Đề thi học sinh giỏi cấp trường THPT Lê Quý Đôn môn Toán Khối 11vòng 253719

Trường THPT Lê Quý Đôn o0o ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN- KHỐI 11-VỊNG Năm học 2013-2014 Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề)     2 x  y x    Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình : 3y  z y  y   4 z  x z  z  z    Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân B , cạnh AB  Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa mãn MA2  MB  MC Tìm quỹ tích điểm M Câu (2,5 điểm) Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1   1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 Câu (3,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định u1  un 1  3un  , n  N * a) Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  b) Tính tổng S  u12  u22  u32   u2015 -HẾT Họ tên học sinh:………………………………… DeThiMau.vn SBD:……………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11- VÒNG NỘI DUNG CẦN ĐẠT Câu/ điểm Điểm Câu Nếu x=0 (1) => y=0, (2)=> z=0 Thay vào (3) thỏa mãn 1(2,5đ) Nếu x0 (1)=> y>0, (2)=> z>0, (3)=> x>0 Câu 2(2đ) 0,5 0,25 Ta có 2x2 = y(1 + x2)  2xy (BĐT cosi) x  y 3y3 = z(y4 + y2 +1)  z.3y2  y  z (vì y4 + y2 +  3y2) 4z4 = x(z6 + z4 + z2 +1)  x.4z3  z  x (vì z6 + z4 + z2 +  4z3) => x  y  z  x  x = y = z Khi thay vào hệ ta được: x = y = z = Hệ có nghiệm: (0;0;0), (1;1;1) 0,25 Chọn hệ trục tọa độ Bxy cho B  0;0  , tia Bx qua A tia By qua C Vì 0,5 1,5 AB  , ABC vng cân B, nên ta có: A  2;0  , C  0;  Giả sử M  x; y  MA2  MB  MC    x   y  x  y  x    y  2 1,0  x  y  x  y  Đây pt đường tròn tâm I  2; 2  , R  2 Vậy quỹ tích điểm M đường tròn tâm I  2; 2  , bán kính R  2 Câu ab 3(2,5đ)  a3b  a  b   ab     a  b  ab Tương tự:  b  c  bc  c  a  ca   a  b   ab   a  ab  b  ab 3 a3b3c     a3b   0,5 a  b  abc  ab 3 ab  abc a3b3c    a3b3c  c 3 a b3c  a3b3c a3b3c    3 bc  3  ca  abc a3b3c  abc  a3b3c   n 1 n a a b3c 3 b a3b3c n 1 n n Đặt xn   , ta có: xn 1  3xn , n  N * Suy  xn  cấp số nhân với x1  , ccông bội q= Suy xn  2.3n 1   2.3n 1   un  2.3n 1  , n  N * Câu 4b Ta có S  2.30  2.31  2.32   2.32014  2015   30  31  32   32014   2015   32015  1 0,5 3 1 a3b3c    1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 a3b3c Đẳng thức xảy a = b = c = Câu 4a Dễ thấy u  0, n  N * Có u  3u   u  3u  n n 1 n n 1 n (1,75đ) Đặt v  u có: v  3v   v    v  1 , n  N * (1,25đ) 0,5 0,5 Vậy: n 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25  2015 1   2016 2015 0,25 DeThiMau.vn DeThiMau.vn ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11- VÒNG NỘI DUNG CẦN ĐẠT Câu/ điểm Điểm Câu Nếu x=0 (1) => y=0, (2)=> z=0 Thay... (1,25đ) 0,5 0,5 Vậy: n 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25  2015 1   2016 2015 0,25 DeThiMau.vn DeThiMau.vn ...  n 1 n a a b3c 3 b a3b3c n 1 n n Đặt xn   , ta có: xn 1  3xn , n  N * Suy  xn  cấp số nhân với x1  , ccông bội q= Suy xn  2.3n 1   2.3n 1   un  2.3n 1  , n  N *