Đề tài Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản42620

Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung SÁNG TẠO BÀI TỐN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN CƠ BẢN A- MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: Trong chương trình Tốn phổ thơng ,Tích phân phần quan trọng mơn Giải tích lớp 12 Các tốn tích phân đa dạng phong phú, thường có mặt kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng Đây tập gây cho học sinh khơng khó khăn dẫn đến tâm lý sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 Bộ trưởng Bộ GD&ĐT nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác ; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập học sinh” Trong trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả phát tốn từ tốn có; cần khơi dậy phát triển tiềm sáng tạo tiềm ẩn học sinh Bài viết xin đưa biện pháp áp dụng dạy chủ đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 “sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, nhằm giúp em học sinh có kiến thức sâu , rộng tích phân; có thêm nhiều tập để rèn luyện kỹ , giúp học sinh phát triển tư sáng tạo Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung - Kiến thức Ngun hàm Tích phân; Kỹ tìm Ngun hàm tính Tích phân -Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân Phạm vi đề tài: Đề tài nghiên cứu, thử nghiệm phạm vi lớp 12A trường THPT Quang Trung,vào tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung Phương pháp nghiên cứu: a) Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 - Tài liệu tham khảo b) Điều tra: - Thực dạy kết kiểm tra: Trong trình nghiên cứu đề tài, tiến hành thực dạy lớp 12: +Năm học 2008-2009: Lớp 12A: đối chứng +Năm học 2011-2012: Lớp 12A: thực nghiệm - Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải tốn tích phân học sinh cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn + Trao đổi với em học sinh tốn tích phân để biết cách tìm hướng giải tốn em, từ có cách dạy tốt c)Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh tìm tốn em cảm thấy hăng say, tích cực , tự tin , kết kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm cao B-NỘI DUNG : 1.Cơ sở lí luận: Có nhiều tập tích phân ví dụ SGK giải xong học sinh chưa hiểu lại giải vậy, tốn vận dụng phương pháp giải Và gặp tốn có số điểm tương tự với tốn giải học sinh vận dụng mà khơng phát nhầm lẫn Nhiều giáo viên đưa nhiều phương pháp giải vấn đề có hiệu như: Phân dạng tập theo phương pháp giải giải nhiều tập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp đơi học sinh cảm thấy sợ phải ghi nhớ q nhiều; chí có học sinh tưởng biết tất phương pháp giải dẫn đến khơng cịn hứng thú giải tốn tích phân Cơ sở thực tiễn: _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung a) Thực trạng việc dạy giáo viên: Có số giáo viên vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo thường dừng lại mức độ nhỏ lẻ khai thác toán tương tự, tìm giải tốn tổng qt b) Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh biết giải tập tích phân tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp tốn tích phân Nhiều học sinh khơng có chút suy nghỉ tìm lời giải gặp tốn tích phân Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009: Lớp 12A Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số lượng % Số lượng % 17 34 33 66 50 c)Sự cần thiết đề tài: Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu kinh nghiệm phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu dạy tích phân cho học sinh lớp 12 Nội dung vấn đề: a)Vấn đề đặt ra: Hiện cách dạy phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo học sinh học tập rèn luyện Để phát huy điều đó, cần phải đưa phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú học tập, để đem lại kết học tập tốt ,và hiệu giảng dạy cao b)Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm: Để hồn thành đề tài, tơi tiến hành bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài c)Các bước sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản: Trước tiên ta tốn tích phân hàm số thường gặp mà khơng có bảng nguyên hàm hàm số thường gặp sách giáo khoa Giải tích 12 : e Bài tốn 1: Tính tích phân : I   ln xdx _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung Giải:  e u  ln x du  dx e e  Đặt  x , ta có : I  ( x ln x)   dx  ( x ln x  x)  dv  dx v  x  b 1.1)Tìm số tích phân dạng  ln u ( x)dx ( với u ( x) hàm số a thường gặp), ví dụ: 1 a) I   ln(3x  1)dx ; I   ln( x  x  2)dx ; 0 1 b) I   ln( x  1)dx ; I   ln( x  x  1)dx ; 0 I   ln( x  1)dx ;   c) I    ln(sin x)  x cot x  dx ; d) I    ln(cos x)  x tan x  dx ;  e) I   ln(e x  1)   x  dx ; x e   e  g) I   ln(ln x)   dx ; e   ln x   h) I   ln(tan x)  x tan x    x  dx ; tan x  I   ln(1  tan x)dx ; i) I   ln(1  x )dx ; I   ln( x  x  9)dx ; 0  ln( x  I x  1)dx ; 1.2) Tìm số tích phân dạng b  f ( x).ln xdx ( với f ( x) hàm số a thường gặp), ví dụ: e a) I   x ln xdx(  1) ;  e I   (2 x  1).ln xdx ; e I   (3 x  x  5).ln xdx ; e x b) I   ln xdx ; e I   (  x).ln xdx ; x  c) I   e x (ln x  )dx ; x d) I   cos x ln x    sin x  dx ; x  _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung   e) I   sin x ln x    cos x  dx ; x  g) I    ln x tan x  dx ;  x    cos x   ln x cot x  dx ; h) I     x    sin x k) I    tan x ln x    ln(cos x)   dx ; x  l) I   cot x ln x    ln(sin x)   dx ; x e m) I   ln xdx 1.3)Tìm số tích phân dạng  u '( x) ln u ( x)dx ( với u ( x) hàm số thường gặp), ví dụ:  b ) I   cos x ln(sin x)dx ; c) a) I   x ln( x  1)dx ;   I   sin x ln(cos x)dx ; d) I   e x ln(e x  1)dx ; 0  e ln(ln x)  x dx ; e e) I  g) I    ln(tan x) dx ; cos x  3 ln(cot x) dx ; h) I    sin x i) I   x ln(1  x  1)dx 1.4)Tìm số tích phân dạng b  a f (ln x) dx ( với f ( x) hàm số x thường gặp), ví dụ: ln x a) I   dx(  1) ; x e e e  b) I  e e dx ; x ln x ln x  I  dx ; x(ln x  4) 1 x c) I   e e d) I   e e) I   1 3ln x e I  x ln x e e e  (I    x ln x  dx ); dx ; x(ln x  4) dx ; dx ; x(1  ln x) x  ln x e I  e dx ; I  1  ln x dx ; x  ln x dx ; x _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung ln(1   ln x ) dx ; x ln(ln x   ln x ) dx ; x e e g) I   e2 h) I   e e2 e e2 ln x  dx ; x(ln x  1)  x(ln I I  I  e ln x  dx ; x(ln x  1) dx x  1)         1.5)Tìm tích phân dạng  log a xdx ,  log a u ( x)dx ,  f ( x).log a xdx ,  u '( x) log a u ( x)dx    f (log a x) dx (với u ( x) , f ( x) hàm số thường gặp), ví dụ: x a) I   log xdx ; 1 I   log ( x  1)dx ; b) I   x log xdx(  1) ; 1 I   log (3 x  1)dx ; I   log ( x  x  2)dx ; I   (3 x  x  5) log xdx ;  c) I   x log ( x  1)dx ; I   cos x log (sin x)dx ;    I   sin x log (cos x)dx ;  I  log (tan x) dx ; cos x 6  log (cot x) dx ; sin x I  e I log (ln x) dx x e  log x d) I   dx ; x (1  log x  1) I  16 I log x  dx ; x(2  log x  1) log 32 x  dx x( log x   2) Do học sinh không làm quen với cách đặt x  a cos t x  a sin t toán giải phương trinh vơ tỉ có chứa biểu thức a  x , a  x a  x nên cịn khó hiểu giải tốn sau đây: Bài tốn 2.Tính tích phân sau: (Bài tập SGK) _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung a 1 b) I   a) I    x dx ; a2  x2 0 Giải: dx ( với a  )  a)Đặt x  sin t , với t  [0; ] , ta có : dx  cos tdt với x  t  , với x  t   I   Ta được:    12 1  sin t cos tdt   cos tdt   (1  cos 2t )dt  (t  sin 2t )  20 2 0  b)Đặt x  a sin t , với t  [0; ] , ta có : dx  a cos tdt với x  t  , với x   I  1  sin t  a t  Ta được:  cos tdt   dt  t 06   Sau giảng giải cho học sinh hiểu cách tường minh toán lại chọn cách đặt mà khơng lựa chọn cách đặt khác Thì ta bắt đầu với toán sau : 2.1)Qua toán ta thấy xuất biểu thức lượng giác sin t cos t thay vị trí biến x a  x ; tốn tích phân hàm số vơ tỉ chuyển thành tốn tích phân hàm số lượng giác Chính mà ta nghĩ đến việc thay biểu thức sin t cos t tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản biến x a  x để tốn tích phân ,ví dụ : 1) a) I   1 1 x 2) a) I   x   x2 4)a) I   dx ( a  ); x  a2  x2 a d) I   b) I   dx ; dx ; x   x2 x  a2  x2 x x   x2 dx ( a  ) dx ; dx ( a  )  4  x2 b) I   dx ; x x   x2 2x c) I   dx ; x  1 x2 x a x 1 b) I   c) I   a dx ; a 3) a) I   1 dx ; b) I   x 2012  x2    2011 1 x  2012 dx ; _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung c)Cho I 2012   x 2012  x dx Lập hệ thức I 2012 I 2014 5) Cho I 2012  2   x 2012 1 x  2013 dx Lập hệ thức I 2012 I 2014 1 6) a) I    3x  x3 dx ; b) I   x3  3x  1dx ; 0 c) I   16 x5  20 x3  x  1dx Lưu ý: Nếu đặt x  a sin t thay vào tốn tích phân có chứa biểu thức a  x ta chọn giá trị cận tương ứng bảng t x     2a 3a 2 a a Theo cách ta đưa loạt tập tương tự với toán cho (bài toán 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm tốn ẩn chứa tốn 2) sau: 2.2)Vì hàm số f ( x)  a  x hàm số chẵn nên ta nghĩ đến toán   f ( x)  a x  dx  0 f ( x)dx (với a  0,   f (x) hàm số chẵn đoạn [  ; ] ) (Chứng minh xem toán 5), chọn số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức a  x