Bài tập VDC nguyên hàm có lời giải chi tiết

Tìm kh ẳng định đúng trong các khẳng đị nh sau... Lời giải?[r]

NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x( ) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x( ) gọi

là nguyên hàm hàm số f x( ) K F x'( ) ( )= f x với x ∈K Kí hiệu: ∫f x dx( ) =F x( )+C

Định lí:

1) Nếu F x( ) nguyên hàm củaf x( ) K với số C , hàm số G x( )=F x( )+C

cũng nguyên hàm f x( ) K

2) Nếu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) K nguyên hàm f x( ) K có dạng F x( )+C , với C số

Do F x( )+C C, ∈ họ tất nguyên hàm f x( ) K 2 Tính chất nguyên hàm

• (∫f x dx( ) )′ = f x( ) ∫f x dx'( ) = f x( )+C; d(∫f x( )dx)= f x( )dx

• Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d F x( ( ))=F x( )+C

• ∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( ) với k số khác

• ∫f x( ) ( )±g x dx = ∫f x dx( ) ±∫g x dx( )

• Cơng thức đổi biến số: Cho y = f u( ) u =g x( )

Nếu ∫f x dx( ) =F x( )+C

∫f g x g x dx( )( ) '( ) = ∫f u du( ) =F u( )+C 3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f x( ) liên tục K có nguyên hàm K 4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp

1 ∫0dx =C ∫dx = +x C

3 α α (α )

α

+

= + ≠ −

+

∫x dx x C 1

1 16 ( ) ( )

+ +

+ = + ≠ −

+

∫ ax b ax b c

a

1

dx ,

1

α α

α α

4 ∫ dx = − +C x x2

1

17 ∫xdx = x2 +C ∫ dx = x +C

x

1 ln 18 = + +

+

∫ ax b c

ax b a

dx 1ln

6 ∫e dxx =ex +C

19 + = + +

∫eax bdx eax b C

a

1

7 ∫a dxx = ax +C a

ln 20

+

+ = +

∫akx bdx akx b C

k a

ln

8 ∫cosxdx =sinx C+ 21 ( + ) = ( + )+

∫ ax b dx ax b C

a

1

9 ∫sinxdx = −co sx C+ 22 ( + ) = − ( + )+

∫ ax b dx ax b C

a

1

sin cos

10 ∫tan x dx= −ln | cos |x +C 23. ( + ) = − ( + ) +

∫ ax b ax b C

a

1

tan dx ln cos

11.∫cot x dx=ln | sin |x +C 24. ( + ) = ( + ) +

∫ ax b ax b C

a

1

cot dx ln sin

12 ∫ dx = x C+ x

2

1

tan

cos 25 ∫ 2(ax b+ )dx =a (ax b+ )+C

1

tan cos

13.∫ dx = − x C+ x

2

1 cot

sin 26 ∫ 2(ax b+ )dx = −a (ax b+ )+C

1 1cot

sin

14.∫(1 tan+ 2x dx) = tanx C+

27 ∫( + (ax b dx+ )) = (ax b+ )+C

a

2

1 tan tan

15 ∫(1 cot+ 2x dx) = −co x Ct +

28.∫( + (ax b dx+ )) = − co ax b( + )+C a

2

1 cot t

5 Bảng nguyên hàm mở rộng

= +

+

∫ x C

a a

a2 x2

dx

arctg ∫ x =x x + a −x +C

a a

2

arcsin dx arcsin

+

= +

− −

∫ a x C

a a x a2 x2

dx

ln

2 ∫ = − − +

x x x a x C

a a

2

arccos dx arccos

( )

= + + +

+

∫ x x a C

x a

2

2

dx

ln ∫ x =x x −a (a +x )+C

a a

2

arctan dx arctan ln

= +

−

∫ x C

a a2 x2

dx

arcsin ∫ x =x x +a (a +x )+C

a a

2

arc cot dx arc cot ln

= +

−

∫ x C

a a

x x2 a2

dx 1arccos

+ +

= − +

+

∫ a x a C

a x

x x a

2

2

dx 1ln

( + ) = + +

∫ ax b C

a ax b

dx

ln tan sin

( + ) = +  ( + )−

 

∫ ax b x b ax b x

a

ln dx ln = ( + )+

+

∫eax bx eax a bx b bx C

a2 b2

cos sin cos dx

−

− = +

∫ a x x a x a

2 2

2 dx arcsin

2

( − )

= +

+

∫eax bx eax a bx b bx C

a2 b2

sin cos sin dx

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm giá trị thực a để ( )

ax F x

x

+ =

+ nguyên hàm hàm số ( ) ( )3

4

2

x f x

x + =

+ A a=4 B a=5 C a= −4 D a= −5

Lời giải Chọn A

Ta có ( )

( )3

2 1

2

2 2 1

ax

a x ax a

x F x

x x

+ + −

+ − +

′ = =

( ) ( )

( )3 ( )3

4

1 1 4 3 4

1

2

a

ax a x

F x f x ax a x a

a

x x

= 

+ − +

′ = ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − = ⇔ =



+ +

Câu 2. Cho F x( )=(ax bx c2+ + ) 2 1x− nguyên hàm hàm số ( ) 10 2

x x

f x

x

− −

=

− khoảng ;

2  +∞

 

  Tính S a b c= + +

A S =3 B S =0 C S = −6 D S = −2 Lời giải

Chọn D

( ) ( ) (2 ) 2 1 ( ) 10

2

x x

F x f x ax b x ax bx c

x x

− −

′ = ⇔ + − + + + =

− −

(2 )(2 1) 10 7 2

2

ax b x ax bx c x x

x x

+ − + + + − −

⇔ =

− −

( )

2

5ax 2b a x c b 10x 7x

⇔ + − + − = − −

5 10

3

2

a

a b

c b

=  

⇔ − = −

 − = − 

2

1

3

a

b S

c

=  

⇔ = − ⇒ = −  = −



Câu 3. Cho F x( )=(ax bx c2+ + ) 2 3x− nguyên hàm hàm số ( ) 20 30

2

x x

f x

x

− +

=

− khoảng ;

2  +∞

 

  Tính P abc=

A P=0 B P=3 C P=4 D P= −8 Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) (2 ) 2 3 ( ). (3 )

2 3

ax b a x c b

F x ax b x ax bx c

x x

+ − + −

′ = + − + + + =

− −

( ) ( ) 5 (3 6 ) 3 20 30 7

F x′ = f x ⇔ ax + b− a x c b+ − = x − x+

5 20

3 30

3

a

b a

c b

=  

⇔ − = −

 − = 

4

2

1

a

b S

c

=  

⇔ = − ⇒ = −  =



Câu 4. Biết sin cos ln sin cos

sin cos

x x dx a x x C

x x

+

= − +

−

∫ Với a số nguyên Tìm a?

