Bài tập tích phân cơ bản

38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) DẠNG 38 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các tính chất Å ã 1) f (x) dx = f (x) Å f (x) dx = f (x) + C ; d 2) Nếu F (x) có đạo hàm kf (x) dx = k 4) [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx = f (x) dx d [F (x)] = F (x) + C f (x) dx với k số khác f (x) dx ± g(x) dx 5) Công thức đổi biến số Cho y = f (u) u = g(x) Nếu f (x) dx = F (x) + C F (u) + C 6) Các cơng thức khác c b b a a c b k b kf (x) dx (k = 0) f (x) dx = a a b a f (x) dx = − a f (x) dx b b b = F (b) − F (a) f (x) dx = F (x) a a b b [f (x) + g(x)] dx = a b a b f (x) dx = b f (z)dz f (t) dt = a g(x) dx f (x) dx + a b a f (x) dx với a < c < b f (x) dx + f (x) dx = a f [g(x)]g (x) dx = f (u) du = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 3) ã 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) b b = f (b) − f (a) f (x) dx = f (x) a a PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP MẪU x √ , ∀x > Khi Ví dụ Cho hàm số f (x) có f (3) = f (x) = x+1− x+1 f (x) dx Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A B 197 C 29 D 181 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải b 1) DẠNG TOÁN: Đây dạng cho trước f (x0 ), f (x) Tính f (x) dx a 2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI B1: Dựa vào f (x) suy f (x) = f (x) dx B2: Từ f (x0 ) ta tìm hệ số C f (x) b B3: Tính f (x) dx a LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có x x √ √ √ f (x) dx = dx = dx x+1− x+1 x + x + − √ Å ã x+1+1 √ = dx = 1+ √ dx x+1 x+1 d(x + 1) √ = dx + 2 x+1 √ = x + x + + C √ Mà f (3) = ⇔ C = −4 Suy f (x) = x + x + − f (x) = Khi 8 x + x + − dx = f (x) dx = 197 √ (x−4) dx+2 3 √ Ç x + 1d(x+1) = x2 − 4x + (x + 1)3 å = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN x+1 √ Câu Cho hàm số f (x) có f (7) = 15 f (x) = , ∀x > Khi x+2− x+2 271 A 347 B f (x) dx 287 C D Lời giải Ta có x+1 √ dx = x+2− x+2 √ x+1 √ √ dx = x+2 x+2−1 Khi √ 347 x + x + + dx = f (x) dx = x+2+1 √ dx = x+2 Chọn phương án B Câu Cho hàm số f (x) có f (−1) = f (x) = x · ex+1 + Khi f (x) dx −e2 A − 2e + Lời giải Ta có f (x) = B C −e2 D e2 − 2e + + 2e + x · ex+1 dx + dx x · ex+1 dx ® u=x Đặt + 2e + x · ex+1 + dx = f (x) dx = Tính I = ® e2 dv = ex+1 dx ⇒ Suy I = x · ex+1 − du = dx v = ex+1 ex+1 dx = x · ex+1 − ex+1 + C Do f (x) = x · ex+1 − ex+1 + 2x + C Mà f (−1) = ⇔ −e0 − e0 − + C = ⇔ C = f (x) = x · ex+1 − ex+1 + 2x + Vậy 1 x · ex+1 − ex+1 + 2x + dx = xex+1 − 2ex+1 + x2 + 5x f (x) dx = = −e2 + 2e + 0 Chọn phương án C e f (x) dx x Câu Cho hàm số f (x) có f (e2 ) = x · f (x) = ln x, x ≥ Khi A B e C 1 D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN f (x) = f (x) dx = √ x + x + + C √ Mà f (7) = 15 ⇔ C = Suy f (x) = x + x + + 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Ta có ln x dx = ln xd(ln x) = ln2 x + C x Mà f (e ) = ⇔ C = − ln2 e2 = ⇔ C = Suy f (x) = ln2 x f (x) = f (x) dx = e e Vậy 1 e ln2 x dx = x f (x) dx = x ln3 x ln xd(ln x) = e 1 = Chọn phương án D Câu Cho hàm số f (x) có f (1) = e + f (x) = x3 + ex + π sin(πx) Khi f (x) dx 5e2 − A 5e2 + B 5e2 − C D e2 + Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải x4 + ex − cos(πx) + C 1 x4 Mà f (1) = e + ⇔ + e + + C = e + ⇔ C = −1 Suy f (x) = + ex − cos(πx) − 4 4 Ta có: f (x) = f (x) dx = 2 x3 + ex + π sin(πx) dx = sin(πx) x5 + ex − −x 20 π ã x2 + Câu Cho hàm số f (x) xác định R \{0} thỏa mãn f (x) = x3 Giá trị biểu thức f (−2) + f (2) 3 A + ln B + ln C + ln 8 Å Vậy f (x) dx = x4 + ex − cos(πx) − ã Å dx = = 0 5e2 − Chọn phương án A , f (−1) = f (1) = −4 D + ln Lời giải x2 + Ta có: f (x) = x3 2 x2 + 1 2 = x + + nên f (x) = dx = x+ + x x  x x x x   − + ln x + C1 x > x2 2x Suy f (x) = − + ln |x| + C = 2 2x   x − + ln(−x) + C x < 2 2x2 Trên khoảng (0; +∞), ta có f (1) = −4 ⇔ C1 = −4 Trên khoảng (−∞;  0), ta có f (−1) = ⇔ C2 = x   − + ln x − x > Do f (x) = 22 2x   x − + ln(−x) + x < 2x2 Vậy f (−2) + f (2) = + ln Chọn phương án C dx 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 Biết x(ln x − 1) Câu Cho hàm số f (x) xác định (0; +∞) \ {e} thỏa mãn f (x) = f e2 + f e3 e = ln f (e2 ) = Tính T = f A T = + ln Lời giải Ta có f (x) = Suy f (x) = B T = ln C T = + ln D T = + ln d(ln x − 1) dx = = ln |ln x − 1| + C x(ln x − 1) ln x − ® ln (ln x − 1) + C1 x ∈ (0; e) f (x) dx = Chọn phương án C √ Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x √ [0;+∞) phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng nào? A (0; 1) B (1; 2) C (2; 3) Lời giải Å ã √ √ √ 3√ x+x· √ dx = x dx Ta có d (1 + x x) = (1 + x x) dx = √2 x d (1 + x x) √ =3 1+x x [0; +∞) Biết f (x) = − , 1+x x √ x (∗) D (3; 4) √ Suy f (x) = + x x + C √ dx = + x x   f (x) ≥ + C, ∀x ≥ 4 Khi ⇒ f (x) = + C ⇔ + C = − ⇔ C = −2 3  [0;+∞) f (0) = + C … √ 25 Vậy f (x) = ⇔ 1+x x−2=0⇔x= ∈ (1; 2) 16 Chọn phương án B Câu Cho hàm số f (x) xác định R∗ thỏa mãn f (x) = Giá trị biểu thức f (−2) A − ln B + ln Lời giải Ta có f (x) dx = ⇔ f (x) dx = ® ⇔f (x) = C + ln , f (−1) = 1, f (1) = f (2) = x2 D ln 1 dx ⇔ f (x) = − + C x x − + C dx ⇔ f (x) = − ln |x| + Cx + C1 x − ln x + Cx + C2 với x ≥ − ln(−x) + Cx + C3 với x < 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ln (1 − ln x) + C2 x ∈ (e; +∞) 1 * Theo giả thiết, f = ln ⇔ C1 = ln ⇒ f = ln + ln = ln e e * Tương tự f (e2 ) = ⇔ C2 = ⇒ f (e3 ) = ln + (∗∗) + f (e3 ) = ln + Từ (∗) (∗∗) ta có f e 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Với x = −1 < nên f (−1) = ⇔ − ln(1) + C · (−1) + C3 = ⇔ −C + C3 = Với x = > nên f (1) = ⇔ − ln + C + C2 = ⇔ C + C2 = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Với x = > nên f (2) = ⇔ − ln + 2C + C2 = ⇔ 2C + C2 = ln   − C + C =    C = ln ⇔ C2 = − ln Ta có hệ phương trình C + C2 =     2C + C2 = ln C3 = + ln ® − ln x + x ln − ln với x ≥ Do f (x) = − ln(−x) + x ln + + ln với x < Vậy với x = −2 < f (−2) = − ln − ln + + ln = − ln Chọn phương án A √ √ Câu Cho hàm số f (x) có f (x) = , ∀x > f (1) = 2 Khi √ (x + 1) x − x x + f (x) dx √ 14 A 3− √ 10 B 3+ √ √ 10 D 3+ − 3 √ 10 C 3− Lời giải Ta có dx dx √ √ = √ √ √ (x√+ 1) x − x x + x+1· x x+1− x √ √ x + + x dx √ dx dx √ √ √ = x + + x + C = = + √ x x+1· x x+1 √ √ √ Mà f (1) = 2 nên C = −2 Suy f (x) = x + + x − f (x) = Vậy √ f (x) dx = f (x) dx = √ √ 4 x + + x − dx = (x + 1) + x − 2x 3 √ 10 =4 3− Chọn phương án C Câu 10 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = xex f (0) = Tính f (x) dx A e2 + Lời giải Ta có f (x) = ® Đặt f (x) dx = ® u=x dv = ex dx Do f (x) = C e2 + B −8 ⇒ x · ex dx du = dx v = ex f (x) dx = x · ex − ex dx = x · ex − ex + C Theo giả thiết f (0) = ⇔ = −1 + C ⇔ C = Suy f (x) = x · ex − ex + D 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Khi (x · e − e + 3) dx = x x x (−e + 3) dx = (x · e − e ) +(−e + 3x) x·e dx+ = 0 0 2 x x x 0 x f (x) dx = 2 2 