Sáng kiến kinh nghiệm – ng d ng c a t s th tíchỨ ụ ủ ỉ ố ể WWW ToanCapBa Net LÝ DO CH N Đ TÀIỌ Ề *** Trong các đ thi tuy n sinh Đ i h c – Cao đ ng nh ng năm g n đây, câuề ể ạ ọ ẳ ữ[.]
Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI *** Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng những năm gần đây, câu hình học khơng gian ln là câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã qn các kiến thức hình học khơng gian ở chương trình hình học lớp 11. Do đó, việc học hình học khơng gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng. Trước tình hình đó cùng với q trình giảng dạy và nghiên cứu, tơi đã thử giải các bài tốn tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học khơng gian ở lớp 11 là có thể làm được Trước kì thi Đại học – Cao đẳng đến gần, với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa din,tụinghiờncuvvitti:ngdngcatsthtớch. Xinchõnthnhcmn! QungNgóithỏng10nm2010 Ngithchinti HunhonThun GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net Trang1 Sỏngkinkinhnghimngdngcatsthtớch WWW.ToanCapBa.Net NỘI DUNG ĐỀ TÀI *** I/ Cơ sở lý thuyết: Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết cơng thức tính ( Khối lăng trụ V = B.h , Khối chóp V = B.h , Khối hộp chữ nhật V = abc , …) rồi cộng các kết quả lại Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo cơng thức trên lại gặp khó khăn do khơng xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thơng qua tỉ số thể tích của hai khối Sau đây ta sẽ xét một số bài tốn cơ bản và ví dụ minh hoạ Bài tốn1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = (1) VS ABC SA SB SC Giải: Gọi H H’ lần lượt hình chiếu vng góc A A' của A và A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc B hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét ∆ SAH ta có Do đó SA ' A ' H ' = (*) SA AH B' S H H' C' C A ' H '.S ﾷ ' SC ' VS A ' B ' C ' ∆SB ' C ' A ' H ' SB '.SC '.sin B = = (**) ﾷ AH S VS ABC AH SB SC sin BSC ∆ SBC Từ (*) và (**) ta được đpcm □ Trong cơng thức (1), đặc biệt hố, cho B’ B và C’ C ta được VS A ' B ' C ' SA ' = VS ABC SA (1) Talicú GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net Trang2 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net VS ABC = VS A ' BC + VA ' ABC SA ' VS ABC + VA ' ABC SA SA ' A ' A = 1− = SA SA V A' A Vậy: A ' ABC = VS ABC SA (1') � VS ABC = � VA ' ABC VS ABC (2) Tổng qt hố cơng thức (2) ta có bài tốn sau đây: Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n 3) , trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ khơng trùng với A1. Khi đó ta có VA1 ' A1A2 An VS A1 A2 An = A1 ' A1 SA1 (2’) Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng cơng thức (2) II/ Các dạng tốn: Dựa vào hai bài tốn cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài tốn tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD S Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó 1 1 1 VISCM = VB.SCM = VD.SBC = VS ABCD 3 2 V Vậy ISCM = VS ABCD 12 A D O M I Ví dụ2: B Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm C S C' B' I A GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net B O O' Trang3 C D' D Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’) Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ Ta có VS AB ' C ' SB ' SC ' SC ' VS AC ' D ' SC ' SD ' SC ' = = = = VS ABC SB SC SC VS ACD SC SD SC SC ' SC ' VS AB ' C ' + VS AC ' D ' = (VS ABC + VS ACD ) = VS ABCD Suy ra SC SC Kẻ OO’//AC’ ( O ' SC ) Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 Do đó VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Hay VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: VH MNP = VS ABC 32 Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau ĐS: SM để mặt phẳng ( α ) SC SM −1 = SC DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ1: (ĐH khối B – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ﾷ thang, BAD = ﾷABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a