Toan cuc tri hinh hoc

Cực trị hình học Trang - CỰC TRỊ HÌNH HỌC Kiến thức trọng tâm A-Phương pháp giải tốn cực trị hình học 1- Hướng giải tốn cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học + Cách1 :Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề yêu cầu Ví dụ : Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O).Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải : +Cách : Gọi AB dây vng góc với OP P , dây CD dây qua P không trùng với AB ( h.1) Kẻ OH  CD C OHP vuông H  OH < OP  CD > AB O Như tất dây qua P , dây vng góc H với OP P có độ dài nhỏ B A P +Cách : Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH  AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: h A O H P GV Văn Bá Như (st) D h B Cùc trị hình học Trang - AB nhỏ  OH lớn Ta lại có OH ≤ OP OH = OP  H ≡ P Do maxOH = OP Khi dây AB vng góc với OP P B-Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 1- Sử dụng quan hệ đường vng góc , đường xiên , hình chiếu a-Kiến thức cần nhớ: A B C A K A a H h.3 H C B B h.4 h.5 a1) ABC vng A (có thể suy biến thành đoạn thẳng)  AB ≤ BC Dấu “=” xảy  A ≡ C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB + AB < AC  HB < HC a b Dấu “=” xảy  B ≡ H a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB Dấu “=” xảy  A ≡ K B ≡ H b-Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Giải : B A B C H O h.6 D A O≡H D h.7 Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH  AC Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) GV Văn Bá Như (st) C Cùc trÞ h×nh häc Trang SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ E K Giải : A B HAE = EBF = FCG = GHD  HE = EF = FG = GH F  EFGH hình thoi  H   O D  EFGH hình vng G C h.8 Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG , O tâm hai hình vng ABCD EFGH HOE vng cân : HE2 = 2OE2  HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do chu vi EFGH nhỏ  OE nhỏ Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK  E ≡ K Do minOE = OK Như , chu vi tứ giác EFGH nhỏ E,F,G,H trung điểm AB , BC, CD, DA Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M x y AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc D với cắt Ax, By theo thứ tự C D xác định vị trí điểm C,D cho tam giác 12 MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác H Giải: Gọi K giao điểm CM DB MA = MB ; ,  MAC = MBK  MC = MK GV Văn Bá Như (st) C A M B K h.9 Cực trị hình học Trang Mặt khác DM CK  DCK cân  Kẻ MH  CD MHD = MBD  MH = MB = a  SMCD = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a= a2 SMCD = a2  CD  Ax = 450 ; =450 Vậy SMCD = a2 Các điểm C,D xác định Ax; By cho AC = BC =a Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc tù , điểm D di chuyển cạnh BC Xác định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn Giải: A Gọi S diện tích ABC Khi D di chuyển cạnh BC ta có : SABD + SACD = S E Kẻ BE AD , CF  AD  AD.BE + AD.CF = S B H  BE +CF = C D F h.10 Do BE + CF lớn  AD nhỏ hình chiếu HD nhỏ Do HD ≥ HB ( >900 ) HD = HB  D ≡ B Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn 2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc a-Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB  C thuộc đoạn thẳng AB b-Các ví dụ: Ví dụ 5:Cho góc điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC m tổng AB +AC nhỏ y Giải: D Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho Trên tia Om lấy điểm D C cho OD = OA Các điểm D A cố định A OD =OA, OC = OB , O GV Văn Bá Như (st) B h.11 x Cùc trÞ h×nh häc Trang -  DOC = AOB  CD = AB Do AC +AB = AC +CD Mà AC +CD ≥ AD AC +AB ≥ AD Xảy đẳng thức C AD Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy , B thuộc tia Ox cho OB = OC Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải : A F I E K D M H B A F I E G C B K G M D h.12 h.13 C H Gọi I ,K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG , EH (h.12) AEF vng A có AI trung tuyến  AI =1/2EF CGH vuông C có CM trung tuyến  CM =1/2GH IK đường trung bình EFG  IK = 1/2FG KM đường trung bình EGH  KM = 1/2EH Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng Khi ta có EH//AC,FG//AC, nên EF//DB , tương tự GH//DB Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.13) 3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn a-Kiến thức cần nhớ: C D C A O h.14 H A B B O O C K D h.15 A h.16 GV Văn Bá Như (st) D D C B B A h.17 Cực trị hình học Trang - a1) AB đường kính , CD dây  CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD : AB ≥ CD  OH ≤ OK (h.15) a3) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD  a4) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD  (h.16) (h.17) b-Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn Giải: sđ = sđ ; sđ A = sđ D  số đo góc ACD khơng đổi O O’  ACD có chu vi lớn cạnh n m lớn , chẳng hạn AC lớn AC dây đường trịn (O) , AC D’ C’ B lớn AC đường kính đường trịn (O), AD đường kính đường C trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ h.18 vng góc với dây chung AB Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây AB qua P cho có giá trị lớn Giải: Xét tam giác cân OAB , góc đáy lớn góc đỉnh nhỏ O sđ Góc nhỏ  Cung nhỏ  dây AB nhỏ  Khoảng cách đến tâm OH lớn Ta có OH ≤ OP OH =OP  H ≡ P nên max OH = OP  AB  OP Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vng góc với OP P A ) 4- Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai a-Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : GV Văn Bá Như (st) H A’ P h.19 B’ B Cùc trị hình học Trang A2 ≥ ; A2 ≤ Do với m số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A = f =  A2 + m ≤ m ; max f = m với A = b-Các ví dụ: 4-x Ví dụ 9: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm A x E Trên cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = D Tính độ dài AE 4-x cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: AHE = BEF = CFG = DGH H  HE = EF = FG = GH , HEF = 900  HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ D G Đặt AE = x HA = EB = 4-x h.20 HAE vuông A nên : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2  = 2x2  8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ HE = =2 x=2 Chu vi tứ giác EFGH nhỏ cm , AE = cm B F C Ví dụ 10: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải: ADME hình chữ nhật A Đặt AD = x ME = x x 8-x D ME //AB  E  AE =  x B Ta có : SADME = AD AE = x (  x ) = 8x  x h.21 M C =  (x  3)2 +12 ≤ 12 SADME = 12 cm2  x =3 Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm ,khi D trung điểm AB , M trung điểm BC E trung điểm AC 5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si GV Văn Bỏ Nh (st) Cực trị hình học Trang - a-Kiến thức cần nhớ: xy  xy Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có : Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau : + Dạng 1: Dấu “=” xảy x = y + Dạng 2: ; ; Dấu “=” xảy x = y + Dạng 3:Với x ≥ ; y ≥ ; x +y khơng đổi xy lớn x = y + Dạng4: Với x ≥ ; y ≥ ; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y b-Các ví dụ: Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ Giải : Đặt MA =x , MB = y Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) Gọi S S’ theo thứ tự diện A O O’ M   B tích hai hình trịn có đường kính y x MA MB Ta có : S +S’ = h.22 =  Ta có bất đẳng thức : S +S’ nên : = Dấu đẳng thức xảy x = y GV Văn Bỏ Nh (st) Cực trị hình học Trang - Do (S+S’) = Khi M trung điểm AB Ví dụ 12: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Giải : Ta có : SMCD = MC.MD x Đặt MA = a , MB = b  y D C MC = , MD = A SMCD = a ( B b M h.23 Do a,b số nên SMCD nhỏ  2sin.cos lớn 2 Theo bất đẳng thức 2xy  x +y ta có : 2 2sin.cos  sin  +cos  = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450  AMC BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi điểm C,D xác định tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM Ví dụ 13: Cho ABC , điểm M di động cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB , chúng cắt AB AC theo thứ tự D E.Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn Giải : SADME lớn  A lớn Kẻ BK  AC cắt MD H SADME = MD HK SABC = K D AC BK B Đặt MB = x , MC = y , GV Văn Bá Như (st) H E x h.24 M y C Cực trị hình häc Trang 10 - MD//AC ta có : ; Theo bất đẳng thức  Dấu đẳng thức xảy x = y Vậy maxSADME = SABC M trung điểm BC Ví dụ 14: Cho  ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H,K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình ? Giải: Ta có : 2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) HK Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi Nên (BH + KC) HK lớn BH + KC) = HK = Do : B max SDEKH = Khi đường cao HK = KC = BC BH –HK = a  Do DH = HB = H suy :  D = , EK = KC = K Hình thang DEKH hình chữ nhật , E trung điểm AC 6- Sử dụng tỉ số lượng giác a-Kiến thức cần nhớ: Hệ thức cạnh góc tam giác vng + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC A GV Văn Bá Như (st) C h.25 B c A b-Các ví dụ: E a b h.26 C