Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình A lời nói đầu Toán học môn chiếm vị trí quan trọng nhà trờng phổ thông Dạy toán tức dạy phơng pháp suy luận khoa học Học toán tức rèn khả t logic Giải toán phơng án tốt việc giúp cho học sinh nắm vững trí thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Trong toán học phần môn hình học đợc đời sớm có vị trí quan trọng hệ thống toán học phổ thông Nhiệm vụ môn hình học kết học logic, tực tế trí tởng tợng, liên hệ chặt chẽ với môn học khác, phát triển trí tợng không gian, phát triển lực trí tuệ óc thẩm mỹ học sinh Trong đời sống hàng ngày, thờng gặp vật thể có hình dạng khác nhau, nhng làm để vẽ đợc hợp lý xác, chẳng hạn nh năm cánh Để vẽ đợc ta biết đỉnh nằm đỉnh ngũ giác nội tiếp đờng tròn Dùng phơng pháp hợp lý, thực xác bớc, ta vẽ đợc Đó toán dựng hình toán học Trong môn hình học, dựng hình có ý nghĩa tác dụng lớn cho viƯc rÌn lun t to¸n häc cho häc sinh Tuy vậy, dựng hình môn học khó gặp loại toán học sinh thờng hay lúng túng Là giáo viên giảng dạy THCS, thấy việc giúp đỡ cho học sinh, em khá, giỏi tìm hiểu sâu sắc toán dựng hình điều cần thiết Đợc giúp đỡ thầy: Vũ Viết Yên giảng viên trờng đại học s phạm I Hà Nội, phạm vi viết xin trình bầy việc Vận dụng phép biến Vận dụng phép biến hình tìm lời giải cho toán dựng hình I II III Nội dung đề tài gồm phần sau: Yêu cầu (đối với giáo viên học sinh ) Các khái niệm Dựng hình phơng pháp biến hình B nội dung đề tài I Yêu cầu : 1) Đối với giáo viên: Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng h×nh - Có kiến thức sâu phép biến hình, có nhìn tổng qt, hệ thống phép biến hình - Nắm vững quy trình bước giải, phương pháp giải tốn dựng hình, biết cách trình bày xác, đầy đủ vấn đề biến đổi hình mơn Tốn, nắm vững mức độ yêu cầu việc giảng dạy kiến thức - Có phương pháp sư phạm phù hợp với việc truyền thụ kiến thức nội dung vận dụng phép biến hình để giải tốn dựng hình - Nghiên cứu, tìm tịi nhiều dạng tập có vận dụng nhiều phép biến hình để giải tốn dựng hình, xây dựng kỹ năng, tích luỹ kinh nghiệm gii toỏn - Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề - Từ việc tìm hiểu đề hớng dẫn cho học sinh phác hoạ hình cần dựng để xác lập yếu tố hình để đa toán dựng hình Từ xác đinh đứng đắn hớng giải toán hay toán cần sử dụng phơng pháp - Cần ý cho học sinh tìm hiểu kỹ bớc phân tích bớc quan trọng toàn lời giải cho ta biết phải dựng nh có hình thoả mÃn điều kiện Cần ý cho học sinh phân tích học sinh thờng nghiên cứu hình giả sử cụ thể nên chừng mực định lập luận học sinh bị ràng buộc cách ý thức vào hình vẽ Do dễ suy luận không tổng quát dẫn đến thiếu nghiệm 2) Đối với học sinh: - Nắm đợc định nghĩa dựng hình, bớc giải toán dựng hình - Nắm đợc toán dựng hình bản, có kỹ thực bớc dựng hình - Có nhìn linh hoạt yếu tố, mối quan hệ yếu tố hình học - Biết vận dụng số phép biến hình để tìm cách giải cho số toán đơn giản - Biết cách trình bầy rõ ràng, xác, đầy đủ bớc giải toán dựng hình II Các khái niệm bản: Bài toán dựng