để tạo tích phân : a a) I   a e c) I e   e a2  x2 dx (với a  ) ; ax 1 b) I   e x dx ;  ex a x a2  x2 dx (với a  ) ; e) d) J   ax 1 a 2  x2 dx ; 2x  a e x e2  x dx x  e e x  x 1  x dx ; e J2  f) J e   2.3)Kết hợp với toán:   f ( x) ln(e  x   1)dx   xf ( x)dx (với   , f (x) hàm số lẻ đoạn [  ; ])(Chứng minh xem toán 5.7), ta chọn số hàm số lẻ đơn giản có chứa biểu thức a  x , ta tích phân : a a) I   x a  x ln(e  1)dx (với a  ); 2 I1   x  x ln(e x  1)dx ; x a 1 _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung x I2  b) J  2 a Je   x ln(e x  1)dx ;  x ln(e x  1)  x ln(e x  1) a2  x2 a  e e  e2  x x ln(e x  1) dx ( với a  ); J2    x2 1 dx ; dx 2.4)Nếu thay biểu thức a  x cặp biểu thức a  x a  x ta có tích phân , ví dụ : a 2 ax dx ( với a  ); ax a) I   1 x dx ; 1 x I1   2 x dx ; 2 x I2   a 2 ax dx ( với a  ); ax b) J   1 x dx ; 1 x J1   2 x dx ; 2 x J2   a dx ( với a  ); ax  ax c) I   1 dx ; 1 x  1 x I1   dx ; 2 x  2 x I2   a d) J   a 2 J2   1 dx ( với a  ); ax  ax J1   dx ; 1 x  1 x dx ; 2 x  2 x 2.5)Từ tốn tích phân 2.4) ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức a  x , a  x giải theo phương pháp đặt t  a  x ( t  a  x ) , để ghép vào : a a) I   I2   a b) I   x ax dx ( với a  ); ax I1   x  1 x dx ; 1 x x 2 x dx ; 2 x x ax dx ( với a  ); ax I1   x  1 x dx ; 1 x _ Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung I2   a c) I   x 2 x dx ; 2 x e a x I2   d) I   e 2 x  ax dx (với a  ); ax I1   e 1 x  1 x dx ; 1 x  2 x dx ; 2 x  x  ln(  x  1) dx 2 x 2.6)Từ tốn tích phân ta thấy cặp biểu thức a  x a  x quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức , ví dụ thay t  a  x ( với a  ) vào tích phân 2.4) ta có tích phân : a x dx ( với a  ); 2a  x a) I   a I1   I2   I1   2 x dx ; x I2   b) I   2a  x dx ( với a  ); x c) I   1 dx ( với a  ); I1   dx ; 2a  x  x 2 x  x a a a a d) J   x dx ; 2 x 1 1 dx ( với a  ); J1   dx ; 2a  x  x 2 x  x 2 I2   J2   x dx ; 4 x 4 x dx ; x dx ; 4 x  x dx ; 4 x  x 2.7) Từ tích phân 2.4) 2.6) ta đưa tích phân có chứa  cặp biểu thức a  x b  x dạng I     ax bx dx J   dx cách bx ax  ab ab ab a b a b đặt a  x   t a  x   sin u hay x   sin u , ta có 2 2 thể chọn giá trị cận tương ứng bảng    u ba x 3b  a 4 2(a  b) a  b  3(a  b) a  b  3 x dx ; x 1  b ví dụ : a) I1   x 1 dx ; 3 x x  x 1 dx ; b) I1   3 x J1   I2   x  3 x J1   dx ; x 1 3 x dx ; 5 x J2   5 x dx ; 3 x x  3 x x 5 x I2   dx ; J   dx ; 5 x 3 x 1 3 _ 10 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung e c) I   3 x b  d) J  3b  a b  e) J  ba  5 x dx ; 3 x I  dx ; a x  bx J1   3 dx ; a x  bx  2.8)Hoặc dạng   J1    x  ln(  x  1) dx ; 3 x dx ; x 1   x J1   dx ; x3  5 x dx ; x3  5 x dx ; x 1   x J1   (a  x)(b  x) dx , ví dụ : a) I1    x    x  dx ; b) I    x    x  dx ; 2 c) I     x   x  dx 2.9)Ta xét thêm tích phân :     ax  bx  cdx  a     b      b  x dx  x    2a   2a   (với a  ,   b  4ac  ) cách đặt x  x b     t 2a 2a b    b    sin u hay x   sin u , ta chọn 2a 2a 2a 2a 