A a=1 B a=2 C a=3 D a=4 Lời giải

Vì ln sin cos (sin cos ) sin cos

sin cos sin cos

x x x x

a x x C

x x x x

′

− +

′

 − +  = =

  − −

∫ nên

Nguyên hàm của: sin cos sinxx cosxx

+

− là: ln sinx−cosx C+ Chọn A

Câu 5. Tìm nguyên hàm của:

2 2

tan

tan

2

x x

+

 − 

 

 

A 12

cos x+ B

1 3.

sin x+ C tanx+2 D cotx+2 Lời giải

( )

2

2

2 2

2

tan tan 1

2

1 1 tan

cos tan

tan 2

2

x x

f x x x

x x

 

 

= + = +  = + =

 −   + 

   

 

Nguyên hàm F x( )=tanx C+

Ta có: tan ( ) tan

4

F  = ⇒  + = ⇒ = ⇒C C F x = x+  

π π

Chọn C Câu 6. Biết

( ) ( )5

1

25x −20x+4 dx= −a x5 −2 +C

∫ Với a số nguyên Tìm a?

A a=4 B a=100 C a=5 D a=25 Lời giải

Chú ý biến đổi:

( ) ( ) ( )

4

3

3

25 20

1 25 20 4

4

25 20

x x

dx x x dx C

x x

−

− − +

= − + = +

−

− +

∫ ∫ Là sai

Điều sau đúng: ( ) ( ) ( )

4

3

2 25 20

25 20 25 20

4

x x

x x d x x C

−

− − +

− + − + = +

− ∫

Trở lại bài, ta biến đổi biểu thức (25x2−20x+4)3 dạng ( )n

ax b+ sau:

( ) ( ) ( )

( )

( )

6

3

2

5

1 5 2

5

25 20

5

1

5 25

dx dx x dx

x

x x

x C C

x

−

−

= = −

−

− +

−

= + = − +

− −

∫ ∫ ∫

Chọn D

Câu 7. Biết 21 ln

2

x dx a x C

x x b

+ = − +

− −

∫ , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? A S =4 B S =2 C S =3 D S =5

Lời giải

Ta quan sát mẫu cso thể phân tích thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:

2

2x −5x− =7 thấy có hai nghiệm là: 1, x= − x=

Áp dụng công thức ( )( )

1

ax bx c a x x x x+ + = − − với x x1, 2 hai nghiệm ta có:

( )( )

2

2x −5x− =7 x+1 2x−7 Do đó:

( )( )

2

1 1 1 ln 7

2 7

x dx x dx dx x C

x x x x x

+ +

= = = − +

− − + − +

∫ ∫ ∫

Chọn C

Câu 8. Biết tan

1 sin

a

dx x C

x b

 

=  − +

+  

∫ π , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? A S =4 B S =2 C S =3 D S =5

2

1 1

1 sin 1 cos 2 2cos

2

dx dx dx

x = x = x =

+ +  −   − 

   

   

∫ ∫ π ∫ π

1tan 1tan

2 x C x C

   

= −  − + =  − +

   

π π

Ta thấy a=1,b=2 suy S=3 Chọn C

Câu 9. Cho ( ) 8sin2

12

f x = x+ π 

  Một nguyên hàm ( )

F x f x( ) thỏa F( )0 =8 là:

A 4 2sin

6

x+  x+ +

 

π . B 4 2sin 2 9

6

x−  x+ +

 

π .

C 4 2sin

6

x+  x+ +

 

π

D 4 2sin

6

x−  x+ +

 

π Lời giải

Ta cần phải tính ( ) 8sin2

12

f x dx= x+ dx

 

∫ ∫ π Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi f x( )

như sau:

( ) 8sin2 8 cos

12

x

f x x

 −  + 

 

 

    

=  + =

 

 

 

 

π π

( ) 4cos ( ) 2sin

6

f x = −  x+ ⇒F x = x−  x+ +C

   

π π

( )0 2sin

6

f = ⇔ −   + = ⇔ =C C

  π Chọn B

Câu 10. Biết F x( ) nguyên hàm

( )

2

2

5

1

x x dx

x x

+ − −

∫ với 0< <x 26

F  = 

  Giá trị nhỏ ( )

F x là:

A 24 B 20 C 25 D 26

Lời giải Ta có:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2

2

2 2

2

2

9

5

1

9 4

1

x x x

x x

F x dx dx

x x

x x

dx C

x x x

x

− − +

+ −

= =

− −

 

 

= − = + +

− −

 

 

∫ ∫

∫

Vì 26

2

F  = 

  nên

9 26 0

1 1

2

C C

+ + = ⇔ =

 − 

 

 

Lúc ( )

( )

4

1

F x

x x

= +

− với 0< <x Sử dụng MTCT bấm Mode chọn start end Step 0.1:

Câu 11. Cho f x( )= +1 x Một nguyên hàm F x( ) f x( ) thỏa F( )1 1= là: A x2+ +x 1 B

2

2

1 2

x

x x

x

x C x



+ − ≥

 

 − + < 

C

1

2

x x C x

x

x C x



− + ≥

 

 − + < 

D

2

1

2

khi

x x C x

x

x C x

− + + ≥

 

− + <



Lời giải Ta có: ( )

1

x x

f x

x x

+ ≥



=  − <

 ( )

2

2

x

x C x

F x

x

x C x



+ + ≥



⇒ = 

 − + < 

Theo đề ( )1 1

F = ⇒C = − đó:

2

2

1 2

x

x x

x

x C x



+ − ≥

 

 − + < 

Chọn B

Câu 12. Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

x

f x e =

+ ( )

0 ln

3

F = − Tập nghiệm S phương trình 3F x( )+ln(x3+3)=2 là:

A S ={ }2 . B S = −{ 2;2}. C S ={ }1;2 . D S = −{ 2;1} Lời giải

Ta có: ( ) d 1 d 1( ln( 3))

3 3

x

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

= =  −  = − + +

+  + 

∫ ∫

Do ( )0 1ln

F = − nênC=0 Vậy ( ) 1( ln( 3))

