TÍCH PHÂN 1 Công thức tính tích phân = = −∫ b b a a f x dx F x F b F a( ) ( ) ( ) ( ) * Nhận xét Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫ b a f x dx( ) hay ∫ b a f t dt( ) Tích phân đó c[.]
TÍCH PHÂN Cơng thức tính tích phân b )dx ∫ f (x= b F (= x ) a F (b) − F (a ) a * Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b ∫ f (x )dx hay a b ∫ f (t )dt Tích phân a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f x g x liên tục K , a, b, c ba số thuộc K Khi ta có : a ∫ f (x )dx = a b a ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx a b b ∫= f (x )dx a c b ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a c b ∫ f (x ) ± g(x ) dx = a b b a a b b a a ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ a;b : b ∫ f (x )dx ≥ 0∀x ∈ a;b a b b a a Nếu ∀x ∈ a;b : f (x ) ≥ g(x ) ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx ( ) b ( ) Nếu ∀x ∈ a;b Nếu M ≤ f (x ) ≤ N M b − a ≤ ∫ f (x )dx ≤ N b − a a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến 1.1 Phương pháp đổi biến dạng Định lí Nếu hàm số u = u(x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a;b cho ( ) thì: I = f (x )dx g= u(x ) u '(x )dx g(u )du= b u (b ) a u (a ) f (x )dx ∫= ∫ 1.2 Phương pháp chung • Bước 1: Đặt u = u(x ) ⇒ du = u ' (x )dx = x b= u u(b) • Bước 2: Đổi cận : ⇒ = x a= u u(a ) • Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u = Vậy: I b b u (b ) a a u (a ) f (x )dx ∫ g u(x ).u= '(x )dx ∫= ∫ 2.1 Phương pháp đổi biến số dạng g(u )du g(u )du Định lí Nếu 1) Hàm x = u(t ) có đạo hàm liên tục α ; β 2) Hàm hợp f (u(t )) xác định α ; β , 3)= u(α ) a= , u( β ) b Khi đó: I = b f (x )dx ∫= a β ∫ f (u(t ))u (t )dt α ' 2.2 Phương pháp chung () • Bước 1: Đặt x = u t • Bước 2: Tính vi phân hai vế : x = u(t ) ⇒ dx = u '(t )dt = x b= t β Đổi cận: ⇒ = x a= t α • Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t Vậy: I = b f (x )dx ∫= a β β α β u '(t )dt ∫ f u(t )= t )dt G (= t) G (β ) − G (α ) ∫ g(= α α Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u x v x hàm số có đạo hàm liên tục a;b thì: b b b b b b ' ' Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu (x )v (x )dx u(x )v(x ) − ∫ v(x )u (x )dx ∫a u= a a a a a ( ) 2.1 Phương pháp chung • Bước 1: Viết f x dx dạng udv = uv 'dx cách chọn phần thích hợp f x làm u x phần lại dv = v '(x )dx • Bước 2: Tính du = u ' dx v = ∫ dv = ∫ v '(x )dx • Bước 3: Tính b ∫ vu '(x )dx uv a b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b b b Đặt u theo thứ tự ưu tiên: x Lốc-đa-mũ-lượng ∫ P(x )e dx ∫ P(x )ln xdx ∫ P(x )cos xdx a a u dv P(x) lnx P(x)dx a P(x) cosxdx b ∫e x cos xdx a ex cosxdx e xdx Chú ý: Nên chọn u phần f x mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v 'dx phần f x dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 3.1.1 Dạng β β β dx adx I = ∫= ln ax + b = ∫ ax b a ax b a + + α α α β Chú ý: Nếu I = β (với a≠0) dx 1 −k −k +1 ∫α (ax + b)k =a α∫ (ax + b) adx =a(1 − k ) (ax + b) β α 3.1.2 Dạng β = I ∫ α ax dx + bx + c (a ≠ ) ( ax + bx + c ≠ với x ∈ α ; β ) Xét ∆= b − 4ac −b + ∆ −b − ∆ = ; x2 2a 2a 1 1 = = − : ax + bx + c a(x − x )(x − x ) a(x − x ) x − x x − x β 1 ln x − x − ln x − x β = − = I dx ∫ α a(x − x ) α x − x x − x a(x − x ) x − x1 β = ln a(x − x ) x − x α = • Nếu ∆ > x 1 −b • Nếu ∆ = = = x0 2 2a ax + bx + c