Bai tap ve ti so the tich cua khoi lang tru co dap an gxuid

TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI a Lăng trụ tam giác  Kết quả 1 Gọi V là thể tích khối lăng trụ, 1V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, 2V là thể tích k[.]

TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI a Lăng trụ tam giác  Kết 1: Gọi V thể tích khối lăng trụ, V1 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V2 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V1  V 2V ;V2  3 VABBC  VABC ABC  ;VABABC  VABC ABC  Ví dụ: Hình lăng trụ ABC ABC    Kết 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC  Mặt phẳng   cắt đường thẳng AA, BB, CC  M , N , P (tham khảo hình bên) Tính tỉ số VABC MNP VABC ABC  HD: Ta có VABC.MNP  VM ABC  VA.BNPC Lại có VM ABC  d  M ;  ABC   SABC  AM d  A;  ABC   SABC AA AM AM  VABC ABC  VM ABC  VABC ABC AA AA h h Và SBNPC   BN  CP  ; SBCCB   BB  CC   h.BB h  BN  CP  S BNPC  BN  CP   BN CP          S BCCB h.BB   BB    BB  CC   Suy VA.BNPC  d  A;  BCC B  S BNPC 1  BN CP   BN CP   d  A;  BCC B      S BCCB      VA.BCCB  BB CC    BB CC    Mà VA.BCCB  VABC ABC  VA.BNPC     VABC ABC 3  BB CC   BN CP V AM  BN CP   AM BN CP  VABC ABC     VABC ABC   ABC MNP       AA  BB CC   VABC ABC   AA BB CC   Vậy VABC MNP  vẽ Cơng thức tính nhanh VABC MNP  AM BN CP       VABC ABC   AA BB  CC   b Khối hộp  Kết 1: Gọi V thể tích khối hộp, V1 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp gồm hai đường chéo hai mặt song song, V2 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh V khối hộp trường hợp cịn lại Khi đó: V1  ;V2  V 6 VAC ' BD  VABCD ABCD ;VACDD  VABCD ABC D Ví dụ: Hình hộp ABCD ABC D   Kết 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABCD.ABC D Mặt phẳng   cắt đường thẳng AA, BB, CC , DD M , N , P, Q (tham khảo hình vẽ bên) Chứng minh VABCD.MNPQ VABCD ABCD AM CP BN DQ    AA CC  BB  DD  AM CP       AA CC    Chứng minh  BN DQ      BB  DD  AM CP BN DQ    AA CC  BB  DD Gọi I tâm hình vng ABCD; I  tâm hình vng ABC D Ta có: AM CP AM  PC 2OI    ; AA CC  AA AA BN DQ BN  DQ 2OI  AM CP BN DQ        BB DD BB BB AA CC  BB DD  Chứng minh VABCD.MNPQ VABCD ABCD  AM CP       AA CC    BN DQ      BB  DD  Chia khối đa diện ABCD.MNPQ thành hai khối đa diện ABC.MNP ACD.MPQ ; Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác; Cộng thể tích hai khối đa diện  Mà VABC MNP  AM CP BN DQ        VABC ABC  AA CC  BB  DD  VABCD.MNPQ AM CP BN DQ  AM CP   BN DQ             AA CC  BB DD VABCD ABC D  AA CC    BB DD  Cơng thức tính nhanh VABCD.MNPQ VABCD ABC D  AM CP BN DQ   AM CP   BN DQ               AA CC  BB  DD    AA CC    BB  DD   B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Gọi V thể tích hình lập phương ABCD.ABC D,V1 thể tích tứ diện AABD Hệ thức sau đúng? A V  6V1 B V  4V1 C V  3V1 D V  2V1 Lời giải Ta có V  S ABCD AA V1  SABD AA Mà SABD  S ABCD   V 6 V1 Suy V  6V1 Chọn A Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  Gọi D trung điểm AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện BBAD thể tích khối lăng trụ cho A B C 12 D Lời giải