1. Trang chủ
  2. » Tất cả

bai tap vdc tich phan co loi giai chi tiet

163 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 163
Dung lượng 2,66 MB

Nội dung

TÍCH PHÂN 1 Công thức tính tích phân = = −∫ b b a a f x dx F x F b F a( ) ( ) ( ) ( ) * Nhận xét Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫ b a f x dx( ) hay ∫ b a f t dt( ) Tích phân đó c[.]

TÍCH PHÂN Cơng thức tính tích phân b )dx ∫ f (x= b F (= x ) a F (b) − F (a ) a * Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b ∫ f (x )dx hay a b ∫ f (t )dt Tích phân a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f  x g  x  liên tục K , a, b, c ba số thuộc K Khi ta có : a ∫ f (x )dx = a b a ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx a b b ∫= f (x )dx a c b ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a c b ∫  f (x ) ± g(x ) dx = a b b a a b b a a ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ a;b  : b ∫ f (x )dx ≥ 0∀x ∈ a;b  a b b a a Nếu ∀x ∈ a;b  : f (x ) ≥ g(x ) ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx ( ) b ( ) Nếu ∀x ∈ a;b  Nếu M ≤ f (x ) ≤ N M b − a ≤ ∫ f (x )dx ≤ N b − a a PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến 1.1 Phương pháp đổi biến dạng Định lí Nếu hàm số u = u(x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a;b  cho ( ) thì: I = f (x )dx g= u(x ) u '(x )dx g(u )du= b u (b ) a u (a ) f (x )dx ∫= ∫ 1.2 Phương pháp chung • Bước 1: Đặt u = u(x ) ⇒ du = u ' (x )dx = x b= u u(b) • Bước 2: Đổi cận : ⇒ = x a= u u(a ) • Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u = Vậy: I b b u (b ) a a u (a ) f (x )dx ∫ g u(x ).u= '(x )dx ∫= ∫ 2.1 Phương pháp đổi biến số dạng g(u )du g(u )du Định lí Nếu 1) Hàm x = u(t ) có đạo hàm liên tục α ; β    2) Hàm hợp f (u(t )) xác định α ; β  ,   3)= u(α ) a= , u( β ) b Khi đó: I = b f (x )dx ∫= a β ∫ f (u(t ))u (t )dt α ' 2.2 Phương pháp chung () • Bước 1: Đặt x = u t • Bước 2: Tính vi phân hai vế : x = u(t ) ⇒ dx = u '(t )dt = x b= t β Đổi cận: ⇒ = x a= t α • Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t Vậy: I = b f (x )dx ∫= a β β α β u '(t )dt ∫ f u(t )= t )dt G (= t) G (β ) − G (α ) ∫ g(= α α Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u  x v  x hàm số có đạo hàm liên tục a;b  thì: b b b b b b ' ' Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu (x )v (x )dx u(x )v(x ) − ∫ v(x )u (x )dx ∫a u= a a a a a ( ) 2.1 Phương pháp chung • Bước 1: Viết f  x  dx dạng udv = uv 'dx cách chọn phần thích hợp f  x làm u  x phần lại dv = v '(x )dx • Bước 2: Tính du = u ' dx v = ∫ dv = ∫ v '(x )dx • Bước 3: Tính b ∫ vu '(x )dx uv a b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b b b Đặt u theo thứ tự ưu tiên: x Lốc-đa-mũ-lượng ∫ P(x )e dx ∫ P(x )ln xdx ∫ P(x )cos xdx a a u dv P(x) lnx P(x)dx a P(x) cosxdx b ∫e x cos xdx a ex cosxdx e xdx Chú ý: Nên chọn u phần f  x mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v 'dx phần f  x  dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 3.1.1 Dạng β β β dx adx I = ∫= ln ax + b = ∫ ax b a ax b a + + α α α β Chú ý: Nếu I = β (với a≠0) dx 1 −k −k +1 ∫α (ax + b)k =a α∫ (ax + b) adx =a(1 − k ) (ax + b) β α 3.1.2 Dạng β = I ∫ α ax dx + bx + c (a ≠ ) ( ax + bx + c ≠ với x ∈ α ; β  )   Xét ∆= b − 4ac −b + ∆ −b − ∆ = ; x2 2a 2a  1 1  = = −   : ax + bx + c a(x − x )(x − x ) a(x − x )  x − x x − x  β  1  ln x − x − ln x − x  β = − = I  dx ∫ α  a(x − x ) α  x − x x − x  a(x − x )  x − x1 β = ln a(x − x ) x − x α = • Nếu ∆ > x  1 −b  • Nếu ∆ = = = x0  2 2a  ax + bx + c a(x − x )  β I = β 1 dx dx ∫α ax + bx + c = a α∫ (x − x )2 = − a(x − x ) 0 β = • Nếu ∆ < I dx ∫α= ax + bx + c β ∫ α β α dx   −∆   b a  x +  +   2a   4a          −∆ −∆ tan t ⇒ = dx + tan2 t dt 2 a 4a ( b Đặt x += 2a 3.1.3 Dạng β = I ∫ α ax ) mx + n dx , + bx + c (a ≠ ) mx + n liên tục đoạn α ; β  ) ax + bx + c • Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: A(2ax + b) B mx + n A(ax + bx + c)' B + = + = 2 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c (trong f (x ) = β mx + n • Ta có I= ∫= dx ax + bx + c α β Tích phân ∫ α 3.1.4 Dạng ∫ α β A(2ax + b) B dx + ∫ dx 2 ax + bx + c ax + bx + c α A(2ax + b) dx = A ln ax + bx + c ax + bx + c β Tích phân β ∫ α ax dx + bx + c I = b β α thuộc dạng P (x ) ∫ Q(x ) dx với P  x Q  x đa thức x a • Nếu bậc P  x lớn bậc Q  x dùng phép chia đa thức • Nếu bậc P  x nhỏ bậc Q  x xét trường hợp: • Khi Q  x có nghiệm đơn α1, α , , αn đặt A1 A2 An P (x ) = + + + Q(x ) x − α1 x − α x − αn • Khi Q  x có nghiệm đơn vơ nghiệm Q(x )= (x − α ) (x ) + px + q , ∆= p − 4q < đặt P (x ) A Bx + C = + Q(x ) x − α x + px + q • Khi Q  x có nghiệm bội Q(x ) = (x − α )(x − β )2 với α ≠ β đặt A P (x ) B C = + + Q(x ) x − α x −β x −β ( ) (x α ) (x − β ) với α ≠ β đặt Q(x ) =− P (x ) A B C D E = + + + + (x − α )2 (x − β )3 (x − α )2 (x − α ) (x − β )3 (x − β )2 x − β 3.2 Tích phân hàm vơ tỉ b Trong R  x, f  x có dạng: ∫ R(x, f (x ))dx a  a −x • R  x,  a +x  (   π  Đặt x = acos 2t, t ∈ 0;    2  • R x, a − x  ax + b • R  x, n  cx + d  ) Đặt x = a sin t x = a cos t  ax + b  Đặt t = n  cx + d  ( ( )) = (ax + b) • R x, f x ( ) ( ) ( R( ) Đặt x = α x + β x + γ , Đặt t = • R x, a + x • R x, x − a n1 n n ) a π  ,  t ∈ [0; π ] \   cos x 2  x ; x ; ; i x Gọi k  BSCNN n1 ; n2 ; ; ni  Đặt x  t k 3.2.1 Dạng β = I ∫ α ax + bx + c ( Với α x + β x + γ ' = k ax + b ax + b  π π Đặt x = a tan t , t ∈  − ;   2 Đặt t= • αx + βx + γ dx (a ≠ ) )  b = x+ u     ∆ b  2a  Từ : f(x)=ax + bx += − ⇒ ↔ du = dx