Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo ba bước sau Bước 1 Lập hệ phương trình Chọn hai ẩn và đặt điều kiện[.]
Lý thuyết Giải toán cách lập hệ phương trình Để giải tốn cách lập hệ hai phương trình bậc hai ẩn ta làm theo ba bước sau: Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn hai ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập hai phương trình biểu thị quan hệ đại lượng Bước 2: Giải hệ phương trình nói Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích hợp với tốn kết luận Các dạng tốn cách lập hệ phương trình *Dạng toán dân số, lãi suất, tăng trưởng + + Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A , dân số tỉnh A năm sau *Dạng tốn có nội dung hình học – hóa học + Ghi nhớ cơng thức diện tích hình chữ nhật: S = a.b (với a, b chiều dài chiều rộng hình chữ nhật); diện tích hình tam giác (với a, h độ dài cạnh đáy đường cao tam giác); số đường chéo đa giác (với n số cạnh đa giác) Giải tập tốn trang 23 tập Bài 31 Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng, biết tăng cạnh lên 3cm diện tích tam giác tăng thêm 36 cm2, cạnh giảm 2cm, cạnh giảm 4cm diện tích tam giác giảm 26 cm2 Xem gợi ý đáp án Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông Điều kiện x > 0, y > Suy diện tích tam giác vng lúc ban đầu là: Độ dài hai cạnh sau tăng thêm cm là: (x+3) (cm) (y+3) (cm) Suy diện tích tam giác sau tăng độ dài cạnh là: cm2 Vì diện tích lúc tăng thêm 36 cm2 so với ban đầu, nên ta có phương trình: + Vì hai cạnh góc vng đóng vai trị nên ta chọn cạnh có độ dài x (cm) giảm 2cm cạnh có độ dài y (cm) giảm 4cm Khi độ dài cạnh sau giàm là: (x-2) (cm) (y-4) (cm) (ĐK: x>2;y>4) Suy diện tích tam giác sau giảm độ dài cạnh là: cm2 Lúc diện tích tam giác giảm 26 cm2.so với ban đầu, nên ta có phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ỏ ã Vậy độ dài hai cạnh góc vng cm, 12 cm Bài 32 Hai vòi nước chảy vào bể nước cạn (khơng có nước) sau 4\dfrac{4}{5} đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau \dfrac{6}{5} đầy bể Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể ? Xem gợi ý đáp án Đổi ờ Gọi x (giờ) thời gian để vịi thứ chảy đầy bể y (giờ) thời gian để vịi thứ hai chảy đầy bể Trong vòi thứ chảy bể, vòi thứ hai chảy Suy giờ, hai vòi chảy được: (bể) bể Theo đề bài, hai vòi chảy đầy bể sau hai vòi chảy nên bể Ta có phương trình: Trong giờ, vòi thứ chảy Trong hai vòi chảy bể bể Theo đề bài, vòi thứ chảy 9h sau mở thêm vịi thứ hai sau nên ta có phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ: Đặt với a > 0, b> Hệ cho trở thành: đầy bể ỏ ã Do Vậy từ đầu mở vịi hai sau bể đầy Bài 33 Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc ? Xem gợi ý đáp án Gọi thời gian người thứ hồn thành cơng việc là: x giờ, người thứ hai hồn thành cơng việc y Điều kiện x > 16, y > 16 Trong người thứ làm \dfrac{1}{x} công việc, người thứ hai làm công việc Do hai người làm chung làm được: công việc Theo đề bài, hai người làm chung 16 xong nên hai người làm được: cơng việc Nên ta có phương trình: Trong giờ, người thứ làm được: Trong người thứ hai làm được: công việc công việc Theo đề bài, người thứ làm người thứ hai làm hai người làm được 25 cơng việc Nên ta có phương trình: Ta có hệ phương trình: Đặt với a > 0, b> Hệ cho trở thành: Do Vậy người thứ làm xong cơng việc 24 giờ, người thứ hai làm xong cơng việc 48 Giải tập toán trang 23 tập 2: Luyện tập Bài 34 Nhà Lan có mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng số cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm luống rau, luống trồng số tồn vườn 54 Nếu giảm luống, luống trồng tăng thêm số rau tồn vườn tăng thêm 32 Hỏi vườn nhà Lan trồng rau cải bắp? Xem gợi ý đáp án Gọi x số luống rau, y số luống Điều kiện x > 4, y > 3; x,y ∈ N Số vườn là: x.y (cây) + Tăng luống, luống số luống x + 8, số luống y – ⇒ Tổng số vườn (x + 8)(y – 3) Số vườn 54 nên ta có phương trình: (x + 8)(y – 3) = xy – 54 ⇔ xy -3x + 8y - 24 = xy – 54 ⇔ xy -3x + 8y - xy = –54 + 24 ⇔ -3x + 8y = –30 ⇔ 3x – 8y = 30 + Giảm luống luống tăng thêm số luống x – số luống y + ⇒ Số vườn là: (x – 4)(y + 2) Số vườn tăng thêm 32 nên ta có phương trình: (x – 4)(y + 2) = xy + 32 ⇔ xy – 4y + 2x – = xy + 32 ⇔ 2x – 4y = 40 Ta có hệ phương trình: Số rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 15 = 750 (cây) Bài 35 : (Bài toán cổ Ấn Độ) Số tiền mua yên táo rừng thơm 107 rupi Số tiền mua yên táo rừng thơm 91 rupi Hỏi giá yên táo rừng thơm rupi? Xem gợi ý đáp án Gọi x (rupi) giá tiền yên Gọi y (rupi) giá tiền táo rừng thơm Điều kiện x > 0, y > Mua yên táo rừng thơm hết 107 rupi ⇒ 9x + 8y = 107 Mua yên táo rừng thơm 91 rupi ⇒ 7x + 7y = 91 ⇔ x + y = 13 Ta có hệ phương trình: Vậy, giá yên rupi; giá táo rừng thơm 10 rupi Bài 36 Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,69 điểm Kết cụ thể ghi bảng sau, có hai bị mờ khơng đọc (đánh dấu *): Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn 42 * 15 * 25 Em tìm lại số hai Xem gợi ý đáp án Theo thứ tự từ trái qua phải, ta gọi số thứ bị mờ x, số thứ hai bị mờ y Điều kiện x > 0, y > Số lần bắn 100 nên ta có: 25+42+x+15+y=100 Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,69 điểm nên ta có: Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: Vậy theo thứ tự từ trái qua phải, số thứ bị mờ 14, số thứ hai bị mờ Bài 37 Hai vật chuyển động đường trịn đường kính 20 cm, xuất phát lúc, từ điểm Nếu chuyển động chiều 20 giây chúng lại gặp Nếu chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp Tính vận tốc vật Xem gợi ý đáp án Gọi vận tốc hai vật x (cm/s) y (cm/s) (điều kiện x > y > 0) Quãng đường vật thứ sau 20 giây là: 20x (cm) Quãng đường vật thứ hai sau 20 giây là: 20y (cm) Khi chuyển động chiều, 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa sau 20 giây, vật thứ (tức vật nhanh hơn) nhiều vật thứ hai vòng tròn Độ dài (chu vi) đường trịn đường kính 20 cm là: Ta có phương trình: 20x - 20y = (cm) (1) Quãng đường vật thứ sau giây là: 4x (cm) Quãng đường vật thứ hai sau giây là: 4y (cm) Khi chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp nhau, nghĩa tổng quãng đường hai vật giây hai vật vịng Ta có phương trình: 4x + 4y = 20π (2) Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: Vậy vận tốc hai vật cm/s Bài 38 Nếu hai vòi nước chảy vào bể nước cạn (khơng có nước) bể đầy 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút vòi thứ 12 phút 2/15 bể nước Hỏi mở riêng vịi thời gian để vòi chảy đầy bể bao nhiêu? Xem gợi ý đáp án Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể là: x phút, vịi thứ hai chảy đầy bể là: y phút (Điều kiện x > 80, y > 80 ) Trong phút vòi thứ chảy bể, vòi thứ hai chảy Nên phút hai vòi chảy bể (bể) Theo đề bài, hai vòi chảy sau 20 phút = 80 phút đầy bể nên phút hai vòi chảy được: (bể) Do ta có phương trình: (1) Trong 10 phút vòi thứ chảy bể, 12 phút vịi thứ hai chảy 12 \dfrac{1}{y} bể \dfrac{2}{15} bể, ta có phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: Đặt Hệ cho trở thành: Suy (thỏa mãn) Vậy vòi thứ chảy 120 phút (2 giờ) đầy bể, vịi thứ hai chảy 240 phút (4 giờ) đầy bể Bài 39 Một người mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể thuế giá trị tăng (VAT) với mức 10% loại hàng thứ 8% loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT 9% hai loại hàng người phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi không kể thuế VAT người phải trả tiền cho loại hàng ? Xem gợi ý đáp án Giả sử khơng kể thuế VAT người phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai (Điều kiện: x, y > ) *Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ là: 10% x = = (triệu đồng) Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ (kể thuế) là: (triệu đồng) Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ hai là: 8% y (triệu đồng) Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (kể thuế) là: (triệu đồng) Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc 2,17 triệu đồng, nên ta có phương trình: (1) * Số tiền mua hai loại hàng chưa có thuế là: x+y (triệu đồng) Số tiền thuế phải trả cho hai loại hàng với mức thuế 9% là: 9% Tổng số tiền phải trả (kể thuế), là: Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc là: 2,18 triệu đồng, nên ta có phương trình: Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: Vậy số tiền người phải trả cho loại thứ 0,5 triệu đồng khơng có thuế, loại thứ hai 1,5 triều đồng khơng có thuế