Ta có VABC ABC  SABC BB VBBAD  SBAD BB  k  Mà SBAD  SABC  VBBAD VABC ABC  Chọn B Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC.ABC  Đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt cạnh AB, AC M, N Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) chúng A B 23 C D 27 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Gọi E trung điểm BC  AG  AE Qua G kẻ đường thẳng d / / BC, cắt AB, AC M, N  AM AN AG    (định lí Talet) AB AC AE   AM  AB   SAMN  SABC  AN  AC  (1) Ta có VABC ABC  SABC AA ' VA AMN  SAMN AA ' Từ (1) (2)  VA AMN  Vậy tỉ số cần tìm (2) 23 VABC ABC  VBMNC , ABC  VABC ABC 27 27 23 :  Chọn B 27 27 23 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân A, AC  2 Biết AC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc 60 AC   Tính thể tích khối đa diện ABCC B A 3 B 3 C Lời giải D 16 3 Gọi H hình chiếu A mặt phẳng  ABC   Suy HC  hình chiếu AC  mặt phẳng  ABC   Do  AC ;  ABC     AC ; HC   AHC   60 Tam giác AHC  , có AH  AC  sin AC H  Diện tích tam giác SABC AC  4 Suy VABC ABC  SABC AH  3 Ta có VA ABC  SABC AH  VABC ABC  Suy VABCCB  VABC ABC  VA ABC  16 Chọn D Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABC D tích V Các điểm M, N, P thuộc cạnh AC, AB, AD cho AM  AC, AN  3AB, AP  AD Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo V A VAMNP  8V B VAMNP  4V C VAMNP  6V Lời giải Ta có V  VABDC  VAABD  VCCBD  VDDAC  VBBAC  V Mà VAABD  VCCBD  VDDAC  VBBAC  V Suy VABDC  Từ gia thiết, ta có Ta có AB AC AD  ;  ;  AN AM AP VA.BDC AB  AD AC   VA NPM AN AP AM 24 D VAMNP  12V  VA NPM  24VA.BDC  24 V  8V Chọn A Nhận xét: Cơng thức giải nhanh: Thể tích khối tứ diện (4 đỉnh nằm hai đường chéo hai mặt đối diện) tích khối lăng trụ tam giác Ví dụ 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC  có góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  30 Điểm M nằm cạnh AA Biết cạnh AB  a 3, thể tích khối đa diện MBCC B 3a A 3a 3 B 3a C 2a D Lời giải Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.ABC  Do AA / / BB  VM BCBC  VA.BCCB  V  VA ABC  V  V 2V  3 Dựng AH  BC mà AA  BC  BC   AHA Do  ABC  ;  ABC   AHA  30  AH  Khi AA  AH tan 30  AB 3a  2 a 9a   V  AA SABC  Vậy thể tích cần tính VM BCCB  V 3a3  Chọn A Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.ABC  tích V Các điểm M, N, P thuộc cạnh AA, BB, CC  cho A V   V B V   AM BN CP  ;   Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP AA BB  CC  V 16 C V   Lời giải 20 V 27 D V   11 V 18 AM BN CP mn p ,n  ,p V với m  AA BB CC    Công thức giải nhanh VABC MNP   2 3 Áp dụng với: m  ; n  ; p  , ta VABC MNP  11 V Chọn D 18 Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.ABC D cạnh 2a, gọi M trung điểm BB P thuộc cạnh DD cho DP  DD Mặt phẳng  AMP  cắt CC  N Thể tích khối đa diện AMNPBCD A V  2a3 B V  3a3 C V  11a 3 D V  9a Lời giải Áp dụng cơng thức tính nhanh, ta VAMNPBCD  BM DP   1  3          VAMNPBCD   2a   3a3 Chọn B  VABCD ABC D  BB DD    8 Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.ABC D Gọi M điểm thuộc CC  thỏa mãn CC   4CM Mặt phẳng  ABM  chia khối hộp thành