c a  x +   2a  ∆  4a     =K  2a Khi ta có : ( ) • Nếu ∆ < 0, a > ⇒ f= (x ) a u + k ⇔ a u + k (1) (x ) f= a >  b   • Nếu : ∆ = ⇒ f (x ) = a  x +  ⇔ 2a    f (x ) =  • Nếu : ∆ > a x+ b = 2a a u ( )( ) f (x ) = a (x − x )(x − x ) (3) Với a  : f (x ) = −a ( x − x )( x − x ) ⇔ f (x ) = −a ( x − x )( x − x ) (4)  Với a  : f (x ) =a x − x x − x ⇔  (2) 1 2 Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phương pháp : ( ) * Trường hợp : ∆ < 0, a > ⇒ f= (x ) a u + k ⇔ f= (x ) a u2 + k Khi đặt : ax + bx + c = t − a x  t2 − c x tdt ; dx = =  bx + c = t − ax b +2 a b +2 a  ⇒ ⇔ t2 − c x = α → t = t0 , x = β → t = t1  t − a x = t − a  b +2 a  a >  b   * Trường hợp : ∆ = ⇒ f (x ) = a  x + b  ⇔ 2a    f (x ) = a x + 2a = a u    b β b + >0 x ln   α :x + β β 2a  2a 1  a  Khi : I ∫= = = dx dx  ∫ β b b a α α  − ln  x + b  : x + b < a x+ x+ 2a 2a  a  2a  α 2a   x −x t  c a x − x1 x − x= * Trường hợp : ∆ > 0, a > Đặt : ax + bx +=  x − x t  x −x t  c a x1 − x x − = x * Trường hợp : ∆ > 0, a < Đặt : ax + bx +=  x − x t 3.2.2 Dạng ) ( β = I  Phương pháp : • Bước 1: = Phân tích f (x ) mx + n = ax + bx + c Ad ∫ α mx + n ax + bx + c ( ax 2 + bx + c ax + bx + c ( )( ) ( )( ) dx )+ ( ( ( ( (a ≠ ) B ax + bx + c (1) ) ) ) ) • Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B • Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1) • Bước : Tính = I 2A ( ax + bx + c β Trong 3.2.3 Dạng ∫ α ax + bx + c ) β β + B∫ dx (2) α + + ax bx c α (a ≠ ) biết cách tính dx β I = ∫ α (mx + n ) ax + bx + c dx (a ≠ )  Phương pháp : • Bước 1: Phân tích : (mx + n ) ax + bx + c =  n m  x +  ax + bx + c m  (1) • Bước 2:   n − dx y =  t =  → dy = x +t  m x +t n  Đặt : =x + ⇒ y m x = − t ⇒ ax + bx + c = a  − t  + b  − t  + c      y y  y   • Bước 3: β' Thay tất vào (1) I có dạng : I = ± ∫ α' dy Ly + My + N Tích phân biết cách tính 3.2.4 Dạng  αx + β  m  R x ; ∫  γ x + δ  dx α α   ( Trong : R  x; y  hàm số hữu tỷ hai biến số x,y α , β , γ , δ số biết )  Phương pháp : • Bước 1: β = I Đặt : t = m ( ) R x ; y dx ∫= β αx + β (1) γx + δ • Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x = ϕ t () • Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx = ϕ ' t dt đổi cận () • Bước 4: β β'  α x+β   dx = ∫ R ϕ t ; t ϕ ' t dt Tính : ∫ R  x ; m   γ x + δ α α'   ( () ) () 3.3 Tích phân hàm lượng giác 3.3.1 Một số công thức lượng giác 3.3.1.1 Công thức cộng cos(a ± b) = cos a.cos b  sin  a.sin b sin(= a ± b) sin a.cos b ± sin b cos a tan a ± tan b tan(a ± b) =  tan a tan b 3.3.1.2 Công thức nhân đôi − tan2 a a – sin a 2= cos 2a cos = cos a – 1 – sin a = = + tan2 a tan a tan a tan 2a = ; sin 2a 2= sin a.cos a = − tan2 a + tan a cos 3α cos3 α − cos α sin = 3α sin α − sin α = ; 3.3.1.3 Công thức hạ bậc − cos 2a + cos 2a − cos 2a sin2 a = ; cos2 a = ; tan2 a = 2 + cos 2a sin α − sin 3α cos 3α + cos α sin α = cos3 α = ; 4 3.3.1.4 Cơng thức tính theo t 2t 2t a − t2 a sin = Với t = tan Thì ; cos a = ; tan a = 2 − t2 1+t 1+t 3.3.1.5 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos(α + β ) + cos(α − β ) β = cos α cos 2 cos(α − β ) − cos(α + β ) β = sin α sin 2 sin(α + β ) + sin(α − β ) β sin α cos = 2 3.