Đề tài Sáng tạo bài toán nguyên hàm Tích phân bằng cách khai thác các bai toán đặc biệt và biến đổi qua nhiều phép tính. ______________________________________________________________50551

Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính A- MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: Trong chương trình Tốn phổ thơng ,Tích phân phần quan trọng mơn Giải tích lớp 12 Các tốn tích phân đa dạng phong phú, thường có mặt kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng Đây tập gây cho học sinh khơng khó khăn dẫn đến tâm lý sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 Bộ trưởng Bộ GD&ĐT nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác ; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập học sinh” Trong trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả phát tốn từ tốn có; cần khơi dậy phát triển tiềm sáng tạo tiềm ẩn học sinh Bài viết xin đưa biện pháp áp dụng dạy chủ đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 “sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, nhằm giúp em học sinh có kiến thức sâu , rộng tích phân; có thêm nhiều tập để rèn luyện kỹ , giúp học sinh phát triển tư sáng tạo Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung - Kiến thức Ngun hàm Tích phân; Kỹ tìm Ngun hàm tính Tích phân -Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân Phạm vi đề tài: Đề tài nghiên cứu, thử nghiệm phạm vi lớp 12A trường THPT Quang Trung,vào tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân Phương pháp nghiên cứu: a) Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính - Tài liệu tham khảo b) Điều tra: - Thực dạy kết kiểm tra: Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi tiến hành thực dạy lớp 12: +Năm học 2008-2009: Lớp 12A: đối chứng +Năm học 2011-2012: Lớp 12A: thực nghiệm - Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải toán tích phân học sinh cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn + Trao đổi với em học sinh tốn tích phân để biết cách tìm hướng giải tốn em, từ có cách dạy tốt c)Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh tìm tốn em cảm thấy hăng say, tích cực , tự tin , kết kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm cao B-NỘI DUNG : 1.Cơ sở lí luận: Có nhiều tập tích phân ví dụ SGK giải xong học sinh chưa hiểu lại giải vậy, toán vận dụng phương pháp giải Và gặp tốn có số điểm tương tự với toán giải học sinh vận dụng mà không phát nhầm lẫn Nhiều giáo viên đưa nhiều phương pháp giải vấn đề có hiệu như: Phân dạng tập theo phương pháp giải giải nhiều tập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp học sinh cảm thấy sợ phải ghi nhớ nhiều; chí có học sinh tưởng biết tất phương pháp giải dẫn đến khơng cịn hứng thú giải tốn tích phân Cơ sở thực tiễn: a) Thực trạng việc dạy giáo viên: Có số giáo viên vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo thường dừng lại mức độ nhỏ lẻ khai thác toán tương tự, tìm giải tốn tổng qt b) Thực trạng việc học học sinh: _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính Đa số học sinh biết giải tập tích phân tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp tốn tích phân Nhiều học sinh khơng có chút suy nghỉ tìm lời giải gặp tốn tích phân Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009: Lớp 12A Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số lượng % Số lượng % 17 34 33 66 50 c)Sự cần thiết đề tài: Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu kinh nghiệm phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu dạy tích phân cho học sinh lớp 12 Nội dung vấn đề: a)Vấn đề đặt ra: Hiện cách dạy phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo học sinh học tập rèn luyện Để phát huy điều đó, cần phải đưa phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú học tập, để đem lại kết học tập tốt ,và hiệu giảng dạy cao b)Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm: Để hồn thành đề tài, tiến hành bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài c)Các bước sáng tạo toán : Trước tiên ta tốn tính ngun hàm hàm số thường gặp mà khơng có bảng ngun hàm hàm số thường gặp sách giáo khoa Giải tích 12 hàm số y  ln x : Bài tốn 1: Tính : I   ln xdx Giải:  u  ln x du  dx  Đặt  x , ta có : I  x ln x   dx  x ln x  x  C dv  dx v  x  +Hướng sáng tạo một: 1.1) Tính :  ln f ( x)dx ( với f ( x) dạng hàm số thường gặp): _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính f '( x)  dx u  ln f ( x) du  f ( x) , ta có : Đặt   dv  dx v  x   ln f ( x)dx  x ln f ( x)   xf '( x) dx f ( x) +Khai thác toán quen thuộc ( đặc biệt ): xf '( x) dx nguyên hàm đặc biệt cần bổ sung cho học f ( x) sinh ta phải lựa chọn biểu thức f ( x) Ta xem  Chẳng hạn: 1.1.1)Để củng cố tích phân hàm số hữu tỉ dạng: dx  ax  b ,  ax dx ,  bx  c (mx  n)dx P( x)dx , (với P(x) đa thức có bậc  ), Ta chọn  bx  c ( x   )(ax  bx  c) f ( x) đa thức  ax Ví dụ 1: Tính : a)  ln(ax  b)dx , ( a  ) ; b)  ln(ax  bx  c)dx , ( a  0, b  4ac ) Giải a  dx u  ln(ax  b) du   a) Đặt  ax  b , ta có : dv  dx v  x ax b  ln(ax  b)dx  x ln(ax  b)   ax  b dx x ln(ax  b)   (1  ax  b )dx b  x ln(ax  b)  x  ln(ax  b)  C a 2ax  b  u  ln(ax  bx  c) du  dx b)Đặt   ax  bx  c , ta có : dv  dx v  x 2  ln(ax  bx  c)dx  x ln(ax  bx  c)   2ax  bx dx ax  bx  c bx  2c )dx ax  bx  c b (2ax  b)dx b dx  x ln(ax  bx  c)  x   (  2c )  2  2a ax  bx  c 2a ax  bx  c b b dx  x ln(ax  bx  c)  x  ln(ax  bx  c)  (  2c)  2a 2a ax  bx  c dx Tìm  (Xem mục 4.5) ax  bx  c  x ln(ax  bx  c)   (2  Ví dụ 2: Tính a)  ln(2 x  3x  1)dx ; b)  ln( x  1)dx Giải: _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính 4x   u  ln(2 x  x  1) du  dx a) Đặt   x  x  , ta có : dv  dx v  x x  3x 2 ln(2 x  x  1) dx  x ln(2 x  x  1)    x  3x  1dx 3x   x ln(2 x  x  1)   (2  )dx x  3x  (3 x  2)dx 1  x ln(2 x  x  1)  x    x ln(2 x  x  1)  x   (  )dx ( x  1)(2 x  1) x 1 2x 1  x ln(2 x  x  1)  x  ln x   ln x   C  x3 u  ln( x  1) du  dx  b) Đặt  x  , ta có : dv  dx v  x  4  ln( x  1)dx  x ln( x  1)    x ln( x  1)   (4  x Tính x4 dx x4  )dx  x ln( x  1)  x   dx x 1 x 1 dx 1 Ta tính : 1  x  '  x 1 dt x  x dx  i)  dx   (t  x  ) ; (Xem mục 4.5) dx   2  x 1 t 2 x 1  x2    x   x x  1 1  x  '  x 