Microsoft Word Chuong7note Slide 1 Ch¬ng VII MÆt Fermi trong kim lo¹i Slide 2 1 PhÐp dùng mÆt Fermi MÆt Fermi lµ mÆt cã cïng mét gi¸ trÞ n¨ng lîng F trong kh«ng gian k, nã ph©n c¸ch c¸c tr¹ng th¸i[.]
Slide Chương VII Mặt Fermi kim loại Slide Phép dựng mặt Fermi Mặt Fermi mặt có giá trị lượng F không gian k, phân cách trạng thái điền đầy trạng thái chưa điền đầy không độ tuyệt đối Dựng mặt Fermi cho khí điện tử gần tự Tự do: Cầu Fermi, Không tự do: phản xạ Bragg => Vùng Brillouin + Cầu Fermi k G Slide 1/ 3 N k F V Vùng Brillouin: Mạng vuông k G 2 a kx a Vïng Brillouin Vïng Brillouin thø III thø II ky a a Vïng Brillouin thø I Slide kF=1,6/a Đặt cầu Fermi lên cấu trúc vùng Brillouin 1/ 3 N k F V N=4, V=a3 => kF=1,6/a ' k ' ( r ) e ik r U k ' ( r ) thay k k' G a b c MỈt Fermi Vïng Brillouin thø nhÊt (a), thø hai (b) vµ thø ba (c) Slide ã Tương tác điện tử với tuần hoàn tinh thể làm xuất khe lượng biên giới vùng ã Mặt Fermi luôn cắt vuông góc biên giới vùng Brillouin ã ThÕ bªn cđa tinh thĨ sÏ thĨ hiƯn ë góc nhọn mặt Fermi ã Tổng thể tích giới hạn mặt Fermi phụ thuộc vào nồng độ điện tử không phụ thuộc vào chi tiết tương tác với mạng Slide Mặt Fermi Vùng Brillouin thứ ba với sơ đồ tuần hoàn có dạng tán đèn a b Hai cách điền đầy điện tử hai vùng lượng: a- Vùng II: V éc tơ sóng tăng từ vào b- Vùng III: V éc tơ sóng tăng theo chiều ngược lại Slide Dựng mặt Fermi theo phương pháp Harisson Lấy nút mạng đảo làm tâm vẽ mặt cầu Fermi cđa ®iƯn tư tù Vïng Brillouin 1: n»m cÇu Vïng Brillouin 2: n»m cÇu Vïng Brillouin 3: n»m cÇu Vïng Brillouin 4: nằm cầu Slide Quỹ đạo điện tử, lỗ quỹ đạo hở Phương trình chuyển ®éng cđa ®iƯn tư tinh thĨ xÐt chun ®éng cđa bã sãng tinh thĨ mét chiỊu cã ®iƯn trêng ngoµi vËn tèc nhãm vg=d/dk / v g 1 d d d hay v g = k v g k dk dk dk = - eEvgt eEv g t v g k hay k = Suy Slide eE t (dk / dt ) eE dk lực bên tác dụng lên điện tử, F không gian thuận lực eE dt Định luật chuyển động Niutơn lực mạng tinh thể tác dụng lên điện tử, lực trường tác dụng cã lùc Lorentz tõ trêng dk ev B dt v g 1 d hay v 1grad k 1 k dk dk e k B (SI) dt Slide 10 vế phương trình viết với toạ độ điện tử không gian k Trong phương trình ta thấy: ã Điện tử chuyển động tác dụng từ trường không gian k, phương chuyển động vuông góc với phương gradien lượng nghĩa điện tử chuyển động theo mặt đẳng (mặt giá trị lượng) ã Hình chiếu kB véctơ lên phương véctơ có giá trị tuỳ ý, bảo toàn đại lượng chuyển động ã Chuyển động không gian k xảy mặt vuông góc với phương B quỹ đạo điện tử xác định vết cắt mặt với mặt đẳng Slide 11 k k B k dk a dt Qũi đạo lỗ (a), b điện tử (b) dk e k B dt dk dt k quĩ đạo hở (c) theo chiều ngược Một quỹ đạo đặc trưng cho điện tử gọi quỹ đạo điện tử, quỹ đạo quỹ đạo lỗ Như lỗ có điện tích dương Lỗ nguyên nhân số Hall dương Slide 12 Lỗ Lỗ khái niệm lý thú lý thuyết vùng lượng chất rắn Hoạt động transistor liên quan trực tiếp tới việc tồn điện tử lỗ tinh thể bán dẫn Các trạng thái trống (không bị điện tử chiếm) vùng cho phép goị trạng thái lỗ Thông thường trạng thái trống đỉnh vùng lượng tinh thể bán dẫn Slide 