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án D e2x √ , ∀x ∈ R Khi Câu 11 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (ln 3) = f (x) = x e + − ex + ln ex f (x) dx √ −10 − A √ 20 − B √ 20 + C √ 10 − D √ e2x ex + + ex + e2x √ dx dx = f (x) = f (x) dx = x + − ex + x + 1)2 − (ex + 1) e (e √ Å ã √ e2x ex + + ex + ex x x √ e + dx = ex + + C = dx = e + x+1 ex (ex + 1) e √ Do f (ln 3) = nên C = −4 ⇒ f (x) = ex + ex + − ln ln ex f (x) dx = Khi e2x + 2e √ x ex + − 4ex dx = Å 2x x e + (e + 1) − 4ex ã ln √ 20 − = Chọn phương án B x √ , ∀x > Khi Câu 12 Cho hàm số f (x) có f (5) = 13 f (x) = x+4−2 x+4 xf (x) dx 1673 A 15 B 173 15 C 219 Lời giải Ta có x x x √ √ f (x) = =√ =√ = x+4−4 x+4−2 x+4 x+4 x+4−2 x+4· √ x+4+4 Å ã √ Suy f (x) = 1+ √ dx = x + x + + C x + √ Do f (5) = 13 nên + + C = 13 ⇔ C = −16 Vậy D 181 √ x+4+4 √ =1+ √ x+4 x+4 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Ta có 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) 5 √ 0 = Å = √ x2 + 8x x + − 16x dx x x + x + − 16 dx = xf (x) dx = PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ x2 + 8(x + 4) x + − 32 x + − 16x dx √ √ x3 16 64 + (x + 4)2 x + − (x + 4) x + − 8x2 ã = 1673 15 Chọn phương án A e f (x) dx x ln x √ Câu 13 Cho hàm số f (x) có f (1) = f (x) = , ∀x > Khi x ln x + − ln x + 1 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ A √ 2+1 B 3 Lời giải Ta có √ C 2−1 √ D 2+1 ln x ln x ln x √ √ = √ = √ ln x + − x ln x + − ln x + x ln x + ln x + − x ln x + · √ ln +1 + √ ln x + + 1 √ = = + √ x x ln x + x ln x + f (x) = √ 1 Suy f (x) = f (x) dx = + √ dx = ln x + ln x + + C x x ln x + Mà f (1) = nên + C = ⇒ C = √ √ Suy f (x) = ln x + ln x + + = ln x + + Å ã Vậy e e f (x) dx = x Å√ ln x + + x e ã dx = = √ e e (ln x + 1)3 + ln x 1 dx x ln x + · d(lnx + 1) + √ √ 2 2−1 2+1 = +1= 3 Chọn phương án B π Câu 14 Cho hàm số f (x) có f (−π) = −2 f (x) = sin 2x √ , ∀x > Khi sin x + − sin x + f (x) dx π A Lời giải Ta có √ B π C 10 − 3π D π + 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN sin 2x sin 2x sin 2x √ √ =√ =√ sin x + − sin x + − sin x + sin x + sin x + − sin x + · √ sin x + + √ cos x sin x + + cos x √ = cos x + √ = sin x + sin x + f (x) = Å cos x Suy f (x) = f (x) dx = cos x + √ sin x + Mà f (−π) = −2 nên + C = −2 ⇔ C = −6 √ Do f (x) = sin x + sin x + − ã √ dx = sin x + sin x + + C Vậy π π Ç sin x x + cos 2 π å −6 dx = sin x + sin x x + cos − dx 2 = − cos x + − cos x x + sin − 3x 2 π =2 − 3π + = 10 − 3π Chọn phương án C π Câu 15 Cho hàm số f (x) có f π = f (x) = cos x − sin x Biết sin x + cos x √ √ √ a ln + b + c ; với a, b, c số nguyên Khi a + b + c A B C −1 cos x + π f (x) dx = D Lời giải cos x − sin x dx = sin x + cos x √ π Mà f = nên C = − ln √ Suy f (x) = ln |sin x + cos x| − ln Ta có f (x) = f (x) dx = π π π f (x) dx = cos x + I = = d(sin x + cos x) = ln |sin x + cos x| + C sin x + cos x √ ó π ỵ ln(sin x + cos x) − ln dx cos x + π cos x + π π ln sin x + 4 dx  π  cos x +    π  u = ln sin x +  du = π sin x + dx Đặt ⇒  dv = cos x + π dx     v = sin x + π 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN sin x + f (x) dx = … 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) π π π π Suy I = sin x + ·ln sin x + 4 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN − √ √ √ √ √ √ 2 ln + − dx = ln 2−1+ = 2 π cos x + Suy a = 1, b = 1, c = −2 Vậy a + b + c = Chọn phương án B Câu 16 Biết f (x) = √ 5x2 − 15x + 14 √ ; f (x) = ax2 + bx + c 