hình: Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình a Khái niệm: Việc dựng hình tạo hình nhờ cách dụng cụ thớc compa thực đợc để tạo hình Dựa vào điều kiện đà biết, dùng phơng pháp hình học hợp lý, xác dựng hình cần thiết, toán dựng hình hình học b Các bớc giải toán dựng hình: Giả thiết: Ghi cẩn thận điều kiện đà cho toán Kết luận: Nêu lên hình cần dựng thoả mÃn điều kiện đà cho Phân tích: Giả sử hình đà dựng đợc, trớc hết vẽ phác hình gần giống với hình cần dựng nét lớn, cần thiết phải vẽ thêm đờng có liên quan, nghiên cứu tỷ mỷ mối quan hệ phụ thuộc điều kiện đà biết cha biết hình học, dựa vào định dùng phơng pháp để dựng hình cần tìm Cách dựng: Theo thứ tự phơng pháp dựng hình để trình bày giải, nhng phải ý chỗ dựa vào định đề hình học phép dựng hình bản, hoàn toàn không đợc trình bày lộn xộn Chứng minh: Chứng minh hình dựng đợc phơng pháp đà trình bày hoàn toàn phù hợp với điều kiện đà cho toán Biện luận: Phân tích mối quan hệ điều kiện đà cho hình dựng đợc, nói rõ trờng hợp toán lời giải, trờng hợp toán có lời giải, trờng hợp lời giải vô định ánh xạ phép biến hình: a) ánh xạ: Mỗi ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y quy tắc cho tơng ứng phần tử x X chØ mét phÇn tư y Y Ký hiƯu quy tắc f ta có f : X Y X y = f(x) X: TËp nguån Y : Tập đích x: Tạo ảnh y : ảnh x qua ánh xạ f Nếu tập hợp X Y mặt phẳng P ánh xạ song ánh ánh xạ gọi phép biến hình b) PhÐp biÕn h×nh: Mét phÐp biÕn h×nh cđa mặt phẳng P ánh xạ từ P vào P cho: Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình - Hai điểm khác có ảnh khác - Mỗi điểm thuộc P có tạo ảnh thuéc P f: P P M M’ = f(M) Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến , quay, vị tự phép biến hình III Dựng hình phơng pháp biến hình : 1) Phơng pháp chung: Khi giải toán dựng hình, trớc hết giai đoạn đầu, tức trình phân tích, hình đà cho hình muốn dựng ta xét thêm hình khác thu đợc từ hình từ phận chúng nhờ phép biến hình tuỳ theo phép biến hình cụ thể đợc lựa chọn mà ta có dạng khác phơng pháp biến hình : đối xứng, tịnh tiến, vị tự, nghịch đảo 2) Một số phép biến hình quen thuộc: a) Phép tịnh tiến : * Định nghĩa : Trong mặt phẳng (P) cho vectơ v Phép biến hình mặt phẳng (P) biến điểm M (P) thành điểm M’ (P) cho MM ' v gäi lµ phÐp tịnh tiến theo vectơ v v - Kí hiệu : Phép tịnh tiến theo vectơ v T v : M M’ TÝnh chÊt : - PhÐp tÞnh tiến bảo toàn tính thẳng hàng điểm thứ tự điểm, biến đờng thẳng d thành đờng thẳng d, d // d - Phép tịnh tiến bảo toàn độ dài đoạn thẳng, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB mà AB // AB - Phép tịnh tiến bảo toàn độ lớn góc ảnh số hình phép tịnh tiến : Trong phép tịnh tiến: Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình - Một đờng thẳng biến thành đờng thẳng phơng - Một tia biến thành tia hớng - Một đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng hớng - Một góc biến thành góc có cạnh hớng - Một tam giác biến thành tam giác - Một đờng tròn biến thành ®êng trßn b»ng nã VÝ dơ vỊ vËn dơng phép tịnh tiến vào giải toán dựng hình: VÝ dơ : Dùng tø gi¸c theo c¸c gãc đờng chéo Giải Phân Tích : Giả sử tứ giác ABCD đà dựng đợc Gọi D1 D2 ảnh điểm D qua phép tịnh tiến theo vectơ AC AC tơng ứng Ta ngoại tiếp quanh tam giác DCD1 DAD2 đờng tròn S1 S2 Ký hiệu giao điểm đờng thẳng BC BA với đờng tròn S1 S2 M N Rõ rµng DCD1 =DAD2 = D; DCM = 1800 - C DAN= 1800 - A Cách Dựng : Trên đờng thẳng ta lấy điểm D dựng điểm D1 D2 cho DD1 = DD2 = AC Ta chän mét nửa mặt phẳng , bờ đờng thẳng coi điểm B nằm nửa mặt phẳng Dựng đờng tròn S1 S2 cho từ điểm chúng (nằm nửa mặt phẳng ) nhìn đoạn thẳng DD1 DD2 tơng ứng dới góc D Dựng điểm M S1 cho từ tất điểm Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình phần đờng tròn S1 nằm nhìn đoạn DM dới góc B, tức B giao điểm đờng tròn tâm D bán kính DB cung chứa góc B chắn đoạn MN ( nằm nửa mặt mặt phẳng ) Các điểm C A giao điểm đờng thẳng BM CN với đờng tròn S1 S2 Chứng Minh : Theo cách dựng tứ giác ABCD có đờng chéo BD cho trớc số đo góc DAB, ABC, BCD cho tríc Do ®ã, gãc ADC cịng cã sè ®o cho tríc vµ suy : ADC = DCD1, tøc ACD1D hình bình hành Nh AC=DD1, tức AC có độ dài cho trớc Biện Luận: Bài toán có nghiệm hình Ví dụ 2: Cho điểm A,B phía đờng thẳng Tìm điểm M cho từ m nhìn AB dới góc cho trớc cạnh góc AMB chắn đoạn có độ dài m cho trớc Giải Phân tích : Giả sử đà tìm đợc đợc điểm M thoả mÃn điều kiện đầu ta thực phép tịnh tiến theo vectơ m cã : + m m + Ph¬ng cđa m song song víi t ( m)( B ) C t ( m)( B Q) t ( m)(Q ) P BQ // CP A PC A AM B AP C P () (Trong nhìn A C dới góc ) Mặt khác P Vậy P x Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Cách Dựng: - T m (B)=C - Dùng cung nh×n A, C díi mét gãc - x P - t ( m)( P ) Q BQ x Ap =M M điểm phải dựng - Chứng Minh: t ( m)( P ) Q PQ m PQ m t ( m)( B ) C BQ // CP AMB t ( m)(Q ) P A APC Biện luận: Bài toán có nghiệm hình tuú theo cung chøa gãc c¾t tam giác điểm Ví du 3: Dng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song ' Tâm đường tròn nằm đường thẳng song song cách , ' , đường tròn ảnh phép tịnh tiến thích hợp *Cách dựng: Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với hai đường thẳng song song ' , O d - P2 O2 ' O1 P1 P Qua P kẻ đường thẳng d song song với , ' , đường thẳng d cắt đường tròn ( O) hai điểm P1, P2 Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình P P Thực phép tịnh tiến theo véc tơ P2 P ta - đường tròn cần dựng *Chứng minh: phép tịnh tiến theo véc tơ P1 P biến đường tròn (O) thành đường tròn (O1) mà (O) tiếp xúc , ' nên (O1) tiếp xúc với , ' Phép tịnh tiến theo véc tơ P1 P biến điểm P1 thành điểm P mà P1 (O) nên P (O1) nghĩa đường tròn (O1) qua P Vậy đường tròn ( O1) dựng thoả mãn yêu cầu đề *Biện luận: Vì d cắt (O) hai điểm P1, P2 nên ta có phép tịnh tiến theo hai véc tơ P1 P P2 P Vậy tốn ln cú hai nghim hỡnh Một số đề cã vËn dơng phÐp tÞnh tiÕn: 1) VÝ Dơ : HÃy dựng hình thang biết độ dài cạnh (Hớng dẫn: Dựng tam giác ADE có AD = c; AE = d; DE = b - a sau tịnh tiến theo vectơ DE) 2) Ví Dụ : Dựng tam giác ABC biết cạnh BC =4cm Các trung tuyÕn BM = cm; CN= cm (Híng dẫn : Tịnh tiến đoạn thẳng CN theo vectơ NM Dùng tam gi¸c BNC’ råi suy tam gi¸c ABC)(C’ ảnh C) b) Phép đối xứng : b.1) Phép đối xứng trục : Định nghĩa : Hai điểm M M đợc gọi đối xứng với qua đờng thẳng d (trục d) d đờng trung trực đoạn thẳng MM Phép biến hình biến M thành M nh đợc gọi phép ®èi xøng trơc TÝnh chÊt : Ngêi thùc hiƯn: Bùi Xuân Phong Đề Tài : - Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Phép đối xứng trục bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm, biến đờng thẳng thành đờng thẳng Phép đối xứng trục bảo toàn độ dài đoạn thẳng, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB AB ảnh số hình phép đối xøng trơc : Trong phÐp ®èi xøng trơc: - - Một đờng thẳng (hoặc tia) biến thành đờng thẳng (hoặc tia) - Một đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng - Một góc biến thành góc - Một tam giác biến thành tam giác - Một đờng tròn biến thành ®êng trßn b»ng nã VÝ dơ vỊ vËn dơng phép đối xứng trục vào giải toán dựng hình: Ví dụ 1: Cho góc xOy đờng thẳng d Dựng hình vuông ABCD cho A Ox; C Oy; B, D d Giải : Phân tích : AC BD S (d ) IA I C A Ox C S (d ); (Ox ) C Oy C Oy O' x ' C C¸ch dùng Ngêi thực hiện: Bùi Xuân Phong Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình - S (d) (Ox) = O’x’ - O’x’ Oy = C - S (d) (C) = A - AC d =I - Trên d lấy D B cho ID = IB = IA - ABCD hình cần dùng Chøng minh: S (d )(C ) A IA IC ID IB IA IB = IA =IC = ID ABCD hình chữ nhật S(d)(C) = A AC BC ABCD lµ hình vuông Biện luận : - d// Oz (Ox; Oy) = (Oz; Oy): toán vô nghiệm - d // Oz : toán có nghiệm - d Oz : toán vô số nghiệm Ví Dụ : Cho đờng thẳng d hai điểm A, B n»m cïng phÝa ®èi víi d Dùng ®iĨm C thuéc d cho AC + CB cã ®é dài ngắn Giải Phân tích : Vẽ B đối xứng với B qua d Gọi M điểm bất kú thuéc d Ta cã MB’ = MB ®ã AM + MB = AM + MB’ AB (h»ng số) Vậy giá trị nhỏ AM + MB = AB M thuộc đoạn thẳng AB Cách dựng : Dùng B’ ®èi xøng víi B qua d Nèi A víi B’ c¾t d ë C Chøng minh : Gọi M điểm thuộc d Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 10 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Ta có AM + MB = AM + MB’ AB’ AC + CB = AC + CB’ = AB’ VËy AC + CB AM + MB BiƯn ln : Bµi toán có nghiệm hình Vớ d 3: Cho mt góc nhọn xOy điểm P góc Dựng đường thẳng d cắt cạnh Ox M cạnh Oy N, cho tổng PM+MN+NP có độ dài ngắn Giải: Phân tích: Giả sử ta dựng đường thẳng d cắt cạnh Ox M Oy N, lấy điểm đối xứng P1 P qua Ox P2 P qua Oy, ta có: PM=P1M; PN= P2N P2 y d’ N N’ x O M’ M P1 d Và PM+MN+PN =P1M+MN+P2N P1P2 (Đường gấp khúc có độ dài lớn đường thẳng có chung hai đầu mút) Vậy tổng PM+MN+ PN nhỏ tức tổng P1M+MN + P2N đạt giá trị nhỏ P1P2 Lúc điểm P1, M, P2, N nằm đường thng Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 11 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng h×nh Cách dựng : Dựng điểm P1, P2 theo thứ tự ảnh P phép đối xứng qua Ox, Oy Đường thẳng d qua P1, P2 đường thẳng cần dựng Chứng minh: Thật vậy, giả sử d cắt Ox, Oy M,N ta chứng minh tổng PM +MN+PN nhỏ Xét đường thẳng d’ d cắt Ox M’ Oy N’, ta có : PM’=P1M’, PN’=P2N’ PM’ +M’N’+PN’=P1M’+M’N’ +P2N’ Tổng rõ ràng không nhỏ P1P2 P1M’+M’N’ +P2N’ P1P2 => PM’ +M’N’+PN’ P1P2 => PM’ +M’N’+PN’ PM +MN+PN Hay tổng PM +MN+PN v ới cách dựng điểm M,N có độ dài ngắn nhất.