13 Chuyển động lỗ Thực nghiệm cộng hưởng Cyclotron cho thấy lỗ điện tử chuyển động ngược chiều nhau:2 loại hạt có điện tích trái dấu Ngoài xác định được: chiều phân cực vùng sóng điện từ bị hấp thụ điện tử, chiều lỗ dk F A Trong vùng dt a Thời gian lượng đà điền đầy tổng véctơ sóng ®iƯn tư b»ng a A’ 0: k a a a Slide 14 Trong vùng lượng không điền đầy ( k x ) F E kx G Lỗ Điện tö H D C B A I J K F ( k x ) E H D dk x eE x dt F kx G C B A E J K I J K Slide 15 ( k x ) E D C B A kx G H D C B A I ( k x ) F kx G H I J K Slide 16 k h k e dk e dk h Fe dt dt dk h e( E v e B) dt dk h e( E v h B) Fh dt Đây phương trình chuyển động hạt tải dương, giải thích tồn số Hall dương lỗ hay bán dẫn loại p, số Hall âm điện tử hay bán dẫn loại n Slide 17 Véc tơ mật độ dòng j ev (G ) e[ v (G )] v (G ) v ( E ) Coi e > j ev ( E ) vh ve Vận tốc lỗ vận tốc điện tử Khối lượng hiệu dụng lỗ âm, nghĩa dấu ngược với dấu khối lượng điện tử điện tử rời khỏi trạng thái sinh lỗ Slide 18 Khối lượng hiệu dụng điện tử trạng thái k e vận tốc v e xác định phương trình chuyển động: m e(dv e / dt ) eE h ( k e ) v h v e 1( k e ) Khèi lỵng hiƯu dơng lỗ xác định phương trình dạng với điện tích dương: vh ve m h (dv h / dt ) eE dv e dv h suy m h m e dt dt Slide 19 Các đặc trưng lỗ Đầy k ( k x ) k h k e (k e ) h ( k e ) j ev ( G ) e[ v (G )] v (G ) v ( E ) v h v e 1( k e ) F E kx G H D C B A I J K mh=-me Slide 20 Khèi lỵng hiƯu dơng điện tử tinh thể 1.Định nghĩa khối lượng hiệu dụng: Mức lượng gần điện tử gần biên vùng Brillouin thứ nhất: ( ) () 2 1 2m U 2 1 hay ( ) ( ) 2 2m ®ã giá trị véctơ sóng tính từ biên vïng m Slide 21 m ( 21 / U1 ) 1 ( G1 ) / 2m -Như điện tử hoạt động tinh thể theo cách khối lượng m* khác với khối lượng m điện tử tù do: Trong tinh thĨ khèi lỵng hiƯu dơng cđa hạt dẫn m* lớn nhỏ m Khối lượng hiệu dụng đại lượng dương, chí âm Thực tế cho thấy m* m* trở thành đại lượng dương nhỏ => vận tốc điện tử tăng => động lượng vận tốc lớn so với cđa ®iƯn tư tù HiƯu hai vËn tèc ®ã mạng lấy biên độ exp[i(k-G1)x] giảm -Nếu lượng phụ m*/m >>1 thuộc chủ yếu vào k m*>1 đạo hàm bậc hai d2/dk2 vùng I vùng II rÊt nhá Slide 28 Líi V=0 Líi V0 Chïm ®iƯn tư tíi Mµng tinh thĨ a Chïm ®iƯn tư tới Màng tinh thể b H.7.12 a- Khi chùm điện tử tới có lượng gần với điều kiện Bragg V=0 chùm qua màng tinh thể b-Khi lưới có diễn phản xạ Bragg, điều kiện Bragg thoả mÃn Qua thấy thay đổi chút lượng chùm ®iƯn tư dÉn ®Õn thay ®ỉi ®¸ng kĨ cđa ®éng lượng, điều ứng với khối lượng hiệu dụng nhỏ Slide 29 Các phép tính vùng lượng Có nhiều cách tính giá trị k, giới thiệu số phương pháp đơn giản 5.1.Phương pháp liên kết chặt vùng lượng: nguyên tử, điện tử có liên kết chặt với gốc ion Hai hàm sóng riêng biệt nguyên tử A B Hàm sóng điện tử tinh thể xây dựng theo tổ hợp A+B A-B: Slide 30 Hàm sóng điện tử nguyên tư hydro Tỉ hỵp A +B Tỉ hỵp A -B Slide 31 Hàm sóng theo Block: (r) -trạng thái điện tử chuyển k ( r ) C kj( r ri ) động trường U(r) i Đối với N nguyên tử với nguyên tử rời rạc cấu trúc tuần hoàn: k ( r ) N / exp( ikrj ).