a(x − x ) β I = β 1 dx dx ∫α ax + bx + c = a α∫ (x − x )2 = − a(x − x ) 0 β = • Nếu ∆ < I dx ∫α= ax + bx + c β ∫ α β α dx −∆ b a x + + 2a 4a −∆ −∆ tan t ⇒ = dx + tan2 t dt 2 a 4a ( b Đặt x += 2a 3.1.3 Dạng β = I ∫ α ax ) mx + n dx , + bx + c (a ≠ ) mx + n liên tục đoạn α ; β ) ax + bx + c • Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: A(2ax + b) B mx + n A(ax + bx + c)' B + = + = 2 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c (trong f (x ) = β mx + n • Ta có I= ∫= dx ax + bx + c α β Tích phân ∫ α 3.1.4 Dạng ∫ α β A(2ax + b) B dx + ∫ dx 2 ax + bx + c ax + bx + c α A(2ax + b) dx = A ln ax + bx + c ax + bx + c β Tích phân β ∫ α ax dx + bx + c I = b β α thuộc dạng P (x ) ∫ Q(x ) dx với P x Q x đa thức x a • Nếu bậc P x lớn bậc Q x dùng phép chia đa thức • Nếu bậc P x nhỏ bậc Q x xét trường hợp: • Khi Q x có nghiệm đơn α1, α , , αn đặt A1 A2 An P (x ) = + + + Q(x ) x − α1 x − α x − αn • Khi Q x có nghiệm đơn vơ nghiệm Q(x )= (x − α ) (x ) + px + q , ∆= p − 4q < đặt P (x ) A Bx + C = + Q(x ) x − α x + px + q • Khi Q x có nghiệm bội Q(x ) = (x − α )(x − β )2 với α ≠ β đặt A P (x ) B C = + + Q(x ) x − α x −β x −β ( ) (x α ) (x − β ) với α ≠ β đặt Q(x ) =− P (x ) A B C D E = + + + + (x − α )2 (x − β )3 (x − α )2 (x − α ) (x − β )3 (x − β )2 x − β 3.2 Tích phân hàm vơ tỉ b Trong R x, f x có dạng: ∫ R(x, f (x ))dx a a −x • R x, a +x ( π Đặt x = acos 2t, t ∈ 0; 2 • R x, a − x ax + b • R x, n cx + d ) Đặt x = a sin t x = a cos t ax + b Đặt t = n cx + d ( ( )) = (ax + b) • R x, f x ( ) ( ) ( R( ) Đặt x = α x + β x + γ , Đặt t = • R x, a + x • R x, x − a n1 n n ) a π , t ∈ [0; π ] \ cos x 2 x ; x ; ; i x Gọi k BSCNN n1 ; n2 ; ; ni Đặt x t k 3.2.1 Dạng β = I ∫ α ax + bx + c ( Với α x + β x + γ ' = k ax + b ax + b π π Đặt x = a tan t , t ∈ − ; 2 Đặt t= • αx + βx + γ dx (a ≠ ) ) b = x+ u ∆ b 2a Từ : f(x)=ax + bx += − ⇒ ↔ du = dx c a x + 2a ∆ 4a =K 2a Khi ta có : ( ) • Nếu ∆ < 0, a > ⇒ f= (x ) a u + k ⇔ a u + k (1) (x ) f= a > b • Nếu : ∆ = ⇒ f (x ) = a x + ⇔ 2a f (x ) = • Nếu : ∆ > a x+ b = 2a a u ( )( ) f (x ) = a (x − x )(x − x ) (3) Với a : f (x ) = −a ( x − x )( x − x ) ⇔ f (x ) = −a ( x − x )( x − x ) (4) Với a : f (x ) =a x − x x − x ⇔ (2) 1 2 Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau : Phương pháp : ( ) * Trường hợp : ∆ < 0, a > ⇒ f= (x ) a u + k ⇔ f= (x ) a u2 + k Khi đặt : ax + bx + c = t − a x t2 − c x tdt ; dx = = bx + c = t − ax b +2 a b +2 a ⇒ ⇔ t2 − c x = α → t = t0 , x = β → t = t1 t − a x = t − a b +2 a a > b * Trường hợp : ∆ = ⇒ f (x ) = a x + b ⇔ 2a f (x ) = a x + 2a = a u b β b + >0 x ln α :x + β β 2a 2a 1 a Khi : I ∫= = = dx dx ∫ β b b a α α − ln x + b : x + b < a x+ x+ 2a 2a a 2a α 2a x −x t c a x − x1 x − x= * Trường hợp : ∆ > 0, a > Đặt : ax + bx += x − x t x −x t c a x1 − x x − = x * Trường hợp : ∆ > 0, a < Đặt : ax + bx += x − x t 3.2.2 Dạng ) ( β = I Phương pháp : • Bước 1: = Phân tích f (x ) mx + n = ax + bx + c Ad ∫ α mx + n ax + bx + c ( ax 2 + bx + c ax + bx + c ( )( ) ( )( ) dx )+ ( ( ( ( (a ≠ ) B ax + bx + c (1) ) ) ) ) • Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B • Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1) • Bước : Tính = I 2A ( ax + bx + c β Trong 3.2.3 Dạng ∫ α ax + bx + c ) β β + B∫ dx (2) α + + ax bx c α (a ≠ ) biết cách tính dx β I = ∫ α (mx + n ) ax + bx + c dx (a ≠ ) Phương pháp : • Bước 1: Phân tích : (mx + n ) ax + bx + c = n m x + ax + bx + c m (1) • Bước 2: n − dx y = t = → dy = x +t m x +t n Đặt : =x + ⇒ y m x = − t ⇒ ax + bx + c = a − t + b − t + c y y y • Bước 3: β' Thay tất vào (1) I có dạng : I = ± ∫ α' dy Ly + My + N Tích phân biết cách tính 3.2.4 Dạng αx + β m R x ; ∫ γ x + δ dx α α ( Trong : R x; y hàm số hữu tỷ hai biến số x,y α , β , γ , δ số biết ) Phương pháp : • Bước 1: β = I Đặt : t = m ( ) R x ; y dx ∫= β αx + β (1) γx + δ • Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x = ϕ t () • Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx = ϕ ' t dt đổi cận () • Bước 4: β β' α x+β dx = ∫ R ϕ t ; t ϕ ' t dt Tính : ∫ R x ; m γ x + δ α α' ( () ) () 3.3 Tích phân hàm lượng giác 3.3.1 Một số công thức lượng giác 3.3.1.1 Công thức cộng cos(a ± b) = cos a.cos b sin a.sin b sin(= a ± b) sin a.cos b ± sin b cos a tan a ± tan b tan(a ± b) = tan a tan b 3.3.1.2 Công thức nhân đôi − tan2 a a – sin a 2= cos 2a cos = cos a – 1 – sin a = = + tan2 a tan a tan a tan 2a = ; sin 2a 2= sin a.cos a = − tan2 a + tan a cos 3α cos3 α − cos α sin = 3α sin α − sin α = ; 3.3.1.3 Công thức hạ bậc − cos 2a + cos 2a − cos 2a sin2 a = ; cos2 a = ; tan2 a = 2 + cos 2a sin α − sin 3α cos 3α + cos α sin α = cos3 α = ; 4 3.3.1.4 Cơng thức tính theo t 2t 2t a − t2 a sin = Với t = tan Thì ; cos a = ; tan a = 2 − t2 1+t 1+t 3.3.1.5 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos(α + β ) + cos(α − β ) β = cos α cos 2 cos(α − β ) − cos(α + β ) β = sin α sin 2 sin(α + β ) + sin(α − β ) β sin α cos = 2 3.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích α+β α −β cos α + cos β = cos cos 2 α+β α −β cos α − cos β = sin −2 sin 2 α+β α −β sin α + sin β = sin cos 2 α+β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β Công thức thường dùng: + cos 4α cos4 α + sin α = + cos 4α 6 cos α + sin α = Hệ quả: 2 2 π π cos α −= sin α + 4 4 π π − sin α − cos α − sin α = cos α + = 4 4 3.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác α = cos α + sin b • Nếu gặp I = ∫ f ( sin x ) cos xdx ta đặt t = sin x a b • Nếu gặp dạng I = ∫ f ( cos x ) sin xdx ta đặt t = cos x a b • Nếu gặp dạng I = ∫ f ( tan x ) a b • Nếu gặp dạng I = ∫ f ( cot x ) a 3.3.2.1 Dạng dx ta đặt t = tan x cos x dx ta đặt t = cot x sin x I1 = ∫ ( sinx ) n dx ; I ∫ ( cosx ) dx n * Phương pháp • Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc • Nếu n sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi • Nếu 3n lẻ (n p 1) thực biến đổi: I1 = 2p n 2p+1 ( ) ( ) ( ) sinx dx = sinx dx = − ∫ (1 − cos2 x ) d ( cos x ) sin x sin xdx = ∫ ∫ ∫ p k p k p =− ∫ C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x ) d ( cos x ) ( −1)p p ( −1)k k 2k +1 p +1 1 = − C p cos x − C p cos x + + C p ( cos x ) + + C p ( cos x ) + c 2k + 2p + I2 = n 2p+1 ( ) ( ) cosx dx = cosx = dx ∫ ∫ = ∫ ( cos x ) cos xdx 2p ∫ (1 − sin x ) d ( sin x ) p k p k p k ( p ( 2 ) ) ( ( ) ( ) ) − + + − + + − C C sin x C sin x C sin x p p ∫ p p d sin x ( −1)k k ( −1)p p 2k +1 p +1 1 = C p sin x − C p sin x + + + + C p ( sin x ) C p ( sin x ) + c 2k + 2p + 3.3.2.2 Dạng I sin m x cos n xdx m, n N = * Phương pháp • Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ (n p 1) biến đổi: I= m )2p+1 dx = ∫ ( sinx ) ( cosx = m )2 p cos xdx ∫ ( sin x ) ( cos x= m ∫ ( sin x ) (1 − sin x ) d ( sin x ) p m k p ( k ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ) − + + − + + − sin x C C sin x C sin x C pp ( sin2 x )= p p ∫ p d sin x k p ( sin x )m +1 ( )m +3 ( sin x )2k +1+m ( sin x )2 p +1+m c k p k p sin x C p +c −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p m +1 m+3 2k + + m 2p + + m Nếu m lẻ m p 1 , n chẳn biến đổi: I= n 2p n 2p+1 n − ∫ ( cos x ) (1 − cos2 x ) d ( cos x ) ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( cos x ) ( sin x ) sin xdx = p k p n k p =− ∫ ( cos x ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x ) d ( cos x ) = ( cos x )n +1 ( )n +3 ( cos x )2k +1+n ( cos x )2 p +1+n k p cos x k p +c − C p −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p n +1 n+3 2k + + n 2p + + n d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé • Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u sinx m B ∫ sin x cos= xdx ∫ ( sin x ) ( cos2 x ) = m n Tích phân (*) tính ⇔ số 3.3.2.3 Dạng I1 = n −1 cos xdx = ∫u m (1 − u ) ∫ ( tan x ) n dx ; I = ∫ ( cot x ) dx tan x + c ∫ (1 + tan x ) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tan x ) = • dx ∫ (1 + cot x ) dx = ∫ sin x n 2 = − ∫ d ( cot x ) = − cot x + C d ( cos x ) sin x tan xdx = dx = − − ln cos x + C ∫ ∫ cos x ∫ cos x = d ( sin x ) cos x = xdx ∫ = dx ∫ = ln sin x + C • ∫ cot sin x sin x • du (*) m +1 n −1 m +k ; ; số nguyên 2 • n −1 dx (n N ) Câu SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 3x − a (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết ∫ dx 3ln − , a , b hai số nguyên = x + 6x + b dương A Chọn A a phân số tối giản Khi a − b b B C Lời giải Giả sử: f ( x= ) 3x − = x + 6x + 3x − ( x + 3) = A ( x + 3) + D B Bx + A + 3B = x+3 ( x + 3) Sử dụng phương pháp đồng thức, suy B = A = −10 −10 Do đó= f ( x) + ( x + 3) x + Vậy 1 1 3x − −10 −10 A+ B ∫0 x + x + dx = ∫0 ( x + 3)2 + x + dx = ∫0 ( x + 3)2 dx + ∫0 x + dx = 1 −10 10 = − A= ∫ dx = x+3 ( x + 3) B= ∫ x + dx= Câu 3ln x + 0= 3ln Suy a = , b = Kết luận: a − b = 42 − 32 = (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích ∫2 x3 + x dx = a ln + b ln + c với a , b , c ∈ Tính S = a + b + c 7 A S = − B S = − C S = D S = 6 Lời giải Chọn D A B C ( A + C ) x2 + ( A + B ) x + B 1 = + + Ta có: = = x x2 x + x ( x + 1) x + x x ( x + 1) phân A = −1 B = ⇒ A + B = ⇔ B = A + C = C = Câu 3 1 x +1 1 −2 ln + 3ln + ⇒a= −2 , − = dx ln ∫2 − x + x + x= +1 x x2 b = , c = ⇒ S =−2 + + = 6 5x − (Sở Phú Thọ) Cho ∫ dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c số hữu tỉ Giá trị x − 3x + 2a −3b + c A 12 B C D 64 Lời giải Chọn D Khi đó: ∫ dx = x + x2 ... sin a.cos a = − tan2 a + tan a cos 3α cos3 α − cos α sin = 3α sin α − sin α = ; 3.3.1.3 Công thức hạ bậc − cos 2a + cos 2a − cos 2a sin2 a = ; cos2 a = ; tan2 a = 2 + cos 2a sin α − sin 3α cos... ) β = cos α cos 2 cos(α − β ) − cos(α + β ) β = sin α sin 2 sin(α + β ) + sin(α − β ) β sin α cos = 2 3.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích α+β α −β cos α + cos β = cos cos 2 α+β... ( cos x ) (1 − cos2 x ) d ( cos x ) ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( cos x ) ( sin x ) sin xdx = p k p n k p =− ∫ ( cos x ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2