Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol Tháng 12 năm 2015.[r]
(1)HƯỚNG DẪN TÍNH TÍCH PHÂN 2015 b + Công thức tính tích phân: f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a ) + Phương pháp đổi biến + Phương pháp tích phân phần b t u( x) Bước 1: Đặt t làm biến (dt u ' dx ) Bước 2: Vi phân hai vế Bước 3: Đổi cận theo biến t Bước 1: Tính tích phân theo biến t xdx I 2 x 4 Ví dụ: Tính t x dt 2 xdx xdx dt Đặt: x Đổi cận: t Công thức: I b b udv uv a vdu a a (1) b + Tính: P( x).Q( x)dx a Dạng 1: Nếu P ( x) là hàm đa thức theo biến x và Q( x) là: sin x, cos x, e x , a x , u P ( x) du ? Ta đặt: dv Q ( x)dx v ? thay vào (1) Dạng 2: Nếu P ( x) là hàm đa thức theo biến x và Q( x) là: ln x, log a x, 5 với: F ( x) là nguyên hàm f ( x) a dt 1 1 24t t 40 u Q( x) Ta đặt: dv P( x)dx du ? v ? thay vào (1) BÀI TẬP TÍCH PHÂN Đề bài Hướng dẫn Bài dx I x 5x Biến đổi dạng tổng: 1 x x x x 3 Áp dụng: dx x a ln x a C Bài I x sin x cos xdx Kết Tìm số A và B cho: A B 0 A B Giải hệ: x x 3 A B x x I ln A ? B ? Tách thành tích phân: I1 ; I x sin x cos x x.cos x sin x cos x I1 x cos xdx ( phần dạng 1) I I sin x cos xdx Bài ln e I ln x 1 e x ex dx x J x 1 e dx , đặt: t sin x x x Đặt: t e t e x x Chú ý : t e e t Từng phần dạng u 2 x 1 du ? x dv e dx v ? Rồi thay vào công thức (1) I 26 J e (2) Đặt : t 4 cos x sin x K dx cos x Chú ý: e ln x I dx x Bài 2x J dx x2 1 1 I 1 e x xdx sin x ; e x x xe x J 2 ; I xe x dx u x du ? x dv e dx v ? Đặt: Đặt : t 1 x J x x3 dx 1 2 Đặt : t x t 3 x I x 1dx Từng phần dạng u 4 x 1 du ? x dv e dx v ? 1 5 I 32 15 K J e Rồi thay vào công thức (1) K x x 1 dx K 9 Tính nguyên hàm theo công thức I x cos x dx Bài Tách thành tích phân: x cos x x x cos x Bài I x x 1 dx e Bài I 5ln x dx x ln Bài 10 I e x 1 e x dx I x cos xdx u x Đặt: dv cos xdx ; Khai triển đưa dạng tổng x x 1 x x x 1 x x3 x I1 ; I I1 xdx Chú ý: 5ln x ' x x Đặt : t e dt du ? v ? K 9 ln 14 I J x 1 e x dx J Từng phần dạng u 2 x du ? dv cos xdx v ? Rồi thay vào công thức (1) K x 1 cos xdx Bài sin x I K ln x ' Từng phần dạng u ln x du ? dv 2 xdx v ? Rồi thay vào công thức (1) Tách thành tích phân: I1 ; I I1 xdx cos x 2 2 Đặt: t x t x Bài ' Đặt : t ln x K 2 x ln xdx sin x I 2 2 I 30 38 I 15 I (3) Bài 11 I x dx Bài 12 dx I x 1 t ; 2 Đặt: x 2sin t với I t ; 2 Đặt: x tan t với I Bài 13 Bài 14 I x x 5dx 3 Đặt : t x t x Đặt : t sin x dt I sin x 1 cos xdx I 6 5 I e2 Bài 15 dx I x ln x e Bài 16 x dx I x2 x 1 Bài 17 Đặt : t ln x dt x dx I x 1 Bài 18 sin xdx I cos x Bài 19 I x 3dx x 1 Bài 20 sin xdx I cos x Bài 21 e tan x I dx cos x ln Bài 22 x e e dx x 1 ex Đặt : t x x dt Chú ý: x 2 x 1 2 Đặt : t x t x Chú ý: x dx x xdx sin x sin x.sin x cos x sin x Biến đổi: Đặt : t cos x dt 3 Đặt : t x t x Chú ý: x dx x xdx Biến đổi: sin x 2sin x.cos x Đặt : t 1 cos x dt Đặt : I e Bài 23 Bài 24 sin