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích α+β α −β cos α + cos β = cos cos 2 α+β α −β cos α − cos β = sin −2 sin 2 α+β α −β sin α + sin β = sin cos 2 α+β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β Công thức thường dùng: + cos 4α cos4 α + sin α = + cos 4α 6 cos α + sin α = Hệ quả: 2 2   π π cos  α −= sin  α +   4 4     π π − sin  α −  cos α − sin α = cos  α +  = 4 4   3.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác α = cos α + sin b • Nếu gặp I = ∫ f ( sin x ) cos xdx ta đặt t = sin x a b • Nếu gặp dạng I = ∫ f ( cos x ) sin xdx ta đặt t = cos x a b • Nếu gặp dạng I = ∫ f ( tan x ) a b • Nếu gặp dạng I = ∫ f ( cot x ) a 3.3.2.1 Dạng dx ta đặt t = tan x cos x dx ta đặt t = cot x sin x I1 = ∫ ( sinx ) n dx ; I ∫ ( cosx ) dx n * Phương pháp • Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc • Nếu n  sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi • Nếu 3n lẻ (n  p  1) thực biến đổi: I1 = 2p n 2p+1 ( ) ( ) ( ) sinx dx = sinx dx = − ∫ (1 − cos2 x ) d ( cos x ) sin x sin xdx = ∫ ∫ ∫ p k p k p   =− ∫ C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cos x )   ( −1)p p ( −1)k k 2k +1 p +1 1 = − C p cos x − C p cos x + + C p ( cos x ) + + C p ( cos x )  + c 2k + 2p +   I2 = n 2p+1 ( ) ( ) cosx dx = cosx = dx ∫ ∫ = ∫ ( cos x ) cos xdx 2p ∫ (1 − sin x ) d ( sin x ) p k p k p  k ( p ( 2 ) )  ( ( ) ( ) ) − + + − + + − C C sin x C sin x C sin x p p ∫  p p  d sin x   ( −1)k k ( −1)p p 2k +1 p +1 1 = C p sin x − C p sin x + + + + C p ( sin x ) C p ( sin x )  + c 2k + 2p +   3.3.2.2 Dạng I   sin m x cos n xdx m, n  N  = * Phương pháp • Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ (n  p  1) biến đổi: I= m )2p+1 dx = ∫ ( sinx ) ( cosx = m )2 p cos xdx ∫ ( sin x ) ( cos x= m ∫ ( sin x ) (1 − sin x ) d ( sin x ) p m  k p  ( k ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ) − + + − + + − sin x C C sin x C sin x C pp ( sin2 x )= p p ∫  p  d sin x k p  ( sin x )m +1 ( )m +3 ( sin x )2k +1+m ( sin x )2 p +1+m  c k p k p sin x C p  +c −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p m +1 m+3 2k + + m 2p + + m   Nếu m lẻ m  p  1 , n chẳn biến đổi: I= n 2p n 2p+1 n − ∫ ( cos x ) (1 − cos2 x ) d ( cos x ) ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( cos x ) ( sin x ) sin xdx = p k p n  k p  =− ∫ ( cos x ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cos x ) =  ( cos x )n +1 ( )n +3 ( cos x )2k +1+n ( cos x )2 p +1+n  k p cos x k p  +c − C p −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p n +1 n+3 2k + + n 2p + + n   d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé • Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u  sinx m B ∫ sin x cos= xdx ∫ ( sin x ) ( cos2 x ) = m n Tích phân (*) tính ⇔ số 3.3.2.3 Dạng I1 = n −1 cos xdx = ∫u m (1 − u ) ∫ ( tan x ) n dx ; I = ∫ ( cot x ) dx tan x + c ∫ (1 + tan x ) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tan x ) = • dx ∫ (1 + cot x ) dx = ∫ sin x n 2 = − ∫ d ( cot x ) = − cot x + C d ( cos x ) sin x tan xdx = dx = − − ln cos x + C ∫ ∫ cos x ∫ cos x = d ( sin x ) cos x = xdx ∫ = dx ∫ = ln sin x + C • ∫ cot sin x sin x • du (*) m +1 n −1 m +k ; ; số nguyên 2 • n −1 dx (n  N ) Câu SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 3x − a (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết ∫ dx 3ln − , a , b hai số nguyên = x + 6x + b dương A Chọn A a phân số tối giản Khi a − b b B C Lời giải Giả sử: f ( x= ) 3x − = x + 6x + 3x − ( x + 3) = A ( x + 3) + D B Bx + A + 3B = x+3 ( x + 3) Sử dụng phương pháp đồng thức, suy B = A = −10 −10 Do đó= f ( x) + ( x + 3) x + Vậy 1 1 3x −  −10 −10 A+ B ∫0 x + x + dx = ∫0  ( x + 3)2 + x +  dx = ∫0 ( x + 3)2 dx + ∫0 x + dx =   1 −10 10 = − A= ∫ dx = x+3 ( x + 3) B= ∫ x + dx= Câu 3ln x + 0= 3ln Suy a = , b = Kết luận: a − b = 42 − 32 = (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tích ∫2 x3 + x dx = a ln + b ln + c với a , b , c ∈  Tính S = a + b + c 7 A S = − B S = − C S = D S = 6 Lời giải Chọn D A B C ( A + C ) x2 + ( A + B ) x + B 1 = + + Ta có: = = x x2 x + x ( x + 1) x + x x ( x + 1) phân  A = −1 B =   ⇒ A + B = ⇔ B =  A + C =  C = Câu 3 1   x +1   1 −2 ln + 3ln + ⇒a= −2 , −  =  dx  ln ∫2  − x + x + x= +1  x x2  b = , c = ⇒ S =−2 + + = 6 5x − (Sở Phú Thọ) Cho ∫ dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c số hữu tỉ Giá trị x − 3x + 2a −3b + c A 12 B C D 64 Lời giải Chọn D Khi đó: ∫ dx = x + x2 ... sin a.cos a = − tan2 a + tan a cos 3α cos3 α − cos α sin = 3α sin α − sin α = ; 3.3.1.3 Công thức hạ bậc − cos 2a + cos 2a − cos 2a sin2 a = ; cos2 a = ; tan2 a = 2 + cos 2a sin α − sin 3α cos... ) β = cos α cos 2 cos(α − β ) − cos(α + β ) β = sin α sin 2 sin(α + β ) + sin(α − β ) β sin α cos = 2 3.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích α+β α −β cos α + cos β = cos cos 2 α+β... ( cos x ) (1 − cos2 x ) d ( cos x ) ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( cos x ) ( sin x ) sin xdx = p k p n  k p  =− ∫ ( cos x ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2

Ngày đăng: 15/11/2022, 23:06

w