2a giá trị cận tương ứng bảng   u   2b 4a b  2a x  2  2b 4a  3  2b 4a  b 2a ví dụ : 1 a) I   x  x dx ; b) I    x  x dx ; 1 c) I   ( x  1)  x  x dx ; e) I   d) I   1 g) I    x  x2 dx ; 2x dx x   2x  x 1 x    x  x 2.10) Thay x  ln t vào tích phân 2.9) ta có tích phân: a) 1 e I  dx ; ln x  ln x dx ; x e c) I   e b) I    ln x  ln x dx ; x dx x  ln x  ln x 2.11)Thay x  2t x  3t vào tích phân 2.9) ta có tích phân: _ 11 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung a) I   x 1  x dx ; b) I   32 x  6.3x  5dx 1 2.12)Từ việc quen thuộc với cách giải tốn tích phân có chứa biểu thức a  x nên ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức a  x giải theo phương pháp đổi biến khác (đặt t  a  x ) để so sánh, ví dụ như: 1 b) I   xe a) I   x  x dx ; 1 x dx ; 0 c) I   x ln(1   x )dx Ta khai thác tốn tích phân có chứa biểu thức a  x nên tìm đến tốn tích phân có chứa biểu thức x  a , x  a để so sánh : Bài tốn 3: Tính tích phân sau: 5a a a) I   x  a dx, (a  0) ; (J  0 x  a dx, (a  0) ) 2a a b) I    5a x2  a2 dx, (a  0) ; (J   x2  a2 2a dx, (a  0) ) 3.1)Tính tích phân: a a) I   5a x2  a2 dx, (a  0) ; b) J   2a x2  a2 dx, (a  0) a Giải: a)Tính I   x  a dx, (a  0)  Cách 1: Đặt x  a tan t với t  [0; ] , ta có : dx  t  , với x  a t   4 Ta được:   4 I  (1  tan t )dt    tan tdt    tan t dt  (1  tan t )dt , với x  cos t 0 dt  ln(1  2) cos t Cách 2: Đặt t  x  x  a ta có dt  (1  x x a với x   t  a , với x  a  t  (1  )a (1 ) a Suy I   a dt (1  (ln t ) a t )a 2 )dx  x2  a2  x x a 2 dx  dt  t dx x  a2 ;  ln(1  2) _ 12 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung 5a  b)Tính J  x2  a2 2a dx, (a  0) x Đặt t  x  x  a ta có dt  (1  x2  a2 )dx  x2  a2  x x2  a2 dx  dt  t dx x2  a2 ;với x  2a  t  (1  2)a , với x  5a  t  (2  5)a (2  ) a Suy J  (1 dt (2   (ln t ) (1 t )a  )a )a  ln 2 1 3.2)Tính tích phân: : a 5a a) I   x  a dx, (a  0) ; b) J   x  a dx, (a  0) 2a a Giải: a)Tính I   x  a dx, (a  0)  Cách 1: Đặt x  a tan t với t  [0; ] , ta có : dx  t  , với x  a t    dt  (1  tan t )dt , với x  cos t Ta được:  I  a   tan t 1 a2 dt a dt (  ln(1  2))   0 cos3 t cos t Cách 2: x  dx u  x  a du  Đặt  Suy  x2  a2 v  x dv  dx  a a a a a x2 a2 I  ( x x2  a2 )   dx  ( x x  a )   x  a dx   dx 0 x2  a2 x2  a2 0 a a  2I  ( x x  a )   2 0 a2 x2  a2 a dx a  I  ( x x  a )  a ln( x  x  a ) Vậy I  ( a a x a a2 x  a )  ln( x  x  a )  (  ln(1  2)) 2 5a b)Tính J   x  a dx, (a  0) 2a x  dx u  x  a du  Đặt  Suy  x  a2 dv  dx v  x  J  (x x  a ) 2 5a 2a 5a   2a x2 x2  a2 dx  ( x x  a ) 2 5a 2a 5a   2a 5a x  a dx  2  2a a2 x2  a2 dx _ 13 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung 5a 5a  J  ( x x2  a2 )   2a 2a 5a  J  ( x x2  a2 ) a2 dx x2  a2  a ln( x  x  a ) 5a 2a 5a x Vậy J  ( x  a )  2a a2 ln( x  x  a ) 5a  2a a2 a2  (2  2)  ln 2 1 3.3)Thay giá trị a vào toán 3.1) 3.2) ta số tích phân ví dụ: a) I1   x2   b) I1  x  1dx ; I2    J x  4dx ;  x x2  I2  dx ; dx ; x  1dx ; x2 1  J1  dx ; c) I1  x2  