Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï Baøi 1... Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:..[r]
(1)Chuyên đề:
TÍCH PHÂN BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
*dx x C
*
1
,( 1)
1 x
x dx C
*
1dx ln x C
x
=>
1
udu=ln|u|+C
*
x x
e dx e C
=> eudu=eu+C
* ln (0 1)
x
x a
a dx C a
a
*cosxdxsinx C => cos udu=sinu+C
*sinxdx cosx C
2
2
* tan
cos
1
* tan(ax+b)+C
os (ax+b)
dx x C
x
dx a c
*
1 cot
sin xdx x C
*
1 (ax+b)
(ax+b) dx C a,
a
*
u du u C
*
1
cos(ax b dx) sin(ax b C) a
*
1 dx 1 ln ax b C ax b a
*
1
sin(ax b dx) cos(ax b C) a
*
eax bdx 1aeax b C * tan xdx=−ln|cosx|+C
* cot xdx=ln|sinx|+C
*
x2− a2dx=
1 2aln|
x − a x+a|+C
Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên
hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
( ) ( ) ( )
b a
f x dx F b F a
Chú ý: -Nếu
( ) b a
f x dx
= F x( ) bathì
( ) ( ) b
b a a
f u du F u
với u = u(x)
-Nắm vững bảng nguyên hàm;Nắm vững phép tính vi phân.chú ý: , ( ) ( ) du x dx
u x
- Chú ý đến phép chia đa thức, phân tích.
1 1
( )
(x a x b )( ) a b x a x b ,phép nhân liên hợp 1 Tích phân hàm số hữu tỷ
1.
1
3 0( 1)
x dx x
18
2)
1
2
2
x x
dx x
3ln
2
3)
2
dx x x
12ln85
4)
2
1
dx x x
16ln
(2)5)
2
1 ( 1)dx
x x
5 ln
8 6)
1
1
x xx dx
3 ln ln
2
7)
3
1
x x x dx ln
8)
2
5
6
x dx
x x 4ln2-3ln3
9)
2
x
I dx
1 x
ln22
10)
2
4x
I dx
x 3x
18ln2 7ln3
11)
3
2
1
dx x x 1
3 12
12)
4
sin ( 1) cos sin cos
x x x x
dx
x x x
4ln(82 22)
2 Tính tích phân vô tỷ:
1)
2
2
0
x x dx.
529
2)
2
Ix x 1dx 2
3
3)
7
x dx x
23110
4)
3
x x 1dx
14 35
5) 3
1
3
x dx x
46 15
6)
1
dx x 3 x 1
3- 3-2
3
7)
1
2
x dx x x 1
2 1
15
8)
2
2 x x dx
1532 3 5
3 Tính tích phân lượng giác sau:
1)
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
ln34
2)
3
0
4sin x dx
1 cosx 2
3)
3
0
sin3x sin 3x dx cos3x
1 ln2
4)
4
4
cos x sin x dx 12
5)
2
0
sin xsin 2xdx
2
6)
2 3
2
sin 2x sin x dx
15
7)
2
0 2sin
1 s 2in xxdx
1 ln
2 8)
/2
4
/6
cos (sinx x cos )x dx
32
9)
/2
3
0
(cos x sin )x dx
43
10)
/4
6
0
sin sin cos
x dx
x x
ln 4 11)
/4 cos
dx x
4
3 12)
/3
tan x dx
3 ln 2
13)
/4
tan x dx
2
14.
4
0
sin cos sin cos
x x dx
x x
1(ln4 )
(3)15.
2
3
5cos 4sin ( osx+sinx)
x x
dx c
½
16) 3
2 sinx-cosx dx
4
17)
/4
dx cos x
p
ò 1528
18).
2
3
sin sin cos
xdx
x x
3
4 Tích phân hàm số mũ – logarits
1).
1 x x
x
x e 2x e
dx 2e
1ln
3
e
2)
ln
2
0 ( 1)
x x
e dx e
1
3)
e
1 ln x dx x
232
5.
2 sin
cos cos x
e x xdx e 1 4
8.
4
sin
)cos
x
tgx e x dx
ln 2e12 1
9)
e
2 ln x dx 2x
1(3 2)
3
Dạng 2: Tính tích phânbằng phương pháp đổi biến số
Giả sử ta cần tính I=
( ) b a
g x dx
.Nếu viết g(x) dạng: g x( )f u x u x ( ) '( ) đặt
( ) '( )
t u x dt u x dx .Khi đóI =
( ) ( ) ( ) u b ( ) b
a u a
g x dx f u du
Một số dạng thường gặp:
*Nếu tích phân chứa nu x( )thì đặt t = nu x( )hoặc t = u(x) *Nếu tích phân chứa mẫu số đặt t = mẫu số
* Dạng f(sinx).cosxdxcó thể đặt t = biểu thức chứa sinx *Dạng f c( osx).sinxdx đặt t = biểu thức chứa cosx * Dạng f(tanx)
1
cos x dx, đặt t = biểu thức chứa tanx
*Dạng f(sinx+cosx).(cosx-sinx)dx, đặt t = sinx+cosx *Dạng
1 (ln )
f x dx
x , đặt t = biểu thức chứa lnx
*Dạng f e e dx( ).x x , đặt t =biểu thức chứa ex
2.1 Tính tích phân hữu tỷ:
1)
2 2
4
x 1
.dx
x 1
-+
ò 1 ln19 2
17 2 2
+
2) ( )( )
2 2 2
(x 1)dx
x 5x x 3x
-+ + - +
ò 1ln 7
8 15
3)
3 2
4
x 1
.dx
x 1
+ +
ò t x 1
x
=
-4)
2 3
6
1
(x x)dx
x 4x 4x 1
-+ + +
ò t x 1
x
= +
2.2 Tích tích phân vơ tỷ: 1)
1
3
0
1
x x dx
2
( 1)
15
2)
2 5 3
2
x 2x
.dx
x 1
+ +
(4)3)
3
0 2
dx x x
2 ln3
2−
1
4)
2
11
x dx x
11
4ln
5)
1 01
dx x
2(1 – ln2)
6)
x√x −1
x −10 dx
62
30ln
7).
4
dx x x 9
1 7ln
6 4 8).
10
5
dx
I
x x 2ln2 1
9).
2
1
1
2
x
dx
x x
3
10)
4
4x dx 2x
34 10ln3
3
11)
2
5
dx x x
54 3ln
12)
1
2
3
2
x x
dx x
8 2ln
3
13).
64
dx x x
11 6ln2
3
14)
ln
ln 2
x
x x
e dx e e
2ln3 –
15)
x xx x dx
2
4
2011
3 21
128 + 14077
16 16)
5
1
1
3
x
dx
x x
10027 ln 95
17)
5
ln( 1)
1
x
dx
x x
2
ln ln 2
18)
1
2
11
dx
x x
1
2.3 Tích tích phân lượng giác:
a)
sin cos
b
a
f x xdx
cos sin
b
a
f x xdx
1.
0
sin2 cos
1 cosx xx dx 2ln2 1 2).
2
sin sin 3cos
x x dx
x
3427
3).
/2
cos 13 10sin cos
x dx
x x
1ln4
2 4),
/2
sin 4sin cos
x
dx
x x
ln2 - 12
5).
0
dx cosx
p ò
ln(1 2)+
6)
/2
/3sin
dx x
ln
7)
/2
cos sin cos sin
x x x
dx x
ln2
3
8)
2
2
0
3sin 4cos 3sin os
x x
dx
x c x
ln 3
9)
2
3
0
(cos x 1) cos xdx
8
15 −
π
4
10)
π
2
❑
√1−cos3xsinxcos5xdx
12 91
11)
/2
2
0
sin x.cos x.dx
ò p
2
15 12.
2
2
0
sin cos 4sin
x
dx
x x
(5)13.
3
2
sin cos cos
x xxdx ln 22
14.
3
0 4cos sin
xxdx 2
b.
1
. cos
f tgx dx x
1
. sin
f cotgx dx x
1)
0
/ 4cos cos
4
dx
x x ln
2).
3
3
sin cos dx
x x
ln 1
3).
3
6sin sin 3
dx x x
ln
3 4)
/6
0
tan cos
x dx x
.
