Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi Tỉnh Hải Dương năm 2021 – 20...

SỞ GD ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2021 2022 Thời gian làm bài 180 phút Môn Toán Câu 1 (2 điểm) Cho dãy số   1n n u xác định bởi  1 1[.]

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài: 180 phút Mơn: Tốn Câu (2 điểm) Cho dãy số  un n1 xác định u1  0, un 1  un   n  1  un a) Chứng minh dãy  un n1 có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n Tn Tìm lim n  5n  k 1 uk  Câu (2 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡  ¡ cho: b) Đặt Tn   f  y  f  x    f  x 2018  y   2017 yf ( x ), x, y  ¡ Câu (2 điểm) Có cách lát kín bảng  2022 viên domino 1  ? Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB  BC Cho I tâm nội tiếp tam giác ABC  đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC K Đường thẳng AK cắt  điểm thứ hai T Cho M trung điểm BC N điểm cung » chứa A  Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC P Chứng minh BC a) Cho KI cắt ( BIC ) điểm thứ hai X N ; T ; X thẳng hàng b) PM ‖ AK Câu (2 điểm) Cho dãy số xn1   a.xn  n ¥ ; xo  ¥ * ; a nghiệm dương phương trình x2  kx 1  ( k  ¥ ; k  ) với số nguyên dương k cho trước Khi chứng minh xn 1  xn 1  (mod k ) Giải Câu : a) Ta chứng minh quy nạp theo n  ¥ , dãy  un  bị chặn dãy tăng n 1 * +) Ta có u1  Giả sử un  n  ¥ Vì hàm f  x   * ( ;1) nên un  1 un1  f un   f 1  x3 đồng biến khoảng 5 x Vậy un  với n  ¥ *  u1 Giả sử un  un1  n   Do un , un 1  f đồng biến khoảng ( ;1) nên un1  f  un   f  un1   un Vậy dãy  un  tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn n 1 +) Ta có u2  +) Đặt lim un  a  a  1 Suy a  n a  a   a  5a  Vậy lim un  n b) Ta có uk   Tn   Suy Tn   4(uk 1  3) 1     1  k    uk 1 uk   uk 1   n  1 1  n    2  n  1 u1  k 2 uk  3  k 2 uk 1   1 1   n   Tn   12 2 un   1 1 Tn 1  n  lim  un  n 5n  10 Câu : Giả sử hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu toán +)Trong (1) thay y f ( x) ta có : f    f  x 2018  f ( x)   2017( f ( x)) , x  ¡ +)Trong (1) thay y x 2018 (2) ta có : f  x 2018  f ( x)   f    2017 x 2018 f ( x), x  ¡ Từ (2) (3) suy f  x  ( f ( x)  x 2018 )  0, x ¡ Vậy có x0 cho f ( x0 )  f ( x0 )   x0 Dễ thấy có hai hàm số f1 ( x)  f ( x)   x 2018 2018 (3) (4) Vậy f  0  , x ¡ thỏa mãn (4) +) Ta chứng minh có hàm số f ( x) khác hai hàm số f1 ( x ) f ( x ) mà thỏa mãn (1) (4) vơ lý Vì f ( x) khác f1 ( x ) nên x1  ¡ : f ( x1 )  Vậy f ( x1 )   x1 2018 Vì f ( x) thỏa mãn (4) khác f ( x ) nên x2  ¡ : x2  0; f ( x2 )  +) Trong (1) cho x   f ( y )  f ( y ), y  ¡ Không tổng quát, giả sử x2  +)Trong (1) thay x x y (  x1 ) ta có : f ( x1 )  f ( x2 2018  x1 )   x12018  f ( x1 )  f ( x1 )  f ( x2 2018  x1 )  ( x2 2018  x1 ) 2018   x12018 (vô lý) +) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết hàm số cần tìm f ( x)  0, x  ¡ Câu 3: Gọi a(n) số cách lát Ta xét hai trường hợp sau: +) Nếu hàng ô lát viên gạch  bảng trở thành  (n 1) ; ta có a(n  1) cách lát +) Nếu ô vuông  hàng lát viên gạch 1 ta có a(n) cách lát Như a(n)  a(n 1)  a(n  2) với a(1)  1; a(2)  Suy a(n)  Fn số Fibonacci thứ n Như số cách lát F2022 Câu 4: » không chứa A a) Cho AI cắt ( ABC) điểm thứ hai S , S trung điểm cung BC Theo tính chất trục đẳng phương AITX tứ giác nội tiếp, từ đó: ( AITX ) ATN  ASN  SIX  1800  XIA  1800  XTA Và suy N ; T ; X thẳng hàng b) Đặt P I A M  ( BIC ) , với I A  AI  ( ABC ) tâm đường trịn bàng tiếp góc A Theo tính chất trục đẳng phương NPSI A tứ giác nội tiếp Khi TNS  TAS  TXI  PXI  PI A S  PNS Và từ suy N ; P; T thẳng hàng Như vậy, P  NT  ( BIC ) Suy PI A S  PNS  TAI A PM ‖ AK (đpcm) Câu 5: +) Ta có xn 1  a.xn  xn 1   xn 1 x 1  xn  n 1 a a +) Do a số vô tỉ nên xn 1 x 1  xn  n 1 a a x   +)  n 1   xn  n  ¥  a  x  +)  n1    n  ¥  a  a (1) (2) +) Ta có  1  xn1   a.xn    xn   k     a x  x    n  xn k    n   xn k  xn k  xn 1  a  a Như xn 1  k xn  xn 1  Suy xn 1  xn 1  (mod k ) (đpcm)