I2   dx ;  x x2   x J1  dx ; x2 1 dx 3.4)Từ toán 3.1), 3.2) 3.3) ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức x  a x  a giải theo phương pháp khác (đặt t  x  a t  x  a ), ví dụ:  a) I1  x x2  I2  dx ;  x2  x3 J1  dx ; I2  x  x2 1 b) I1   x x  1dx ; x5 dx ; x  4dx ; J x x  1dx ; c) I   ln( x  x  1)dx 3.5)Kết hợp tốn 3.3) tốn 3.4) ta có tích phân mới:  a) I1  x2   x3  x b) I  dx ;  x2  x 1 dx ); x 1 J1  x 1 dx ; c) J1   x 1 x2 1 dx ;( d) J1   ( x   x  1)2 dx ; 4 e) I   (2 x  1) x  9dx ; g) I   0 b x x  x2  dx b 3.6)Từ công thức :  udv  (u.v) a   vdu , ta xem tích phân toán 3.1) b a 3.2) biểu thức b  vdu a để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức a b  udv , ta có a tích phân sau: a a) I   x ln( x  x  a )dx, (a  0) ; b) I1   x ln( x  x  1)dx _ 14 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung Bài toán : Tính tích phân sau: 1 a) I   dx (ví dụ SGK );  x Giải: b) I   , với x  t    25 x dx ( Bài tập SGK ) a)Đặt x  tan t ,với t  [0; ] , ta có : dx   dt  (1  tan t )dt , với x  t  cos t Ta được:         (1 tan t ) dt dt t   tan t 0 I 3   b) Đặt x  tan t ,với t  [ ; ] , ta có : dx  52 dt  (1  tan t )dt , với x  cos t 5   t  , với x  t  Ta được:    4  I (1 tan t ) dt dt  t     15  15  180   tan t 6 4.1)Đặt x vào vị trí tan t tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản ta có tích phân sau: 1 x dx ; a) I   1 x 1 b) I   x dx ; c) I    x2 d) I    x  x2 dx ; 1 x2  x2 dx ; x2 n x dx (với n  ฀ * ) Lập hệ thức I n I n   x e) Cho I n   4.2)Thay x  ln t vào tích phân ta có: e e a) I   dx ; x(1  ln x) b) I   b ln x dx x(1  ln x) b 4.3)Từ công thức :  udv  (u.v) a   vdu , ta xem tích phân toán 4) biểu b a thức a b  vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức a b  udv , ta có tích a phân : _ 15 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung 1 a) I   ln(1  x )dx ; b) I  x ln x dx 2 )  (1  x 2 4.4)Qua hai ví dụ tốn 4) khiến ta khơng thể khơng xét toán quát : a I  dx ( với a  ) a  x2 Giải:  Đặt x  a tan t , với t  [0; ] , ta có: dx  với x  t  , với x  a t   a dt  a (1  tan t )dt , cos t  Ta được:        (1 tan t ) dt dt t   tan t 0 I 4.5)Và toán tổng quát:   dx dx  ax  bx  c  a  b       x   2a   4a   (với a  ,   b  4ac  ) cách đặt x  b   tan t , ta chọn 2a 4a giá trị cận tương ứng bảng  t x    b  12a 2a b 2a   b  4a 2a 3 b  4a 2a ví dụ : a) I   x3 x  3x  ; c) dx I  dx 2  x  x  x  x  1 1 1 dx ; x  2x  b) I   4x  dx ( x  2)( x  1) d) I   ; Bài toán 5: Cho f (x) hàm số chẵn đoạn [  ; ] Chứng minh :   f ( x)  a x  dx  0 f ( x)dx (với a  0,   ) Hướng dẫn: Đặt t   x  dt  dx , ta có:       f ( x) a x f ( x) f ( x)  dx  a x   a x  dx   f ( x)dx   a x  dx     f ( x) f ( x) f ( x)  2 x dx   f ( x)dx   x dx   f ( x)dx   x dx   f ( x)dx  a    a   a  _ 16 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung 5.1) Thay f (x) số hàm số cụ thể chọn a  e ta có tích phân sau: e x  ex b) J   x dx ; 1 e  x2 1 a) I   x dx ; 1 e  1    c) K   