1 10
ln(2 3)
2 27
5)
2 1
sin cos sin
3
dx
x x x
3 ln
3
6)
2
01 s inx+cosx
dx
1/6
7)
3
3
4
sin cos dx
x x
483 1
8)
4
2
.sin x .dx
cos x 4
ổ ửữ ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
ũ p
p
9) ( )
/4
2
dx
sin x+2cos x
ò p
10
2
4
4
sin
cos (tan tan 5) xdx
x x x
ln 3
3
11)
3
6
cotx
dx sinx.sin x
4
2
2 ln
3
12)
4
2
tan cos cos
x
dx
x x
3 37
13)
4
2
tan x
dx tan x cos x
4ln4
3
c)
b
a
f sinx cosx
cosx sinx dx
hoặc
b
a
f sinx cosx
cosx sinx dx
1).
/2
3
cos (sin cos 3)
x
dx
x x
321
2)
4
0
sin sin 2 sin cos
x dx
x x x
4
3
4
sin cos sin
x x
dx x
4)
4 sin cos
3 sin 2 0
x x dx x
1
ln
4
5) 0
sinx-cosx+1 sinx+2cosx+3dx
ln
6).
2
3
sin (sin cos )
xdx
x x
12
7.
0
cos
1 sin 2 sin( )
x
dx
x x
ln(4 2)
(6)1.
/
2
0
(sin2x 2x)dx
cos x(1 x.tan x)
p
+ +
ò Đặt t x.tan x= +
2)
/2
4
sin2x .dx 1 sin x
p
+
ò 4
p
3) ( )
/2
2
sin x x.cos x
.dx 1 x.sin x
p
+ +
ò (t x.sin x)= +
4) ( )
4 sin2x 2x dx x.cos x sin x
p
-ò
+ 5)
( )
/2 s in2x 2x dx
2
/4 sin x(1 x.cot x) p
p
-ò
+ 2.4 Tích phân mũ – logaris
1.
3
1
x
dx e
2 ln(e e 1)
2.
ln
3
0 1
x
x
e
dx
e 1
3)
ln8
ln3 3
x
x x
e dx e e
11- 24ln2
4)
1 2
1
2
2
x
x x dx
ln
5 ln 14
5).
x x
dx
e e
ln
ln 3
3
ln 6.
ln 2
0 2
x x
e
dx e
8
3
7.
e x x
dx x
1
1 3ln ln 116
135 8.1
3 2ln 2ln
e x
dx
x x
10 11
3
9.
3
2
log 3ln
e x
dx
x x
.
4
27 ln32 10.
3
1
ln ln
e
x x
dx x
3
3
( 16 1)
8
11.1
ln (2 ln )
e x
dx
x x
ln
2
12.1
ln sin(ln ) ln
e
x x x
dx x
cos1+sin1+4 23 23
12)
2
e
2
e
1 ln x .dx x ln x
+
ò (t=x.ln x)
13)
/4
log (1 tan x)dx
p
+
ò p8 x t
4
p
ổ ửữ ỗ = - ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
14.
2
2
1
ln ln
e
e
dx
x x
e22 e
15)
4
2
(5 )
ln x x x
dx x
3ln 164
5 15 Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần
3.1.Dạng
( ) n b
a
P x l xdx
1.
3 2
ln(x x dx)
3ln3 – 2 2. 1
lnx
x3 dx
3−2 ln2 16
3.
3
ln
e
I x x dx
32
e
4.
2
ln
e
e
x x
dx x
2 1e
5
3
2
3 ln x dx (x 1)
3
(1 ln 3) ln
4
6
2
sinx.ln(1+cosx)dx
2ln2-1
7.
3
2
ln(sinx)dx os
c x
3 3 ln
3
8.
1
2
ln 1
x x dx ln
(7)9) 1
3
2 ln
e
x xdx
x
2
e
10.
4 ln
sin
tgx dx x
2 ln 3 16
11
1
3
2
4 ln
4 x
x dx
x
ln
5
12.0
ln
e x
dx x
2 e
13.
3
2 x x
ln dx
2
1 1 x 1 x
2
3
ln ln
14.
2
ln
ln ln
e
x
x dx
x x
2
3
e
3.2 Dạng
( ).cos b
a
P x xdx
,
( ).sin b
a
P x xdx
1.
0
π
2
(x+sin2x)cos xdx
2
2.
/4
tan
G x xdx
2 1
ln
4 32
3.
0
sin
x x dx
2π
2−8
4.
2
0
cos x dx
– 2
5.
π
4
xsinx
cos3x dx π
4−
1
2 6.
4
0 cos
x xdx 8 14ln
7.
