đồ thị euler và ứng dụng

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU 3 Lý thuyết đồ thị là nghành khoa học được phát triển từ rất lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được nhà toán học Thụy sĩ vĩ đại Leonhard Euler đưa ra từ thế kỉ XVIII thông qua bài báo nổi tiếng về những cái cầu ở Konigsberg 3 Cho đến ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành một nghành Toán có vị trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ thị là kiến thức cơ sở cho nhiều nghành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học,Kinh tế học,Máy tính, 3 Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối với đỉnh đó. Đây là một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế và xã hội,… 3 Đồ thị Euler là một chủ đề của lý thuyết đồ thị, nó là một bài toán hay và khó, bởi thông qua bài toán này chúng ta được cung cấp một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải các bài toán về đường đi 3 Nhóm chúng em xin trình bày đề tài “ĐỒ THỊ EULER” với 3 nội dung chính là: 3 Chương 1: Đại cương về đồ thị 3 Chương 2: Đồ thị Euler 3 Chương 3: Ứng dụng 3 Trong thời gian nghiên cứu đề tài vì kiến thức, thông tin và thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong thầy và các bạn góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn 4 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 4 STT 4 Họ và tên 4 Công việc 4 (theo mục lục) 4 Ghi chú 4 Nhận xét của giáo viên 4 1 4 Phạm Văn Hạnh 4 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 1 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Chịu trách nhiệm nội dung và soạn thảo 4 2 4 Đinh Thị Ngọc Hạnh 4 Chương II 4 3 4 Lê Thị Nguyệt Nga 4 Chương II 4 4 4 Lê Thị Thanh Tâm 4 Chương III 4 CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 5 1.3. Đường đi, chu trình, tính liên thông 11 1.4. Biểu diễn đồ thị 16 1.4.1. Đồ thị vô hướng 16 Chương II ĐỒ THỊ EULER 20 2.1. Chu trình, đường đi Euler 20 2.2. Điều kiện cần và đủ 21 2.3. Các thuật toán tìm chu trình Euler 24 CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ EULER 28 3.1. Bài toán về những cái cầu ở Konigsberg 28 3.2. Bài toán về các quân Domino 30 3.3. Một số ứng dụng khác 31 KẾT LUẬN 32 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 2 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết đồ thị là nghành khoa học được phát triển từ rất lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được nhà toán học Thụy sĩ vĩ đại Leonhard Euler đưa ra từ thế kỉ XVIII thông qua bài báo nổi tiếng về những cái cầu ở Konigsberg. Cho đến ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành một nghành Toán có vị trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ thị là kiến thức cơ sở cho nhiều nghành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học,Kinh tế học,Máy tính, Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối với đỉnh đó. Đây là một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế và xã hội,… Đồ thị Euler là một chủ đề của lý thuyết đồ thị, nó là một bài toán hay và khó, bởi thông qua bài toán này chúng ta được cung cấp một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải các bài toán về đường đi. Nhóm chúng em xin trình bày đề tài “ĐỒ THỊ EULER” với 3 nội dung chính là: Chương 1: Đại cương về đồ thị Chương 2: Đồ thị Euler Chương 3: Ứng dụng Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 3 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Trong thời gian nghiên cứu đề tài vì kiến thức, thông tin và thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong thầy và các bạn góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM STT Họ và tên Công việc (theo mục lục) Ghi chú Nhận xét của giáo viên 1 Phạm Văn Hạnh Chịu trách nhiệm nội dung và soạn thảo 2 Đinh Thị Ngọc Hạnh Chương II 3 Lê Thị Nguyệt Nga Chương II 4 Lê Thị Thanh Tâm Chương III Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 4 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1. Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng. Định nghĩa 1.1.1 Đồ thị vô hướng: G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh Mỗi cạnh e ∈ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự) như hình sau v w Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị vô hướng : G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung Mỗi cạnh e ∈ E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự như hình sau v w Cho đồ thị có hướng G = (V, E). Nếu ta thay mỗi cung của G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng được gọi là đồ thị lót của G Ghi chú: Đồ thị vô hướng có thể coi là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh e = (v, w) tương ứng với hai cung (v, w) và (w,v) Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E) Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề đỉnh w Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w, ta viết e =(v, w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 5 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là các cạnh song song Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ 1.2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra. Cho đồ thị G = (V, E) Định nghĩa 1.1.3 Bậc của đỉnh v ∈ V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v). Nếu đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như vậy d(v) = số cạnh liên thuộc + 2* Số khuyên Từ định nghĩa suy ra đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0 Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là ∆(G), số bậc nhỏ nhất của G ký hiệu là δ(G) Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1 Định nghĩa 1.1.4 Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng, v ∈ V, nửa bậc ra của đỉnh v, ký hiệu là d 0 (v) là số cung đi ra từ đỉnh v (v là đỉnh đầu) và nửa bậc vào của đỉnh v ∈ V, ký hiệu là d i (v) là số cung đi tới đỉnh v ( v là đỉnh cuối) Ví dụ1.2.1: x 2 x 6 e 1 e 2 x 1 x 4 e 2 e 3 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 6 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng x 3 trong đồ thị này có d(x 1 ) = 6; d(x 2 ) = d(x 3 ) = 4; d(x 4 ) = 3; d(x 5 ) = 0; d(x 6 ) = 1 Đỉnh x 1 có 2 khuyên liên thuộc và Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x 2 và x 3 Đỉnh x 5 là đỉnh cô lập Đỉnh x 6 là đỉnh treo Ví dụ 1.2.2: Xét đồ thị có hướng sau x 2 x 6 x 4 x 1 x 3 x 5 Trong đồ thị có hướng này ta có d i (x 1 ) = 0, d o (x 1 ) = 2 d i (x 2 ) = 1; d o (x 2 ) = 2 d i (x 3 ) = 2, d o (x 3 ) = 1 d i (x 4 ) = 2,d o (x 4 ) = 2 d i (x 5 ) =1, d o (x 5 ) = 1 d i (x 6 ) = 2,d o (x 6 ) = 0 Định nghĩa 1.1.5 (Bổ đề bặt tay - Hand Shanking Lemma). Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó (i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và ∑ ∈ = Vv Ecardvd )(.2)( (2i) Nếu G là đồ thị có hướng thì ∑ ∑ ∈ ∈ == Vv Vv Ecardvdvd )()()( 10 Trong đó card(E) ký hiệu số phần tử của tập hợp X Hệ quả 1.1.2 Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn Ghi chú: Bổ đề trên có tên là bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 7 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó, tổng số lần bắt tay của tất cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn Định nghĩa 1.1.5. Đồ thị K n là đồ thị đơn, đủ n đỉnh ( mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất 1 cạnh liên kết) Ví dụ 1.2.3 Sau đây là đồ thị K 5 Mệnh đề 1.1.3. Mọi đỉnh của đồ thị K n có bậc n -1 và K n có n(n – 1) / 2 cạnh Định nghĩa 1.1.6. Đồ thị lưỡng phân G = ( V, E) là đồ thị là tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V 1 và V 2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V 1 và 1 đỉnh thuộc V 2 , ký hiệu G = ({V 1 , V 2 }, E) Đồ thị K m,n là đồ thị lưỡng phân ({V 1 , V 2 }, E) với tập V 1 có m đỉnh và tập V 2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V 1 được nối với mỗi đỉnh của V 2 bằng 1 cạnh