cos x dx ; ex 1  d) H   x sin x dx ; ex 1  ( x  1) cos x dx ; ex 1  f) M    x2 a2  x2 N  ( ); dx a   e x  dx ; ex 1 1 a  a  x2  a2 dx ( a  0,   ); ex 1  e) P  đ) N   P1   1  x2  dx ; ex 1 ln( x  x  1) ln( x  x  a ) J  g) J   ( a  ,   ); dx  e x  dx ; ex 1 1    h) Q       sin x  ln(  x)  ln(  x)  2   dx ; i) J  ln( x  1) dx  ex 1 ex 1 1 b b 5.2)Từ công thức :  udv  (u.v) a   vdu , ta xem tích phân 5.1) b a a b b a a biểu thức  vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức  udv , ta có tích phân :  ( x  x )e dx ; a) I   x 1 (e  1)  x  b) K   e x sin x dx ; (e x  1) 2 e ln( x  x  a ) e ln( x  x  1) dx ( a  0,   ); J1   dx ; c) J   (e x  1) (e x  1) 1  x a e x ( a  x )3 a x(e x  1)2 dx ; d) N   x e x (4  x )3  x(e x  1)2 dx ; 1 N2  5.3)Thay f (x) số hàm số cụ thể chọn a  ta có tích phân sau: e  ( x  1)e dx ; a) I   x e 1 1 x c) K       d) H  e x cos x dx ; ex 1  e x ( x  1) cos x dx ; ex 1 đ) M    e x x sin x dx ; ex 1 _ 17 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung ex a2  x2  a e x  dx (với a  ) ; N1  ex  x2 1 e x  dx ; P1  ex x2   e x  dx 1 a e) N   f) P  ex x2  a2  e x  dx (với a  0,   );  5.4)Thay f (x) số hàm số cụ thể chọn a  ta có tích phân sau:   a) I   ln(1  x ) dx 2x  1 ( x cos x  sin x) x dx ; 2x  1 b) I   5.5)Từ toán 5.1) 5.3) ta rút toán sau: Cho f (x) hàm số chẵn đoạn [  ; ].Chứng minh rằng:    a x f ( x) f ( x)  a x  dx   a x  dx  0 f ( x)dx (với a  0,   )(hoặc: b  a x 1  a x  f ( x)dx  )  b 5.6)Từ công thức :  udv  (u.v) a   vdu , ta xem tích phân 5.3) b a a b b a a biểu thức  vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức  udv , ta có tích phân sau:  a) I   ( x  x) ln(e x  1)dx ; b) K   sin x ln(e x  1)dx ; c) 1   I   ln( x  x  1) ln(e x  1)dx ; d) I   x  x ln(e x  1)dx 1 1 5.7)Từ tích phân 5.6) ta có toán tổng quát : Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [  ; ] Chứng minh :     f ( x) ln(e x  1)dx   xf ( x)dx (với   ) 5.8)Từ toán 5.7) thay e x  t , ta có tốn sau: Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [ 1;1 ].Chứng minh rằng: e  e dx f (ln x) ln( x  1)  xf ( x)dx x 0 5.9) Thay f ( x)  x , f ( x)  ln( x  x  1) vào tốn 5.8) ta có tích phân sau: e dx a) I   ln x ln( x  1) ; x e b) I   ln(ln x  ln x  1) ln( x  1) e e dx x 5.10) Từ toán 5.7) thay x  cos t , ta có tốn sau: Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [ 1;1 ].Chứng minh rằng: _ 18 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung  0 cos x  sin xf (cos x) ln(e  1)dx   xf ( x)dx 5.11) Thay f ( x)  x vào tốn 5.10) ta có tích phân sau:   a) I   sin x ln(e cos x  1)dx ; b) I   [ x  ln(e cos x  1)] sin xdx 0 5.12) Từ toán 5.7) thay x  sin t , ta có tốn sau: Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [ 1;1 ] Chứng minh :   sin x  cos xf (sin x) ln(e  1)dx   xf ( x)dx   5.13)Thay f ( x)  x vào tốn 5.12) ta có tích phân: I   sin x ln(e sin x  1)dx  1  x f ( x) e f ( x) dx J   x dx ( với f (x) hàm số chẵn x e 1 e 1 1 1 