1 dt x  x dx  ii)  dx   (t  x  ) dx   2  x 1 t 2 x 1  x2    x   x x  1  2 ln t C t 1  x2  x2 1  Và  dx    dx   dx  x 1  x 1 x 1  Ví dụ 3: Tính tích phân sau: a)  ln(3x  1)dx ; b)  ln( x 1 Giải:  ln( x  1)dx ; c)  ln( x  x  1)dx ;  ln( x  x  2)dx ; 2  x  5)dx ; d)  ln( x  1)dx _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính  dx u  ln(3 x  1) du   a) Đặt  x  , ta có : dv  dx v  x 1 3x 1 I  ( x ln(3 x  1))   dx  ( x ln(3 x  1))   (1  )dx 3x  3x  0 1  ( x ln(3 x  1)  x  ln(3 x  1))  ln  3 2x  u  ln( x  1) du  dx b) Đặt   x  , ta có : dv  dx v  x I  ( x ln( x  1))   0 1 2x2 dx  ( x ln( x  1))   (2  )dx x 1 x 1  ( x ln( x  1)  x)   0 I1   Tính dx x 1 dx (Ví dụ 5- trang 108 –Giải tích 12) x 1 2x 1  u  ln( x  x  1) du  dx c) Đặt   x  x  , ta có : dv  dx v  x x 2 x  x I  ( x ln( x  x  1))   dx  ( x ln( x  x  1))   (2  2  2 )dx 0 x  x  x  x  x  x  0 1 1  ( x ln( x  x  1)  x  ln( x  x  1))   dx 2 x  x 1 1 1 Tính I2   dx   dx x  x 1 0 ( x  )2    Đặt x   tan t , ta có : dx  (1  tan t )dt , x   t  ; x   t  2    (tan t  1)dt 3 3  dt  t  Khi đó: I    3 3   tan t  6 4 3 Vậy I  ln   Chú ý: Trường hợp tam thức bậc hai có nghiệm ta làm theo cách sau:  ln(ax  bx  c)dx  ln[a( x  x1 )( x  x2 )]dx  x ln a   ln x  x1 dx   ln x  x2 dx Ví dụ 4: Tính tích phân : _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính 3 4 a)  ln( x  3x  2)dx ; b) I   ln( x  x  4)dx 1.1.2)Ta củng cố số dạng Tích phân hàm số vô tỉ cách thay f ( x) hàm số vơ tỉ: Ví dụ 5: Tính a)  ln( x   x  1)dx ; b)  ln(1  x   x )dx ; Giải:  dx u  ln( x   x  1) du  a) Đặt   x  , ta có : dv  dx v  x   ln( x   x  1)dx  x ln( x   x  1)  2x dx  x2 1  1 2 d ( x  1)  x ln( x   x x  1)  x 1  C    x  1 x dx u  ln(1  x   x ) du   b) Đặt  x  x (1  x   x ) , ta có : dv  dx  v  x   x ln( x   x  1)   ln(1   x   x )dx  x ln(1  x   x )   x ln(1  x   x )  = x ln(1  x   x )  x( x   x )(1  x   x ) dx 2 x  x (2 x )   x 1 dx   dx     1 x 1 x  = x ln(1  x   x )  ( x   x )   Tính Đặt t Suy x( x   x ) dx  x  x (1  x   x ) x dx  1 x x dx 1 x x t2 2t x  dx  dt 1 x 1 t (1  t )  x dx = 1 x 2t  t (1  t 2 ) dt _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai tốn đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính u  t du  dt   Đặt   2t dv  (1  t ) dt v   t  2t t t 1 t  t (1  t )2 dt   t    t dt   t  ln  t  C Ví dụ 6: Tính tích phân a) I   ln(1  x )dx ; dạng Giải:  4 0 b) I   ln( x  x  9)dx ( I   x ln( x  x  9)dx : Xem thêm x  adx )  u  ln(1  x ) du  a)Đặt   x (1  x ) dv  dx v  x  1 1 x x I   ln(1  x )dx  ( x ln(1  x ))   dx  ln   dx 1 x x) 0 x (1  Tính J   x 1 x dx Đặt t   x  x  t   x  (t  1)2  dx  2(t  1)dt ; Với x   t  1; x   t  ; 2(t  1) 2 dt   (2t   )dt  (t  4t  ln t )  1  ln Suy J   t t 1 Vậy I  Cách 2: Đặt t   x  x  (t  1)2  dx  2(t  1)dt ; 2 Với x   t  1; x   t  ;  u  ln t u  Suy I   2(t  1) ln tdt Đặt   ; t dv  2(t  1)dt v  t  2t  2 t2 I  ((t  2t ) ln t )   (t  2)dt  (  2t )  2 1 2  dx u  ln( x  x  9) du   b)Đặt  x2  v  x dv  dx  4 x I  x ln( x  x  9)   dx  8ln  ( x  9)  8ln  0 x2  1.1.3)Và ta tạo số tích phân khác củng cách thay f ( x) hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lôgarit sau: Ví dụ 7: Tính tích phân _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính   a) I    ln(sin x)  x cot x  dx ; b) I   ln(cos x)   Giải:    x2  dx ;  cos x    2   4 a) I    ln(sin x) dx    x cot x  dx ;  Tính   ln(sin x) dx   u  ln(sin x) u  cot x Đặt  Suy  dv  dx v  x   2  ln(sin x) dx  ( x ln(sin x))     x cot x  dx  4    2    4 Vậy I  ln    x cot x  dx    x cot x  dx  ln  Cách 2: Tính   x cot x  dx    u  x du  dx  Suy   x cot x  dx  x ln(sin x) 2    ln(sin x) dx dv  cot xdx v  ln sin x    Đặt        Vậy I    ln(sin x) dx  ln    ln(sin x) dx  ln 4    x2  dx  cos x    b) I    ln(cos x) dx     u  ln(cos x) du   tan xdx  dv  dx v  x +Tính I1    ln(cos x) dx Đặt      4 Suy I1  ( x ln(cos x)) 04    x tan x  dx   ln    x tan x  dx    x2 +Tính I     dx Đặt  cos x     4 0 u  x du  xdx     1 dx v  tan x dv    cos x   Suy I   x tan x    ( x tan x)dx  2  32   ( x tan x)dx _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính   Vậy I  (ln  ) Bài tập: Tính tích phân x a) I   ln(e x  1)  x  dx ; e  1  e   b) I   ln(ln x)  dx ; (ln x)  e     x  dx ; c) I   ln(tan x)  x tan x  tan x    d) I   ln(1  tan x)dx Hướng dẫn: a) I   ln(e x  1)  dx    x  dx Tính x e    1  ln(e  1)  dx x  ex u  ln(e x  1) u  x Đặt   e 1 dv  dx  v  x  x x2  x     x  dx ; Suy  ln(e  1)  dx  ( x ln(e  1))    x  x  dx  ln(e  1)  e  1 0  e  1  x 1 x 1  x   x  I  ln(e  1)     x  dx    x  dx  ln(e  1)   e  1 e  1  1  dx 2 (ln x )   e e e  b) I    ln(ln x) dx    e  u  ln(ln x) u   +Tính I1    ln(ln x) dx Đặt  x ln x dv  dx v  x e e   dx  e ln    ln x  e e Suy I1  ( x ln(ln x)) e e   +Tính I    dx Đặt (ln x)  e e  x  I2      ln x  e    dx  e  e  ln x  e Vậy I  e ln      dx  e  e  ln x  e e d) Đặt t      ln x  dx ; e u  x du  dx    1 ;  dv  x(ln x) dx v   ln x  e e   e  x  dt  dx; x   t    e   ln x  dx e e     ln x  dx  e ln  e  e e  ;x    t      I   ln(1  tan   t )dt   ln dt  t ln 04   ln(1  tan t )dt  ln  I  tan t 4  0 4  _ 10 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai tốn đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính  Vậy I  ln +Hướng sáng tạo hai: 1.2) Dạng  f ( x).ln xdx 1.2.1)Tính  x ln xdx 1 x Đặt t  ln x  dt  dx 1.2.2)Tính  f ( x).ln xdx t2 ln x ln xdx  tdt   C  C x  2 x ( với f ( x)  )  u  ln x du  dx  Đặt  x ( với F(x) nguyên hàm f(x)) dv  f ( x)dx v  F ( x)  F ( x) dx x F ( x) +Từ ta nghỉ đến tích phân  dx tích phân cần phải x  3x củng cố thêm cho học sinh :  dx , ta sẻ xây dựng số (1  x ) Suy  f ( x).ln xdx  F ( x) ln x   tích phân : Ví dụ: Tính tích phân x2 1 (1  x ) ln x a)  dx ; b) I   ln x dx (ĐH2013A) x (1  x ) 2 Giải:  u  ln x du  dx   x  a)Đặt   3x dv  (1  x ) dx v  x    x (1  x ) ln x x  (1  x )2 dx   x ln x    x dx (Chú ý: Tính  3x x x3 x x   dx  dx   (1  x )2   x  (1  x )2 dx   x dx    x    x dx    x  C )  u  ln x du  dx   x b) Đặt  Theo cơng thức ta có x2 1   dv  dx v  x  x   x _ 11 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính 2 1 5 I  ( x  ) ln x   (1  )dx  ln ( x  )  ln  x x x 2 1 + Nếu f ( x) số số hàm số thường gặp để tạo tích phân : Ví dụ 8: Tính tích phân  d) I   (ln x  x c) I   e x (ln x  )dx ;    ) cos x  dx ; x  Giải:   d) I    cos x(ln x) dx    cos x  dx     x 2  6  +Tính I1    (ln x) cos x  dx ;     u  ln x sin x du  dx  dx Đặt  x Suy I1  sin x ln x 2   x dv  cos xdx v  sin x    +Tính I    cos x  dx ;     x u  cos x du   sin xdx cos x   Đặt  Suy I    1 x dv  x dx v   x     sin x    dx   x   Vậy I  sin x ln x 2   cos x x    cos x  dx ; e) I   sin x ln x  x    g) I    ln x tan x  dx ;  x    cos x   ln x cot x  dx ; h) I     x    sin x k) I    tan x ln x    ln(cos x)   dx ; x  l) I   cot x ln x    ln(sin x)   dx ; x e m) I   ln xdx 1.3)Dạng  u '( x) ln u ( x)dx _ 12 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính Ta có  u '( x) ln u ( x)dx   ln udu  u.ln u  u  C ( với u ( x) hàm số thường gặp), ví dụ:  b ) I   cos x ln(sin x)dx ; c) a) I   x ln( x  1)dx ;   I   sin x ln(cos x)dx ; d) I   e x ln(e x  1)dx ; 0  e ln(ln x) e) I   dx ; x e g) I    ln(tan x) dx ; cos x  3 ln(cot x) dx ; h) I    sin x i) I   x ln(1  x  1)dx 1.4)Tìm số tích phân dạng b  a f (ln x) dx ( với f ( x) hàm số x thường gặp), ví dụ: ln x  x dx(  1) ; e e a) I  e  b) I  e e dx ; x ln x I  e x c) I   e 1 3ln x d) I   dx ; x(1  ln x) x  ln x dx ; ln(1   ln x ) dx ; x e g) I   e2 h) I   e e2 I ln x  dx ; x(ln x  1)  x(ln e e I  e e) I   I  dx ); dx ; x(ln x  4) dx ; e e e x ln x e ln x  dx ; x(ln x  4) e  (I    x ln x  I  1  ln x dx ; x  ln x dx ; x ln(ln x   ln x ) dx ; x e I  e2 I  e ln x  dx ; x(ln x  1) dx x  1) _ 13 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai tốn đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính         1.5)Tìm tích phân dạng  log a xdx ,  log a u ( x)dx ,  f ( x).log a xdx ,  u '( x) log a u ( x)dx    f (log a x) dx (với u ( x) , f ( x) hàm số thường gặp), ví dụ: x a) I   log xdx ; I   log (3 x  1)dx ; 1 I   log ( x  1)dx ; I   log ( x  x  2)dx ; 0 b) I   x log xdx(  1) ; I   (3 x  x  5) log xdx ;  I   cos x log (sin x)dx ; c) I   x log ( x  1)dx ;    I   sin x log (cos x)dx ; I   log (tan x) dx ; cos x 6  e log (cot x) dx ; sin x I  I log (ln x) dx x e  log x d) I   dx ; x (1  log x  1)  I 16 I log x  dx ; x(2  log x  1) log 32 x  dx x( log x   2) Do học sinh không làm quen với cách đặt x  a cos t x  a sin t tốn giải phương trinh vơ tỉ có chứa biểu thức a  x , a  x a  x nên khó hiểu giải tốn sau đây: Bài tốn 2.Tính tích phân sau: (Bài tập SGK) a a) I    x dx ; b) I   Giải: a2  x2 dx ( với a  )  a)Đặt x  sin t , với t  [0; ] , ta có : dx  cos tdt _ 14 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính với x  t  , với x  t   I   Ta được:    12 1  sin t cos tdt   cos tdt   (1  cos 2t )dt  (t  sin 2t )  20 2 0 2  b)Đặt x  a sin t , với t  [0; ] , ta có : dx  a cos tdt với x  t  , với x    I 1  sin t  a t  Ta được:  cos tdt   dt  t 06   Sau giảng giải cho học sinh hiểu cách tường minh toán lại chọn cách đặt mà khơng lựa chọn cách đặt khác Thì ta bắt đầu với toán sau : 2.1)Qua toán ta thấy xuất biểu thức lượng giác sin t cos t thay vị trí biến x a  x ; tốn tích phân hàm số vơ tỉ chuyển thành tốn tích phân hàm