2x − với x > , (a, b, c ∈ Z) Tính 2x − f (x) dx Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A 230 21 B 21 251 C 230 51 D 21 30 Lời giải Ta có √ ax2 + bx + c f (x) = ax + bx + c 2x − ⇒ f (x) = (2ax + b) 2x − + √ 2x − 2 (2ax + b)(2x − 3) + ax + bx + c 5ax − (6a − 3b)x − 3b + c √ √ ⇔f (x) = = 2x − 2x − 2 5x − 15x + 14 5ax − (6a − 3b)x − 3b + c √ √ ⇔ = với x > 2x − 2x − √ Suy   5a =   a =     − 6a + 3b = −15 ⇔ − 3b + c = 14 Vậy f (x) = x2 − 3x + b = −3 c = √ 2x − x2 − 3x + f (x) dx = √ 2x − dx = 230 21 Chọn phương án A Câu 17 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) √ = + f (x) · f (x) = e2x √ , ∀x > Khi ex + − ex + ln f (x) dx ln √ A − 2 ln Lời giải Ta có √ √ B 2 − 2 ln √ C 2 ln √ √ D 2 + 2 ln 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN e2x e2x √ √ √ = ex + − ex + ex + ex + − √ ex + + ex e2x ã= Å x √ = √ e +1−1 ex + ex + √ x e +1+1 x e = ex + √ x e +1 f (x) · f (x) = f (x) · f (x) dx = Mặt khác f (x)d[f (x)] = f (x) + C1 √ ex dx = ex + ex + + C2 Ta lại có e +√ x e +1 √ √ f (x) Do + C1 = ex + ex + + C2 ⇔ f (x) = 2ex + ex + + C √ √ √ Mà f (0) = + + C nên + = + + C ⇔ C = √ √ √ Suy f (x) = 2ex + ex + + = ex + + ex + + = ex + + √ √ Vì f (x) = ex + + Å ã x Khi I = √ f (x) dx = ln ln ln ln √ Tính I1 = √ √ ex + + dx = Ñ ln √ é ex + dx + ln ln ex + dx ln √ 2t 2t Đặt t = ex + ⇒ t2 = ex + ⇒ 2t dt = ex dx ⇒ dx = x dt = dt e t −1 ⇒ I1 = 2t2 dt = t2 − 1+ t −1 dt = 2 + ln √ Vậy I = 2 + ln + ln 1+ 1 − t−1 t+1 Å dt = t−1 2t + ln t+1 ã = √ √ = 2 + 2 ln Chọn phương án D Câu 18 Cho hàm số f (x) xác định (1; +∞), thỏa mãn (x − 1)f (x) + f (x) = xex+1 , biết f (x) dx ex+1 f (2) = e3 Tính A B C Lời giải Ta có (x − 1)f (x) + f (x) = xex+1 ⇔ [(x − 1) · f (x)] = x · ex+1 Suy (x − 1) · f (x) = xex+1 dx ® ® Đặt u=x dv = ex+1 dx ⇒ du = dx v = ex+1 D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ln 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ex+1 dx = ex+1 (x − 1) + C Suy (x − 1)f (x) = x · ex+1 − C x−1 Mà f (2) = e3 nên e3 + C = e3 ⇔ C = ⇒ f (x) = ex+1 Do f (x) = ex+1 + 7 f (x) dx = ex+1 Vậy = dx = x 5 Chọn phương án C x Câu 19 Cho hàm số y = f (x) có f (1) = f (x) = với x > −1 Khi (x + 1)2 f (x) dx A ln + 2 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B ln − C ln − D ln + Lời giải Ta có f (x) = f (x) dx = Khi x dx = (x + 1)2 1 − t t x dx Đặt t = x + ⇒ dt = dx (x + 1)2 dt = ln |t| + +C t 1 = ln |x + 1| + + C = ln(x + 1) + + C (vì x > −1) x+1 x+1 1 Mà f (1) = ⇔ = ln + + C ⇔ C = − ln 2 2 x+1 Suy f (x) = ln(x + 1) + − ln = ln + x+1 x+1 Khi f (x) dx = x+1 ln + dx = x+1 ln − ln 2 x+1 ln 1 dx = x+1 dx+ ln x+1 dx+ Xét A = Đặt ln x+1  u = ln x +  dv = dx dx dx x+1 ⇒ chọn v = x +   du = x+1 Suy A = (x + 1) ln 2 − dx = ln − 2 Vậy f (x) dx = ln − Chọn phương án C Câu 20 Cho hàm số f (x) có f (0) = − f (x) = √ x3 x2 + với giá trị x ∈ R Tổng tất 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN nghiệm thực phương trình f (x) = A 12 B Lời giải Ta có f (x) = √ D −1 C x3 dx x2 + √ Đặt t = x2 + ⇒ t2 = x2 + ⇒ t dt = x dx Khi f (x) dx = √ x2 + t3 t2 − √ √ t dt = t − dt = −t+C = − x2 + 1+ dx = x dx = t 3 x2 + x2 + C √ √ 2+1 √ x x2 + x2 + √ 2 Mà f (0) = − nên C = ⇒ f (x) = − x +1= − x + 3 √ √ √ √ x2 + x + − x + = ⇔ x2 + x2 + = x + ⇔ x2 = ⇔ Xét f (x) = ⇔ √ ñ x= √ x=− Vậy tổng nghiệm thực phương trình f (x) = x3 x2 √ Câu 21 Cho hàm số f (x) có f (−1) = f (x) = Biết (x + 2x + 3) x2 + 2x + √ √ a− b+c