3
1 sin cos
x x
dx x
2
3 ln
3 2
8
2
.sin cos
x x x dx
3.3 Dạng ( ) b
x a
P x e dx
1
1
(x ).x e dxx
e
2.
1
2
0 2
x
x e dx
x
3 e
3.
1 2
2
0 1
x
x e dx x
1
2 4.
1
2
xe x x x dx
2 61
3 12 e
5.
2
sin x
cos3x.e dx
3e 6.
2
sin
x
e xdx
3
3
34
e
7).
/ 2
cos
ex xdx
2
1
2
5 e
8.
2
1 sin cos
x
x e dx x
2
(8)Dạng 4: Tính tích phânbằng phương pháp đổi biến số lượng giác
Giả sử ta cần tính
( ) f x dx
.Đặt x = x(t) (t K) a, b K thoả mãn = x(a), =
x(b)thì
( ) b ( ) '( ) b ( )
a a
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( )f x t x t( ) '( )
4.1 Dạng f(x) có chứa a2 x2 thì đặt x a sin ,t t
1
2 /2 2
0
x dx x
1
2
2
1
1
ln ln
e
x dx x x
6 e
3
1
2
0
x dx x
đ
3
3
4
1
2
0
4
x x dx
2π
+ 12
5.
2 /
2
x xdx
12
6.
1
2 1/ 2
x dx
x x
7
4
7
2
2
4 x dx x
3
8
1
2
0
x dx x x
3
2
9 1 ln2
e
dx
x x
10.1
ln ln ln
e
x x
dx
x x
4.2 Dạng f(x) có chứa a2x2 thì đặt x a tan ,t t
1
1
2
1x dx
2
ln( 1)
2 2.
1
2
0
dx x
ln( 1)
3
0
1
dx
x x
3 18
4
1
1 x
dx x
5
6 10 2
4
1 x
dx x
2
6
3
2
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
x dx
x
2
2
7
1
3
5
1 x
dx x
4
3ln
8
1
4
0
dx x x
3
8 36
9
2
2
sinx cos xdx
10 1
e
ln(1+ln2x)
x dx ln2 – + 2
Các dạng khác
1.
2
( 2)
x
x dx
x
4
2.
2 /2
1
x dx x
2
4
(9)3.
1
1
x
C dx
x
3
4.
1
1
2 ln 1
x
x x dx
x
32 2
Dạng 5: Tích phân số hàm đặc biệt
Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số lẻ [-a; a]
( )
a a
f x dx
Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn [-a; a]
( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
Bước 1: Phân tích
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
0
0
( ) ; a ( )
a
J f x dx K f x dx
Bước 2: Tính tích phân
0 ( ) a
J f x dx
phương pháp đổi biến Đặt t = – x. Dạng Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì:
0
( ) ( )
1 x
f x dx f x dx a
(với R+ a > 0)
0
( ) ( ) ( )
1 1
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a
0
0
( ) ; ( )
1
x x
f x f x
J dx K dx
a a
Để tính J ta đặt: t = –x.
Dạng Nếu f(x) liên tục 0;2
2
0
(sin ) (cos )
f x dx f x dx
Đặt t2 x
Dạng Nếu f(x) liên tục f a b x( )f x( ) f a b x( ) f x( )thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, a + b = thì đặt t = – x
nếu a + b = 2 thì đặt t = 2 – x
Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Bài 1.Tính tích phân sau (dạng 1):
a)
7
4
4
1 cos
x x x x dx
x
b)
2 2
2
cos ln(x x x dx)
c)
1 2
1 cos ln
1 x
x dx
x
d)
1
2
ln x x dx
e)
1
4
1
x dx x x
f)
1
sin
x xdx
x
Bài 2.Tính tích phân sau (dạng 2):
a)
1 12x
x dx
b)
1
1
1 2x dxx
c)
1
2 1( x 1)( 1)
dx
e x
(10)d)
2 sin 3x 1xdx
e) −3
3
x2
+1
1+2xdx f)
1
2 1(4x 1)( 1)
dx x
Bài 3.Tính tích phân sau (dạng 3):
a)
2
cos
cos sin
n
n n
x dx x x
(n N*) b)
7
7
0
sin
sin cos
x dx x x
c)
2
sin
sin cos
x dx x x
d)
2009
2009 2009
sin
sin cos
x dx
x x
e)
4
4
0
cos
cos sin
x dx
x x
f)
4
4
0
sin
cos sin
x dx
x x
Bài 4.Tính tích phân sau (dạng 4):
a)
.sin cos
x x dx x
b)
cos sin
x x dx x
c)
2
1 sin ln
1 cosx dxx
d)
4
ln(1 tan ) x dx
e)
2
3
.cos
x xdx
f)
3
.sin x xdx
g) 01 sin x dx
x
h) sin cos
x x dx x
i)
sin cos
x x dx x
k)
4
sin ln(1 tan )x x dx
l)
sin cos
x x dx x
m)
4
sin cos
x x xdx
Bài 5.Tính tích phân sau (daïng 5):
a)
2
sin sin cos
x dx x x
b)
2
cos sin cos
x dx x x
c)
2
sin sin cos
x dx x x