( r rj ) j Tác động toán tử Hamiltơn lên ta ®ỵc: k | H | k k ; k (cos k x a cos k y a cos k z a ) Tính cho nguyên tử gần cấu trúc lập phương đơn giản Slide 32 Với cấu trúc lập phương tâm khối, tính cho nguyên tư gÇn nhÊt cã: 1 k 8 cos k x a cos k y a cos k z a 2 dV ( r ) H( r ) dV ( r ) H( r ) Víi 12 nguyên tử gần cấu trúc LPTM có: k (cos kya cos k ya kza k a k a k a cos z cos x cos x cos ) 2 2 Từ công thức k vẽ mặt đẳng nội suy mặt đẳng loại mạng Slide 33 Mặt đẳng cấu trúc LPTK tính cho trường hợp nguyên tử gần =-+2|| Slide 34 Hàm sóng véctơ sóng không - phương pháp Wigner-Seitz Nói chung hàm sóng không giống sóng phẳng Có thể xây dựng hàm sóng lượng với giả thiết cho điện tích tập trung gốc ion dương, gần giống nguyên tử riêng biệt Dạng nghiệm k ( r ) C( k G )e i ( k G ) r U k ( r )e ikr G ik r Ph¬ng 2 ik r P U ( r ) e U ( r ) e U k ( r ) k k tr×nh sãng 2m Slide 35 pˆ igrad r pˆe U k ( r ) ke ikr U k ( r ) e ikr pˆU k ( r ) pˆ e ikr U k ( r ) ( k ) e ikr U k ( r ) e ikr U k ( r )( 2kpˆ) e ikr p U k ( r ) ik r ˆ ( p k ) U ( r ) U k ( r ) k U k ( r ) m Phương trình k=0 dễ tìm trường hợp k U ( r ) Nghiệm 0 dùng để dựng hàm gần đúng: U ( r )e ikr Hàm có dạng hàm Block nghiệm xác phương trình sãng Slide 36 Slide 37 hµm U ( r ) cho mô tả phân bố điện tích ô Đối với k lớn cã ik r U ( r ) e thể làm gần từ hàm m p U ( r ) U ( r ) 0 U ( r ) U ( r )e ikr Slide 38 với lượng (k ) / 2m Năng lượng liên kêt: Tổng lượng tinh thể phải nhỏ tổng lượng nguyên tử riêng biệt Phần giảm lượng lượng liên kết tinh thể Đối với nguyên tử tự điều kiện biên phương trình Schrửdinger (r) r Hàm sóng ô Wigner-Seitz tính sử dụng điều kiện biên Wigner-Seitz Trong ro bán kính cầu tích thể tích ô nguyên thuỷ ro = 3,95 bán kính Bohr =2,08A0 Các trạng thái khác điền đầy vùng dẫn kim loại Na viết gần b»ng hµm Block: Slide 39 2k k e ikr U ( r ) ; k 2m Nguyên tử Trạng thái thấp Kim loại Mức Fermi -5,15eV Năng lượng liên kết -6,3eV Năng lượng trung bình =-8,2eV +1,9eV =-6,3eV -8,2eV H 7.16 Năng lượng liên kết kim loại Na hiệu lượng trung bình điện tử kim loại (-6,3eV) trạng thái (-5,15eV) lớp 3s nguyên tử tự (Do Wigner Seitz tính [1]) Trạng thái k=0 Kết tính Wigner Seitz sau: Năng lượng Fermi: F=3,1eV Động trung bình điện tử 0,6F=1,9eV ; V ì 0=-8,2eV k = 0, nên lượng trung bình điện tử: Slide 40 5.3.Phương pháp giả Hàm sóng điện tử dẫn biến thiên ion, trở nên phức t¹p ë nót m¹ng chøa ion, thÕ nhng thĨ tÝch ion lớn so với thể tích ion chiếm Trong phần thể tích ion điện tử dẫn nhỏ Coulomb ion dương giảm hiệu ứng chắn tĩnh điện điện tử dẫn khác Slide 41 vùng hàm sóng giống sóng phẳng Không có ảnh hưởng thay đổi mạnh gần hạt nhân nguyên tử Không có ảnh hưởng việc đòi hỏi tính trực giao hàm sóng điện tử ion nã ( r )( r )dx Có nút hàm sóng vùng gần gốc ion liên quan đến đòi hỏi tÝnh trùc giao VÝ dơ: hµm sãng vïng 3s cđa Na cã nót, vËy kh«ng thĨ trùc giao với hàm sóng 1s, 2s điện tử gốc ion, hàm vùng 4s Kali có nút Slide 42 Nếu hàm sóng điện tử dẫn vùng coi gần có dạng sóng phẳng phụ thuộc lượng vào véctơ sóng phải gần có dạng đối víi ®iƯn tư tù do: k k / m Một vài tác động lên điện