5.14)Từ tích phân I   đoạn [ 1;1 ]) toán 5.1) 5.3); thay t  e x ta có tích phân e e f (ln x) f (ln x) I  dx J   dx , ví dụ : x 1 x ( x  1) e e e a) I   e e b) I   e e c) I   e ln x dx ; x( x  1) e ln x dx ; x 1 J  e  ln x dx ; x( x  1)  ln x dx ; x( x  1) ln(ln x   ln x ) d) I   dx ; x( x  1) e e e J  e e J  e  ln x dx ; x 1  ln x dx ; x 1 ln(ln x   ln x ) J  dx x 1 e e d) Kết cụ thể: Qua thực sáng kiến kinh nghiệm, nhận thấy em có nhiều tiến qua tiết học, lớp dạy thử nghiệm 12A Đối tượng học sinh 12A (2008-2009) có trình độ ngang (đối chứng) với 12A (thực nghiệm) Còn lớp thực nghiệm, đa số em giải tốn đạt xác cao _ 19 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Quang Trung Với biện pháp áp dụng, sau thực nghiệm đối chứng đề tài lớp, thu kết sau: Lớp Số lượng 12A 50 Lớp Số lượng 12A 50 Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Ghi Số lượng % Số lượng % 17 34 33 66 Đạt yêu cầu Số lượng 29 Đối chứng Không đạt yêu cầu Ghi % Số lượng % 58 21 42 Thực nghiệm Với kết trên, tơi thấy học sinh có tiến qua kiểm tra Nhiều em giải tốn tích phân đạt kết xác cao Tạo điều kiện cho tiếp tục áp dụng kết đạt cho năm học sau C- KẾT LUẬN: Để đạt mục đích đề sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức tích phân, có nhiều tập cho em rèn luyện kỷ phát triển tư sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT Quang Trung, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm lớp khác, tài liệu chun mơn khác, sử dụng hình thức so sánh đối chiếu giảng dạy Bài học kinh nghiệm: Qua thử nghiệm nêu trên, thấy kết thu cao dạy đối chứng Điều chứng tỏ để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo hiệu học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt nhuần nhuyễn biện pháp giảng dạy, phát huy tính sáng tạo giảng dạy; song song cần tích cực nghiên cứu sách trau dồi lực chuyên môn Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, tơi nhận thấy thân trở thành người sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm Bên cạnh mặt đạt hạn chế, số học sinh yếu không nắm nguyên hàm hàm số thường gặp nên chưa tiếp cận cách khai thác tốn tích phân mà tơi đưa Tơi cố gắng tìm biện pháp để nâng cao hiệu năm tới Mong đồng nghiệp bạn giáo viên tổ, trường hỗ trợ nhiều cho phương pháp _ 20 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên thực hiện: Đinh Quang Đạo DeThiMau.vn ... cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài c)Các bước sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản: Trước tiên ta tốn tích phân hàm số thường... chuyên môn Khi nghiên cứu đề tài ? ?Sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, tơi nhận thấy thân trở thành người sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm Bên cạnh mặt đạt hạn chế, số học sinh yếu không... Lớp 12A Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số lượng % Số lượng % 17 34 33 66 50 c)Sự cần thiết đề tài: Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần