CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bai tap khong gian euclide

Slide 1 KHÔNG GIAN EUCLIDE TRẦN NGỌC DIỄM Tích vô hướng và kg Euclide f là tích vô hướng trên kg vector V, nếu Ký hiệu Không gian vector với 1 tvh gọi là kg Euclide Tích vô hướng và kg Euclide Định ng[.]

KHƠNG GIAN EUCLIDE TRẦN NGỌC DIỄM Tích vơ hướng kg Euclide f tích vơ hướng kg vector V, nếu: i  f  x, y   f  y, x  ii  f  x   f  x  iii  f  x  y, z   f x, z   f  y, z  iv  f  x, x  0, x f  x, x  0  x 0 Ký hiệu: f  x, y   x, y Không gian vector với tvh gọi kg Euclide Tích vơ hướng kg Euclide Định nghĩa: x   x, x  : độ dài vector x x  y d ( x , y ) : khoảng cách x, y  x, y  cos   x.y :  góc x y Tích vơ hướng khơng gian Euclide Trên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2 a) Tính với x = (1,2), y = (-2,1) b) Tính khoảng cách x y c) Tìm độ dài vector x Trên R3 tích vơ hướng (với x = (x1,x2,x3), y = (y1,y2,y3))  x, y 5 x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  x3 y3 a) Tính tích x = (1,2,3) y = (1,-1,2) b) Tính độ dài x c) Tính khoảng cách x, y Sự trực giao i) x, y trực giao  x y  = 0, ii) S trực giao  S gồm vector đôi trực giao iii)S trực chuẩn S trực giao ॥x॥= 1, x  S iv) x M  x y , yM v) M  M’  x y , xM, yM’ vi) Bù trực giao M : M = {x V: x M} vii) U, W ≤ E, UW : U+W=U W: tổng trực giao Sự trực giao Một số kết cần nhớ: x  E  x= xy, xz  x  y + z, , R U E, < S > = U, x  U  x  S = U, < S’> = U’, U  U’  S  S’ M  E  M  E Nếu M  E dimM + dimM = dimV M M = E Sự trực giao Một hệ trực giao khơng có vector độc lập tuyến tính Hình chiếu trực giao: x  E ( kg Euclide), U E  ! y  U , z  U  x y  z y =prU x : hình chiếu trực giao (vng góc) x lên U Sự trực giao S ={ e1, e2,…,en} sở trực chuẩn E  x1   y1  x  y      [ x ]S  , [ y ]S      x  y   n  n a xi  x, ei b x, y  x1 y1  x2 y2    xn yn 2 2 n c x  x  x    x Sự trực giao Trên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2 Vector sau trực giao với nhau: x = (-1,2), y = (1,2), z = (1,1), t = (3,4) Tìm hệ trực chuẩn từ vector trực giao vừa tìm Trên R2 với tvh tắc cho u=(1, -2, 1), v=(4,m+2,-1) Tìm m để u v trực giao • Làm lại với tvh sau:  x, y 5 x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  x3 y3 Sự trực giao Trên khơng gian R3 với tvh tắc, cho U  1,1,  1, 2,3,2  a Vector sau vng góc với U: u 3,1,1, v  5,4,  1, w 5,4,  1 b Tìm m để v = (– 3, m, m – 3) vng góc với U Làm lại với tvh:  x, y 5 x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  x3 y3 Sự trực giao Trong R3, với tvh tắc cho U   x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3 0 W   x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3 0 Tìm vector u U cho u vng góc với W Sự trực giao Trên R3 với tvh tắc, tìm sở W a Cho W= | b W không gian nghiệm hệ pt  x1  x2  2 x1  x2  x  2x   x3  x3  x3  x4  x4 0 0 0 Sự trực giao Trên R3, cho khôg gian U   x1 , x2 , x3  : x2  x3 0 W   x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3 0, x1  x2  x3 0 Chứng minh U  W Sự trực giao Trong R4, cho U  1,  1,2,1, 2,0,3,  1 W  1,3,0, m , 0,5,1, n  Tìm m, n để U W Sự trực giao Trong R3 cho kg U  1,2,1,  1,0,1 W   x1 , x2 , x3  : x1  x2  mx3 0, x1  x2  x3 0 Tìm m để U W  Sự trực giao Trên không gian R3 cho S = {(1,1,1), (-2,1,1), (0,-1,1)} a) Kiểm tra tính trực giao S b) Tìm sở trực chuẩn S’ R3 từ S c) Cho u = (1,2,2), tìm tọa độ u theo S’ Sự trực giao Qua trình trực giao hóa Gram - Schmidt: cho {x1, …, xp} hệ đltt E Đặt: y1 x1 ,  x2 , y1  y2  x2  y1 ,  y1 , y1  yk  xk  k1  xk , y j   y ,y j 1 j j  y j , k 2, , p Khi {y1, …, yp} hệ trực giao Sự trực giao Trên không gian R3, trực giao hóa hệ vecor sau: u 1,3,  , u 0,1,1 u  1,1,1, u 1,  1,1, u 1,1,  1 Bổ sung vào tập hợp sau để sở trực giao R3 u 1,  3,2 , u 1,1,1 Sự trực giao Bổ sung vào tập hợp sau để sở trực giao R4 2,2,  2,  ,  2,2,  1,1 Cho U = , x = (-1,1,2) Tìm y U, z U cho x = y + z Sự trực giao Tìm hình chiếu trực giao x 1,1,1 lên kg U   1,1,2 , 3,0,   Trên kg R3 với tích vơ hướng  x, y 4 x1 y1  x1 y3  x3 y1  3x2 y2  3x3 y3 Tìm hình chiếu trực giao lên kg x 1,1,1 U   1,1,2 , 3,0,  