tư tõ phÝa thÕ ë vïng ngoµi cã thĨ hiĨu kích thích trộn mạnh k k G sóng với thành phần gần biên giới vùng Brillouin Slide 43 Tại gốc ion lớn hàm sóng không giống sóng phẳng không ảnh hưởng tới phụ thuộc vùng lượng tác dụng toán tử Hamiltơn lên hàm sóng điểm không gian vùng dẫn đến lượng điện tư tù NÕu nh vËy cã thĨ thay thÕ thùc ë vïng gÇn gèc ion b»ng thÕ hiƯu dơng gọi giả thế, vùng gốc ion cho ta hàm sóng thực Slide 44 Tại vùng gốc ion giả (theo thực nghiệm lý thuyết) Từ giả thế không bị chắn khoảng Re dẫn đến mô hình ion rỗng dạng thÕ theo hµm sau: r R e 0 U(r) e r r R e Slide 45 Giả kim loại kiềm: Slide 46 gần ion điện tử dẫn điện tử dẫn có vùng nên bỏ qua thực gốc ion Giả nhỏ hàm sóng nhận nhờ dùng giống hàm nhận với thực Để tính cấu trúc vùng lượng tinh thể thiết phải tính giá trị hệ số Fourier U(G) giả véctơ mạng đảo, giá trị U(G) thường có bảng tính sẵn Slide 47 Phương pháp thực nghiệm nghiên cứu mặt Fermi Để nghiên cứu mặt Fermi kim loại có nhiều phương pháp thực nghiệm như: a Hiệu ứng Skin bÊt thêng b Céng hëng Cyclotron c HiÖu øng de Haas-Van Alphen d Phân bố sóng siêu âm cã tõ trêng e HiƯu øng tõ ®iƯn trë f Phản xạ ánh sáng mặt kim loại Slide 48 Phương pháp cộng hưởng Cyclotron kim loại: Trường điện từ xâm nhập vào mẫu lớp gọi lớp skin Bán kính quỹ đạo điện tử từ trường Tesla cỡ 10-3cm Điện tử quay theo quỹ đạo tương tác với điện trường xoay chiều quÃng không lớn vòng quay, bán kính quỹ đạo lớn nhiều so với bề dầy lớp skin Điện tử gia tốc qua líp skin nÕu pha cđa nã trïng víi pha cđa trường tần số cao Slide 49 Điều kiện cộng hưởng: chu kỳ quay điện tử theo quỹ đạo phải bội lần chu kỳ T=n2/ trường xoay chiều; n số nguyên Lấy =C tần số Cyclotron: 2 m* Tn Phân bố trường mẫu B E E // c n eB Quĩ đạo điện tử lớp skin Suy B=m* /en Sơ đồ hiệu ứng Azbel-Kaner: có tần số sóng vô tuyến song song vuông góc với từ trường nằm mặt mẫu Slide 50 Mặt Fermi kim loại LPTM: Nồng độ điện tử kim loại hoá trị mạng LPTM n=4/a3, có điện tử khối lập phương cạnh a, điện tử tự bán kính cầu 1/ Fermi là: 12 4,9 1/ k F (3 n ) a a đường kính cầu Fermi 9,8/a Khoảng cách mặt lục giác biên giới vïng 2 10,90 Brillouin thø nhÊt lµ nghÜa lµ a a lớn đường kính cầu Fermi; Đây khoảng cách ngắn biên vùng Brillouin Slide 51 => làm giảm lượng vùng gần biên vùng Brillouin, => cổ mặt Fermi hướng phía biên giới lục giác Biên giới tứ giác xa 12,57/a Mặt có cổ nối với theo sơ đồ tuần hoàn Mặt Fermi kim loại LPTM Slide 52 Tính chu kỳ T mặt Fermi: dk e eB k B ( k ) dt 1 ( k ) lµ thành phần vận tốc không gian bình thường mặt vuông góc với trường B chu kỳ T thu cách lấy tích phân biểu thức theo vòng kín: T dt Slide 53 c dk eB ( k ) M¹ng nghịch mạng LPTM mạng LPTK không gian nghịch Vùng Brillouin thứ mạng khối giới hạn mặt lục giác tứ giác mặt lục giác biên vùng Brillouin thø nhÊt cã mét cỉ, cho nªn cã tÊt cổ Xác định T , xác định quĩ đạo nhờ vào định hướng từ trường theo trục tinh thể khác tần số cộng hưởng điện trở bề mặt mẫu giảm Những quĩ đạo kín không gây từ điện trở, quĩ đạo hở mặt Fermi nối vùng tuần hoàn nguyên nhân từ điện trë