với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị T = a + b + c A 21 B 52 C 64 D 13 f (x) dx = Lời giải √ dx (x2 + 2x + 3) x2 + 2x + 2x + √ Đặt t = √ ⇒ dt = dx 2 x + 2x + (x + 2x + 3) x2 + 2x + 1 √ Suy dx = dt = t+C = 2 4 (x + 2x + 3) x + 2x + x+1 Mà f (−1) = nên C = ⇒ f (x) = √ + 2 x2 + 2x + Ta có f (x) = f (x) dx = Khi 5 Å x+1 √ +2 x2 + 2x + f (x) dx = 1 √ dt = dx (x + 2x + 3) x2 + 2x + 2x + x+1 ·√ +C = √ +C 2 x + 2x + x + 2x + ⇒ ã dx = 2x + √ dx + x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1Ä √ dx + = 2 x2 + 2x + 3 dx x2 + 2x + ä u+4= √ 38 − √ 18 + Do a = 38, b = 18, c = Vậy a + b + c = 64 Chọn phương án C 2x + f (x) = x→0 2x Câu 22 Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị x = x = Biết lim 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 f (x) dx f (4) = 16 Tích phân 17 A 60 B 15 C 19 30 D Lời giải Hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị x = x = ⇒ f (1) = f (2) = 2x + f (x) = nên f (0) = x→0 2x Vì y = f (x) hàm bậc bốn nên f (x) hàm bậc ba Suy f (x) = ax(x − 1)(x − 2) với a = Do lim Theo đề ta có + a(x − 1)(x − 2) 2x + ax(x − 1)(x − 2) = ⇔ lim = ⇔ a = x→0 x→0 2x lim Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy f (x) = x(x − 1)(x − 2) = x3 − 3x2 + 2x ⇒ f (x) = Mà f (4) = 16 ⇔ 1 f (x) dx = x4 − x3 + x2 + C 44 x4 − 43 + 42 + C = 16 ⇔ C = Suy f (x) = − x3 + x2 4 Å Vậy x3 − 3x2 + 2x dx = x4 − x3 + x2 ã dx = 15 Chọn phương án B Câu 23 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) · [f (x)]2020 = x · ex với x ∈ R f (1) = Giá trị [f (2)]2021 A 2021e2 + B 2e2021 + 2021 C 2021e2 + 2021 D 2021e2021 + Lời giải Ta có f (x) · [f (x)]2020 dx = ⇔ x · ex dx ⇔ [f (x)]2020 d [f (x)] = (x − 1) · ex + C · [f (x)]2021 = (x − 1) · ex + C ⇔ [f (x)]2021 = 2021(x − 1) · ex + 2021C 2021 Do f (1) = nên 2021C = hay [f (x)]2021 = 2021(x − 1) · ex + Suy [f (2)]2021 = 2021e2 + Chọn phương án A ex [f (x) + f (x)] dx = ae + b Tính Câu 24 Cho hàm số y = f (x) với f (0) = f (1) = Biết rằng: Q = a2020 + b2021 A Q = B Q = 4041 Lời giải ® Đặt u = f (x) dv = ex dx ® ⇒ du = f (x) dx v = ex C Q = −1 D Q = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Khi ex [f (x) + f (x)] dx = ex f (x) ex f (x) dx = ef (1) − f (0) = e − ex f (x) dx + − 0 1 0 Do a = 1, b = −1 Suy Q = a2020 + b2021 = 12020 + (−1)2021 = Vậy Q = Chọn phương án D Câu 25 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương (0; +∞) thỏa mãn f (1) = √ f (x) = f (x) · 3x + 1, với x > Giá trị ln [f (2020)] A B √ Lời giải √ Ta có f (x) = f (x) · 3x + ⇔ 6061 C 2√ 6061 D √ 6061 f (x) =√ f (x) 3x + Suy f (x) d [f (x)] √ dx = = dx ⇔ f (x) f (x) 3x + 2√ 2√ 3x + + C ⇔ f (x) = e 3x+1+C ⇔ ln f (x) = √ e4 nên e +C = 2√ Vậy ln [f (2020)] = 6061 Mà f (1) = √ 2√ e4 ⇔ C = Suy f (x) = e 3x+1 √ dx 3x + Chọn phương án C Câu 26 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = , f (x) 1 x3 f (x) dx = 37 Tích phân 180 [f (x) − 1] dx A 15 B − 15 Lời giải ®   du = f (x) dx Đặt u = f (x) dv = x3 dx ⇒ Suy − 10 f (1) x f (x) dx = − 4 x4 f (x) dx 37 37 x3 f (x) dx = nên = − 180 180 20 D 1 Mà f (1) = ; 10 v = x x f (x) dx = x4 · f (x) C − x4 f (x) dx = − x4 f (x) dx ⇔ 0 dx = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 3√ 6061 √ e4 , 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Xét f (x) + kx f (x) dx = f (x) + kx4 Cho dx = ⇔ x f (x) dx + k dx + 2k 4k k x dx = − + 9 0 0 1 1 4k k − + = ⇔ k = 9 f (x) + kx4 Khi Mà f (1) = dx = ⇔ f (x) = −2x4 , ∀x ∈ [0; 1] ⇔ f (x) = − x5 + C, ∀x ∈ [0; 1] 3 ⇔ − + C = ⇔ C = ⇒ f (x) − = − x5 , ∀x ∈ [0; 1] 5 5 − x5 [f (x) − 1] dx = Vậy dx = − 15 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án B Câu 27 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) = (2x + 1)f (x), ∀x > 0, f (x) = f (1) = − Khi 2020 f (x) dx A ln 2021 4040 B ln 4040 2021 C ln 2021 2020 D ln 2020 2021 Lời giải f (x) = 2x + f (x) f (x) dx = (2x + 1) dx ⇔ − = x2 + x + C Suy f (x) f (x) 1 1 Mà f (1) = − nên C = Do f (x) = − = − x +x x+1 x Ta có f (x) = (2x + 1)f (x) ⇔ 2020 Khi 2020 f (x) dx = Å 1 − x+1 x x+1 dx = ln x ã 2020 = ln 2021 4040 Chọn phương án A Câu 28 Cho hàm số f (x) thỏa mãn A −2020 B − x · f (x) = −f (x), ∀x ≥ f (e) = − Giá trị f e2020 2021 C −2021 D− 2020 Lời giải ® x · f (x) = −f (x), ∀x ≥ ⇔ f (x) ≤ , ∀x ≥ x · f (x) = f (x) f (x) f (x) 1 = ⇒ dx = ⇒ dx ⇒ − = ln x + C , ∀x ≥ f (x) x f (x) x f (x) 1 Lại f (e) = − nên C = Suy f (x) = − (thỏa mãn điều kiện f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 1) + ln x Vậy f e2020 = − 2021 Ta có: 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B Câu 29 Cho hàm số y = f (x) liên tục nhận giá trị dương với x ∈ − ; +∞ thỏa mãn f (1) = 1, √ f (x) = f (x) 3x + Tính √ f (x) dx 3x + A I = e e4 − e2 Lời giải B I = e3 e3 − √ C I = e2 e − e f (x) =√ f (x) 3x + 1 d[f (x)] √ dx ⇔ = f (x) 3x + D I = e e2 − e Ta có f (x) = f (x) 3x + ⇔ f (x) dx = f (x) Suy 2√ 3x+1− 4 Ta lại có f (1) = ⇔ e +C = ⇔ C = − ⇔ f (x) = e 5 f (x) √ dx = 3x + Từ tính I = 2√ 2√ dx ⇔ ln f (x) = 3x + + C ⇔ 3x + e 3x+1− √ dx 3x + 2√ 3x + − ⇒ dt = √ dx 3 3x +  x = ⇒ t = Đổi cận  x = ⇒t= 3 Đặt t = t Vậy I = t e dt = e 3 2 = e3 − e3 = e3 e3 − Chọn phương án B Câu 30 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x) > 0, ∀x ∈ R f (x) = −ex · f (x), f (0) = Tính ex f (x) dx e4 + A ln e +1 e3 + B ln e +2 C ln e4 + e3 + D ln e3 + e4 + Lời giải Ta có f (x) = −ex f (x) ⇔ f (x) = −ex f (x) Lấy nguyên hàm hai vế ta f (x) dx = − f (x) Mà f (0) = ex dx ⇔ d[f (x)] =− f (x) ex dx ⇔ − = −ex + C f (x) 1 nên −2 = −1 + C ⇔ C = −1 Do − = −ex − ⇔ f (x) = x f (x) e +1 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2√ 3x+1+C f (x) = e √ 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) 4 x e · f (x) dx = Vậy ex dx = ex + 3 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN d(ex + 1) = ln[ex + 1] x e +1 e4 + = ln e +1 Chọn phương án C Câu 31 Cho hàm số f (x) liên tục R f (2) = 16, f (x) dx = Tính I = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA I= xf dx = 2xf C I = 144 x D I = 12 4 −2 f x dx = 128 − 2I1 với I1 = x ⇒ dx = du Khi I1 = 2 f x dx = f x dx Đặt u = dx Khi x x 0 A I = 112 B I = 28 Lời giải   u = x  du = dx Đặt ⇒  dv = f x dx v = 2f x xf f (x) dx = f (u) du = 0 Vậy I = 128 − 2I1 = 128 − 16 = 112 Chọn phương án A ln(1 + 2x) a dx = ln + b ln + c ln 2, với a, b, c số nguyên Giá trị x2 Câu 32 Cho a + 2(b + c) A B C D Lời giải     du = u = ln(1 + 2x) 2x + Đặt ⇒  dv =  dx chọn v = − − x2 x ln(1 + 2x) dx = − − ln(1 + 2x) x x Suy 2 dx = − ln + ln + ln x + 1 Do a + 2(b + c) = −5 + 2(3 + 2) = Chọn phương án D √ Câu 33 Cho √ dx 8√ √ =a b− a + , (a, b ∈ R∗ ) Tính a + 2b 3 x+2+ x+1 A a + 2b = Lời giải Ta có B a + 2b = C a + 2b = −1 D a + 2b = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) 1 dx √ √ = x+2+ x+1 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ x + − x + dx 0 1 (x + 