( Hay nói gọn hơn, O Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm Mét sè ®Ị to¸n vËn dơng phÐp ®èi xøng trơc 1) Dựng tam giác ABC cho điểm A, B đờng thẳng chứa đờng phân giác góc C (Híng dÉn : LÊy A’ ®èi xøng A qua đờng phân giác góc C ) 2) Dựng tứ giác ABCD biết đờng chéo AC phân giác gãc A vµ AB = a; BC = b; CD = c; DA = e (Híng dÉn : ¸p dơng phÐp ®èi xøng trơc qua AC) b 2) PhÐp ®èi xứng tâm : Định nghĩa : Trong mặt phẳng (P) cho điểm O, phép biến hình mặt phẳng (P) biến điểm M (P) thành điểm M (P) thoả mÃn hai điều kiện: Ba điểm M, O, M thẳng hàng OM = OM (Hay nói gọn hơn, O trung điểm đoạn thẳng MM) gọi phép đối xứng tâm Điểm O tâm đối xứng Tính Chất Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 12 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình - Phép đối xứng tâm bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm, biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song với - Phép đối xứng tâm bảo toàn độ dài đoạn thẳng, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB mà AB // AB AB = AB - Biến trung điểm I AB thành trung điểm I AB ảnh số hình phép đối xứng tâm: Trong phép đối xứng tâm : - Một đờng thẳng biến thành đờng thẳng song song hc trïng víi nã - Mét tia biÕn thành tia ngợc hớng với - Một đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng - Mét gãc biÕn thµnh mét gãc b»ng nã - Mét tam giác biến thành tam giác - Một đờng tròn biến thành đờng tròn nã VÝ dơ vỊ vËn dơng phÐp ®èi xøng tâm vào giải toán dựng hình: Ví Dụ 1: Ngoài đờng tròn cho trớc có hai điểm cho tríc, h·y dùng mét ®êng kÝnh cho hai đoạn nối liền hai đầu với hai điểm cho trớc Giải Phân tích: Giả sử đờng kính COD dựng đợc Nếu lấy B ảnh B qua tâm O; C ảnh D qua tâm O BD = BC Vì đầu có điều kiện AC = BD nên AC = BC C phải nằm đờng trung trực AB Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 13 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Cách Dựng : - Nối BO, kéo dài B cho OB’ BO - Nèi AB’, dùng ®êng trung trùc AB, đờng trung trực cắt đờng tròn (O) C Qua C dựng đờng kính COD, đờng kính cần dựng Chứng minh : Vì C nằm đờng trung trực AB AC= BC Hơn theo ký hiệu hình dùng tam giác để chứng minh BD = BC AC = BD Biện luận : Vì đờng trung trực AB cắt đờng tròn (O) hai điểm toán thờng có nghiệm hình Khi đờng trung trực AB tiếp xúc với (O) có nghiệm hình Khi đờng trung trực AB không cắt (O) toán vô nghiệm Ví Dụ : Cho góc ABC điểm D nằm góc ABC HÃy dựng đoạn thẳng có hai đầu mút nằm hai cạnh góc nhận D làm trung điểm - Giải Phân tích : Giả sử dựng đợc đoạn thẳng theo yêu cầu đề Ta có D tâm đối xứng hình bình hành có đờng chéo qua BD Cách dựng : - Trên tia đối tia BD lÊy K cho BD = BK - Tõ K dựng Kx // BC cắt BA A, dựng Ky // BA cắt BC C AC đoạn thẳng cần tìm Chứng minh : - Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 