Tiểu luận PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN DỰNG HÌNH TRONG mặt PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC  Tiểu luận: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Mơn: Hình học sơ cấp GVHD: Trần Nam Dũng Nhóm: 5T Tp Hồ Chí Minh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp Nhóm 5T LỜI MỞ ĐẦU Tốn học mơn học có vai trị quan trọng đời sống xã hội Toán học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành nghề khác Hình học phần tốn học Hình học mơn học khó địi hỏi tính tư cao Điều thể rõ tốn dựng hình Nhận thức rõ tầm quan trọng việc giảng dạy học tập tốn dựng hình nên nhóm chúng em chọn đề tài “Phương pháp giải tốn dựng hình” Đây đề tài khó chúng em mạnh dạn sâu nghiên cứu đề tài mong phần ưu điểm, cần thiết tốn dựng khó khăn, lúng túng học tốn dựng hình Qua biết cách giải tốn dựng hình cách nhanh chóng, có phương pháp u thích , say mê học loại tốn Ngồi ra, làm đề tài chúng em hy vọng tích lũy cho thêm kiến thức trường Vì kinh nghiệm, khả kiến thức hạn chế nên đề tài chúng em chắn cịn nhiều thiếu sót, nhóm mong nhận góp ý từ thầy bạn Nhóm xin chân thành cảm ơn, sau danh sách kèm: Nguyễn Thành Tâm Trần Thị Dạ Thảo Đinh Phương Xuân Thùy Nguyễn Ngọc Anh Thư Nguyễn Thị Diễm Tiên Page TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp Nhóm 5T Mục lục 1.MỘT SỐ VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH 1.1 Vài nét lịch sử hình học dựng hình 1.2 Các tiên để hình học dựng hình 1.2.1 Các tiên đề chung 1.2.2 Các tiên đề dụng cụ 1.3 Các phép dựng hình 1.3.1 Trong mặt phẳng 1.3.2 Trong không gian 1.4 Giải tốn dựng hình 1.5 Các tốn dựng hình 1.6 Các bước toán dựng hình 1.6.1 Phân tích 1.6.2 Cách dựng 1.6.3 Chứng minh 1.6.4 Biện luận 1.7 Dấu hiệu nhận biết khả dựng đường thẳng thước compa 2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA 2.1 Dựng hình phương pháp quỹ tích tương giao 2.1.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.2 Bài tập áp dụng 2.2 Dựng hình phương pháp biến hình 2.2.1 Dựng hình phép tịnh tiến 2.2.2 Dựng hình phép đối xứng trục 2.2.3 Phép đối xứng tâm 2.2.4 Dựng hình phép quay 2.2.5 Dựng hình phép vị tự 2.3 Dựng hình phương pháp đại số 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2 Bài tập áp dụng Page TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp 1.1 Nhóm 5T MỘT SỐ VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH Vài nét lịch sử hình học dựng hình Vào kỉ thứ IV thứ năm trước cơng ngun nhà tốn học Hi Lạp tiếng quan tâm đến dựng hình hình học Pitago, Hipôcrat, Ơclit, Apôlôniut Trường phái Pitago thành công số toán tương đối phức tạp dựng hình ngũ giác Vào kỷ thứ V trước cơng ngun có ba tốn tiếng Chia ba góc, gấp đơi hình lập phương cầu phương hình trịn khơng giải thước compa Đến kỷ thứ VI trước công nguyên, Ơclit người sáng lập hệ hình học nêu lên tiền đề quan trọng hình học chứng tỏ vai trị dựng hình tốn học như:    Có thể vạch đường thẳng từ điểm tới điểm khác Có thể liên tục kéo dài đường thẳng bị giới hạn Với tâm khoảng cách vạch đường trịn Các nhà hình học cổ Hi Lạp giải tốn dựng hình khó thước compa, chẳng hạn Apôlôniut giải tốn tiếng mang tên ơng: dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước Họ lại giải đại số với dựng hình như: Giải phương trình bậc bậc hai dựng hình Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học dựa vào hình học dựng hình, đặc biệt cách chứng minh tồn tại, chẳng hạn tồn tâm đường tròn nội tiếp tam giác, tồn tam giác đồng dạng, tồn đường thẳng song song chứng minh phép dựng hình 1.2 1.2.1 Các tiên để hình học dựng hình Các tiên đề chung  Mỗi hình cho xem dựng  Nếu dựng hai hay số hữu hạn hình hợp chúng dựng  Nếu dựng hai hình nhận biết hiệu chúng có phải tập hay khơng  Nếu hiệu hai hình khác hiệu dựng  Nếu dựng hai hình nhận biết giao chúng có phải tập hay không  Nếu giao hai hình dựng khác ( giao chúng dựng  Có thể dựng điểm tùy ý thuộc hình dựng (vì hình tập hợp điểm)  Có thể dựng điểm tùy ý khơng thuộc hình dựng 1.2.2 Các tiên đề dụng cụ Page TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp Nhóm 5T 1.2.2.1 Trong mặt phẳng      Thước cho phép thực phép dựng hình sau: Dựng đoạn thẳng nối hai điểm dựng Dựng tia xuất phát từ điểm dựng qua điểm khác dựng Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng Compas cho phép thực phép dựng hình sau:  Dựng đường trịn có tâm điểm dựng bán kính đoạn thẳng dựng (hai đầu mút đoạn thẳng đó)  Dựng cung hai cung bù đường tròn, tâm đường tròn điểm đầu mút cung dựng 1.2.2.2 Trong khơng gian