50 D Ạ N G T O Á N P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A L Ầ N 1 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các tính ch[.]
38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) DẠNG 38 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các tính chất Z ÅZ ã0 ÅZ ã 1) f (x) dx = f (x) f (x) dx = f (x) + C ; d f (x) dx = f (x) dx Z 2) Nếu F (x) có đạo hàm Z 3) Z kf (x) dx = k f (x) dx với k số khác Z [f (x) ± g(x)] dx = Z f (x) dx ± g(x) dx 5) Công thức đổi biến số Z Cho y = f (u) u = g(x) Nếu Z f (x) dx = F (x) + C F (u) + C 6) Các công thức khác Zc Zb Zb a a Zb k c Zb kf (x) dx (k 6= 0) f (x) dx = a a Zb Za f (x) dx = − a Zb f (x) dx b b f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a) a a Zb Zb [f (x) + g(x)] dx = a Zb Zb f (x) dx = a Zb f (z)dz f (t) dt = a g(x) dx f (x) dx + a Zb a f (x) dx với a < c < b f (x) dx + f (x) dx = a f [g(x)]g (x) dx = Z f (u) du = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Z 4) d [F (x)] = F (x) + C 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Zb b f (x) dx = f (x) = f (b) − f (a) a a PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP MẪU x √ , ∀x > Khi Ví dụ Cho hàm số f (x) có f (3) = f (x) = x+1− x+1 Z8 f (x) dx Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A B 197 C 29 D 181 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải 1) DẠNG TỐN: Đây dạng cho trước f (x0 ), f (x) Tính Zb f (x) dx a 2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI B1: Dựa vào f (x) Z suy f (x) = f (x) dx B2: Từ f (x0 ) ta tìm hệ số C f (x) Zb B3: Tính f (x) dx a LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có Z Z Z x x dx √ √ √ f (x) = f (x) dx = dx = x + − x + x + x + − √ Z Z Å ã x+1+1 √ = dx = 1+ √ dx x +Z1 x+1 Z d(x + 1) √ = dx + 2 x+1 √ = x + x + + C √ Mà f (3) = ⇔ C = −4 Suy f (x) = x + x + − Khi Z8 Z8 197 Z8 x + x + − dx = f (x) dx = √ Z8 (x−4) dx+2 3 √ Ç x + 1d(x+1) = p x2 − 4x + (x + 1)3 å = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN x+1 √ Câu Cho hàm số f (x) có f (7) = 15 f (x) = , ∀x > Khi x+2− x+2 271 A 347 B Lời giải Ta có Z Z Z f (x) dx 287 C x+1 √ dx = x+2− x+2 Z7 D x+1 dx = √ √ x+2 x+2−1 Z √ Z7 Khi Z7 √ 347 x + x + + dx = f (x) dx = x+2+1 √ dx = x+2 Chọn phương án B Câu Cho hàm số f (x) có f (−1) = f (x) = x · ex+1 + Khi Z1 f (x) dx −e2 A − 2e + Lời giải Ta có Z B Z f (x) = Tính I = ® C + 2e + x+1 + dx = Z x·e x+1 −e2 D e2 − 2e + + 2e + Z dx + dx x · ex+1 dx ® u=x Đặt x·e f (x) dx = Z e2 dv = ex+1 dx ⇒ Suy I = x · ex+1 − du = dx x+1 Z v=e ex+1 dx = x · ex+1 − ex+1 + C Do f (x) = x · ex+1 − ex+1 + 2x + C Mà f (−1) = ⇔ −e0 − e0 − + C = ⇔ C = f (x) = x · ex+1 − ex+1 + 2x + Z1 Z1 x+1 x+1 x+1 x+1 Vậy f (x) dx = x·e −e + 2x + dx = xe − 2e + x + 5x = −e2 + 2e + 0 Chọn phương án C Câu Cho hàm số f (x) có f (e2 ) = x · f (x) = ln x, x ≥ Khi A B e Ze C f (x) dx x D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN f (x) = f (x) dx = √ x + x + + C √ Mà f (7) = 15 ⇔ C = Suy f (x) = x + x + + 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Lời giải Ta có Z Z PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Z ln x f (x) = f (x) dx = dx = ln xd(ln x) = ln2 x + C x Mà f (e ) = ⇔ C = − ln2 e2 = ⇔ C = Suy f (x) = ln2 x Ze Vậy f (x) dx = x Ze ln2 x dx = x 1 Ze e ln3 x ln2 xd(ln x) = = 3 Chọn phương án D Câu Cho hàm số f (x) có f (1) = e + f (x) = x3 + ex + π sin(πx) Khi Z2 f (x) dx 5e2 − A 5e2 + B 5e2 − C D e2 + Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải x4 + ex − cos(πx) + C 1 x4 Mà f (1) = e + ⇔ + e + + C = e + ⇔ C = −1 Suy f (x) = + ex − cos(πx) − 4 4 Z Ta có: f (x) = Z2 Vậy f (x) dx = Z2 Å f (x) dx = Z x3 + ex + π sin(πx) dx = x4 + ex − cos(πx) − ã Å dx = 5e2 − sin(πx) x5 x +e − − x = 20 π ã Chọn phương án A x2 + Câu Cho hàm số f (x) xác định R \{0} thỏa mãn f (x) = x3 Giá trị biểu thức f (−2) + f (2) 3 A + ln B + ln C + ln 8 2 , f (−1) = f (1) = −4 D + ln Lời giải x2 + Ta có: f (x) = x3 2 2 x2 + 1 2 = x + + nên f (x) = dx = x+ + dx x x x3 x x x2 − + ln x + C1 x > x 2x2 Suy f (x) = − + ln |x| + C = 2 2x x − + ln(−x) + C x < 2 2x2 Trên khoảng (0; +∞), ta có f (1) = −4 ⇔ C1 = −4 Trên khoảng (−∞; 0), ta có f (−1) = ⇔ C2 = x − + ln x − x > Do f (x) = 22 2x x − + ln(−x) + x < 2x2 Vậy f (−2) + f (2) = + ln Chọn phương án C Z Z 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Câu Cho hàm số f (x) xác định (0; +∞) \ {e} thỏa mãn f (x) = Biết x(ln x − 1) 1 1 f = ln f (e2 ) = Tính T = f + f e3 e e A T = + ln Lời giải Z B T = ln C T = + ln D T = + ln Z Z Chọn phương án C √ Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) x = p √ [0; +∞) Biết f (x) = − , [0;+∞) 1+x x phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng nào? A (0; 1) B (1; 2) C (2; 3) D (3; 4) Lời giải Å ã √ √ √ 3√ x+x· √ dx = x dx Ta có d (1 + x x) = (1 + x x) dx = 2 x Z Z √ √ √ d (1 + x x) x 4p p p Suy f (x) = √ dx = √ = + x x + C 1+x x 1+x x f (x) ≥ + C, ∀x ≥ 4 Khi ⇒ f (x) = + C ⇔ + C = − ⇔ C = −2 3 [0;+∞) f (0) = + C … √ 4p 25 Vậy f (x) = ⇔ 1+x x−2=0⇔x= ∈ (1; 2) 16 Chọn phương án B Câu Cho hàm số f (x) xác định R∗ thỏa mãn f 00 (x) = Giá trị biểu thức f (−2) A − ln B + ln Lời giải Ta có Z Z C + ln , f (−1) = 1, f (1) = f (2) = x2 D ln 1 dx ⇔ f (x) = − + C x x Z Z ⇔ f (x) dx = − + C dx ⇔ f (x) = − ln |x| + Cx + C1 x f 00 (x) dx = ® ⇔f (x) = − ln x + Cx + C2 với x ≥ − ln(−x) + Cx + C3 với x < 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN d(ln x − 1) dx = = ln |ln x − 1| + C Ta có f (x) = f (x) dx = x(ln x − 1) ln x − ® ln (ln x − 1) + C1 x ∈ (0; e) Suy f (x) = ln (1 − ln x) + C2 x ∈ (e; +∞) 1 1 * Theo giả thiết, f = ln ⇔ C1 = ln ⇒ f = ln + ln = ln (∗) e e * Tương tự f (e2 ) = ⇔ 1C2 = ⇒ f (e ) = ln + (∗∗) + f (e3 ) = ln + Từ (∗) (∗∗) ta có f e 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Với x = −1 < nên f (−1) = ⇔ − ln(1) + C · (−1) + C3 = ⇔ −C + C3 = Với x = > nên f (1) = ⇔ − ln + C + C2 = ⇔ C + C2 = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Với x = > nên f (2) = ⇔ − ln + 2C + C2 = ⇔ 2C + C2 = ln − C + C = C = ln ⇔ C2 = − ln Ta có hệ phương trình C + C2 = 2C + C2 = ln C3 = + ln ® − ln x + x ln − ln với x ≥ Do f (x) = − ln(−x) + x ln + + ln với x < Vậy với x = −2 < f (−2) = − ln − ln + + ln = − ln Chọn phương án A √ √ Câu Cho hàm số f (x) có f (x) = , ∀x > f (1) = 2 Khi √ (x + 1) x − x x + Z2 f (x) dx √ 14 A 3− Lời giải Ta có Z √ 10 B 3+ √ √ 10 D 3+ − 3 √ 10 C 3− Z Z dx dx √ √ = f (x) = f (x) dx = √ √ √ √ (x√+ 1) x − x x + x+1· x x+1− x √ Z Z Z √ x + + x dx √ dx dx √ √ √ = x + + x + C = = + √ x x+1· x x+1 √ √ √ Mà f (1) = 2 nên C = −2 Suy f (x) = x + + x − Z2 Vậy Z2 f (x) dx = 1 i h4 √ √ √ 10 x + + x − dx = (x + 1) + x − 2x = − 3 Chọn phương án C Câu 10 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = xex f (0) = Tính Z2 f (x) dx A e2 + B −8 Lời giải Z Z Ta có f (x) = f (x) dx = x · ex dx ® ® Đặt u=x dv = ex dx Z Do f (x) = ⇒ C e2 + du = dx v = ex x f (x) dx = x · e − Z ex dx = x · ex − ex + C Theo giả thiết f (0) = ⇔ = −1 + C ⇔ C = Suy f (x) = x · ex − ex + D 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Z2 Z2 Khi Z2 x (x · e − e + 3) dx = f (x) dx = Z2 x x·e dx+ 2 x (−e + 3) dx = (x · e − e ) +(−e + 3x) = x x x 0 0 0 x PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án D Câu 11 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (ln 3) = f (x) e2x √ , ∀x ∈ R Khi = x e + − ex + Zln ex f (x) dx √ −10 − A √ 20 + C √ 10 − D √ Z 2x x e e + + ex + e2x √ dx dx = f (x) = f (x) dx = x + − ex + x + 1)2 − (ex + 1) e (e √ Z Å Z 2x x ã √ e e + + ex + ex x x √ e + dx = ex + + C = dx = e + x+1 ex (ex + 1) e √ Do f (ln 3) = nên C = −4 ⇒ f (x) = ex + ex + − Zln ex f (x) dx = Khi Z Zln e2x + 2e √ x x ex + − 4e Å dx = √ ã ln 3 2x x 20 − e + (e + 1) − 4ex = 3 Chọn phương án B x √ , ∀x > Khi Câu 12 Cho hàm số f (x) có f (5) = 13 f (x) = x+4−2 x+4 Z5 xf (x) dx 1673 A 15 B 173 15 C 219 Lời giải Ta có x x x =√ √ √ = =√ = x+4−4 x+4−2 x+4 x+4 x+4−2 x+4· √ x+4+4 Z Å ã √ Suy f (x) = 1+ √ dx = x + x + + C x + √ Do f (5) = 13 nên + + C = 13 ⇔ C = −16 f (x) Vậy D 181 √ x+4+4 √ =1+ √ x+4 x+4 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Ta có Z √ 20 − B 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Z5 Z5 √ √ x2 + 8x x + − 16x dx Z5 √ √ x2 + 8(x + 4) x + − 32 x + − 16x dx = Å = Z5 x x + x + − 16 dx = xf (x) dx = PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1673 √ √ x3 16 64 2 + (x + 4) x + − (x + 4) x + − 8x = 15 ã Chọn phương án A ln x , ∀x > Khi √ Câu 13 Cho hàm số f (x) có f (1) = f (x) = x ln x + − ln x + Ze p f (x) dx x Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ A √ 2+1 B 3 Lời giải Ta có √ C 2−1 √ D 2+1 ln x ln x ln x = √ = √ √ √ ln x + − x ln x + − ln x + x ln x + ln x + − x ln x + · √ ln +1 + √ ln x + + 1 √ = = + √ x x ln x + x ln x + f (x) = √ 1 Suy f (x) = f (x) dx = + √ dx = ln x + ln x + + C x x ln x + Mà f (1) = nên + C = ⇒ C = 2 √ √ Suy f (x) = ln x + ln x + + = ln x + + Z Z Å ã Vậy Ze p f (x) dx = x Ze Å √ ln x + + x = Ze ã dx = √ Ze ln x + · d(lnx + 1) + dx x 1 √ e 2√2 − 1 2+1 (ln x + 1)3 + ln x = +1= 3 2p Chọn phương án B π Câu 14 Cho hàm số f (x) có f (−π) = −2 f (x) = sin 2x √ , ∀x > Khi sin x + − sin x + Z2 f (x) dx π A Lời giải Ta có √ B π C 10 − 3π D π + 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN sin 2x sin 2x sin 2x =√ √ √ =√ sin x + − sin x + − sin x + sin x + sin x + − sin x + · √ sin x + + √ cos x sin x + + cos x √ = cos x + √ = sin x + sin x + f (x) = Z Z Å cos x Suy f (x) = f (x) dx = cos x + √ sin x + Mà f (−π) = −2 nên + C = −2 ⇔ C = −6 √ Do f (x) = sin x + sin x + − ã √ dx = sin x + sin x + + C Vậy π π Z2 π Z2 Ç x x sin + cos 2 å −6 dx = Z2 x x sin x + sin + cos − dx 2 π 2 3π x x − 3x = − + = 10 − 3π = − cos x + − cos + sin 2 Chọn phương án C π Câu 15 Cho hàm số f (x) có f π = f (x) = cos x − sin x Biết sin x + cos x √ √ √ a ln + b + c ; với a, b, c số nguyên Khi a + b + c A B C −1 Z4 cos x + π f (x) dx = D Lời giải Z Z cos x − sin x Ta có f (x) = f (x) dx = dx = sin x + cos x π √ Mà f = nên C = − ln √ Suy f (x) = ln |sin x + cos x| − ln I = cos x + π Z4 f (x) dx = π Z4 = d(sin x + cos x) = ln |sin x + cos x| + C sin x + cos x π π Z4 Z √ ó π î ln(sin x + cos x) − ln dx cos x + π π cos x + ln sin x + 4 dx π cos x + du = 4 π h i π u = ln sin x + sin x + dx Đặt ⇒ π dv = cos x + dx v = sin x + π 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN sin x + f (x) dx = … 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) π π Suy I = sin x + ·ln sin x + 4 h i π4 − π Z4 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN π cos x + √ √ √ √ √ √ 2 ln + − dx = ln 2−1+ = 2 Suy a = 1, b = 1, c = −2 Vậy a + b + c = Chọn phương án B Câu 16 Biết f (x) = √ 5x2 − 15x + 14 √ ; f (x) = ax2 + bx + c 2x − với x > , (a, b, c ∈ Z) Tính 2x − Z2 f (x) dx Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A 230 21 B 21 251 C 230 51 D 21 30 Lời giải Ta có √ ax2 + bx + c f (x) = ax + bx + c 2x − ⇒ f (x) = (2ax + b) 2x − + √ 2x − 2 (2ax + b)(2x − 3) + ax + bx + c 5ax − (6a − 3b)x − 3b + c √ √ ⇔f (x) = = 2x − 2x − 2 5x − 15x + 14 5ax − (6a − 3b)x − 3b + c √ √ ⇔ = với x > 2x − 2x − √ Suy 5a = a = − 6a + 3b = −15 ⇔ − 3b + c = 14 Vậy f (x) = x2 − 3x + b = −3 c = √ 7 Z2 Z2 2x − f (x) dx = x2 − 3x + √ 2x − dx = 230 21 Chọn phương án A Câu 17 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) √ = + f (x) · f (x) = e2x √ , ∀x > Khi ex + − ex + Zln f (x) dx ln √ A − 2 ln Lời giải Ta có √ √ B 2 − 2 ln √ C 2 ln √ √ D 2 + 2 ln 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN e2x e2x √ √ √ = ex + − ex + ex + ex + − √ ex + + ex e2x ã= Å x √ = √ e +1−1 ex + x e +1 √ x e +1+1 x e = ex + √ x e +1 f (x) · f (x) = Z f (x) Z Mặt khác f (x) · f (x) dx = f (x)d[f (x)] = + C1 Z Å ã √ ex dx = ex + ex + + C2 Ta lại có ex + √ x Zln Khi I = √ f (x) dx = √ Tính I1 = √ √ ex + + dx = Ñ ln Z ln ln Zln Zln √ é ex + dx + ln ln ex + dx ln √ 2t 2t Đặt t = ex + ⇒ t2 = ex + ⇒ 2t dt = ex dx ⇒ dx = x dt = dt e t −1 Z3 ⇒ I1 = 2t2 dt = t2 − Z3 1+ t −1 2 dt = + ln √ √ √ Vậy I = 2 + ln + ln = 2 + 2 ln 2 Z3 h 1+ 1 − t−1 t+1 i ã t − = dt = 2t + ln t + Å 2 Chọn phương án D Câu 18 Cho hàm số f (x) xác định (1; +∞), thỏa mãn (x − 1)f (x) + f (x) = xex+1 , biết Z7 f (x) f (2) = e3 Tính dx x+1 e A B C Lời giải x+1 ⇔ [(x − 1) · f (x)]0 = x · ex+1 Ta có (x − 1)f (x) + f (x) Z = xe Suy (x − 1) · f (x) = xex+1 dx ® ® Đặt u=x dv = ex+1 dx ⇒ du = dx v = ex+1 D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN e +1 √ √ f (x) Do + C1 = ex + ex + + C2 ⇔ f (x) = 2ex + ex + + C √ √ √ Mà f (0) = + + C nên + = + + C ⇔ C = 2 √ √ √ Suy f (x) = 2ex + ex + + = ex + + ex + + = ex + + √ √ Vì f (x) = ex + + 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) x · ex+1 Suy (x − 1)f (x) = Z − PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ex+1 dx = ex+1 (x − 1) + C C x−1 Mà f (2) = e3 nên e3 + C = e3 ⇔ C = ⇒ f (x) = ex+1 Do f (x) = ex+1 + Z7 Vậy Z7 f (x) dx = ex+1 dx = x = 5 Chọn phương án C x Câu 19 Cho hàm số y = f (x) có f (1) = f (x) = với x > −1 Khi (x + 1)2 Z2 f (x) dx A ln + 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B ln − C ln − D ln + Lời giải Z Ta có f (x) = Z x dx Đặt t = x + ⇒ dt = dx (x + 1)2 t2 f (x) dx = Khi Z x dx = (x + 1)2 Z t − dt = ln |t| + +C t 1 = ln |x + 1| + + C = ln(x + 1) + + C (vì x > −1) x+1 x+1 1 Mà f (1) = ⇔ = ln + + C ⇔ C = − ln 2 2 x + 1 1 Suy f (x) = ln(x + 1) + − ln = ln + x+1 x+1 Z2 Khi f (x) dx = Z2 h x+1 Z2 Đặt i ln − ln Xét A = ln + dx = x+1 ln u = ln x + ln x + 1 x + 1 dv = dx Z2 Z2 dx+ 1 dx = x+1 Z2 ln x + 1 dx+ dx dx x+1 ⇒ chọn v = x + du = x + Z2 − Suy A = (x + 1) ln dx = ln − 2 Z2 Vậy f (x) dx = ln − Chọn phương án C Câu 20 Cho hàm số f (x) có f (0) = − f (x) = √ x3 x2 + với giá trị x ∈ R Tổng tất 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN nghiệm thực phương trình f (x) = A 12 B Lời giải Z Z x3 √ Ta có f (x) = f (x) dx = dx D −1 C x2 + √ 2 Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ t dt = x dx Khi √ 3 Z p x2 + t3 t2 − √ √ t dt = t − dt = −t+C = − x2 + 1+ dx = x dx = t 3 x2 + x2 + C √ √ 3 2+1 √ x x2 + x2 + √ 2 Mà f (0) = − nên C = ⇒ f (x) = − x +1= − x + 3 √ √ √ √ x2 + x + − x + = ⇔ x2 + x2 + = x + ⇔ x2 = ⇔ Xét f (x) = ⇔ √ ñ x= √ x=− Vậy tổng nghiệm thực phương trình f (x) = Z x3 x2 Z Z √ Câu 21 Cho hàm số f (x) có f (−1) = f (x) = Biết (x + 2x + 3) x2 + 2x + √ √ a− b+c với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị T = a + b + c A 21 B 52 C 64 D 13 Z5 f (x) dx = Lời giải Z Z √ dx (x2 + 2x + 3) x2 + 2x + 2x + √ Đặt t = √ ⇒ dt = dx 2 (x + 2x + 3) Z x + 2x + Z x + 2x + 1 √ Suy dx = dt = t+C = 2 4 (x + 2x + 3) x + 2x + x+1 Mà f (−1) = nên C = ⇒ f (x) = √ + 2 x2 + 2x + Ta có f (x) = Khi Z5 f (x) dx = Z5 Å √ +2 x2 + 2x + f (x) dx = 3 = ã x+1 dx = Z5 1 √ dt = dx (x + 2x + 3) x2 + 2x + 2x + x+1 ·√ +C = √ +C 2 x + 2x + x + 2x + ⇒ Z5 2x + √ dx + x2 + 2x + 3 Z5 dx √ √ ä + 2x + Äp 38 − 18 + √ dx + = x + 2x + u + = 2 2 x + 2x + x2 Do a = 38, b = 18, c = Vậy a + b + c = 64 Chọn phương án C 2x + f (x) = x→0 2x Câu 22 Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị x = x = Biết lim 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Z1 f (x) dx f (4) = 16 Tích phân 17 A 60 B 15 C 19 30 D Lời giải Hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị x = x = ⇒ f (1) = f (2) = 2x + f (x) = nên f (0) = x→0 2x Vì y = f (x) hàm bậc bốn nên f (x) hàm bậc ba Suy f (x) = ax(x − 1)(x − 2) với a 6= Do lim Theo đề ta có + a(x − 1)(x − 2) 2x + ax(x − 1)(x − 2) = ⇔ lim = ⇔ a = x→0 x→0 2x lim Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy f (x) = x(x − 1)(x − 2) = x3 − 3x2 Z + 2x ⇒ f (x) = x3 − 3x2 + 2x dx = 44 x4 − x3 + x2 + C x4 Mà f (4) = 16 ⇔ − 43 + 42 + C = 16 ⇔ C = Suy f (x) = − x3 + x2 4 Z1 Z1 Å ã x − x + x dx = Vậy f (x) dx = 15 Chọn phương án B Câu 23 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) · [f (x)]2020 = x · ex với x ∈ R f (1) = Giá trị [f (2)]2021 A 2021e2 + B 2e2021 + 2021 C 2021e2 + 2021 D 2021e2021 + Lời giải Ta có Z Z Z f (x) · [f (x)]2020 dx = ⇔ x · ex dx ⇔ [f (x)]2020 d [f (x)] = (x − 1) · ex + C · [f (x)]2021 = (x − 1) · ex + C ⇔ [f (x)]2021 = 2021(x − 1) · ex + 2021C 2021 Do f (1) = nên 2021C = hay [f (x)]2021 = 2021(x − 1) · ex + Suy [f (2)]2021 = 2021e2 + Chọn phương án A Z1 Câu 24 Cho hàm số y = f (x) với f (0) = f (1) = Biết rằng: ex [f (x) + f (x)] dx = ae + b Tính Q = a2020 + b2021 A Q = B Q = 4041 Lời giải ® Đặt u = f (x) dv = ex dx ® ⇒ du = f (x) dx v = ex C Q = −1 D Q = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Khi Z1 Z1 ex [f (x) + f (x)] dx = ex f (x) − ex f (x) dx + ex f (x) dx = ef (1) − f (0) = e − Z1 0 0 Do a = 1, b = −1 Suy Q = a2020 + b2021 = 12020 + (−1)2021 = Vậy Q = Chọn phương án D Câu 25 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương (0; +∞) thỏa mãn f (1) = √ f (x) = f (x) · 3x + 1, với x > Giá trị ln [f (2020)] A B √ Lời giải √ Ta có f (x) = f (x) · 3x + ⇔ 6061 C 2√ 6061 D √ 6061 f (x) =√ f (x) 3x + Suy f (x) d [f (x)] √ dx = = dx ⇔ f (x) f (x) 3x + 2√ 2√ 3x + + C ⇔ f (x) = e 3x+1+C ⇔ ln f (x) = Z Z √ e4 nên e +C = 2√ Vậy ln [f (2020)] = 6061 Mà f (1) = √ Z Z 2√ e4 ⇔ C = Suy f (x) = e 3x+1 √ dx 3x + Chọn phương án C Câu 26 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = , Z1 Z1 x3 f (x) dx = 37 Tích phân 180 Z1 [f (x) − 1] dx A 15 B − 15 Lời giải ® du = f (x) dx Đặt u = f (x) dv = x3 dx Z1 Suy ⇒ Mà f (1) = ; Z1 10 D 10 v = x 1 x f (x) dx = x4 · f (x) − 4 C − Z1 f (1) x f (x) dx = − 4 0 37 37 x3 f (x) dx = nên = − 180 180 20 Z1 x4 f (x) dx Z1 x4 f (x) dx ⇔ Z1 2 f (x) x4 f (x) dx = − dx = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 3√ 6061 √ e4 , 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Z1 Xét f (x) + kx Z1 Cho f (x) dx = Z1 f (x) + kx4 2 x f (x) dx + k dx + 2k dx = ⇔ Z1 4k k x dx = − + 9 0 0 Z1 2 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 4k k − + = ⇔ k = 9 Z1 Khi f (x) + kx4 2 dx = ⇔ f (x) = −2x4 , ∀x ∈ [0; 1] ⇔ f (x) = − x5 + C, ∀x ∈ [0; 1] Mà f (1) = ⇔ − + C = ⇔ C = ⇒ f (x) − = − x5 , ∀x ∈ [0; 1] 5 5 Z1 Z1 Vậy [f (x) − 1] dx = − x5 dx = − 15 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án B Câu 27 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) = (2x + 1)f (x), ∀x > 0, f (x) 6= f (1) = − Khi 2020 Z f (x) dx A ln 2021 4040 B ln Lời giải 4040 2021 C ln 2021 2020 D ln 2020 2021 f (x) = 2x + Ta có f (x) = (2x + 1)f (x) ⇔ f (x) Z Z f (x) dx = (2x + 1) dx ⇔ − = x2 + x + C Suy f (x) f (x) 1 1 Mà f (1) = − nên C = Do f (x) = − = − x +x x+1 x 2020 Z Khi f (x) dx = 2020 Z 1 − x+1 x ã Å x + 2020 2021 dx = ln = ln x 4040 1 Chọn phương án A Câu 28 Cho hàm số f (x) thỏa mãn A −2020 B − 2021 x · f (x) = −f (x), ∀x ≥ f (e) = − Giá trị f e2020 p C −2021 Lời giải ® p f (x) ≤ Ta có: x · f (x) = −f (x), ∀x ≥ ⇔ , ∀x ≥ x · f (x) = f (x) Z Z f (x) f (x) 1 = ⇒ dx = ⇒ dx ⇒ − = ln x + C , ∀x ≥ f (x) x D− 2020 f (x) x f (x) 1 Lại f (e) = − nên C = Suy f (x) = − (thỏa mãn điều kiện f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 1) + ln x Vậy f e2020 = − 2021 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B Câu 29 Cho hàm số y = f (x) liên tục nhận giá trị dương với x ∈ − ; +∞ thỏa mãn f (1) = 1, Z5 √ f (x) = f (x) 3x + Tính √ f (x) dx 3x + A I = e e4 − e2 Lời giải B I = e3 e3 − f (x) √ 1 C I = e2 e − e Ta có f (x) = f (x) 3x + ⇔ =√ f (x) 3x Z Z+1 Z Z d[f (x)] f (x) √ √ dx = dx ⇔ = Suy f (x) 2√ 3x+1− 4 3x + Ta lại có f (1) = ⇔ e +C = ⇔ C = − ⇔ f (x) = e 3 Z5 Z5 √3x+1− f (x) e3 √ √ Từ tính I = dx = dx 3x + dx ⇔ ln f (x) = 2√ 3x + + C ⇔ 3x + 8 2√ 3x + − ⇒ dt = √ dx 3 3x + x = ⇒ t = Đổi cận x = ⇒t= 3 Đặt t = Z3 Vậy I = 2 e dt = e = e − e = e e − t t 3 Chọn phương án B Câu 30 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x) > 0, ∀x ∈ R Z4 f (x) = −ex · f (x), f (0) = Tính ex f (x) dx e4 + A ln e +1 e3 + B ln e +2 Lời giải Ta có f (x) = −ex f (x) ⇔ e4 + e3 + D ln e3 + e4 + f (x) = −ex f (x) Lấy nguyên hàm hai vế ta Z Z f (x) dx = − f (x) Mà f (0) = C ln x e dx ⇔ Z d[f (x)] =− f (x) Z ex dx ⇔ − = −ex + C f (x) 1 nên −2 = −1 + C ⇔ C = −1 Do − = −ex − ⇔ f (x) = x f (x) e +1 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN f (x) = f (x) 3x + 2√ e 3x+1+C D I = e e2 − e 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Z4 Z4 x e · f (x) dx = Vậy Z4 ex dx = ex + 3 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN d(ex + 1) e4 + x = ln[e + 1] = ln ex + e +1 Chọn phương án C Z4 Z2 Câu 31 Cho hàm số f (x) liên tục R f (2) = 16, f (x) dx = Tính I = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Khi Z4 I= xf x 2 dx C I = 144 D I = 12 Z4 Z4 x x x −2 f dx = 2xf dx = 128 − 2I1 với I1 = f dx 2 0 Đặt u = x 0 A I = 112 B I = 28 Lời giải u = x du = dx Đặt ⇒ dv = f x dx v = 2f x xf 0 x ⇒ dx = du Khi I1 = Z4 x f Z2 dx = Z2 f (x) dx = f (u) du = 0 Vậy I = 128 − 2I1 = 128 − 16 = 112 Chọn phương án A Z2 Câu 32 Cho ln(1 + 2x) a dx = ln + b ln + c ln 2, với a, b, c số nguyên Giá trị x2 a + 2(b + c) A B C D Lời giải du = u = ln(1 + 2x) 2x + Đặt ⇒ dv = dx chọn v = − − x2 x Z2 Suy ln(1 + 2x) + dx = − − ln(1 + 2x) x2 x Z2 dx = − ln + ln + ln x Do a + 2(b + c) = −5 + 2(3 + 2) = Chọn phương án D Z1 √ Câu 33 Cho √ dx 8√ √ =a b− a + , (a, b ∈ R∗ ) Tính a + 2b 3 x+2+ x+1 A a + 2b = Lời giải Ta có B a + 2b = C a + 2b = −1 D a + 2b = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Z1 dx √ √ = x+2+ x+1 Z1 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ x + − x + dx 0 = Z1 h (x + 2) 1i − (x + 1) dx h 3i √ 8√ = (x + 2) − (x + 1) = − 2+ 3 Suy a = 2, b = Vậy a + 2b = Chọn phương án D ( ex + m Câu 34 Cho hàm số f (x) = 2x p x ≥ + x2 x < Z1 liên tục R −1 D −17 x→0 Z1 Ta có Z0 f (x) dx = −1 2x −1 Z1 I2 = f (x) dx = I1 + I2 f (x) dx + −1 Z0 I1 = Z1 Z0 p + x2 dx = 1 + x2 d 3+x −1 √ p 16 2 + x = − = 3+x 3 −1 1 (e − 1) dx = (e − x) = e − x x 0 Z1 Suy √ 22 22 f (x) dx = I1 + I2 = e + − Do a = 1; b = 2; c = − 3 −1 Vậy T = a + b + 3c = + − 22 = −19 Chọn phương án C π Z4 Câu 35 Biết I = ex · sin x dx = a a với phân số tối giản, a, b ∈ N Giá trị a.b b b A Lời giải ® Đặt: u = ex dv = sin x dx B ® ⇒ du = ex dx v = − cos x C D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN với a, b, c ∈ Q Tổng T = a + b + 3c A 15 B −10 C −19 Lời giải Do hàm số liên tục R nên hàm số liên tục x = ⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = f (0) ⇔ + m = ⇔ m = −1 x→0 √ f (x) dx = ae + b + c, 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN π π π Z4 ex · sin x dx = (−ex · cos x) + ex · cos x dx Z4 Khi I = 0 π Z4 ex · cos x dx Xét I1 = ® Đặt u = ex ® ⇒ dv = cos x dx π Z4 Khi đó: I1 = du = ex dx v = sin x π π Z4 ex · cos x dx = (ex · sin x) − ex · sin x dx 0 π Z4 π π Z4 π 4 x x x e · sin x dx = (−e · cos x) + (e · sin x) − ex · sin x dx = − I ⇔ I = 0 Suy I = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 0 Vậy a = 1; b = nên a · b = Chọn phương án B Ze ln x Câu 36 Cho I = x(ln x + 2)2 c dx = a ln + b ln + , với a, b, c ∈ Z Tính T = a2 + b2 + c2 A T = Lời giải Ze Ta có I = B T = 11 C T = D T = ln x dx x(ln x + 2)2 dx = dt x Đổi cận x = ⇒ t = 2, x = e ⇒ t = Đặt ln x + = t ⇒ Z3 Suy I = t−2 dt = t2 Z3 dt − t 2 Z3 + dt = ln t t2 2 = ln − ln + − = ln − ln − t 3 Suy a = 1, b = −1, c = −1 Vậy a2 + b2 + c2 = Chọn phương án D Z1 Câu 37 Biết dx √ = a ln + b ln + c ln 5, với a, b, c số hữu tỉ Giá trị 3x + 3x + + a + b + c A I = Lời giải Z1 dx √ Đặt A = B I = 3x + 3x + + C I = D I = −4