14 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Ta có BAKB hình bình hành mà D trung điểm BK D tâm đối xứng hình ABCD nên D trung điểm AB Biện luận : Bài toán có nghiệm hình Một số đề toán vận dụng phép đối xứng tâm 1) Cho góc cho hai điểm A B HÃy dựng hình bình hành nhận A B làm hai đỉnh đối nhau, hai đỉnh nằm cạnh góc (Hớng dẫn : Dựng trung điểm O đoạn thẳng AB Ta dựng điểm C, D nằm cạnh góc cho O trung điểm CD) 2) Dựng tứ giác lồi biết trung điểm M, N, P ba cạnh tứ giác ( Hớng dẫn : Lấy P đối xứng P qua N B giao điểm đờng trung trùc cđa MP’ vµ P’N) c) PhÐp Quay Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho điểm O, góc chiều quay xác định Một phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M mặt phẳng cho: OM = OM M’OM = M' gäi lµ phÐp quay t©m O, gãc quay O M Ta kÝ hiệu : Phép quay tâm O, góc quay ngợc chiều quay kim đồng hồ R+ (O; ); phÐp quay t©m O, gãc quay cïng chiỊu kim ®ång hå lµ R- (O;) TÝnh chÊt : PhÐp quay bảo toàn tính thẳng hàng điểm, biến đờng thẳng thành đờng thẳng, tia thành tia Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Phép quay bảo toàn thứ tự điểm đờng thẳng Nếu đoạn thẳng AB ảnh đoạn thẳng AB phép quay tâm O, góc Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 15 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình trung điểm I AB ảnh trung ®iĨm I cđa AB phÐp quay ®ã ¶nh cđa mét sè h×nh phÐp quay: Trong phÐp quay: - Một đờng thẳng (hoặc tia) biến thành đờng thẳng (hoặc tia) tạo với góc góc quay - Một đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng tạo với góc gãc quay - Mét gãc biÕn thµnh mét gãc b»ng - Một tam giác biến thành tam giác nó, góc hai cạnh tơng ứng góc quay - Một đờng tròn biến thành đờng tròn b»ng nã VÝ dơ vỊ vËn dơng phÐp quay vào giải toán dựng hình Ví dụ 1: Dựng tam giác cho đỉnh lần lợt nằm đờng thẳng song song cho trớc Giải Phân tích : ABC ( AB; AC ) 60 AB AC ( A ;60 ) ( B ) C B d C d' C d3 C C ( A ;60 )( d d ' x d3 C¸ch dùng: ( A;60 )(d ) d ' 2 d ' x d C ( A, 60 )(C ) B Chøng minh : Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 16 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng h×nh ( A, 60 )(C ) B ( AC ; AB ) 600 AB AC ABC Vì C d2 B d2 Biện luận : Bài toán có hai nghiƯm h×nh v× cã gãc quay 600 Ví dụ 2: Cho ba đờng thẳng a, b , c điểm A a Dựng hình vuông ABCD cho B b; C c Gi¶i Phân tích : Giả sử dựng đợc ABCD hình vuông Xét tam giác ABC: ( AB; AC ) 45 AC AB C C D( c A ;45 ; D( A ;45 ; )( B ) B ) (b ) b b ' C c C¸ch dùng : D( A;450 ; )(b) b' b' xc C D( A; 450 ; )(C ) D ABCD hình vuông phải dùng Chøng minh : D ( A; 45 , D ( A; 45 , )(C ) 2 )(C ) B D ABC ABC Vu«ng Vu«ng Suy ABCD hình vuông Cb B b BiƯn ln: Ngêi thùc hiƯn: Bïi Xu©n Phong 17 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình - (b,c) = 450 : nghiệm h×nh - (b,c) 450 : nghiƯm h×nh + Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng x y cắt O Điểm A thuộc mièn góc tạo hai đường thẳng Dựng tam giác ABC vuông cân A cho B thuọc đường thẳng x, C thuộc đường thẳng y Phân tích tốn ngơn ngữ biến hình: x B1 H H1 B A H' O C C1 x' y x1 Xét C ảnh B phép quay R +(A, 900); Bthuộc x, C thuộc x', ảnh x phép quay Như vậy, C giao điểm x' với y, B ảnh C phép quay R-(A,900) C ảnh B phép quay R(A, 900), B thuộc x, C thuộc x1, ảnh x trogn phép quay Giao điểm x1 y cho ta điểm C(đó điểm C1 hình vẽ ) Còn B1 ảnh C1 phép quay R+(A,900) Tuỳ theo số giao điểm x' với y x1 với y mà ta có số nghiệm hình Cách giải thơng thường : Phân tích: Giả sử dựng ABC vuông cân A thoả mãn yêu cầu toán Dựng AH x, dựng H' cho HAH ' 90 AH' = AH ta có H ' AC HAB H ' AC HAB(c.g.c) AH ' C AHB 90 H ' C AH ' Ngêi thùc hiÖn: Bùi Xuân Phong ti H' 18 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Giao điểm H'C y cho ta điểm C Từ dựng điểm B Cách dựng: - Dựng AH x, dựng H' cho HAH ' 90 AH' = AH - Dựng đường vng góc với AH' H' cắt y C; đường vng góc với AC A cắt x B Chứng minh: H'AC = HAB (g.c.g) = >AC =AB H'AC = HAB ,do BAC = HAH' =900.Vậy ABC vuông cân Biện luận: Nếu góc xOy 900 :có hai cách chọn điểm H' cho HAH' = 900 ,AH' =AH.Bài tốn có hai nghiệm hình.( ABC = AB1C1 hình vẽ ) Nếu góc xOy =900: Bài tốn có vơ số nghiệm(nếu A thuộc phân giác góc xOy) khơng có nghiệm hình (nếu A khơng thuộc phân giác góc xOy) + Chú ý : Nếu bài tốn dựng hình có điểm A đường thẳng x ,y cố định Các điiểm B'C phải dựng thứ tự thuộc x y choAB =AC, BAC = ta vận dụng phép quay tâm A, góc quay để giải tốn Mét sè ®Ị to¸n cã vËn dơng phÐp quay: 1) Cho điểm A nằm hai đường thẳng song song b d cho trước Dựng hình vng ABCD cho B nằm b, D nằm d (Hướng dẫn : D ảnh B phép quay R+(A,900) R-(A,900) 2) Dựng hai đường thẳng từ điểm cố định ngồi đường trịn cho trước đến hai đường tròn ấy, cho chúng hợp thành góc có độ lớn cho trước ( Hướng dẫn: A’ ảnh phép quay(A, ); D giao điểm hai đường tròn (A’) (B) ) c) Phép vị tự : Định nghĩa: Ngời thực hiện: Bùi Xuân Phong 19 Đề Tài : Vận dụng phép biến hình vào dựng hình Trong mặt phẳng cho điểm cố định O số k Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M mặt phẳng thoả mÃn : ba điểm M, O, M thẳng hàng OM ' k phép vị tự tâm O tỉ số k OM TÝnh chÊt : - PhÐp vÞ tù bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm đờng thẳng, biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song với nó, biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB mà AB // AB A' B' k (k tỷ số vị tự) AB - Phép vị tự bảo toàn độ lớn góc - Phép vị tự bảo toàn tỷ số đoạn thẳng Trung điểm đoạn thẳng biến thành trung điểm ảnh đoạn thẳng ảnh số hình phép vị tự : Trong phép vị tự tỷ số k: - Một đờng thẳng (hoặc tia) biến thành đờng thẳng (hoặc tia) phơng - Đoạn thẳng AB biến thành đoạn thẳng phơng có độ dài k AB - Mét gãc biÕn thµnh mét gãc b»ng nã cã cạnh tơng ứng phơng - Một tam giác biến thành tam giác đồng dạng với - Đờng tròn (O;R) biến thành đờng tròn có bán kÝnh b»ng k.R VÝ dơ vỊ vËn dơng phÐp vị tự giải toán dựng hình: Ví dụ 1: Cho góc xOy điểm P nằm góc ®ã T×m ®iĨm Q Ox, R Oy cho PQ = QR = RO Giải Phân tích : Ngời thực hiƯn: Bïi Xu©n Phong 20