Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GD ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2021 2022 Thời gian làm bài 180 phút Môn Toán Câu 1 (2 điểm) Cho dãy số 1n n u xác định bởi 1 1[.]
SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài: 180 phút Mơn: Tốn Câu (2 điểm) Cho dãy số un n1 xác định u1 0, un 1 un n 1 un a) Chứng minh dãy un n1 có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n Tn Tìm lim n 5n k 1 uk Câu (2 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ ¡ cho: b) Đặt Tn f y f x f x 2018 y 2017 yf ( x ), x, y ¡ Câu (2 điểm) Có cách lát kín bảng 2022 viên domino 1 ? Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB BC Cho I tâm nội tiếp tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC K Đường thẳng AK cắt điểm thứ hai T Cho M trung điểm BC N điểm cung » chứa A Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC P Chứng minh BC a) Cho KI cắt ( BIC ) điểm thứ hai X N ; T ; X thẳng hàng b) PM ‖ AK Câu (2 điểm) Cho dãy số xn1 a.xn n ¥ ; xo ¥ * ; a nghiệm dương phương trình x2 kx 1 ( k ¥ ; k ) với số nguyên dương k cho trước Khi chứng minh xn 1 xn 1 (mod k ) Giải Câu : a) Ta chứng minh quy nạp theo n ¥ , dãy un bị chặn dãy tăng n 1 * +) Ta có u1 Giả sử un n ¥ Vì hàm f x * ( ;1) nên un 1 un1 f un f 1 x3 đồng biến khoảng 5 x Vậy un với n ¥ * u1 Giả sử un un1 n Do un , un 1 f đồng biến khoảng ( ;1) nên un1 f un f un1 un Vậy dãy un tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn n 1 +) Ta có u2 +) Đặt lim un a a 1 Suy a n a a a 5a Vậy lim un n b) Ta có uk Tn Suy Tn 4(uk 1 3) 1 1 k uk 1 uk uk 1 n 1 1 n 2 n 1 u1 k 2 uk 3 k 2 uk 1 1 1 n Tn 12 2 un 1 1 Tn 1 n lim un n 5n 10 Câu : Giả sử hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu toán +)Trong (1) thay y f ( x) ta có : f f x 2018 f ( x) 2017( f ( x)) , x ¡ +)Trong (1) thay y x 2018 (2) ta có : f x 2018 f ( x) f 2017 x 2018 f ( x), x ¡ Từ (2) (3) suy f x ( f ( x) x 2018 ) 0, x ¡ Vậy có x0 cho f ( x0 ) f ( x0 ) x0 Dễ thấy có hai hàm số f1 ( x) f ( x) x 2018 2018 (3) (4) Vậy f 0 , x ¡ thỏa mãn (4) +) Ta chứng minh có hàm số f ( x) khác hai hàm số f1 ( x ) f ( x ) mà thỏa mãn (1) (4) vơ lý Vì f ( x) khác f1 ( x ) nên x1 ¡ : f ( x1 ) Vậy f ( x1 ) x1 2018 Vì f ( x) thỏa mãn (4) khác f ( x ) nên x2 ¡ : x2 0; f ( x2 ) +) Trong (1) cho x f ( y ) f ( y ), y ¡ Không tổng quát, giả sử x2 +)Trong (1) thay x x y ( x1 ) ta có : f ( x1 ) f ( x2 2018 x1 ) x12018 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 2018 x1 ) ( x2 2018 x1 ) 2018 x12018 (vô lý) +) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết hàm số cần tìm f ( x) 0, x ¡ Câu 3: Gọi a(n) số cách lát Ta xét hai trường hợp sau: +) Nếu hàng ô lát viên gạch bảng trở thành (n 1) ; ta có a(n 1) cách lát +) Nếu ô vuông hàng lát viên gạch 1 ta có a(n) cách lát Như a(n) a(n 1) a(n 2) với a(1) 1; a(2) Suy a(n) Fn số Fibonacci thứ n Như số cách lát F2022 Câu 4: » không chứa A a) Cho AI cắt ( ABC) điểm thứ hai S , S trung điểm cung BC Theo tính chất trục đẳng phương AITX tứ giác nội tiếp, từ đó: ( AITX ) ATN ASN SIX 1800 XIA 1800 XTA Và suy N ; T ; X thẳng hàng b) Đặt P I A M ( BIC ) , với I A AI ( ABC ) tâm đường trịn bàng tiếp góc A Theo tính chất trục đẳng phương NPSI A tứ giác nội tiếp Khi TNS TAS TXI PXI PI A S PNS Và từ suy N ; P; T thẳng hàng Như vậy, P NT ( BIC ) Suy PI A S PNS TAI A PM ‖ AK (đpcm) Câu 5: +) Ta có xn 1 a.xn xn 1 xn 1 x 1 xn n 1 a a +) Do a số vô tỉ nên xn 1 x 1 xn n 1 a a x +) n 1 xn n ¥ a x +) n1 n ¥ a a (1) (2) +) Ta có 1 xn1 a.xn xn k a x x n xn k n xn k xn k xn 1 a a Như xn 1 k xn xn 1 Suy xn 1 xn 1 (mod k ) (đpcm)