d)
2
cos sin cos
x dx x x
e)
4
4
0
sin
sin cos
x dx x x
f)
4
4
0
cos
sin cos
x dx x x
Dạng 6: Ứng dụng tích phân
1 Diện tích hình phẳng
Diện tích S hình phẳng giới hạn đường:
{Đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b];Trục hoành;Hai đường thẳng x = a, x = b.}
laø:
( ) b a
Sf x dx
(1)
Diện tích S hình phẳng giới hạn đường:
{Đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b];Hai đường thẳng x = a, x = b.}
(11)( ) ( ) b
a
Sf x g x dx
(2)
Chú ý:
Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) khơng đổi dấu thì:
( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx
Trong cơng thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích
phân Ta làm sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm được nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
( ) ( ) ( ) ( )
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx
=
( ) ( ) ( )
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx
* Trường hợp giới hạn nhiều hai đường đường vẽ đồ thị để thiết lập cơng thức tính`
Diện tích S hình phẳng giới hạn đường:
– Đồ thị x = g(y), x = h(y)(g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
( ) ( ) d
c
Sg y h y dy 2 Thể tích vật thể
Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox:
2( ) b a
V f x dx
* Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) ;x = a, x = b quay quanh Ox thì
2( ) 2( )
b b
a a
V f x dx g x dx
Chú ý: Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh
truïc Oy:(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là:
2( ) d c
V g y dy
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x 2 4x 6,y0,x2,x4 b)
ln( 2)
x x
y
x
trục hoành
c)
1 lnx , 0, 1,
y y x x e
x
d) 2ln , 0, ,
x
y y x e x
x
e)
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
(12)a)
3 1, 0, 0
1 x
y y x
x
b) y x y, 2 x y, 0
c) y e y x, 2, x1 d)
2
x x
y , y
4
e) y2 ,x y x2 2 2x1, y2 f) ye1 ,x y 1 e xx .A07
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
a) y 4 x y x2, 2 2x b) y x 2 4x3 , y x 3
c) yx v y2 2 x2 d)
2
1 ,
x
y y
x
e) y x y , 2 x2 f) y 1 2x x và y =
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
a) y x x 2, y2 b) y2 x 0, x y 0
c) y2 2y x 0, x y 0 d) y2 2x1, y x
e)
1 , 0
s inx.cos
y y
x
hai đt x 4,x
f)x y 3 1 0,x y 0 Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
a)
2
1
x x y v y
x
b)
2 2 1
( ) : ,
2
x x
C y y
x
, tieäm cận xiên (C), x = –1 x =
c) ( ) :C y x 3 2x24x 3,y0 tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x = 2.
d) ( ) :C y x 3 3x2, x1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hồnh độ x = –2.
e) ( ) :C y x 2 2x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C). VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường quay quanh trục Ox: a) y 1 2x x C y 2( ); 1( )D b)
x x
x e y
e , trục hoành đường thẳng x1
c)
6
sin cos , 0, 0,
2 y x x y x x
d) y x x, 4
e) y x 3 1, y0, x1, x1 f) y x y 2, x
g) /yx xln , y0, y e h) yx24 ,x y x 2
i) ysin ,x ycos ,x x4, x2
k)
2
x y
x
hai trục tọa độ
l) y x 2 4x6,yx2 2x6 m) yln ,x y0,x2
(13)c) y e x x, 0,y e d) y x y 2, 1, y2
Bài 3. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh:
i) truïc Ox ii) truïc Oy
a) y(x 2) ,2 y4 b) y x ln ,x y0,x1, x e