hai phần tích V1 V2 Gọi V1 phần thể tích có chứa điểm B Tính tỉ số k  A k  32 V1 V2 B k  16 C k  25 D k  25 32 Lời giải Trong mặt phẳng  CDDC  , kẻ MN / /C D Suy CN  CD V1 khối đa diện ABBNCM Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ) Khi VABB.NCM  VABBCM  VMACN  VABBCM  0 1 1  V  V  ABC ABC   12   1 4  VMACN  VC ADC  1   VADC ADC   V 16   96 Vậy V1  VABCMB  VMACN  V 25 V  V2     Chọn C 32 32 V2 25 1 4 Nhận xét: Ta có VMACN  VC ADC diện tích giảm lần chiều cao giảm lần Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.ABC D cạnh a Gọi M trung điểm AB, N trung điểm BC Tính thể tích khối tứ diện ADMN A V  a3 B V  a3 12 C V  a3 D V  a3 Lời giải Ta có VADMN  VM ADN  d  M ;  ABCD   SAMD Lại có d  M ;  ABCD    d  A;  ABCD    AA 2 Và SAMD  S ABCD  SABN  SCDN  S ABCD  S ABCD  S ABCD Do VADMN  AA S ABCD  AA.S ABCD  VABCD ABCD a3  6 Chọn C Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABC D có AB  a, AD  2a Diện tích tam giác ADC A a a 13 Tính thể tích khối chóp A.BCC B theo a B 2a3 C 3a3 Lời giải D 6a3 CD  DD  CD   ADDA   CD  AD  CD  AD Ta có  Suy SACD  AD.CD  a 13   AD  a 13  a 13  Do AA  AD2  AD    2a   3a Thể tích khối hộp ABCD.ABC D V  AA.AB.AD  6a3 3 Lại có VA.BCCB  VABCD ABCD  6a3  2a3 Chọn B Ví dụ 12: Cho khối hộp ABCD.ABC D Gọi M thuộc cạnh AB cho MB  2MA Mặt phẳng  MBD chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 12 B 17 C 13 41 D 17 Lời giải Lý thuyết bổ sung: Cho hình chóp cụt ABC.ABC  có chiều cao h, S1 diện tích tam giác ABC, S diện tích tam giác ABC  Thể tích khối chóp cụt ABC.ABC  V  h  S1  S2  S1 S2  Qua M kẻ đường thẳng d / / BD, cắt AD N Suy thiết diện cắt mặt phẳng  MBD MNDB Khi VABCD ABCD  VAMN ABD  VBCD.MBCDN Đặt AA  h; S ABCD  S  VABCD ABCD  S h Áp dụng cơng thức tính thể tích chóp cụt, ta có VAMN ABD  Mà  AA SAMN  SABD  SAMN SABD  SAMN AM AN 1 S    SAMN  SABD  SABD AB AD 9 18 Và SABD  S S S S S  VAMN ABD  h     18 18 Vậy tỉ số thể tích cần tính  13   V  54 13  13  13 : 1    Chọn C 54  54  41 Ví dụ 13: Cho hình lập phương ABCD.ABC D Gọi I trung điểm BB, mặt phẳng  DIC  chia khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn A B C 17 D 12 Lời giải Tham khảo hình vẽ đây: Đặt AA  h; S ABCD  S  VABCD ABCD  S h Nối IC  cắt BC F; nối FD cắt AB M Suy mp  DIC  chia khối lập phương thành hai khối IBM C CD IMAAB.C DD Vì M trung điểm AB mà BM / /CD  Ta có BI / /CC   FB  FC IB FB 1    SIBM  SBAB  S ABBA CC  FC Áp dụng cơng thức tính thể tích chóp cụt, ta 1 S S S S VIBM C CD  BC SIBM  SC CD  SIBM SC CD  h    3 8   Do đó, thể tích khối IMAAB.C DD VIMAAB.CDD  V  Vậy tỉ số cần tính 17 :  Chọn C 24 24 17    Sh  24 17 V  V 24 24 Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ ABC.ABC  tích Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AA BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B Q Thể tích khối đa diện lồi AMPBNQ bằng: A B C Lời giải 2 3 Ta có: VC ABNM  VC ABBA  VABC ABC  3 Suy VCMN ABC  VABC ABC  VC ABNM    Lại có VC.CPQ  VCMN ABC  VAMPBNQ  VAMPBNQ  VC CPQ  Mà SCPQ  4S ABC  VC CPQ  4VC ABC  VABC ABC  3 3 Vậy VAMPBNQ    Chọn D D