng A AH trung tuyến nên AH = BC = a vng H nên ta có B a C H K a A GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Do Mặt khác Suy Ta có Vì Suy B’H = BH, ta có vng A’ cân B’ Gọi K trung điểm Do Suy Vậy * Bài tập tương tự: Bài 1: (ĐH khối D – 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: Bài2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: Bài3: Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mp(ABC), cách từ A đến mặt phẳng (BCD) AD = a, AB = BC = b Tính khoảng ĐS: Bài4: Cho tứ diện ABCD, biết AB = a, M điểm miền tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến mt ca t din GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net ĐS: Bài5: Cho tứ diện ABCD điểm M miền tứ diện Gọi r 1, r2, r3, r4 khoảng cách từ M đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối diện tứ diện CMR: DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Việc tính diện tích đa giác phẳng quy việc tính diện tích tam giác theo cơng thức , h – chiều cao a độ dài cạnh đáy Tuy nhiên nhiều trường hợp, đặc biệt việc tính diện tích đa giác phẳng khơng gian, tính trực cơng thức gặp nhiều khó khăn Khi tính diện tính đa giác thơng qua thể tích khối đa diện Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ1: (ĐH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính diện tích A tam giác AMN theo a, biết S Giải: Gọi K trung điểm BC I trung điểm MN Ta có Từ nên Mặt khác, Từ (1) (do N (1) I C M cân A ) A K O (O B trọng tâm tam giác ABC) Ta có cân A (vì AI vừa đường cao vừa trung tuyn) nờn AK = AS = GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Và SI = Vậy GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net (vdt) Trang 12 Sỏng kin kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC tam giác vuông B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ) Một mặt phẳng qua A vng góc với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác định thiết diện b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a) ĐS: Thiết diện AMN có diện tích Bài2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x, AC = y, AD = z, góc Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: b) Tính diện tớch tam giỏc BCD S: GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net KẾT LUẬN - *** -Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ có nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn không cần sử dụng nhiều kiến thức hình học khơng gian lớp 11 Trong q trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 Ba học kì I năm học 2009 - 2010, tơi đem đề tài áp dụng thấy học sinh tiếp cận nhanh biết vận dụng để giải tập mà cho kiểm tra lớp Trong học kì II tơi tiếp tục triển khai đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12 ôn thi Đại học Cao đẳng, em tiếp thu tốt Qua năm triển khai thực đề tài này, tơi thấy tính hiệu đề tài cao, áp dụng rộng cho nhiều đối tượng học sinh khối lớp12, ôn thi tốt nghiệp luyện thi Đại học Vì vậy, năm học tơi tiếp tục triển khai áp dụng đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12 Tôi mong hội đồng chun mơn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh toàn khối 12 Nhà trường Hy vọng rằng, với đề tài này, giúp cho em học sinhcó thêm phương pháp để giải tốn hình học khơng gian kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng đạt kết cao Trong trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài tơi hồn thiện Qung Ngói thỏng 10 nm 2010 GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang 14 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Duyệt Hội đồng chuyên môn nhà trường: …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Duyệt Hội đồng chuyên môn cấp trên: …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… GV: Huỳnh Đoàn Thuần WWW.ToanCapBa.Net Trang 15