xdx e x dx I x e 1 cos x 2dt I t 2 Đặt : I 3 2 141 I 20 I 2 ln I e3 e u ; 2 Đặt: t tan u với I t sin x dt sin x Chú ý: Đặt : I t e x t e x x x Chú ý: t e e 1 t + sin x ' Chú ý: I 2 ln t tan x dt tan x Đặt : I ln ' sin x I e e t e x 1 dt x ' e Chú ý: e x ln ln e 1 (4) Bài 25 2 I e sin x sin x cos3 xdx Biến đổi: Đặt esin x cos3 x sin x esin x sin x cos x sin x : t sin x dt Chú ý: sin x u 1 t dv et dx Đặt: I + e sin ln x I dx x Bài 26 e2 Bài 27 Bài 28 e I I e ln x dx x 3ln x ln x dx x ln x I dx x Bài 29 Bài 30 t ln x dt Đặt : t ln x t ln x dt Đặt : t 3ln x t 1 3ln x dt I 2 x sin x e x dx I1 2 x sin xdx I e x dx Đặt : Bài 32 I I e tan x tan x dx sin x sin x I dx 3cos x Bài 34 116 I 135 I ln 15 64 256 I e u 2t t dv e dt 2 1 I1 x 1dx x I 2 2 I xdx và t tan x dt Đặt : ' tan x 1 tan x cos x Chú ý: sin x sin x 2sin x.cos x sin x cos x 1 sin x I 2 du ? v ? Đặt: Nhân thêm biểu thức liên hợp để trục mẫu x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x Tính: t x t x I 2tet dt dx x 1 x 2 21 Đặt : t x dt Bài 33 I ux2d? Đặt: dvxsin? e I 1 I 1 cos1 I 2 x.e x dx Bài 31 du ? v ? Đặt : x sin x e x 2 x.sin x x.e x 2sin x cos x Từng phần dạng u ln x du ? dx v ? dv x5 Rồi thay vào công thức (1) Tách thành tích phân: I1 ; I 2 t et dt 2 ' t 3cos x t 1 3cos x Đặt : I e I 34 27 (5) sin x cos x I dx cos x Bài 35 Bài 36 2 Biến đổi: sin x.cos x 2 cos x.sin x t 1 cos x dt Đặt : Biến đổi: e sin x cos x cos x esin x cos x cos x I e sin x cos x cos xdx I1 esin x cos xdx I 3 x2 x 1 dx I sin x tan xdx Bài 39 Dùng công thức hạ bậc… 3 Đặt: t x t x 3t dt cos x sin x x.tan x I tan x e sin x .cos x dx sin Biến đổi: t cos x dt Đặt : cos x sin x I1 tan xdx dx cos x 0 I ln Đặt : t cos x dt I esin x cos xdx Đặt : t sin x dt Tich phân phần dạng u ln x du ? dv x dx v ? Đặt: e I x ln xdx 1 I x x 3dx x I dx x x 1 Bài 42 Biến đổi: Đặt : 0 t x t x : Đặt x t ; x t Chú ý: I e 3x sin 5xdx I e3 9 I I x x dx x x xdx I 6 ln 2 3 5 Biến đổi: I x3 x 3dx x x 3.xdx I x x dx I ln e t x t x Bài 44 231 10 Bài 43 I Tách thành tích phân: I1 ; I Bài 41 Bài 40 I e Bài 38 Đặt: t sin x dt I cos xdx Bài 37 I 2 ln 2 Đặt : t x t 1 x Tich phân phần lần u e3 x du ? Lần Đặt: dv sin xdx v ? u e3 x dv cos xdx Lần Đặt: du ? v ? I 105 I 3 3e 34 34 1 (6) I x 1.x dx Bài 45 Biến đổi: I x x 1dx x x 1.xdx 0 2 Đặt : t x t x Biến đổi: 2sin x cos x sin x I dx sin 2x Bài 46 2sin x cos x I dx dx sin x sin x 0 848 I 105 I ln 2 Đặt : t 1 sin x dt Biến đổi: dx I x 2x Bài 47 e Bài 49 I 3 x 1 3x dx Bài 50 0 dx dx I x x x 1 1 I Đặt : x tan t dx Tich phân phần dạng u ln x du ? dv x dx v ? Đặt: ln x I dx x Bài 48 x x x 1 cos 3x I dx sin x Đặt: 18 I 1 t 3 x t 3 x 3t dt t 3 x x t 1 x 3 Công thức nhân ba: sin x 3sin x sin x I e 46 15 cos x 4 cos3 x 3cos x 4 cos x sin x 3cos x 4sin x cos x I 2 3ln 2 4sin x cos xdx cos 3x I dx sin x sin x 1 0 Đặt : t sin x dt e Bài 51 Bài 52a u ln x dv xdx Đặt: Biến đổi: I x ln xdx sin x cos x.cos sin xdx I x sin x 2cos x.cos 2 Bài 52b tan xdx x 2 cos du ? v ? x sin xdx I sin x cos x e2 I x sin x cos x cosx 1 cos x sin xdx I x cos x sin x cos x.cos 2 Đặt : t 1 cos x dt sin xdx x sin xdx x tan x I sin x cos x cos x I ln I (7) t tan x dt dx cos x Đặt : tan xdx t2 2 cos x tdt C 2 Bài 53 I x sin x dx Bài 54 x 2x x I dx x2 u x tan x dv dx cos x Đặt: Lần Đặt : du ? v tan x t x t x 2tdt u 2t du ? dv sin tdt v ? Lần Đặt : Chia tử cho mẫu, tách thành tích phân x 2x2 4x I dx x dx x 4 x 4 0 I 2 I 6 I1 x dx dx I x 4 Đặt : x 2 tan t dx t x dt Đặt : t x x t xdx x 1 Bài 55 I e dx I x ln x Bài 56 Bài 57 sin 2004 x I 2004 dx x cos 2004 x sin t ln x dt Đặt : dx x e dx dt I 1 t2 x ln x x t dx dt Đặt : sin 2004 t cos 2004 t cos 2004 2 2 Bài 58 sin x I dx cos x Bài 59 I cos x 4sin x dx Đặt : t 1 3sin x dt 3sin xdx Đặt : I I cos x 4sin x sin x 4sin x 1 3sin x sin 2x t sin 2004 t 4sin x cos x sin x 4 cos x sin x cos x cos x Đặt : t 1 cos x dt Đặt : t sin u dt ; I I 2 I t x t 4 x 2tdt dx I 2x 4x Bài 60 tdt t2 1 I 2 x 1 t 1 t 1 2 t A B At A B 2 t 1 t 1 t 1 t 1 Tìm A và B : I ln 12 (8) Bài 61 I x e2x dx Bài 62 I x 1 sin 2x dx Bài 63 I x ln x dx ln5 dx I x e 2e x ln3 Bài 64 u x dv e x dx Đặt: du ? v ? u x Đặt: dv sin xdx u ln x dv x dx 3e I 4 du ? v ? I 1 du ? v ? I ln ex x e x 2e x e x 3e x Đặt : t e dt A B t t 1 t t Tìm A và B : 10 I dx I x x Bài 65 e ln x I dx x ln x Bài 66 Bài 67 I x ln x dx ln x I dx x Bài 68 I ln 2tdt t 1 t x t x 2tdt : Đặt 2t A B At A B 2 t t 1 t 1 t 1 Tìm A và B : 2dx t ln x t 1 ln x 2tdt x Đặt : Lần Đặt : I 2 ln 10 11 I 3 t x dt I ln u ln t du ? Lần Đặt : dv dt v ? u ln x du ? dx v ? dv x Đặt : I 3ln ln x I dx x x x 1 1 Tìm A và B : Bài 69 2 Đặt : t x t x 2tdt 2 xdx x I dx x Bài 70 sin x cos x I dx sin 2x Bài 71 Bài 72 sin x cos x sin x cos x Đặt : t sin x cos x dt dx Lần Đặt : u ln t Lần Đặt : dv dt I x ln x 5 dx ln I 21 I ln 2 Đặt : t 1 x dt 2 xdx sin x cos x sin x A B x x 1 x x 1 I x x 1dx sin x cos x sin x cos x ln 2 t x dt du ? v ? 14 ln14 5ln (9) Bài 73 cos x cos2x I sin x cos x 3 sin x cos x 3 dx cos 2x I dx 2sin 2x Bài 75 ln2 e2x I dx ex Bài 76 du ? v ? Đặt : t 1 sin x dt dx x x x Đặt : t e t e 2tdt e dx cos x sin x cos x 4 sin x cos x sin x sin x Đặt : t 1 sin x dt u x du ? dx v ? dv cos x Đặt : cos x I dx sin x Bài 77 cos x sin x cos x sin x sin x cos x 3 u x Đặt : dv cos xdx I x 1 cos x dx I Đặt : t sin x cos x dt dx Bài 74 3 x I dx cos x Bài 78 I 32 1 I ln I 2 I 2 I ln tan xdx ln cos x C x I dx x x Bài 79 2t t 1 2t t 1 x 2 t 2 x x t 3t t x t 1 x 3t dt dx : Đặt I x x dx Bài 80 t x t x 2tdt dx : Đặt e x3 I ln x dx x Bài 81 Lần đặt : Lần đặt : Bài 82 Bài 83 I 2x 1 cos xdx Bài 84 I x e x x dx dx du x v x ln x I 468 2e3 11 I 18 t ln x dt t x t 2 x 2tdt 3x dx : Đặt I x 2 x3 dx u ln x 1 dv x x I 12 ln cos x u 2 x du 2dx cos x x dx v sin x dv Đặt : u x du ? I1 xe2 x dx 2x v ? Đặt : dv e dx 3 x 1 cos2 x x 1 I x x 1dx 3 Đặt : t x t x 12 1 2 e2 14 (10) xdx I1 x 1 x 1 I dx x 1 Bài 85 1 I dx x 1 x tan t Đặt : Lần đặt : t x dt ? u lnt du ? Lần đặt : dv dt v ? x x I dx x Bài 87 Bài 88 Ixcosind I cos3 x sin xdx cos x I dx 2sin x Bài 89a Đặt : t cos x dt ? Đặt : t 5 2sin x dt ? ln u ln x 1 dv 2 x 24 ln 14 Bài 89b J 2x ln x 1 dx Đặt : du ? v ? tan x tan x tan x tan x I 1 tan8 x dx Đặt : 4x I dx x 3x Bài 91 4x x x x 1 x 4x A B x 1 x x x sin 3x sin 3x sin x sin x cos x.sin 3x cos x cos x cos x Đặt I cos4 x sin x dx : t 1 cos3 x dt 3sin xdx e ln x ln2 x I dx x Bài 93 18ln ln Tìm số A và B cho: A B 4 A ? B ? Giải hệ: A B 3 sin 3x sin 3x I dx cos3x Bài 92 76 105 t tan x dt tan x 1 dx Biến đổi dạng tổng: 32 10 ln 3 Bài 94 ln uxd? Đặt : dvxsin? I1 x sin xdx Bài 90 t ; 2 t x t x 2tdt dx : Đặt ln I x ln x dx Bài 86 Đặt : t x dt ? 3 2 Đặt : t ln x t 2 ln x 3t dt cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 ln 3 81 16 (11) cos2x I dx 2sin 2x Bài 95 x I x 3 Bài 97 dx I x2 cos xdx Bài 98 Bài 99 ln u x du 2 xdx Lần đặt : dv cos x v sin x u 2 x du 2 xdx Lần đặt : dv sin x v cos x 2 2 Lần đ ặt : Lần đặt : sin x cos x I Bài 100 sin 2x t ln x dt dx I sin 2x sin x dx e ln x I dx x Bài 103 I dx x 2x Bài 104 sin x sin x cos x sin x cos x Đặt : Đặt : t sin x cos x dt cos x sin x dx Bài 105 I 3 x2 dx 3x x I dx sin x Bài 106 t ln tan x dt dx 2dx tan x.cos x sin x ln 2 ln 16 15 Đặt : t 1 sin x dt sin xdx dx u ln x du x dx dv x v 2 x Đặt : 1 x x x 1 Đặt : ln tan x I dx sin 2x dx x u ; 2 t tan u Bài 101 Bài 102 Đặt : t x dt dx e dx I x ln x ln Đặt : t 1 2sin x dt 4 cos xdx sin x.sin x 2sin x.cos x : t sin x dt cos xdx I sin x sin 2xdx Bài 96 Đặt x tan t 4 e t ; 2 137 30 3 Đặt : t 3x t 3x 3t dt u x dx dv sin x Đặt : du dx v cot x ln 12 (12) cot xdx ln sin x C Bài 107 I 4x 1 ln x dx Đặt : dx I sin x.sin x 3 Bài 108 Bài 109 Bài 110 I = 1 2x dx 2x u ln x dv x dx u ln x dv x3dx Lần Đặt : t 1 cot x dt Lần Đặt : I x3 ln x dx dx du x v 2 x x sin x.sin x sin x cot x 3 Đặt : e u ln x dv x 1 dx dx sin x du ? v ? du ? v ? Đặt : t 1 x t 2 x 1 2tdt ln 2 ln 5e 32 ln x x 1 x x x 1 x 4 x 4 x 2 x 2 Bài 111 I= x x 1 x x A B x 2 x 2 x x dx Tìm số A và B cho: A B 1 A ? B ? Giải hệ: A B 4 cos x sin x cos x 4 sin x cos x sin x sin x Đặt : t sin x dt Bài 112 cos3 x I dx sin x x 3 I 3 dx x Bài 113 1 1 I x x Bài 114 3 Đặt : t x t x 3t dt 2007 dx dx t 1 dt x x Đặt : x ln x e Bài 115 I x.ln x dx I x.sin x dx ln 2 138 42008 22008 2008 x ln x Bài 116 ln Lần Đặt : u ln x dv x dx du ? v ? u ln x du ? dv x dx v ? Lần Đặt : 1 x sin x x sin x x cos x x x cos x 2 Tính: I2 5e3 2 27 3 2 384 64 (13) u x du ? Lần Đặt : dv cos xdx v ? u x du ? Lần Đặt : dv sin xdx v ? I1 x dx 2 I2 x cos xdx 2 x 1 x 2; 1 x x 1; 0 x Bài 117 I x dx 2 1 I x dx x 1 dx x 1 dx 2 2 Bài upload.123doc.net dx I 2 x x 1 3 x x tan t Đặt : x2 1dx 0 x e 2x x dx 1 Bài 120 I = I1 xe2 x dx 1 xe 3x dx tan x dx cos x sin x dx 4 I sin x sin x cos x Bài 125 ln x x dt cos x sin x dx sin x dx 4 sin x sin x cos x t 1 dx x 1 cos xdx 3 ln x dx 10 ln 27 4 x 1 cos x cos5 x cos x cos5 x cos x.cos x sin x cos x cos x u 3 ln x dv dx x 1 Đặt: cos x x 1 2e3 1 ln 16 3 31 4e 60 Đặt: t sin x cos x cos cos Bài 126 I = ; Đặt: t tan x dt ? 12 Tích phân phần: u ln x du ? dx v ? dv x Đặt: 1 du ? v ? Đặt : t x t x 2tdt ? u x du ? 3x dv e dx v ? tan x tan x cos x tan x cos x Bài 123 Bài 124 I = u x dv e x dx Đặt : Đặt : cos x cos x sin x cos x tan x cot t tan t I x x 1dx Bài 122 I = t ; 2 1 Bài 121 I = 1 3 2 Đặt : t x t x 3t dt Bài 119 I = du ? v ? 15 1 27 ln 4 16 (14) Bài 127 I = e dx 1 x Đặt: t e x dt e x dx dx dt t ln e e 1 Bài 128 I = e 2x x e x dx x e x x 2e x dx 2e x e Bài 130 I = ln x x ln x 3 x ln xdx x Bài 131 I = 2x dx x 1 Bài 132 I = Bài 133 x sin x x 1 cosx I dx x sin x cos x x sin x dx x cos Bài 135 I = Bài 136 I = 4x dx 2x 1 1 ln x 1 x dx Bài 137 I = 1 x3 dx x 3x Bài 138 I = x sin x dx Bài 140 I = x dx x 1 Bài 141 I = 1 1 Bài 142 I = dx 2x x 1 x Đặt: e 2 t 2 ln x dt 1 2e ln 3 dx x 3 3ln x x ln x 2 x ln x x x x sin x x 1 cos x x sin x cos x x cos x x sin x cos x x sin x cos x x cos x 1 x sin x cos x x sin x x sin x cos x cos x cos x u x du dx sin x dv dx v cos x cos x Đặt: Đặt: t x t 2 x 2tdt 2dx Đặt: t x x dt x 1 dx ln e2 1 2x 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 dx Bài 139 I = x e x e x xe x x x x e x x e x x 2e e ex x 2e x 2e x 2e x dx e Bài 134 I = 2x Bài 129 I = e 3ln ln 1 3 2 ln 3 34 10 ln 3 ln 2 ln ln 3 ln ln 2 2 32 ln 2 1 dx ln (15) Bài 143 I = x Bài 144 I = 21 x dx x 1 ln x x ln 2 dx Bài 145 I = x 1 cos xdx xe dx x Bài 146 I = Bài 147 I = x 1 x ln 2 dx x 3x dx x x Bài 148 I = 1 ln Bài 149 I = x 1 sin xdx x ln x dx x Bài 150 I = ln 2 2 Bài 151 I = x 13 ln 2 ln x dx 1 x Bài 152 I = x 3 e dx 3e y e 1 x, y ex x e 1 KQ: Bài 151 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: Bài 152 Cho hình phẳng H giới hạn các đường y x ln x , y 0, x e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành 5e3 quay hình H quanh trục Ox Bài 153 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường KQ: y 0 và y x 1 x x 1 2 Bài 154 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y x và y x 27 ln KQ: KQ: (16) Bài 155 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường có phương trình y x ; y x ; x 1; x KQ: Bài 156 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y x , y x cos x , x , x P : y x x Bài 157 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol Tháng 12 năm 2015 và đường thẳng d : y x KQ: KQ: (17)