2) − (x + 1) dx = 3 = (x + 2) − (x + 1) Suy a = 2, b = Vậy a + 2b = √ 8√ =2 3− 2+ 3 Chọn phương án D ex + m Câu 34 Cho hàm số f (x) = x ≥ + x2 x < 2x liên tục R −1 x→0 Ta có f (x) dx = −1 I1 = f (x) dx = I1 + I2 f (x) dx + −1 0 + x2 dx 2x = −1 1 + x2 d 3+x 2 = + x2 −1 + x2 −1 √ 16 =2 3− x x (e − 1) dx = (e − x) I2 = D −17 = e − 0 Suy √ 22 22 f (x) dx = I1 + I2 = e + − Do a = 1; b = 2; c = − 3 −1 Vậy T = a + b + 3c = + − 22 = −19 Chọn phương án C π ex · sin x dx = Câu 35 Biết I = a a với phân số tối giản, a, b ∈ N Giá trị a.b b b A Lời giải ® Đặt: u = ex dv = sin x dx B ® ⇒ du = ex dx v = − cos x C D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN với a, b, c ∈ Q Tổng T = a + b + 3c A 15 B −10 C −19 Lời giải Do hàm số liên tục R nên hàm số liên tục x = ⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = f (0) ⇔ + m = ⇔ m = −1 x→0 √ f (x) dx = ae + b + c, 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) π ex · sin x dx = (−ex · cos x) Khi I = π π π ex · cos x dx + 0 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ex · cos x dx Xét I1 = ® Đặt u = ex ® ⇒ dv = cos x dx du = ex dx v = sin x π ex · cos x dx = (ex · sin x) Khi đó: I1 = ex · sin x dx = (−ex · cos x) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy I = ex · sin x dx − 0 π π π π + (ex · sin x) 0 π π ex · sin x dx = − I ⇔ I = − 0 Vậy a = 1; b = nên a · b = Chọn phương án B e c ln x dx = a ln + b ln + , với a, b, c ∈ Z Tính T = a2 + b2 + c2 x(ln x + 2) Câu 36 Cho I = A T = Lời giải B T = 11 C T = D T = e ln x dx x(ln x + 2)2 Ta có I = dx = dt x Đổi cận x = ⇒ t = 2, x = e ⇒ t = Đặt ln x + = t ⇒ 3 t−2 dt = t2 Suy I = dt − t 2 dt = ln t t2 + t = ln − ln + 2 − = ln − ln − 3 Suy a = 1, b = −1, c = −1 Vậy a2 + b2 + c2 = Chọn phương án D dx √ = a ln + b ln + c ln 5, với a, b, c số hữu tỉ Giá trị 3x + 3x + + Câu 37 Biết a + b + c A I = Lời giải B I = dx √ 3x + 3x + + Đặt A = C I = D I = −4 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ 3x + ⇒ t2 = 3x + ⇒ t dt = dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = Đặt t = Khi 2 A = t dt = t2 + 5t + −2 + t+2 t+3 t dt = (t + 2)(t + 3) dt = (−2 ln |t + 2| + ln |t + 3|) 2 20 (−2 ln + ln + ln − ln 4) = (−10 ln + ln + ln 5) = − ln + ln + ln 3 3 20 10 Vậy a + b + c = − + + = − 3 = Chọn phương án A ln Câu 38 Biết ex √ dx = a+b ln 2+c ln với a, b, c số nguyên Tính T = a+b+c + ex + A T = −1 Lời giải ln Xét I = B T = C T = D T = √ ex √ ex + ⇒ t2 = ex + ⇒ 2t dt = ex dx dx Đặt t = x 1+ e +3 Đổi cận x = ⇒ t = 2; x = ln ⇒ t = 3 2t dt = t+1 Khi I = 2− t+1 dt = (2t − ln |t + 1|) = − ln + ln 2 Suy a = 2, b = −4, c = nên T = a + b + c = Chọn phương án B 1 Câu 39 Cho (x + 3)(x + 1)3 dx = √ a− √ b với a, b số nguyên Giá trị biểu thức ab + ba A 17 B 57 C 145 D 32 Lời giải 1 dx x + (x + 1)2 (x + 3)(x + 1)3 0 x+1 … x+3 −2 dx dx ⇒ = −t dt Đặt t = ⇒ 2t dt = 2 x+1 (x + 1) (x + 1) √ √ Đổi cận: x = ⇒ t = 3; x = ⇒√t = √ Ta có I = dx = … dx … = (−t) dt = dt = t x + (x + 1)2 √ t √ x+1 √ Suy I = √ = √ √ − 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) 1 Mà (x + 3)(x + 1)3 dx = PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ a − b nên suy a = 3, b = Từ ta có giá trị ab + ba = 32 + 23 = 17 Chọn phương án A e Câu 40 Cho tích phân I = ln x dx = a · e2 + b, a b số hữu tỉ Giá trị 4a + 3b x x+ 13 A B Lời giải ln x dx = x+ x e x ln x dx = x2 ln x e e e − e ln x dx = x Ta có Suy I = 1 x dx = e2 − x2 e e 1 = e2 + 4 = e 1 1 ln x dx = e2 + + = e2 + x 4 4 x ln x dx + 13 1 dx v = x2 x ln xd(ln x) = (ln x)2 e D− ln x dx x x ln x dx + Đặt u = ln x dv = x dx, suy du = Khi 13 e 1 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA C − e e I= 13 1 13 Suy a = , b = Vậy 4a + 3b = 4 Chọn phương án B √ √ dx √ = a − b − c với a, b, c ∈ Z+ Giá trị biểu thức a − bc x x − + (x − 1) x √ Câu 41 Biết 16 A B −19 Lời giải Ta có 6 dx √ √ = x x − + (x − 1) x D −16 C 19 dx = √ √ x(x − 1)( x + x − 1) √ √ x− x−1 dx √ √ x x−1 √ √ 1 √ = −√ dx = x − − x x x−1 √ √ √ √ √ = − − + = 80 − 24 − Suy a = 80, b = 24 c = Vậy a − bc = −16 Å ã 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án D Câu 42 Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn f (4 − x) = f (x) Biết xf (x) dx = 5, f (x) dx tính A B C D 11 Lời giải 3 Ta có = xf (4 − x) dx xf (x) dx = 1 Đặt t = − x ⇒ ® x=4−t dx = − dt x=1⇒t=3 Đổi cận: x = ⇒ t = x · f (4 − x) dx = − Do (4 − t) · f (t) dt = (4 − t) · f (t) dt = · f (t) dt − f (t) dt = 10 ⇒ 3 · f (t) dt − ⇒ Suy = t · f (t) dt f (t) dt = hay f (x) dx = Chọn phương án A Câu 43 Cho hàm số F (x), biết F (1) = F (x) nguyên hàm hàm f (x) = Tính giá trị F (e) A ln(1 + e) + + e Lời giải B ln(1 + e) + + e C ln(1 + e) + x ln x + + ln x + (x + 1) ln x + Ta có dx = dx = + x ln x + x ln x Suy F (x) = x + ln |1 + x ln x| + C Mà F (1) = nên + C = ⇔ C = Do F (x) = x + ln |1 + x ln x| + Vậy F (e) = ln(1 + e) + + e ï (x + 1) ln x + + x ln x D ln(2 + e) + + e ò + ln x 1+ dx = + x ln x dx+ d(1 + x ln x) + x ln x Chọn phương án B Câu 44 Cho F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = cos2 x − thỏa mãn F (0) = Khi π F (x) dx A −3π + π Lời giải B 3π + π C π+ 3π D −π + 3π 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ® 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) Xét I = cos2 x − dx = PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN (−3 + cos 2x) dx = −3x + sin 2x + C Ta có F (0) = ⇔ C = Suy F (x) = −3x + sin 2x + π π (−3x + sin 2x + 1) dx = − x2 − cos 2x + x 2 Vậy = 0 −3π + π Chọn phương án A π − x = sin x · cos x, Câu 45 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (x) + f π x · f (x) dx với x ∈ R f (0) = Giá trị tích phân Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A π B 4 π C − D− Lời giải π π π Theo giả thiết, f (0) = f (x) + f − x = sin x · cos x nên f (0) + f = hay f = π x · f (x) dx = Mặt khác, I = π Mà π f π π − x dx nên I = − 2 π Suy I = − − xd[f (x)] = [xf (x)] sin x · cos x dx = Chọn phương án C cos 2x π =− f (x) dx π −x dx π f (x) dx hay I = − f (x) + f π π π f (x) dx = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 41 B B C A D 12 22 32 42 C A B D A 13 23 33 43 D B A D B 14 24 34 44 A C D C A 15 25 35 45 C B C B C 16 26 36 C A B D 17 27 37 B D A A 18 28 38 A C B B 19 29 39 C C B A 10 20 30 40 D B C B 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ...38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) b b = f (b) − f (a) f (x) dx = f (x) a a PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP MẪU x √ , ∀x > Khi Ví dụ Cho hàm số f (x)... (x−4) dx+2 3 √ Ç x + 1d(x+1) = x2 − 4x + (x + 1)3 å = 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN x+1 √ Câu Cho hàm số f (x) có... TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B 38 TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 f (x) dx f (4) = 16 Tích phân 17 A 60 B 15 C 19 30 D Lời giải Hàm đa thức