Thước, compas, thước phẳng, compas cho phép thực phép dựng hình sau:  Trên mặt phẳng dựng, thực phép dựng hình thước compas  Thước phẳng cho phép dựng mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng dựng  Compas cầu cho phép dựng mặt cầu tâm điểm thuộc mặt cầu dựng 1.3 Các phép dựng hình Dựa vào tiên đề chung hình học dựng hình tiên đề dụng cụ Người ta chọn số tiên đề gọi phép dựng hình Các phép dựng hình đó, sở để dựng hình khác 1.3.1 Trong mặt phẳng  Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng  Dựng đường trịn có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.3.2 Trong khơng gian  Trên mặt phẳng dựng thực phép dựng hình thước compas  Dựng mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng dựng  Dựng mặt cầu có tâm điểm thuộc dựng  Dựng giao hai hình dựng  Dựng điểm thuộc hình dựng  Dựng điểm khơng thuộc hình dựng 1.4 Giải tốn dựng hình Là ta tìm nghiệm tốn Page TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp Nhóm 5T Nghiệm tốn dựng hình hình dựng thoả mãn điều kiện tốn Đi tìm nghiệm toán phải:  Xác lập số hữu hạn trường hợp bao hàm tất khả xảy việc lựa chọn cho  Đối với trường hợp trả lời câu hỏi tốn có nghiệm hay khơng có thi nghiệm  Đối với trường hợp mà tốn có nghiệm, số hữu hạn phép dựng hình cần tiến hành theo thứ tự để dựng thước compa Nếu hình khơng u cầu vị trí hình tốn u cầu dựng coi nghiệm Nếu có u cầu vị trí vị trí khác cho ta hình khác Để cho đơn giản thực hành, trình bày lời giải người ta thêm toán dựng hình ngồi phép dựng hình 1.5 Các tốn dựng hình        Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng cho Dựng góc góc cho Dựng góc tổng (hiệu) hai góc cho Chia đơi đoạn thẳng cho Chia đơi góc cho Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho  Dựng đường thẳng qua điểm cho song song với đường thẳng khác cho  Dựng đường thẳng qua điểm cho vng góc với đường thẳng cho  Chia đoạn thẳng thành phần tỷ lệ với đoạn thẳng cho  Dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tự ba đoạn thẳng cho  Dựng tiếp tuyến với đường tròn cho qua điểm cho  Dựng tiếp tuyến chung hai đường trịn cho  Dựng đoạn thẳng trung bình nhân hai đoạn thẳng cho  Dựng đoạn thẳng mà bình phương bẳng tổng (hiệu) bình phương hai đoạn thẳng cho  Dựng tam giác biết (g.c.g) (c.g.c) (c.c.c) Page TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp   Nhóm 5T Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền cạnh góc vng Dựng tam giác vng biết cạnh góc vng góc nhọn 1.6 Các bước tốn dựng hình Để giải tốn dựng hình cách dễ dàng ta giải theo bước: phân tích, dựng hình, chứng minh, biện luận 1.6.1 Phân tích Là bước nhằm tìm cách dựng hình cách thiết lập mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố làm sở để tiến hành bước dựng  Trước hết ta vẽ phác hình giả sử dựng ( yêu cầu tốn), vẽ thêm hình phụ  Tìm mối tương quan biết chưa biết để đưa việc dựng hình F quy dựng hình , quy việc dựng hình  Trong đơi điểm chốt Từ ta đưa đường lối dựng Chú ý: Phân tích bước quan trọng cho ta biết phải dựng để hình theo yêu cầu đề 1.6.2 Cách dựng Là bước số hữu hạn có thứ tự phép dựng tốn dưng hình dựng ngược từ Fn đến Fn1 … cuối hình F Chú ý:  Các bước dựng hình phải phép dựng hay tốn dựng hình  Mỗi bước dựng cần viết thêm điều kiện dựng phép dựng  Các bước dựng phai theo thứ tự xác định, tránh lộn xộn  Số bước dựng phải hữu hạn 1.6.3 Chứng minh Là bước kiểm tra xem hình dựng thỏa mãn điều kiện đầu không? Để thực bước ta dựa vào bước dựng định lý học mà chứng minh Điều kiện dễ chứng minh trước, điều kiện khó chưng minh sau Chú ý: Cần chứng minh hình dựng thỏa mãn đề định lượng định tính 1.6.4 Biện luận Page TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Page 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hình học sơ cấp Nhóm 5T Ta giả sử AB, AC) 90 , Q d B , mà ( A;90 C nên B d  d2 với B d1 d2 ' Lại có Cách dựng: - Dựng đường thẳng d2 ' - Dựng giao điểm B d1 - Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d2 c Tam giác ABC tam giác cần dựng Chứng minh: Từ cách dựng suy Q( A;90 ) ( B ) C nên AB=AC BAC 90 tam giác ABC vuông cân A o Biện luận: - Nếu d1 , d2 khơng vng góc có nghiệm hình - Nếu d d số nghiệm hình - Nếu d1 d2 A không nằm đường phân giac góc tạo d1 , d2 tốn vơ nghiệm hình 2.2.5 Dựng hình phép vị tự 2.2.5.1 Cơ sở lý thuyết a) Định nghĩa: Cho điểm O cố định mốt số k khơng đổi, k Phép biến hình biến điểm M thành M ' cho gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu: V(0; k ) V( O ; k ) ( M ) M ' OM ' kOM   Khi k>0: M M’ nằm phía điểm O Khi k