duy nhất. Ví dụ 1.2.4. Sau đây là đồ thị K 3,3 a b c Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 8 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng x y z Mệnh đề 1.1.4: Cho đồ thị lưỡng phân đủ K m,n = ({V 1 , V 2 }, E) với tập V 1 có m đỉnh và tập V 2 có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V 1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong V 2 có bậc là m và K m,n có m.n cạnh. Định nghĩa 1.1.7 Cho đồ thị G. Vectơ bậc d(V) của đồ thị G là dãy các bậc của tất cả các đỉnh của G sắp xếp giảm dần. Vectơ v gồm các số tự nhiên gọi là Vectơ đồ thị. Nếu tồn tại đơn thì đồ thị có Vectơ bậc là v. Ghi chú: Từ bổ đề bắt tay suy ra trong Vectơ đồ thị số thành phần lẻ là số chẵn. Ví dụ 1.2.5 Vectơ [3, 3, 2, 2] là Vectơ đồ thị vì nó là Vectơ bậc của đồ thị sau Ngược lại [3, 3, 3, 1] không phải là Vectơ đồ thị vì nếu tồn tại đồ thị G(4 đỉnh ) có Vectơ bậc là [3, 3, 3, 1] thì sau khi loại đỉnh bậc 1 và cạnh liên thuộc nó ta nhận được đồ thị 3 đỉnh không đơn vì có đỉnh bậc 3, suy ra G cũng không đơn. Định lý 1.1.5. (Hakimi-Havel) Cho v = [d 1 , d 2 , , d n ], n ≥ 2, là Vectơ n số tự nhiên thỏa mãn n – 1 ≥ d 1 ≥ d 2 ≥ ≥ d n ≥ 0 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 9 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Cho v’ là vectơ nhận được từ v bằng cách bỏ thành phần d 1 và trừ bớt 1 trong d 1 thành phần tiếp theo. Ký hiệu v 1 là vectơ v’ trong đó các thành phần được sắp xếp giảm dần. Khi đó v là vectơ đồ thị khi và chỉ khi v 1 là vectơ đồ thị. Sử dụng định lý Hakimi- Havel ta có thể đưa ra thuật toán kiểm tra xem 1 vectơ có phải là vectơ đồ thị không như sau Thuật toán 1.1.1. Kiểm tra vectơ đồ thị * Đầu vào: vectơ v= [d 1 , d 2 , , d n ] gồm n số nguyên giảm dần * Đầu ra: kết luận v là vectơ đồ thị hay v không là vectơ đồ thị * Các bước: Bước 0( khởi tạo): Đặt k: = n và u: = v = [d 1 , d 2 , , d n ] Bước 1: Nếu u có thành phần lơn hơn ( k – 1) hoặc nhỏ hơn 0, thì sang bước 4. Bước 2: Nếu các thành phần của u đều là số 0 thì sang bước 5 Bước 3( Bước lặp): Cho u’ là vectơ nhận được từ u bằng cách bỏ thành phần d 1 và trừ bớt 1 trong d 1 thành phần tiếp theo. Ký hiệu, u 1 là vec tơ u’ trong đó các thành phần được sắp xếp giảm dần. Đặt k: = n - 1 và u : = u 1 . Quay lại bước 1 Bước 4: kết luận: v không phải là vec tơ đồ thị. Kết thúc Bước 5: kết luận: v là vec tơ đồ thị. Kết thúc Ví dụ 1.2.6: Kiểm tra vectơ v =[5, 4, 4, 3, 3, 3, 2] Bước 0: Đặt k:= 7, u = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2] Bước lặp 1: k:= 7, u = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2], u’= [3, 3, 2, 2, 2, 2], u 1 = [3, 3, 2, 2, 2, 2] Bước lặp 2: k:= 6, u = [3, 3, 2, 2, 2, 2], u’= [2, 1, 1, 2, 2], u 1 = [2, 2, 2, 1, 1] Bước lặp 3: k:= 5, u = [2, 2, 2, 1, 1], u’= [1, 1, 1, 1], u 1 = [1, 1, 1, 1] Bước lặp 4: k:= 4, u = [1, 1, 1, 1], u’= [0, 1, 1], u 1 = [1, 1, 0] Bước lặp 5: k:= 3, u = [1, 1, 0], u’= [0, 0], u 1 = [0, 0] Kết luận v là vectơ đồ thị. Đồ thị sau có vectơ bậc là v Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 10 - [...]... việc vẽ đồ thị trên bằng một nét mà kết thúc phải trở về nơi ban đầu đặt nét vẽ Nói cách khác ta phải đi tìm chu trình Euler của đồ thị này Theo định lí Euler thì Đồ thị có chu trình Euler khi và chỉ khi đồ thị đó liên thông và mọi đỉnh bậc chẵn đều khác 0 Áp dụng vào đồ thị này ta có đồ thị có 4 đỉnh và cả 4 đỉnh này đều là bậc lẻ (k = 4), vì vậy đồ thị này không có chu trình Euler, tức là đồ thị này... trình Euler gọi là Đồ thị Euler 1 Ví dụ 2.1.1 Đồ thị 3 2 4 5 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24 - 6 - 20 Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Có chu trình Euler là: (1, 2, 3, 4, 2, 5, 6, 3, 1) 2.2 Điều kiện cần và đủ Định lý 2.1.1 (Định lý Euler) Đồ thị G có chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thông và mọi đỉnh có bậc chẵn khác 0 Chứng minh : (i) ( ⇒ ) : Giả sử G có chu trình Euler và v là một đỉnh bất... và ma trận kề của đồ thị G là ma trận A = (aij)nxn Ký hiệu T = A + A2 + …+ An-1 Khi đó đồ thị G liên thông mạnh khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận T đều lớn hơn 0 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24 - - 19 Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Chương II ĐỒ THỊ EULER 2.1 Chu trình, đường đi Euler Định nghĩa 2.1.1 Cho đồ thị G = (V, E) Chu trình Euler là chu trình qua mọi cạnh và. .. Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24 - - 27 Lý thuyết đồ thị và ứng dụng CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ EULER Trong thực tế có một số bài toán tìm đường rất khó khăn nếu giải trực tiếp, tuy nhiên thật dễ dàng nếu chúng ta biết cách đưa bài toán đó trở thành bài toán của Lý thuyết đồ thị thông qua ngôn ngữ đồ thị Sau đây là một số ứng dụng của đồ thị Euler 3.1 Bài toán về những cái cầu ở Konigsberg Bài... đỉnh của đồ thị, mỗi cạnh không quá 1 lần Đường đi Euler là đường đi qua mọi cạnh và mọi đỉnh của đồ thị, mỗi cạnh không quá 1 lần Cho đồ thị có hướng G = (V, E) Chu trình có hướng Euler là chu trình có hướng qua mọi cung và mọi đỉnh của đồ thị, mỗi cung không quá 1 lần Đường đi có hướng Euler là đường đi có hướng qua mọi cung và mọi đỉnh của đồ thị, mỗi cung không quá 1 lần Đồ thị chứa chu trình Euler. .. là tâm của đồ thị và kí hiệu là C(G) Ví dụ 1.3.4 Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24 - - 15 Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Xét các đồ thị sau A B C D A B E G F E C D G1 G2 Độ lệch tâm các đỉnh A, B, C, D, E, F, G của đồ thị G 1 tương ứng là 4, 3, 2, 4, 3, 2, 3 Suy ra bán kính r(G1) = 2, các đỉnh tâm là C và F, và tâm C(G1) = {C, F} Độ lệch tâm các đỉnh A, B, C, D, E của đồ thị G 2 tương ứng là 2, 2,... Euler sẽ cho tương ứng một cách xếp Chẳng hạn đồ thị có một chu trình Euler như sau : (0,0,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1,0,5,2,0,4,2,6,1,4,6,3,1,5,3,0) Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24 - - 30 Lý thuyết đồ thị và ứng dụng 3.3 Một số ứng dụng khác Bài toán 1 Với giá trị nào của n các đồ thị sau đây có chu trình Euler ? a) Kn, b) Cn, Giải a) Kn Kn là đồ thị đầy đủ n đỉnh, là đơn đồ thị mà hai đỉnh phân... bậc là 2 Vì vậy đồ thị Cn (n≥3) luôn có chu trình Euler Bài toán 2 Với giá trị nào của m và n các đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có: a) Chu trình Euler ? b) Đường đi Euler ? Giải Đồ thị lưỡng phân G = ( V, E) là đồ thị là tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V 1 và 1 đỉnh thuộc V2, ký hiệu G = ({V1, V2}, E) Đồ thị Km,n là đồ thị lưỡng phân... Ghi chú: Đồ thị liên thông mạnh  Đồ thị bán liên thông  Đồ thị liên thông yếu Định lý 1.1.6 i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ cấp từ v đến w ii) Trong đồ thị có hướng mỗi dãy có hướng từ đỉnh v đến w chứa đương đi có hướng sơ cấp từ v đến w Định lý1.1.7 Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu trình độ dài lẻ Định nghĩa 1.1.9 Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G’... gọi là đồ thị con của G nếu V’ ⊂ V  E’ ⊂ E Nếu V’ = V thì G’ gọi là đồ thì con phủ của G Nếu F ⊂ E, thì ký hiệu G-F là đồ thị con (V, E-F) của G gồm tập đỉnh V và tập cạnh (cung) E-F Nếu U ⊂ V, thì ký hiệu G-U là đồ thị con của G thu được từ G sau khi loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24 - - 12 Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Cho U ⊂ V Đồ thị con . lập Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh. tài “ĐỒ THỊ EULER với 3 nội dung chính là: Chương 1: Đại cương về đồ thị Chương 2: Đồ thị Euler Chương 3: Ứng dụng Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 3 - Lý thuyết đồ thị và ứng dụng Trong. không có cạnh song song Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ 1.2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra. Cho đồ thị G = (V, E) Định nghĩa