Domino là một hình chữ nhật chia thành hai hình vuông, mỗi hình mang một trong các số 0,1,2,3,4,5,6. Hai hình vuông trên một Domino có thể mang cùng một số. Có tất cả 28 quân Domino khác nhau. Chứng minh rằng có thể sắp xếp các quân Domino thành hình tròn sao cho hai hình vuông trên hai Domino khác nhau sẽ mang cùng số.
Giải
Ta lập đồ thị 7 đỉnh
0,1,2,3,4,5,6
Mỗi đỉnh có thể nối với các đỉnh còn lại và chính nó để tạo thành Domino ta có đồ thị sau : 0 4 3 2 1 6 5
Đồ thị này liên thông và tất các các đỉnh đều có bậc chẵn bằng 8. Do đó tồn tại chu trình Euler và mỗi chu trình Euler sẽ cho tương ứng một cách xếp.
Chẳng hạn đồ thị có một chu trình Euler như sau :
Bài toán 1
Với giá trị nào của n các đồ thị sau đây có chu trình Euler ?
a) Kn, b) Cn,
Giải
a)Kn
Kn là đồ thị đầy đủ n đỉnh, là đơn đồ thị mà hai đỉnh phân biệt bất kỳ của nó
luôn liền kề. Như vậy, Kn có 2 ) 1 (n− n cạnh và mỗi đỉnh của Kn có bậc là n−1.
Để Kn có chu trình Euler thì mỗi đỉnh của đồ thị đều phải có bậc chẵn. Đồ thị có n đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là n-1, (n -1 ) phải chẵn, tức là : n -1 = 2m (m là số tự nhiên) n = 2m + 1 n lẻ. (n≥3)
Vậy để Kn có chu trình Euler thì n phải lẻ.
b) Cn
Cn là đơn đồ thị n đỉnh v1, v2, ..., vn (n≥3) và n cạnh (v1,v2), (v2,v3), ..., (vn-1,vn), (vn,v1) được gọi là đồ thị vòng. Như vậy, mỗi đỉnh của Cn có bậc là 2.
Vì vậy đồ thị Cn(n≥3) luôn có chu trình Euler.
Bài toán 2
Với giá trị nào của m và n các đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có:
a) Chu trình Euler ? b) Đường đi Euler ?
Giải
Đồ thị lưỡng phân G = ( V, E) là đồ thị là tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời
nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và 1 đỉnh thuộc V2, ký hiệu G = ({V1, V2}, E)
Đồ thị Km,n là đồ thị lưỡng phân ({V1, V2}, E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có
a) Đồ thị Km,ncó 2 tập đỉnh, với m đỉnh trong tập V1 thì mỗi đỉnh có bậc là n và ngược lại với n đỉnh trong tập V2 thì mỗi đỉnh có bậc là m. Để đồ thị có chu trình Euler thì các đỉnh trong hai tập V1 và V2 đều phải có bậc chẵn, tức là m và n đều phải chẵn (khác 0).
b) Để có đường đi Euler, thì đồ thị Km,n phải thỏa mãn một trong hai điều kiện sau :
+ Có chu trình Euler (Mọi đỉnh đều có dỉnh bậc chẵn khác 0) hoặc
+ Đồ thị phải có đúng 2 đỉnh bậc lẻ. Giả sử các đỉnh trong tập V1 (m đỉnh) là bậc lẻ m = 2. Vậy thì các đỉnh trong tập V2 (n đỉnh) phải có bậc là 2 và n phải lẻ. Vậy để đồ thị Km,n có đường đi Euler thì m = 2 và n phải lẻ.(m, n tương đồng).
KẾT LUẬN
Trong tiểu luận này, chúng tôi đã cố gắng tổng kết, hệ thống những khái niệm cơ bản của Lý thuyết đồ thị và ứng dụng của Đồ thị Euler trong giải các bài toán về đường đi. Đây là một bài toán hay đã cuốn hút được sự quan tâm của nhiều người bỡi tính đa dạng và sự ứng dụng của nó. Do vậy việc nghiên cứu chủ đề này là rất bổ ích vì nó có thể giải quyết được nhiều vấn đề nảy sinh từ thực tế cuộc sống
Mặc dù nhóm chúng tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu, thảo luận, và được sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của Thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, nhưng do trình độ còn hạn chế nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong Thầy cùng các bạn học viên trong lớp góp ý, bổ sung, chỉnh sửa để đề tài được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự giảng dạy và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy dành cho chúng tôi.