S M 2a a GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net N 2a B A C Trang 4 D Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích WWW.ToanCapBa.Net Giải: Áp dụng cơng thức (1) ta có VS BCM SM = = VS BCA SA VS CMN SM SN = = VS CAD SA SD Suy ra 1 VS BCNM = VS BCM + VS CNM = VS BCA + VS CAD 3 a 2a a3 = + = 2.3 4.3 Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo cơng thức V = B.h gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 2/ Khi dạy học có thể u cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: (ĐH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: S Ta có VCMNP CN CP = = VCMBD CB CD (a) VCMBD VM BCD MB = = = (b) VCSBD VS BCD SB Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được VCMNP 1 = � VCMNP = VS BCD VS BCD 8 M A B H N D C P Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD mà ( SAD) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) a3 (đvtt) = 96 a a3 a = 2 12 Do đó VS BCD = SH S∆BCD = D Vậy: VCMNP 2a Ví dụ3: (ĐH khối D – 2006 ) N M A a a a GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net C B Trang5 Sỏngkinkinhnghimngdngcatsthtớch WWW.ToanCapBa.Net Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: Ta có VSAMN SM SN = VSABC SB SC AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vng SAB và SAC bằng nhau nên ta có SM SM SA2 4a SM = = = � = MB MB AB a2 SB SN = Tương tự SC 4 16 Do đó VS.AMN = VS.ABC = VS.ABC. Suy ra VA.BCMN = VS.ABC 5 25 25 3 a a 3a Mà VS.ABC = 2a . Vậy VA.BCMN = (đvtt) = 50 Ghi chú: Ta có hệ thức lượng trong tam giác vng ABC b ' b2 sau đây = c' c A c B ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) b c' b' H C Ví dụ4: (ĐH khối B – 2006 , Đề GVDG cấp trường 2009 – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a C Giải: S Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó AI AI = � = AO AC V AI AM 1 = = (1) nên AIMN = VACDN AC AD V NC = Mặt khác ACDN = (2) VACDS SC V Từ (1) và (2) suy ra AIMN = VACDS 12 a a A IS Ma O B C M B A H GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net D D Trang6 C Sỏngkinkinhnghimngdngcatsthtớch WWW.ToanCapBa.Net 3 Mà VSACD = SA.S ∆ACD = a a 2a a a3 Vậy VAIMN = VSACD = (đvtt) = 12 72 Ví dụ5: (ĐH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = AC Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải: Từ giả thiết ta tính được AH = a a 14 3a , SH = , CH = , SC = a � SC = AC Do đó tam giác SAC cân tại 4 C nên M là trung điểm của SA V SM 1 S MBC = = � VS MBC = VS ABC Ta có V SA 2 S ABC VS ABC 1 a a 14 a 14 (đvtt) = SH S ∆ABC = = 48 * Bài tập tham khảo: ﾷ ﾷ Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ﾷABC = BAD = 900 , CAD = 1200 , AB = a, AC = 2a, AD = 3a Tính thể tích tứ diện ABCD ĐS: VABCD = a3 2 Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a 16a = 45 ĐS: VS A ' B ' C ' D ' Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS: VS DMNP = a3 36 Bài4: (ĐH khối B – 2010) Chohỡnhlngtr tamgiỏcuABC.ABCcúAB=a,gúcgiahaimt phng(ABC)v(ABC)bng600.GiGltrngtõmtamgiỏcABC.Tớnhth tớchkhilngtróchovbỏnkớnhmtcungoitiptdinGABCtheoa GV:HuỳnhĐoànThuần WWW.ToanCapBa.Net Trang7 ... WWW.ToanCapBa.Net B O O'' Trang 3 C D'' D Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?– ? ?Ứng? ?dụng? ?của? ?tỉ? ?số? ?thể? ?tích WWW.ToanCapBa.Net của? ?SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính? ?tỉ? ?số? ?thể? ?tích? ?của? ?hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’)... Dựa vào hai bài tốn cơ bản ở trên, ta sẽ xét một? ?số? ?bài tốn tính? ?tỉ? ?số? ?thể? ? tích? ?của? ?các khối đa diện và một? ?số? ?ứng? ?dụng? ?của? ?nó DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung .. .Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?– ? ?Ứng? ?dụng? ?của? ?tỉ? ?số? ?thể? ?tích WWW.ToanCapBa.Net NỘI DUNG ĐỀ TÀI *** I/ Cơ sở lý thuyết: Để tính? ?thể? ?tích? ?của? ?một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó