Tiểu luận PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN DỰNG HÌNH TRONG mặt PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC  Tiểu luận: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Mơn: Hình học sơ cấp GVHD: Trần Nam Dũng Nhóm: 5T Tp Hồ Chí Minh Hình học sơ cấp Nhóm 5T LỜI MỞ ĐẦU Tốn học mơn học có vai trị quan trọng đời sống xã hội Toán học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành nghề khác Hình học phần tốn học Hình học mơn học khó địi hỏi tính tư cao Điều thể rõ tốn dựng hình Nhận thức rõ tầm quan trọng việc giảng dạy học tập tốn dựng hình nên nhóm chúng em chọn đề tài “Phương pháp giải tốn dựng hình” Đây đề tài khó chúng em mạnh dạn sâu nghiên cứu đề tài mong phần ưu điểm, cần thiết tốn dựng khó khăn, lúng túng học tốn dựng hình Qua biết cách giải tốn dựng hình cách nhanh chóng, có phương pháp u thích , say mê học loại tốn Ngồi ra, làm đề tài chúng em hy vọng tích lũy cho thêm kiến thức trường Vì kinh nghiệm, khả kiến thức cịn hạn chế nên đề tài chúng em chắn nhiều thiếu sót, nhóm mong nhận góp ý từ thầy bạn Nhóm xin chân thành cảm ơn, sau danh sách kèm: Nguyễn Thành Tâm Trần Thị Dạ Thảo Đinh Phương Xuân Thùy Nguyễn Ngọc Anh Thư Nguyễn Thị Diễm Tiên MSSV 1511271 1511282 1511299 1511302 1511306 Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T Mục lục 1.MỘT SỐ VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH 1.1 Vài nét lịch sử hình học dựng hình 1.2 Các tiên để hình học dựng hình 1.2.1 Các tiên đề chung 1.2.2 Các tiên đề dụng cụ 1.3 Các phép dựng hình 1.3.1 Trong mặt phẳng 1.3.2 Trong không gian 1.4 Giải toán dựng hình 1.5 Các toán dựng hình 1.6 Các bước tốn dựng hình 1.6.1 Phân tích 1.6.2 Cách dựng 1.6.3 Chứng minh 1.6.4 Biện luận 1.7 Dấu hiệu nhận biết khả dựng đường thẳng thước compa 10 2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA 14 2.1 Dựng hình phương pháp quỹ tích tương giao 14 2.1.1 Cơ sở lý thuyết 14 2.1.2 Bài tập áp dụng 14 2.2 Dựng hình phương pháp biến hình 16 2.2.1 Dựng hình phép tịnh tiến 16 2.2.2 Dựng hình phép đối xứng trục 18 2.2.3 Phép đối xứng tâm 21 2.2.4 Dựng hình phép quay 24 2.2.5 Dựng hình phép vị tự 28 2.3 Dựng hình phương pháp đại số 32 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 32 2.3.2 Bài tập áp dụng 33 Page Hình học sơ cấp 1.1 Nhóm 5T MỘT SỐ VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH Vài nét lịch sử hình học dựng hình Vào kỉ thứ IV thứ năm trước công nguyên nhà toán học Hi Lạp tiếng quan tâm đến dựng hình hình học Pitago, Hipơcrat, Ơclit, Apơlơniut Trường phái Pitago thành cơng số tốn tương đối phức tạp dựng hình ngũ giác Vào kỷ thứ V trước cơng ngun có ba tốn tiếng Chia ba góc, gấp đơi hình lập phương cầu phương hình trịn khơng giải thước compa Đến kỷ thứ VI trước cơng ngun, Ơclit người sáng lập hệ hình học nêu lên tiền đề quan trọng hình học chứng tỏ vai trị dựng hình tốn học như:  Có thể vạch đường thẳng từ điểm tới điểm khác  Có thể liên tục kéo dài đường thẳng bị giới hạn  Với tâm khoảng cách vạch đường trịn Các nhà hình học cổ Hi Lạp giải tốn dựng hình khó thước compa, chẳng hạn Apơlơniut giải tốn tiếng mang tên ơng: dựng đường trịn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước Họ lại giải đại số với dựng hình như: Giải phương trình bậc bậc hai dựng hình Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học dựa vào hình học dựng hình, đặc biệt cách chứng minh tồn tại, chẳng hạn tồn tâm đường tròn nội tiếp tam giác, tồn tam giác đồng dạng, tồn đường thẳng song song chứng minh phép dựng hình 1.2 1.2.1         1.2.2 Các tiên để hình học dựng hình Các tiên đề chung Mỗi hình cho xem dựng Nếu dựng hai hay số hữu hạn hình hợp chúng dựng Nếu dựng hai hình nhận biết hiệu chúng có phải tập hay khơng Nếu hiệu hai hình khác hiệu dựng Nếu dựng hai hình nhận biết giao chúng có phải tập hay khơng Nếu giao hai hình dựng khác ( giao chúng dựng Có thể dựng điểm tùy ý thuộc hình dựng (vì hình tập hợp điểm) Có thể dựng điểm tùy ý khơng thuộc hình dựng Các tiên đề dụng cụ Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T 1.2.2.1 Trong mặt phẳng  Thước cho phép thực phép dựng hình sau:  Dựng đoạn thẳng nối hai điểm dựng  Dựng tia xuất phát từ điểm dựng qua điểm khác dựng  Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng  Compas cho phép thực phép dựng hình sau:  Dựng đường trịn có tâm điểm dựng bán kính đoạn thẳng dựng (hai đầu mút đoạn thẳng đó)  Dựng cung hai cung bù đường tròn, tâm đường tròn điểm đầu mút cung dựng 1.2.2.2 Trong khơng gian Thước, compas, thước phẳng, compas cho phép thực phép dựng hình sau:  Trên mặt phẳng dựng, thực phép dựng hình thước compas  Thước phẳng cho phép dựng mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng dựng  Compas cầu cho phép dựng mặt cầu tâm điểm thuộc mặt cầu dựng 1.3 Các phép dựng hình Dựa vào tiên đề chung hình học dựng hình tiên đề dụng cụ Người ta chọn số tiên đề gọi phép dựng hình Các phép dựng hình đó, sở để dựng hình khác 1.3.1 Trong mặt phẳng  Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng  Dựng đường trịn có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.3.2 Trong khơng gian  Trên mặt phẳng dựng thực phép dựng hình thước compas  Dựng mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng dựng  Dựng mặt cầu có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.4 Giải tốn dựng hình Là ta tìm nghiệm tốn Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T Nghiệm tốn dựng hình hình dựng thoả mãn điều kiện tốn Đi tìm nghiệm tốn phải:  Xác lập số hữu hạn trường hợp bao hàm tất khả xảy việc lựa chọn cho  Đối với trường hợp trả lời câu hỏi tốn có nghiệm hay khơng có thi nghiệm  Đối với trường hợp mà tốn có nghiệm, số hữu hạn phép dựng hình cần tiến hành theo thứ tự để dựng thước compa Nếu hình khơng u cầu vị trí hình tốn u cầu dựng coi nghiệm Nếu có yêu cầu vị trí vị trí khác cho ta hình khác Để cho đơn giản thực hành, trình bày lời giải người ta thêm tốn dựng hình ngồi phép dựng hình Các tốn dựng hình 1.5                 Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng cho Dựng góc góc cho Dựng góc tổng (hiệu) hai góc cho Chia đơi đoạn thẳng cho Chia đơi góc cho Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho Dựng đường thẳng qua điểm cho song song với đường thẳng khác cho Dựng đường thẳng qua điểm cho vng góc với đường thẳng cho Chia đoạn thẳng thành phần tỷ lệ với đoạn thẳng cho Dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tự ba đoạn thẳng cho Dựng tiếp tuyến với đường tròn cho qua điểm cho Dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn cho Dựng đoạn thẳng trung bình nhân hai đoạn thẳng cho Dựng đoạn thẳng mà bình phương bẳng tổng (hiệu) bình phương hai đoạn thẳng cho Dựng tam giác biết (g.c.g) (c.g.c) (c.c.c) Page Hình học sơ cấp   Nhóm 5T Dựng tam giác vng biết cạnh huyền cạnh góc vng Dựng tam giác vng biết cạnh góc vng góc nhọn 1.6 Các bước tốn dựng hình Để giải tốn dựng hình cách dễ dàng ta giải theo bước: phân tích, dựng hình, chứng minh, biện luận 1.6.1 Phân tích Là bước nhằm tìm cách dựng hình cách thiết lập mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố làm sở để tiến hành bước dựng  Trước hết ta vẽ phác hình giả sử dựng ( yêu cầu toán), vẽ thêm hình phụ  Tìm mối tương quan biết chưa biết để đưa việc dựng hình F quy dựng hình 𝐹1 , quy việc dựng hình 𝐹1 dựng hình 𝐹2 : F F1 F2 Fn  Trong Fn hình biết cách dựng Hình tập hợp điểm, hình đơi điểm chốt Từ ta đưa đường lối dựng Chú ý: Phân tích bước quan trọng cho ta biết phải dựng để hình theo yêu cầu đề 1.6.2 Cách dựng Là bước số hữu hạn có thứ tự phép dựng tốn dưng hình dựng ngược từ Fn đến Fn1 … cuối hình F Chú ý:  Các bước dựng hình phải phép dựng hay tốn dựng hình  Mỗi bước dựng cần viết thêm điều kiện dựng phép dựng  Các bước dựng phai theo thứ tự xác định, tránh lộn xộn  Số bước dựng phải hữu hạn 1.6.3 Chứng minh Là bước kiểm tra xem hình dựng thỏa mãn điều kiện đầu không? Để thực bước ta dựa vào bước dựng định lý học mà chứng minh Điều kiện dễ chứng minh trước, điều kiện khó chưng minh sau Chú ý: Cần chứng minh hình dựng thỏa mãn đề định lượng định tính 1.6.4 Biện luận Page Hình học sơ cấp   Nhóm 5T Là bước xem tốn có nghiệm có có nghiệm Hay để xét xem yếu tố cho phải thỏa mãn điều kiện để dựng hình phải tìm, dựng có nghiệm hình Biện luận theo cách dựng bước dựng xem xét phải thỏa mãn điều kiện bước dựng thực thực có bao nhieu nghiệm Chú ý:    Phân chia trường hợp tránh lộn xộn dẫn đến sót tùng lặp trường hợp Nếu hình phải dựng khơng áp dụng cách dựng tổng quát phần dựng hình trình bày cách dựng tương ứng cho trường hợp cụ thể Số nghiệm toán dựng hình ta quy ước sau: - Nếu tốn khơng quy định vị trí hình phải tìm hình cho tương ứng hình ( khác vị trí) thỏa mãn điều kiện đầu xem nghiệm - Biện luận bước góp phần rèn luyện tư đầy đủ cho học sinh ( biện luận đủ), tư khái quát cho học sinh Tóm lại, làm tốn dựng hình khơng bỏ bước bốn bước Nếu bỏ bước phân tích phân tích khơng rõ ràng tổng quát dẫn đến sót nghiệm Nếu bỏ bước chứng minh dẫn đến thừa nghiệm tất kết bước hình phải tìm  Ví dụ minh họa Bài toán 1: Dựng ABC biết cạnh BC  a , đường cao AH  h , đường trung tuyến AM  m Bài giải a Phân tích Giả sử ta dựng ABC thỏa mãn: cạnh BC  a , đường cao AH  h , đường trung tuyến AM  m Ta phải xác định đỉnh A thỏa mãn điều kiện: - A cách BC khoảng h, suy A đường thẳng p / / BC cách BC khoảng h A cách điểm M trung điểm BC khoảng m Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T b Cách dựng - Dựng BC a - Dựng đường thẳng p / / BC cách BC khoảng h - Dựng đường trịn tâm M bán kính m cắt p A  ABC tam giác cần dựng c Chứng minh ABC có BC= a ( cách dựng) Đường cao AH= h (cách dựng) Trung tuyến AM = m ( cách dựng)  ABC tam giác cần dựng d m > h m = h m < h Biện luận  tốn có nghiệm ( điểm A)  tốn có nghiệm ( điểm A)  tốn vơ nghiệm ( khơng có điểm A) Bài tốn Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n điểm A khơng thuộc đường thẳng Dựng điểm B  m, C  n để ABC Bài giải a Phân tích Giả sử dựng điểm B  m, điểm C  n để ABC Dựng hình chiếu vng góc A điểm M E Dựng tam giác AEF Xét AEB AFC ta có: AE = AF ( ABF đều)  CAF  BAE  600  CAE  AB = AC ( ABF đều)  AEB  AFC ( c.g.c) Page Hình học sơ cấp Nhóm 5T  BEA  CFA  900 ( AE  BE ) b Cách dựng Từ A hạ AE  m E Dựng  AEF Từ F dựng đường vng góc với AF cắt n C Nối A với C, dựng đường trịn tâm A bán kính AC cắt m B Nối A với B, B vói C, ta ABC cần dựng c Chứng minh Xét  vuông ABE  vng ACF có: AB  AC   ( Cách dựng) AE  AF    vuông ABF =  vuông ACF (c.g.c)  BAE  CAF Mà CAF  EAF  CAE  600  CAE Và BAE  BAC  CAE  BAC  600 ABC có AB = AC BAC  600  ABC d Biện luận Bài tốn có nghiệm ta dựng  1.7 Dấu hiệu nhận biết khả dựng đường thẳng thước compa Bằng thước compas dựng đoạn thẳng Page 10 Hình học sơ cấp Nhóm 5T 2.2.3.2 Bài tốn 1: Bài tập áp dụng Dựng hình bình hành ABCD, biết hai đỉnh B D cố định, đỉnh A thuộc đường tròn (I) cho đỉnh C thuộc đường thẳng d cho Hướng dẫn giải: Gọi O trung điểm BD O cố định Đ𝑂 (𝐴) = 𝐶 Ta dựng A trước Vì 𝐶 = Đ𝑂 (𝐴) nên 𝐴 = Đ𝑂 (𝐶) Mà C  d nên A  d ' , ảnh d qua Đ𝑂 Do đó: A  ( I )  d ' Đã có A, ta dựng C = Đ𝑂 (𝐴)  Hình bình hành ABCD dựng xong Bài tốn 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A,B a>0 Dựng đường thẳng d qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài a Hướng dẫn giải: Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d cắt (O) (O’) M, M’ cho AM  AM '  a (giả sử AM  AM ' ) Xét phép đối xứng Đ𝐴 Gọi N=Đ𝐴 (𝑀), (O1 ) = Đ𝐴 ((𝑂)), H,K trung điểm AN Am, HO1  AM OK  AM Gọi I hình chiếu O O1 H , ta có OI // KH, mặt khác KH  KA  HA  AM  AN AM  AM ' a   2 a Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm a O bán kính r  nên OI  Page 22 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Mặt khác, I thuộc đường trịn đường kính OO1 nên I giao điểm đường trịn đường kính a OO1 với đường trịn (O; ) I xác định d đường thẳng qua A song song với OI Cách dựng: - Dựng (O1 ) ảnh (O) qua Đ𝐴 - Dựng đường tròn đường kính OO1   a - Dựng đường trịn  O;  dựng giao điểm I đường tròn đường kính OO1 với đường    a tròn  O;   - Từ A dựng đường thẳng d// OI cắt (O) M cắt (O’) M’ d đường thẳng cần dựng Chứng minh: Gọi H,K trung điểm AN,AM ta có KH  OI  Mà KH  AK  AH  a AM AN AM  AM '    AM  AM '  a 2 Biện luận:   a Số nghiệm hình bắng số giao điểm đường trịn  O;  đường trịn đường kính OO1  Page 23 Hình học sơ cấp Nhóm 5T 2.2.4 Dựng hình phép quay 2.2.4.1 Cơ sở lý thuyết a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác  khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành M ' cho OM  OM ' (OM , OM ')   gọi phép quay tâm O góc quay  Điểm O gọi tâm quay  gọi góc quay phép quay Phép quay tâm O góc  thường kí hiệu Q(O; ) b) Kí hiệu: Phép quay tâm O góc quay  : Q(O, ) (OM , OM ')   Q(O, ) ( M )  ( M ')   OM  OM ' c)Biểu thức tọa độ phép quay:  x '  x cos   y sin  Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M(x;y) M '( x '; y ')  Q( I , ) ( M )   y '  x sin   y cos  Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M(x;y), I(a;b) M '( x '; y ')  Q( I , ) ( M )  x '  a  ( x  a) cos   ( y  b)sin    y '  b  ( x  a)sin   ( y  b) cos  Page 24 Hình học sơ cấp Nhóm 5T d) Tính chất: Phép quay Phép quay phép dời hình ( có tất tính chấp phép dời hình) Bảo tồn khoảng cách hai điểm (Phép quay tâm o, góc (OA;OA’) biến A thành A’; B thành B’.Khi đó, ta có: A’B’=AB ii Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho.Biến tam giác thành tam giác với tam giác cho.Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính với đường tròn cho i iii Áp dụng phép quay vào tốn dựng hình  Áp dụng phép quay vào tốn dựng hình Muốn dựng điểm N qua phép quay, ta thực bước sau: Page 25 Hình học sơ cấp Nhóm 5T  Bước 1: Xác định điểm M phép quay Q(O; ) : M  Bước 2: Tìm cách dựng điểm M, suy điểm N phép quay N 2.2.4.2 Bài tập áp dụng Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có đỉnh vẽ theo chiều dương Lấy điểm P cạnh AB Hãy dựng điểm Q cạnh CA cho CQ  AP Hướng dẫn giải: Giả sử tốn dựng xong ta có: Q  AC cho CQ  AP Trước hết ta phải xác định phép quay biến C thành A Q thành P Ta có CQ  AP  CQ  AP (1) Mặt khác, P  AB Q  CA nên: (CQ, AP)  (CA, AB)  120o (2) Page 26 Hình học sơ cấp Nhóm 5T CQ  AP  o Từ (1) (2) suy ra: (CQ, AP)  120 Gọi O tâm phép quay biến C thành A Q thành P, ta có: OC  OA  o (OC , OA)  120 Từ OC=OA suy O thuộc đường trung trực CA; từ (OC , OA)  120o suy O thc cung chứa góc 120o vẽ dây CA Mà ABC tam giác nên O trọng tâm Tóm lại: Ta xác định phép quay tâm O, góc quay 120o , biến C thành A, Biến Q thành P Suy Q(O ;120 ) : P Q O O , nên biến OP thành OQ Vậy Q giao điểm o cạnh CA OQ ảnh đường thẳng OP qua phép quay Q(O ;120 ) Bài toán có o nghiệm hình Bài tốn 2: Cho điểm A hai đường thẳng d1 , d Dựng tam giác ABC vuông cân A cho B  d1 , C  d Hướng dẫn giải: Phân tích: Giả sử dựng tam giá ABC thỏa mãn yêu cầu toán Page 27 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Ta giả sử ( AB, AC )  90o , Q( A;90 ) (C )  B , mà C  d nên B  d ' với o d '  Q( A;90o ) (d ) Lại có B  d1 nên B  d1  d ' Cách dựng: - Dựng đường thẳng d ' ảnh d qua Q( A;90 o ) - Dựng giao điểm B  d1  d ' - Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d c Tam giác ABC tam giác cần dựng Chứng minh: Từ cách dựng suy Q( A;90 ) ( B )  C nên AB=AC BAC  90o tam giác ABC vuông o cân A Biện luận: - Nếu d1 , d khơng vng góc có nghiệm hình - Nếu d1  d A nằm đường phân giác góc tạo d1 , d có vơ số nghiệm hình - Nếu d1  d A không nằm đường phân giac góc tạo d1 , d tốn vơ nghiệm hình 2.2.5 Dựng hình phép vị tự 2.2.5.1 Cơ sở lý thuyết a) Định nghĩa: Cho điểm O cố định mốt số k không đổi, k  Phép biến hình biến điểm M thành M ' cho  gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu: V(0;k ) V(O ;k ) ( M )  M '  OM '  kOM     Khi k>0: M M’ nằm phía điểm O Khi k0 I '  V(O;k ) ( I ) I ' A // IA Do đó, I ' thuộc đường thẳng qua A ' song song với AI Cách dựng hình:  Ta dựng ( I ') trước: Dựng ( I ') tiếp xúc với Ox Oy, có tâm I '  Đường thẳng OA cắt ( I ') A ' Đường thẳng qua A song song với A 'T ' , cắt Ot I Đường tròn tâm I, qua A đường tròn phải dựng   Page 30 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Chứng minh: Vì (I) ảnh ( I ') qua A ' tiếp xúc với Ox Oy nên (I) qua A tiếp xúc với Ox,Oy Biện luận: Vì OA cắt ( I ') điểm phân biệt A ' A '' nên có đường thẳng d qua A song song với A '' I ' Đường thẳng d cắt Ot I '' Ta có đường trịn ( I '') qua A tiếp xúc với Ox Oy Bài tốn có nghiệm hình Bài tốn 2: Cho tam giác ABC nhọn Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ có MN  MQ cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh CA Q thuộc cạnh AB Giả sử toán giải xong, ta có hình chữ nhật MNPQ thỏa đề Page 31 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Phân tích: Đặt AQ AM   k  , phép vị tự V( A;k ) biến hình chữ nhật MNPQ thành hình chữ AB AE nhật EDCB với ED  EB (vỉ MN  MQ ) Cách dựng: Dựng hình chữ nhật EDCB khác phía với tam giác ABC đường thẳng BC cho ED  EB - AD cắt BC N, AE cắt BC M - Qua M N dựng đường thẳng vng góc với BC, cắt AC P AB Q - MNPQ hình chữ nhật phải dựng Kết luận: Bài tốn có nghiệm hình - 2.3 Dựng hình phương pháp đại số 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Giải tốn dựng hình phương pháp Đại Số thường quy dựng số đoạn thẳng Ta gọi độ dài đoạn thẳng phải tìm x, y, z Sau ta lập phương trình để biểu thị mối tương quan đoạn thẳng biết a, b, c Sau giải hệ phương trình để ẩn x, y, z  Một vài đoạn thẳng biểu thị biểu thức đơn giản 𝑥 =𝑎 ±𝑏 𝑥= 𝑎𝑏𝑐 𝑒.𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑎 , 𝑛 ∈ ℕ Page 32 Hình học sơ cấp Nhóm 5T 𝑥 = √𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐 − 𝑑 (𝑎2 + 𝑑 > 𝑏2 + 𝑐 ) 𝑥= 𝑎 𝑛 𝑥 = √𝑎2 + 𝑏2 ,𝑛 ∈ ℕ 2.3.2 𝑥 = √𝑎 𝑏 Bài tập áp dụng Bài tốn 1: Cho hình thang ABCD, AD // BC Dựng đường thẳng EF // BC chia đôi diện tích hình thang a Phân tích Giả sử dựng EF // BC chia đơi diện tích hình thang , kéo dài BC,CD cắt O Suy ra: ΔOBC đồng dạng ΔOEF đồng dạng ΔOAD Đặt OB = a ; OA = b ; OE = c Ta có: 𝑆Δ𝑂𝐵𝐶 𝑆ΔOEF ⇒ = 𝑎2 𝑆Δ𝑂𝐴𝐷 𝑐 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 ; 𝑆Δ𝑂𝐵𝐶 +𝑆Δ𝑂𝐴𝐷 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 = = 𝑏2 𝑐2 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 Mà : 𝑆Δ𝑂𝐵𝐶 + 𝑆Δ𝑂𝐴𝐷 = 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 + 𝑆ℎì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑛𝑔 𝐸𝐵𝐶𝐹 + 𝑆Δ𝑂𝐴𝐷 = 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 + 𝑆ℎì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐸𝐹𝐷 + 𝑆Δ𝑂𝐴𝐷 = 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 ⟹ 𝑎2 +𝑏2 𝑥2 = 2𝑥 = 𝑎2 + 𝑏 ⟹ 𝑥2 = √ Đặt 𝑦 = √ 𝑎2 𝑎2 + 𝑏2 ;𝑧=√ 𝑏2 => 𝑥 = √𝑥 + 𝑦 Page 33 Hình học sơ cấp Nhóm 5T b) Cách dựng - Kéo dài BA, CD cắt O Dựng đoạn trung bình nhân 𝑎 a , ta y - Dựng đoạn trung bình nhân - 𝑏 , ta z Dựng Δ vng có y, z cạnh góc vng  Độ dài cạnh huyền tam giác x Trên OB lấy OE = x , dựng EF // BC ta đoạn EF cần dựng c) Chứng minh Gọi hình thang ADEF diện tích S1 hình thang EBCF có diện tích S2 Ta phải chứng minh S1 = S2 Ta có ΔOAD đồng dạng ΔDEF ( AD//EF ) => tỉ số đồng dạng :  𝑆ΔOAD 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 𝑎 𝑥 = 𝑎2 𝑥2 = 𝑆0 𝑆0 +𝑆1 ΔOEF đồng dạng ΔOBC =>  𝑎2 +𝑏2 𝑥2 = 2𝑆0 +𝑆1 +2 𝑆0 +𝑆1 𝑆Δ𝑂𝐵𝐶 𝑆Δ𝑂𝐸𝐹 ⟺ = 𝑎2 +𝑏2 𝑎2 +𝑏2 𝑏2 𝑥2 =  2𝑆0 +𝑆1 +𝑆2  S hình thang ADEF = S hình thang EBCF 𝑆0 +𝑆1 = 𝑆0 +𝑆1 +𝑆2 𝑆0 +𝑆1 2𝑆0 +𝑆1 +𝑆2 𝑆0 +𝑆1 = => 2𝑆0 + 𝑆1 + 𝑆2 = 2𝑆0 + 2𝑆1 𝑆1 = 𝑆2 d) Biện luận Bài tốn ln có nghiệm hình Page 34 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Bài tốn 2: Cho hình bình hành ABCD Dựng hai đường thẳng qua A đỉnh A chia hình bình hành thành phần có diện tích a) Phân tích Giả sử dựng đường thẳng qua A cắt BC F thỏa mãn : SΔABE = SBECF = SΔAFD = SABCD Gọi độ dài BE = x , đường cao AH = h => SΔABE = h.x SABCD = AH.BC = h.BC Mà SABCD = 3SΔABE  2 h.BC = h.x  BC = x => x = BC tương tự ta gọi : DF = y => y = DC b) Cách dựng - Dựng đoạn BE = - Dựng đoạn DF = 3 BC DC - Nối A với E , A với F ta : S ΔABE = SΔAFD = SAECF = SABCD c) Chứng minh Ta có : SΔADF = h.x = Tương tự : SΔADF =  SAECF = 2 h BC = h.BC = SABCD SABCD SABCD => Điều phải chứng minh d) Biện luận Bài tốn có nghiệm hình Page 35 Hình học sơ cấp Nhóm 5T Tài liệu tham khảo https://l.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fgiaoan.violet.vn%2Fpresent%2Fshow%2 Fentry_id%2F2008906&h=ATPwrlJUZdG2BtVLpbSba53bj6eaKh7E0eln6Lhj8OBKipcscKP aAYMYAwqOAW1lHLCFQ9OZgztJ3SgM38kMKfK6iRNMRUApZ9LwUQ0jEYt8Gvnjem uo1A https://l.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fwebsrv1.ctu.edu.vn%2Fcoursewares%2Fs upham%2Fhhsocap12%2Fchuong7.htm&h=ATPwrlJUZdG2BtVLpbSba53bj6eaKh7E0eln6 Lhj8OBKipcscKPaAYMYAwqOAW1lHLCFQ9OZgztJ3SgM38kMKfK6iRNMRUApZ9Lw UQ0jEYt8Gvnjemuo1A https://l.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fwebsrv1.ctu.edu.vn%2Fcoursewares%2Fs upham%2Fhhsocap12%2Fchuong7.htm&h=ATM7-y9l99efdIHV3zmwALHYCVF_0nO32mKFnFaShqcorgdLKJ5HQXMkZQcxjtGopkihp_4jq4w9YwVwmx9iTYaOFi0yLjppLL OuOiZyiLT1J871ZFN&s=1 Page 36 ... thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.3.2 Trong khơng gian  Trên mặt phẳng dựng thực phép dựng hình thước compas  Dựng mặt phẳng. .. hàng dựng  Dựng mặt cầu có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.4 Giải tốn dựng hình Là ta tìm nghiệm tốn Page Hình học... chung hình học dựng hình tiên đề dụng cụ Người ta chọn số tiên đề gọi phép dựng hình Các phép dựng hình đó, sở để dựng hình khác 1.3.1 Trong mặt phẳng  Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng  Dựng