số lượng giác Chính mà ta nghĩ đến việc thay biểu thức sin t cos t tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản biến x a  x để tốn tích phân ,ví dụ : 1) a) I   1 1 x dx ; (      cos t  t   I dt   1   dt  (t  tan )   )  dt   1   cos t  cos t  2 t 0 0 cos  2    2 1 b) I   1  x 2) a) I   a c) I   3) a) I   a c) I    dx ; 1 dx ; x  1 x2 x a x 2x x   x2 dx ( a  ); b) I   a d) I   1 x  a2  x2 dx ; x x  a2  x2 b) I   dx ; x   x2 x x   x2 dx ( a  ) dx ; dx ( a  ) _ 15 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính x 4)a) I    x2  b) I   dx ;  x2 x 2012    2011  x2  2012 dx ; c)Cho I 2012   x 2012  x dx Lập hệ thức I 2012 I 2014 5) Cho I 2012  2   x 2012  x2  2013 dx Lập hệ thức I 2012 I 2014 1 6) a) I    3x  x dx ; b) I   x3  3x  1dx ; 0 c) I   16 x5  20 x3  x  1dx Lưu ý: Nếu đặt x  a sin t thay vào toán tích phân có chứa biểu thức a  x ta chọn giá trị cận tương ứng bảng t x     2a 3a 2 a a Theo cách ta đưa loạt tập tương tự với toán cho (bài toán 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm tốn ẩn chứa tốn 2) sau: 2.2)Vì hàm số f ( x)  a  x hàm số chẵn nên ta nghĩ đến toán   f ( x)  a x  dx  0 f ( x)dx (với a  0,   f (x) hàm số chẵn đoạn [  ; ] ) (Chứng minh xem toán 5), chọn số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức a  x để tạo tích phân : a a) I   a e c) I e   e a2  x2 dx (với a  ) ; ax 1 b) I   e x dx ;  ex d) J  2 x  x J2   dx ;  2x 1 2  x2 dx ; 2x  a x a2  x2  a x  dx (với a  ) ; e) a a e x e2  x dx  ex e e f) J e   _ 16 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính 2.3)Kết hợp với toán:     f ( x) ln(e x  1)dx   xf ( x)dx (với   , f (x) hàm số lẻ đoạn [  ; ])(Chứng minh xem toán 5.7), ta chọn số hàm số lẻ đơn giản có chứa biểu thức a  x , ta tích phân : a a) I   x a  x ln(e x  1)dx (với a  ); I1   x  x ln(e x  1)dx ; a 1 x I2  b) J  2 a Je   x ln(e x  1)dx ;  x ln(e x  1)  x ln(e x  1) a2  x2 a  e e  e2  x x ln(e x  1) dx ( với a  ); J2    x2 1 dx ; dx 2.4)Nếu thay biểu thức a  x cặp biểu thức a  x a  x ta có tích phân , ví dụ : a 2 ax dx ( với a  ); ax a) I   I2   a b) J   J2   a 2 x dx ; 2 x ax dx ( với a  ); ax J1   0 I2   a d) J   a 2 J2   1 x dx ; 1 x 2 x dx ; 2 x dx ( với a  ); ax  ax c) I   1 x dx ; 1 x I1   I1   dx ; 1 x  1 x dx ; 2 x  2 x dx ( với a  ); ax  ax J1   dx ; 1 x  1 x dx ; 2 x  2 x 2.5)Từ tốn tích phân 2.4) ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức a  x , a  x giải theo phương pháp đặt t  a  x ( t  a  x ) , để ghép vào : _ 17 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính a x ax dx ( với a  ); ax a) I   I2   a I2   I2   e a x e 2 x d) I   x  1 x dx ; 1 x I1   x  1 x dx ; 1 x x 2 x dx ; 2 x x ax dx ( với a  ); ax b) I   c) I   I1   x 2 x dx ; 2 x a 2  ax dx (với a  ); ax I1   e 1 x  1 x dx ; 1 x  2 x dx ; 2 x  x  ln(  x  1) dx 2 x 2.6)Từ tốn tích phân ta thấy cặp biểu thức a  x a  x quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức , ví dụ thay t  a  x ( với a  ) vào tích phân 2.4) ta có tích phân : a x dx ( với a  ); 2a  x a) I   a I1   x dx ; 2 x I1   2 x dx ; x b) I   2a  x dx ( với a  ); x c) I   1 dx ( với a  ); I1   dx ; 2a  x  x 2 x  x a a a a d) J   1 1 dx ; dx ( với a  ); J1   2 x  x 2a  x  x I2   I2   I2   J2   x dx ; 4 x 4 x dx ; x dx ; 4 x  x dx ; 4 x  x 2.7) Từ tích phân 2.4) 2.6) ta đưa tích phân có chứa  cặp biểu thức a  x b  x dạng I    đặt a  x   ax bx dx J   dx cách bx ax  ab ab ab a b a b  t a  x   sin u hay x   sin u , ta có 2 2 thể chọn giá trị cận tương ứng bảng    u x ba 3b  a 4 2(a  b) a  b  3(a  b) a  b   b _ 18 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo tốn ngun hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính ví dụ : x 1 dx ; 3 x a) I1   x  x 1 dx ; 3 x b) I1   e c) I   3 x b 3b  a b 3 x dx ; x 1 I2   J1   x  3 x dx ; x 1 I2   2  5 x dx ; 3 x I  J1   dx ; a x  bx  e) J  J1   dx ; a x  bx  d) J  ba 2.8)Hoặc dạng   J1   3 x dx ; 5 x 3 J2   5 x dx ; 3 x x  3 x x 5 x dx ; J   dx ; 5 x  x  x  ln(  x  1) dx ; 3 x dx ; x 1   x J1   dx ; x3  5 x dx ; x3  5 x dx ; x 1   x J1   (a  x)(b  x) dx , ví dụ :  a) I1    x    x  dx ; b) I    x    x  dx ; 2 c) I     x   x  dx 2.9)Ta xét thêm tích phân :    ax  bx  cdx  a      b      b  x dx  x    2a   2a   (với a  ,   b  4ac  ) cách đặt x  x b     t 2a 2a b    b    sin u hay x   sin u , ta chọn 2a 2a 2a 2a 2a giá trị cận tương ứng bảng   u x  b 2a   2b 4a  2  2b 4a  3  2b 4a  b 2a ví dụ : a) I   x  x dx ; c) I   ( x  1)  x  x dx ; b) I    x  x dx ; 1 d) I    x  x2 dx ; _ 19 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai tốn đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính 1 e) I   2x g) I   dx ; dx x   x  x2 1 x    x  x 2.10) Thay x  ln t vào tích phân 2.9) ta có tích phân: a) 1 e I  ln x  ln x dx ; x e  ln x  ln x dx ; x e b) I   1 c) I   dx x  ln x  ln x 2.11)Thay x  2t x  3t vào tích phân 2.9) ta có tích phân: 1 a) I    dx ; x 1 b) I   32 x  6.3x  5dx x 1 2.12)Từ việc quen thuộc với cách giải tốn tích phân có chứa biểu thức a  x nên ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức a  x giải theo phương pháp đổi biến khác (đặt t  a  x ) để so sánh, ví dụ như: 1 a) I   x3  x dx ; b) I   xe 1 x dx ; c) I   x ln(1   x )dx ; d) I  x  x2 dx Ta khai thác tốn tích phân có chứa biểu thức a  x nên tìm đến tốn tích phân có chứa biểu thức x  a , x  a để so sánh : Bài tốn 3: Tính tích phân sau: a 5a a) I   x  a dx, (a  0) ; (J  0 x  a dx, (a  0) ) 2a a b) I    5a x a 2 dx, (a  0) ; (J   x  a2 2a dx, (a  0) ) 3.1)Tính tích phân: a a) I   5a x a 2 dx, (a  0) ;  b) J  2a x  a2 dx, (a  0) a Giải: a)Tính I   x  a dx, (a  0)  Cách 1: Đặt x  a tan t với t  [0; ] , ta có : dx  t  , với x  a t   4 Ta được:    4 0 I 1  tan t dt  (1  tan t )dt , với x  cos t (1  tan t )dt    tan tdt   dt  ln(1  2) cos t _ 20 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn ... _ 10 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính ... _ 13 Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai toán đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính ... _ Đinh Quang Đạo –Trường THPT Quang Trung DeThiMau.vn Sáng tạo toán nguyên hàm - tích phân cách khai thác bai tốn đặc biệt biến đổi qua nhiều phép tính