3 x

F x = x− e + Do đó: 3F x( )+ln(ex+3)= ⇔ =2 x

Chọn A

Câu 13. (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 12

f x x =

− , thỏa mãn F( )3 1= F( )1 2= , giá trị F( )0 +F( )4 A 2ln 3+ B 2ln 2+ C 2ln 4+ D 2ln

Lời giải Chọn A

Hàm số f x( ) xác định \ 2{ } Ta có: F x( )=∫ f x x( )d d

2 x x =

−

∫ (( ))

2

ln

ln

x C x

x C x

− + >

 = 

− + <



Do ( )

( ) 12

3 1

2

F C

C F

=

  =

 ⇔

  =

= 

 Khi ( )

( )

( )

ln

ln 2

x x

F x

x x

− + >

 = 

− + <



Câu 14. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết xex nguyên hàm f ( )−x khoảng (−∞ +∞; )

Gọi F x( ) nguyên hàm f x′( )ex thỏa mãn F( )0 1= , giá trị F( )−1 bằng

A 7

2 B

5 e

−

C 7 e

2

−

D 5

2

Lời giải Chọn A

Ta có f ( )− =x ( )xex ′ = +ex xex, ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )

Do f ( )−x =e− −( )x − −( )x e− −( )x , ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )

Suy f x( )=e 1−x( −x), ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )

Nên f x′( )=e 1−x( −x)′=e−x(x−2)

  ⇒ f x′( )ex =e−x(x−2 e) x = −x Bởi ( ) ( d) 1( 2)2

2

F x =∫ x− x= x− +C Từ ( )0 1(0 2)2

2

F = − + = +C C ; F( )0 1= ⇒ = −C Vậy ( ) 1( 2)2 ( )1 1( 2)2

2 2

F x = x− − ⇒F − = − − − =

Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số

( ) 2cos 1sin2 x f x

x −

= khoảng (0;π) Biết giá trị lớn F x( ) khoảng (0;π) Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A 3

6

F  = π −

  B

2

3

F π =

  C F 3

π   = −  

  D

5 3 3

6

F π  = −

 

Lời giải Chọn A

Ta có:

( ) 2

2cos cos

d d d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x

−

= = −

∫ ∫ ∫ ∫

( )

2

d sin

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

= ∫ −∫ = − + +

Do F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 2cos 12

sin

x f x

x −

= khoảng (0;π) nên hàm số ( )

F x có cơng thức dạng ( ) cot sin

F x x C

x

= − + + với x∈(0;π) Xét hàm số ( ) cot

sin

F x x C

x

= − + + xác định liên tục (0;π)

( ) ( ) 2cos 12 '

sin

x F x f x

x −

= =

Xét '( ) 2cos 12 cos ( )

sin

x

F x x x k k

x

π π

−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈

Trên khoảng (0;π), phương trình F x'( )=0 có nghiệm

3

(0; ) ( )

max

3

F x F C

π

π  

=  = − +  

Theo đề ta có, − 3+ =C 3⇔ =C Do đó, ( ) cot

sin

F x x

x

= − + +

Khi đó, 3

F  = π −

 

Câu 16. (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho F x( )là nguyên hàm hàm số ( ) 2( 3 )

4

x

f x =e x − x Hàm số F x( +x) có điểm cực trị?

A 6 B 5 C 3 D 4

Lời giải Chọn B

( )

F x nguyên hàm hàm số ( ) 2( 3 )

4

x

f x =e x − x ⇒ ( ) ( ) 2( 3 )

' x

F x = f x =e x − x

( ) 2( 3 ) 3

' 4

2

x

x

F x e x x x x x

x =  

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −

 = 

( ) ( ) ( )

' '

F x +x = x+ F x +x

( ) ( )

2

2

1

2 0

1

2 '

1

2 ( )

x x

x

x x

x

x F x x

x

x x

x

x x ptvn

 + = ⇔ = − 



=   + = ⇔ 

  = −

+ + = ⇔ 

  =

+ = ⇔

  = −

 

 + = − 

Vậy, phương trình F x'( 2+x)=0 có nghiệm phân biệt Do đó, hàm số F x( 2+x) có điểm cực trị

Câu 17. (Cụm trường chuyên lần1) Biết F x( )=(ax2 +bx c+ )e−xlà nguyên hàm hàm số

( ) (2 5 2 e) x

f x = x − x+ −  Giá trị biểu thức f F( ( )0 )bằng: A

e

− . B 3e. C 20e2. D 9e

Lời giải Chọn D

+ Tính (F x( ))′ =((ax2 +bx c+ )e−x)′ = − ax2 +(2a b x b c− ) + − e−x

  =(2x2 −5x+2 e) −x Suy

2

2

2

a a

a b b

b c c

= − = −

 

 − = − ⇔ =

 

 − =  = −

 

+ Tính F( )0 = −1suy f F( ( )0 )= f ( )− =1 9e

Câu 18. (HKII Kim Liên 2017-2018)Cho hai hàm số F x( )=(x2+ax b+ )e ,x f x( )=(x2+3x+4 e) x

Biết a b, số thực để F x( ) nguyên hàm f x( ) Tính S a b= + A S = −6 B S =12 C S =6 D S =4

Lời giải Chọn D

Nhận xét: Bài chặt chẽ thêm điều kiện F x( ) nguyên hàm f x( )



Từ giả thiết ta có F x′( )= f x( ), ∀ ∈x 

(2x a)ex (x2 ax b)ex (x2 3x 4 e) x

⇔ + + + + = + + , ∀ ∈x 

( )

2 2 3 4

x a x a b x x

⇔ + + + + = + + , ∀ ∈x  Đồng hai vế ta có

4

a a b

+ =   + =



Suy S a b= + =4

Câu 19. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 4 13 2

2 x f x

x x x

+ =

+ + khoảng (0;+∞) thỏa mãn ( ) 1

2

F = Giá trị biểu thức ( )1 ( )2 ( )3 (2019)

S F= +F +F + +F

A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D

2019 2020 − Lời giải

Chọn C Ta có: ( )

( )2 ( )2

4 2

2 d d 1 d

2 1

x x

F x x x x

x x x x x x x

 

+ +  

= = = −

 

+ + +  + 

∫ ∫ ∫

Suy ra: ( ) 1

F x c

x x = − + +

+ mà ( ) 1

2

F = nên c=1 Hay ( ) 1 1 F x

x x = − + +

+ Ta có: S F= ( )1 +F( )2 +F( )3 + +F(2019)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 2019 2020

S = − + + + − + + + − + + +        + − + + 

       

1 1

1 2019.1 2018 2018

2020 2020 2020

S = − + + = + =

Câu 20. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) x cos2 x x −

= Hỏi đồ thị hàm số y F x= ( ) có điểm cực trị?

A Vơ số điểm B 0 C 1 D 2

Lời giải Chọn C

Vì F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) x cos2 x x −

= nên suy ra: F x( ) f x( ) x cos2 x

x

−

′ = =

Ta có: F x′( ) 0= x cos2 x

x

−

⇔ =

[ ] { }

cos

1;1 \

x x

x

− =

 ⇔  ∈ −

Xét hàm số g x( )= −x cosx [−1;1], ta có: g x′( ) sin= + x≥ ∀ ∈ −0, x [ 1;1] Suy hàm số ( )

g x đồng biến [−1;1] Vậy phương trình g x( )= −x cosx=0 có nhiều nghiệm [−1;1] ( )2

Mặt khác ta có: hàm số g x( )= −x cosx liên tục ( )0;1 g( )0 = −0 cos 0( )= − <1 0, ( )

(1) cos

g = − > nên g( ) ( )0 0g < Suy ∃ ∈x0 ( )0;1 cho g x( )0 =0 ( )3

Từ ( )1 , ( )2 , ( )3 suy ra: phương trình F x′( ) 0= có nghiệm x0 ≠0 Đồng thời x0 nghiệm bội lẻ nên F x′( ) đổi qua x x=

Vậy đồ thị hàm số y F x= ( ) có điểm cực trị

Câu 21. (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) cos 1

f x = x+ x − Hỏi đồ thị hàm số y F x= ( ) có điểm cực trị?

A Vô số điểm B 0 C 1 D 2

Lời giải Chọn D

Ta có /( ) ( ) cos 1

F x = f x = x+ x − /( ) sinx

f x = − +x ; f x//( )= −cosx+ ≥ ∀ ∈1 0 x R

Suy hàm số f x/( ) đồng biến R, từ dẫn đến phương trình f x/( ) 0= có nhiều nghiệm

Mặt khác f/(0) 0= suy x=0 nghiệm phương trình f x/( ) 0=

Do hàm số f x/( ) liên tục khoảng (−∞;0 ; 0;) ( +∞) vô nghiệm khoảng nên dấu f x/( ) không đổi khoảng

Mà f/( 1) 0; (1) 0− < f/ > suy f x/( ) 0< ∀ ∈ −∞x ( ;0) f x/( ) 0> ∀ ∈x (0;+∞)

Vậy hàm số f x( )nghịch biến khoảng (−∞;0) đồng biến khoảng (0;+∞) Mà (0)

f = nên phương trình f x( ) 0= có nghiệm x=0 hay phương trình F x/( ) 0= có nghiệm x=0

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

A –KIẾN THỨC CHUNG 1 Đổi biến dạng 1

Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x =ϕ( )t Trong ϕ( )t với đạo hàm (ϕ'( )t

những hàm số liên tục) ta : ( ) ( )

ϕ ϕ

 

=   = = +

∫f x dx( ) ∫f t ' t dt ∫g t dt( ) G t( ) C 1.1 Phương pháp chung

• Bước 1: Chọn t=ϕ( )x Trong ϕ( )x hàm số mà ta chọn thích hợp

• Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt =ϕ'( )t dt

• Bước 3: Biểu thị : = ϕ( ) ( )ϕ =

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt( ) • Bước 4:Khi : I = ∫f x dx( ) = ∫g t dt G t( ) = ( )+C 1.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu sốcó t mẫu số

Hàm số : f x( ; ϕ( )x ) t = ϕ( )x

Hàm f x( )= a inx+b.cosx

c inx+d.cosx+e s

.s

 

=  ≠ 

 

x x

t cos

2

tan ;

2

Hàm ( )

( )( )

=

+ +

f x

x a x b

1 Với : x a+ >0 x b+ >0

Đặt : t = x a+ + x b+

Với x a+ < x b+ < Đặt : t = − − + − −x a x b 2 Đổi biến dạng

Nếu : ∫f x dx( ) =F x( )+C với u =ϕ( )t hàm sốcó đạo hàm : ∫f u du( ) =F( ( ))ϕ t +C 2.1 Phương pháp chung

• Bước 1: Chọn x =ϕ( )t , ϕ( )t hàm số mà ta chọn thích hợp

• Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx =ϕ'( )t dt

• Bước 3: Biến đổi : = ϕ( ) ( )ϕ = ( )

 

f x dx( ) f t ' t dt g t dt • Bước 4:Khi tính : ∫f x dx( ) = ∫g t dt G t( ) = ( )+C 2.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

−

a2 x2 Đặt

=

x a sint; với ∈ − π π

 

t ;

2 x = a cost ;

với t∈  0;π

−

x2 a2

Đặt x = a

sint.; với { }

π π

 

∈ − 

 

t ; \

2 =

a x

cost

với ∈ π   π  

t 0; \

+

a2 x2

Đặt x = a tant; với ∈ − π π 

 

t ;

2 x = a cott

với t∈( )0;π

+ −

a x

a x

− +

a x

a x Đặt x =acos t2

(x a b x− )( − ) Đặt x = +a (b a sin t– )

+

a2 x2

1 Đặt x =atant ; với ∈ − π π 

 

 

t ;

2

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho F(x) nguyên hàm ( ) tan 2 cos cos

x f x

x a x

=

+ , biết F( )0 0= , F  =  4

π

Tính

3

F  π −F  π

   ?

A. 5− B 1− C. 3+ D. 5− Lời giải

( )

4 4

2 2

0 0

4

2

0

tan tan

cos x cos cos tan

1 tan 1

2 tan

x x

f x dx dx dx

a x x x a

d x a

x a

= =

+ + +

= + +

+ +

∫ ∫ ∫

∫

π π π

π

2

tan tan

4 a a

⇒ π + + − + + = −

2

a a

⇒ + = + + −

( )

2

3 1 1

3

a a a

a a

⇒ + = + + + − + −

−

⇒ = + ⇒ =

−

Do 2

4

tan

3 cos cos

x

F F dx

x x

 −  = =

   

    ∫ +

π

π

π π 2 2

tan tan

3 + − + = −

π π

Chọn A

Câu 2. (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho ( )

( )

( )

( )

2017 2019

1 d 1.

1

b c

x x

x C

a

x x

− −

= +

+ +

∫ với

a, b, c số nguyên Giá trị a b c+ +

A. 4.2018 B 2.2018 C 3.2018 D. 5.2018

Lời giải Chọn A

( )

( ) ( )

2017 2017

2019

1 d . d

1

1

x x

I x x

x

x x

−  − 

= =  

+

 

+ +

Đặt 1 x t

x

− =

+ ( )2

2

d d

1

t x

x

⇒ =

+

Khi 2017d

t

I =∫t 2018 2018

t C

= + 2018

2.2018

x C

x

−

 

=   +

+

 

2018

1 .

2.2018

x C

x

−

 

=   +

+

 

( )

( )

2018 2018 1 2.2018

x

C x

−

= +

+

Suy a=2.2018, b=2018, c=2018 nên a b c+ + =4.2018 Câu 3. Giả sử ( )

( 1)(2 23 d)( 1) ( )1

x x

C

x x x x g x

+

= − +

+ + + +

∫ (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x( )=0

A. −1 B 1 C. D. −3

Lời giải Chọn D

Ta có x x( +1)(x+2)(x+ + =3 1) (x2+3x x)( 2+3x+2 1)+ =(x2+3x)+12

 

Đặt t x= 2+3x, dt=(2x+3 d) x Tích phân ban đầu trở thành

( )2

d

1

t C

t t+ = − + +

∫

Trở lại biến x, ta có ( )

( )( )( )

2 d

1 3

x x

C

x x x x x x

+

= − +

+ + + + + +

∫

Vậy g x( )=x2+3 1x+

( ) 0 3 0

2

g x = ⇔x + x+ = ⇔ =x − +

x=− − Vậy tổng tất nghiệm phương trình −3

Câu 4. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [−2;1] thỏa mãn f ( )0 1=

( )

( )2 ( ) 2

f x f x′ = x + x+ Giá trị lớn hàm số y f x= ( ) đoạn [−2;1]

A. 2 163 B 318 C. 316 D. 2 18 3

Lời giải ta tìm ( ( ))3 3 2 2

3

f x = x + x + x+ 

  ( )

3 3

33 2 ( )

3

f x x x x  g x

⇒ =  + + +  =

 

( 2) (1) 11.16

g − g = − < ⇒Phương trình g x( ) 0= có nghiệm (−2;1)⇒Hàm số

( ) ( )

Câu 5. Hàm sốnào nguyên hàm hàm số ( )

2 1

f x

x

=

+ khoảng (−∞ +∞; )? A. F x( )=ln(x+ 1+x2)+C B F x( )=ln 1( + +x2)+C.

C. F x( )= 1+x2 +C D. ( )

2

x

F x C

x

= +

+

Lời giải Ta có tốn gốc sau:

Bài tốn gốc: Chứng minh ( )

2 ln

dx x x a c a

x a+ = + + + ∈

∫ 

Đặt 2

2

2

2

x x x a

t x x a dt dx dt dx

x a x a

  + +

= + + ⇒ = +  ⇔ =

+ +

 

tdx dt

x a

⇔ =

+

dt dx

t x a

⇔ =

+

Vậy

2 ln ln

dx dt t c x x a c

t

x a+ = = + = + + +

∫ ∫ ( điều phải chứng minh) Khi áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có

( ) ( 2)

2

1 ln 1 ln 1

1

F x dx x x c x x c

x

= = + + + = + + +

+

∫

Chọn A

Câu 6. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin cos sin

x x

f x

x

+ =

+ F(0) 2= Tính

2

F  π

 

A. 2

2

F  = π −

  B.

2

2

F  = π +

  C.

4

2

F  = π −

  D.

4

2

F  = π +

  Lời giải

Ta có:

( )

2

0

sin cos

( )

2 sin

x x

f x dx dx F F

x

π π

π

+  

= =  −

+  

∫ ∫

Đặt t= sin+ x⇒2tdt=cosxdx

2 2

0 0

sin cos 2sin

( ) cos

1 sin sin

x x x

f x dx dx xdx

x x

π π π

+ +

= =

+ +

∫ ∫ ∫

( )

2 2

2

1 1

2( 1) 12 2 -1 2 2 2

3

t tdt t dt t t

t

 

− + +

= = =  −  =

 

∫ ∫

( )

2 2 0 2 2 2

2 3

F  = π + +F = + + = +

 

Câu 7. Biết (cos2x sin2x)5.sin 4xdx cos 27 x C

a

− = − +

∫ Với a số nguyên Tìm a?

A. a=6 B a=12 C. a=7 D. a=14 Lời giải

Đặt f x( )= (cos2x−sin2x)5.sin 4xdx

( ) ( 2 2 )5 ( )5

cos sin sin cos 2sin cos cos sin

f x x x xdx x x x

x xdx

= − =

=

∫ ∫

∫

Đặt t=cos 2x⇒dt= −2sin 2xdx

Vậy ( ) cos 27

7

t x

F x = −∫t dt= − + = −C +C

Chọn C Câu 8. Tìm

1 2

x

R dx

x x

− =

+

∫ ?

A. tan 1 sin 2ln sin

t t

R C

t

+

= − + +

− với arctan2 2

x t=   

  B tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t

+

= − − +

− với arctan2 2

x t=   

  C. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t

+

= + +

− với arctan2

x t=   

  D. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t

+

= − +

− với arctan2

x t=   

  Lời giải Đặt x=2cos 2t với 0;

2

t∈ π 

 

Ta có:

2 4sin

2 2sin 4sin sin

2 2cos 4cos cos

dx t dt

x t t t

x t t t

= −  

 − −

= = =

 + +



2

2 2

2

1 .sin .4sin 2sin cos

4cos cos cos cos

1 tan 1 sin 2ln

cos cos 2 sin

t t t

R t dt dt dt

t t t t

t t

R dt dt C

t t t

−

⇒ = − = − = −

+

⇔ = − + = − + +

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Chọn A Câu 9.

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ có dạng 1 ( 1)3

4

ax x b x C

x

+

− + + + + , a b, hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:

A. 2; B.1; C. a b, ∈∅ D. 1; Lời giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

3

2

1 1

1

2

x x dx x dx x dx

x x

 +   + 

+ + + + = + + + +

   

   

   

∫ ∫ ∫

Để tìm ∫(2x x2+ +1 x x dxln ) ta đặt

1

1

2

I x dx

x

 + 

=  + + 

 

∫ I2 =∫ x+1dx tìm 1,

*Tìm

1

1

2

I x dx

x

 + 

=  + + 

 

∫

3

1

1 1

2

I x dx x x C

x x

 +  +

=  + +  = − + +

 

∫ , C1 số *Tìm I2 =∫ x+1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t= x+1,t≥0 ta t2 = +x 1, 2tdt dx=

Suy ( )3

2 23 23

I =∫ x+ dx=∫ t dt= t C+ = x+ +C

( )3

3 4

1 2

2

1 1 1

1

2 4

x x dx I I x x C x C x x

x x x

 +  + +

+ + + + = + = − + + + + + = − + +

 

 

 

∫

Suy để

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ có dạng 1 ( 1)3

4

ax x b x C

x

+

− + + + +

1 ,

a= ∈ b= ∈

Vậy đáp án xác đáp ánD

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a b, ởcác đáp án vào 1 ( 1)3

4

ax x b x C

x

+

− + + + + Sau đó, với ,

a b ởcác đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+

Sai lầm thường gặp:

A.Đáp án A sai

Một số học sinh không ý đến thứ tự b a, nên học sinh khoanh đáp án A sai lầm B Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2 =∫ x+1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t= x+1,t≥0 ta t2 = +x 1,tdt dx=

Suy ( )3

2 13 13

I =∫ x+ dx=∫t dt= t C+ = x+ +C

( )3

3 4

1 2

2

1 1 1 1

1

2 4

x x dx I I x x C x C x x

x x x

 +  + +

+ + + + = + = − + + + + + = − + +

 

 

 

∫

Suy để

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ có dạng 1 ( 1)3

4

ax x b x C

x

+

− + + + +

1 ,

a= ∈ b= ∈

Thế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm C.Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2 =∫ x+1dx

2 1

2

I x dx C

x

= + = +

+

Suy

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ khơng thểcó dạng 1 ( 1)3

4

ax x b x C

x

+

− + + + + ,

với a b, ∈

Nên không tồn a b, thỏa yêu cầu toán Câu 10. (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2 sin 2

6

x

ae + +b x C+ , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:

A. 3; B.1; C. 3; D. 6; Lời giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm ((x+1)e2(x+1)+cos 2x dx)

∫ Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

5 7

1

1 cos cos

1 cos

x x x

x x x

x

x e e x dx x e x dx

x e dx x dx

− + + −

− + −

+

 

+ ⋅ + =  + + 

= + +

∫ ∫

∫ ∫

Để tìm (x+1)e(x2− +5 4x )⋅e7 3x− +cos 2x dx

 

 

∫ ta đặt ( ) ( 1)2

1 x

I = x+ e + dx

∫ I2 =∫cos 2x dx tìm I I1, 2

*Tìm ( ) ( 1)2

1 x

I = x+ e + dx

∫

Đặt t=(x+1 ;)2 dt =2(x+1)(x+1)′dx=2(x+1)dx

( ) ( 1)2 ( 1)2

1 x 12 t 12 t 12 x

I = x+ e + dx= e dt= e C+ = e + +C

∫ ∫ , C1 số *Tìm I2 =∫cos 2x dx

2 cos 12sin 2 I =∫ x dx= x C+

( )

( 5 4 7 3 ) ( 1)2 ( 1)2

1 1 1

1 cos sin sin

2 2

x x

x x x

x+ e − + ⋅e − + x dx I I= + = e + +C + x C+ = e + + x C+

∫

Suy để (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2

sin

6

x

ae + +b x C+

3 ,

a= ∈ b= ∈

Chọn A

Cách 2:

Sử dụng phương pháp loại trừ cách thay giá trị a b, ởcác đáp án vào

( 1)2

sin

6

x

ae + +b x C+ lấy đạo hàm của chúng

Sai lầm thường gặp

B.Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm chỗkhông đểý đến thứ tự xếp b a, nên khoanh đáp án B sai lầm

C.Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm I2 =∫cos 2x dx

2 cos sin 2

( )

( 5 4 7 3 ) ( 1)2 ( 1)2

1 1

1 cos sin sin

2

x x

x x x

x+ e − + ⋅e − + x dx I I= + = e + +C + x C+ = e + + x C+

∫

Suy để (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2

sin

6

x

ae + +b x C+

3 ,

a= ∈ b= ∈

D.Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm ( ) ( 1)2

1 x

I = x+ e + dx

∫

Đặt t=(x+1 ;)2 dt=(x+1)(x+1)′dx=(x+1)dx

( ) ( 1)2 ( 1)2

1 x t t x

I = x+ e + dx= e dt e C e= + = + +C

∫ ∫ , C1 số Học sinh tìm 2 sin2 2

2

I = x C+ nên ta được:

( )

( 5 4 7 3 ) ( 1)2 ( 1)2

1 1

1 cos sin sin

2

x x

x x x

x+ e − + ⋅e − + x dx I I= + =e + +C + x C+ =e + + x C+

∫

Suy để (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2 sin 2

6

x

ae + +b x C+

6 ,

a= ∈ b= ∈

Câu 11. Tìm

( )

( )

3

1 1

x x

e x x

I dx

x e x

− + −

=

− − +

∫

?

A. I x= +ln(ex x− + +1 1) C B I x= −ln(ex. x− + +1 1) C

C. I =ln(ex x− + +1 1) C D. I =ln(ex. x− − +1 1) C

Lời giải

( )

( ) ( ( 1) ()2 1) (( ) )

3 2

1 1 1 1

x x

x x

x x x

x e x e x

e x x e x

I dx dx dx dx

x e x x e x x e x

− − + + −

− + − −

= = = +

− − + − − + − − +

∫ ∫ ∫ ∫

Đặt: 1 (2 1)

2

x x

x e x e x

t e x dt e x dx dx

x x

−

 

= − + ⇒ = + −  =

− −

 

Vậy ( )

( ) ln ln( 1)

1 1

x

x x

e x

I dx dx x dt x t C x e x C

t

x e x

−

⇒ = + = + = + + = + − + +

− − +

∫ ∫ ∫

Chọn A

Câu 12. Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ( )

( )

2

1

ln 2017

ln

x

x

x x

f x

e x e +

+ +

=

 + 

 

 

? A. ln(x2+ +1 1008ln ln)  (x2+ +1 1) 

 

B ln(x2+ +1 2016ln ln)  (x2+ +1 1) 

 

C. ln( 1 2016ln ln) ( 1 1) x + +  x + +  D. ln( 1 1008ln ln) ( 1 1)

2 x + +  x + + 

Đặt ( )

( )2

2

1

ln 2017

ln

x

x

x x

I dx

e x e +

+ +

=

 + 

 

 

∫

+Ta có:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( () () )

2

2

2

2 2

1

ln 2017

ln 2017 ln 2017

1 ln lne ln 1

ln

x

x

x x

x x x x x

I dx dx dx

x x x x

e x e +

 + + 

+ + + +  

= = =

 +  +  + +  +  + + 

 

 

∫ ∫ ∫

+ Đặt: ( 2)

2

ln 1

1 x

t x dt dx

x

= + + ⇒ =

+

( ) ( ) ( ) ( )

2016 1 2016 1008ln C

2 2

1ln 1 1008ln ln 1 1 1ln 1 1008ln ln 1 1

2 2

t

I dt dt t t

t t

I x x C x x C

+  

⇒ = =  +  = + +

 

   

⇔ = + + +  + + + = + +  + + +

∫ ∫

Chọn D

Câu 13. (Chuyên KHTN)Cho hàm số f x( ) liên tục  có

( )

f x dx=

∫

0

( ) f x dx=

∫ Tính

1

( 1)

f x dx

−

−

∫

A.

4 B 11.4 C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

1

1

1

1

4

( 1) ( 1) ( 1)

f x dx f x dx f x dx

− −

− = − + −

∫ ∫ ∫

1

1

1

4

(1 ) (4 1)

f x dx f x dx

−

= ∫ − +∫ − = +I J

+) Xét

(1 )

I f x dx

− = ∫ −

Đặt t= −1 4x⇒dt= −4 ;dx

Với 5;

4

x= − ⇒ =t x= ⇒ =t

1

0 5

4

1 0

1 1

(1 ) ( )( ) ( ) ( )

4 4

I f x dx f t dt f t dt f x dx

−

= ∫ − =∫ − = ∫ = ∫ =

+) Xét 1

(4 1)

J =∫ f x− dx

Đặt t=4 1x− ⇒dt =4 ;dx

Với 3;

4

1 3

1 0

4

1 1

(4 1) ( )( ) ( ) ( )

4 4

J =∫ f x− dx=∫ f t dt = ∫ f t dt= ∫ f x dx= Vậy

1

( 1)

f x dx

−

− =

∫

Câu 14. Tìm

( )

( )

2

2

2 2ln ln

ln

x x x x

G dx

x x x

+ + +

=

+

∫

?

A. 1

ln

G C

x x x

−

= − +

+ B

1

ln

G C

x x x

= − +

+

C. 1

ln

G C

x x x

= − +

+ D.

1

ln

G C

x x x

= + +

+

Lời giải Ta có:

( )

( ) ( ) ( ( ) () )

( ) ( ) ( )

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 ln ln

2 2ln ln ln

ln ln

ln

1 1 1

ln ln ln

x x x x x x

x x x x x x x x

G dx dx dx

x x x x x x

x x x

x x x

G dx dx J J dx

x x x x x x x x x x x x

 + + + +

+ + +   + + +

= = =

+ +

+

 +  + −  + 

⇔ =  +  = − + = +  = 

+ + +

   

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Xét nguyên hàm:

( )2 ln x

J dx

x x x

+ =

+

∫

+ Đặt: t x lnx dt 1 x

x x

+

= + ⇒ = + =

2

1 1

ln

J dt C C

t t x x

− −

⇒ = = + = +

+

∫

Do đó: 1 ln

G J C

x x x x

− −

= + = − +

+

Chọn A

Câu 15. Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )

1

1 ln ln ln

n n n

x h x

x− x x x

− =

+ ?

A. 1ln x 1ln xn lnn x 2016

n −n + + B

1ln x 1ln xn lnn x 2016

n +n + +

C. 1ln x 1ln xn lnn x 2016

n n

− + + + D. 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

− − + −

Lời giải

Ta có:

( ) ( )

1

1 ln ln . 1 ln .

ln ln

.ln ln ln ln 1 n

n n n n n n

n

x x x

L dx dx dx

x x x x

x x x x x x x x

x x

− − −

− − −

= = =

 

+ + +

 

 

∫ ∫ ∫

Đặt: t lnx dt ln2 xdx

x x

−

= ⇒ =

( ) ( )

1

1

n

n n n

dt t dt

L

t t t t

−

⇒ = =

+ +

∫ ∫

( )

1 1 1 ln 1 ln 1.ln

1

ln

1.ln 1.ln 1.ln ln

ln

1 1 ln

n

n n n

n

n n n

n

du u

L du u u C C

n u u n u u n n u

x

t x x

L C C C

x

n t n n x x

x

−

 

⇒ = =  −  =  − −  + = +

−  − 

⇔ = + = + = +

+ + +

∫ ∫

Chọn A

Câu 16. (Quỳnh Lưu Lần 1)Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1

x

f x e

=

+ F( )0 = −ln 2e

Tập nghiệm S phương trình F x( )+ln(ex+ =1 2) là:

A. S ={ }3 B S ={ }2;3 C. S = −{ 2;3} D. S = −{ 3;3} Lời giải

Chọn A

Ta có ( )

1 ( 1)

x

x x x

e

I f x dx dx dx

e e e

= = =

+ +

∫ ∫ ∫

Đặt t e= x⇒dt e dx= x . (1 ) ln ln( 1) ln ln( 1) .

( 1)

x x

dt

I dt t t C e e C

t t t t

= = − = − + + = − + +

+ +

∫ ∫

Khi đó: F x( ) ln= ex−ln(ex+ +1) C F, (0)= −ln 2e⇔ −ln 2+ = −C ln 1− ⇔ = −C Do đó: F x( ) ln= ex−ln(ex+ −1)

( ) ln( x 2) ln x ln( x 1) ln( x 2) ln x 3

F x + e + = ⇔ e − e + − + e + = ⇔ e = ⇔ =x

Câu 17. Khi tính nguyên hàm

( )( )3

2 1x+ x+1 dx

∫ người ta đặt t g x= ( ) (một hàm biểu diễn theo biến x) nguyên hàm trở thành ∫2dt Biết ( )4

5

g = , giá trị g( ) ( )0 +g là: A.

2 +

B 1 +

C. +

D. + Lời giải

Đối với HS cần pahir nắm kĩ thuật biến đổi tính nguyên hàm Hs cần phải dự đoán phép đặt ẩn phụ, ta thấy nguyên hàm biến đổi thành:

( )( )3 ( )2

1

2

2 1 1

1

dx dx

x

x x x

x

=

+

+ + +

+

∫ ∫

Do ta đặt:

( )2 ( )2

2 2

1 2 1 1

1

x dx dx

t dt dt

x x x x x

x x

+

= ⇒ = ⇔ =

+ + + + +

+ +

Vì suy

( )( )3

1 2

2 1x+ x+1 dx= dt

∫ ∫

Tuy nhiên Lời giải sai, ta thấy đặt

( )2 ( )2

2 2

1 2 1 1

1

x dx dx

t C dt dt

x x x x x

x x

+

= + ⇒ = ⇔ =

+ + + + +

+ +

( )

2 1

x

t C g x

x

+

= + =

+ Theo đề ( )

5

g = n33n suy C=0 Cuối ta ( )

1

x g x

x

+ =

+ ( ) ( )

2

0

2

g +g = +

Chọn C

Chú ý: Bài tốn hồn tồn có thểdùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

3

3

1 1

2

2

2 1 1

1

2 2 1 1

dt dx t dx

x x x x

g x dx

x x

= ⇒ =

+ + + +

⇒ =

+ +

∫ ∫ ∫

∫

Do g x( ) nguyên hàm

( )( )3

1

2 1x+ x+1 Suy ra:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

0

3

4

1 1

0 4

2 2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

− = ⇒ = +

+ + + +

∫ ∫

Và:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1

3

4

1 1

1 4

2 2 1 1 2 1 1

g g dx g dx g

x x x x

− = ⇒ = +

+ + + +

∫ ∫

Sử dụng MTCT bấm:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

0

3

4

1 4 1 4

2 2 1x+ x+1 dx g+ + 2 1x+ x+1 dx g+

∫ ∫

Câu 18. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [−2;1] thỏa mãn f ( )0 3=

( )

( )2 ( ) 2

f x f x′ = x + x+ Giá trị lớn hàm số y f x= ( ) đoạn [−2;1]

A. 2 423 B 2 15 3 C. 42 D. 315

Lời giải Ta có:(f x( ))2.f x′( )=3x2+4x+2 (*)

Lấy nguyên hàm vế phương trình ta

( )

( )2 ( ) ( 2 ) ( ( ))2 ( ( )) 3 2

2

f x f x dx′ = x + x+ dx⇔ f x d f x = +x x + x C+

∫ ∫ ∫

( )

( )3 ( ( )) ( ) ( )

3

3 2 2 3 2 2 1

3 f x

x x x C f x x x x C

⇔ = + + + ⇔ = + + +

Theo đề f ( )0 =3 nên từ(1) ta có (f ( )0 )3 =3 2.0 2.0( 3+ 2+ +C)⇔27 3= C ⇔ =C 9

( )

( )3 ( 3 2 ) ( 3 2 )

3

3 2 ( ) 2

f x x x x f x x x x

⇒ = + + + ⇒ = + + +

Tiếp theo tìm giá trị lớn hàm số y f x= ( ) đoạn [−2;1 ]

CÁCH 1:

Vì x3+2x2+2x+ =9 x x2( + +2 2) (x+ + > ∀ ∈ −2 0,) x [ 2;1] nên f x( ) có đạo hàm [−2;1]

và ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

3

3

3 3 4 2

0,

3 2 2

x x x x

f x

x x x x x x

+ + + +

′ = = >

 + + +   + + + 

   

[ 2;1 ]

x

∀ ∈ −

⇒Hàm số y f x= ( )đồng biến [ ]

[ ] ( ) ( )

3 2;1

2;1 maxf x f 42 −

Vậy

[ ] ( ) ( )

3 2;1

max f x f 42

− = =

CÁCH 2:

( ) ( )

3

3

3 2

3

223

3 2

9

x x x x

f x  +  + x+ +

   

= + + + =

Vì hàm số 3, 2 22

9

3

y= x+  y= x+ +

    đồng biến  nên hàm số

3

33 223

3

2

3

y= x+  + x+ +

    đồng biến  Do đó, hàm số y f x= ( )đồng biến [−2;1 ]

Vậy [ ] ( ) ( )

2;1ax

m− f x = f =

Câu 19. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 2cos2

sin

x f x

x

−

= khoảng (0;π) Biết giá trị lớn F x( ) khoảng (0;π) Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A. 3

6

F  = π −

  B

2

3

F π =

  C. F 3

π

  = −  

  D.

5 3 3

6

F π  = −

 

Lời giải Ta có:

( )d 2cos2 1d cos2 d 12 d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x

−

= = −

∫ ∫ ∫ ∫

( )

2

d sin

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

= ∫ −∫ = − + +

Do F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 2cos2 sin

x f x

x

−

= khoảng (0;π) nên hàm số

( )

F x có cơng thức dạng ( ) cot sin

F x x C

x

= − + + với x∈( )0;π Xét hàm số ( ) cot

sin

F x x C

x

= − + + xác định liên tục (0;π)

( ) ( ) 2cos2 '

sin

x

F x f x

x

−

= =

Xét '( ) 2cos2 cos ( )

sin

x

F x x x k k

x

π π

−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈

Trên khoảng (0;π), phương trình F x'( )=0 có nghiệm

x=π Bảng biến thiên:

(0; ) ( )

max

3

F x F C

π

π

 

Theo đềbài ta có, − 3+ =C 3⇔ =C Do đó, ( ) cot

sin

F x x

x

= − + +

Câu 20. Cho hàm số f x( ) liên tục, không âm đoạn 0; π

 

 

 , thỏa mãn f ( )0 = 3và

( ) ( ). cos 1 2( )

f x f x′ = x + f x , 0; x  π

∀ ∈   Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M của

hàm số f x( ) đoạn ; π π

 

 

 

A. 21

2

m= , M =2 2 B

m= , M =3

C.

2

m= , M = D. m= 3, M =2 Lời giải Chọn A

Từ giả thiết f x f x( ) ( ). ′ =cos 1x + f x2( )

( ) ( ) ( )

2

d sin

1

f x f x

x x C

f x

′

⇒ = +

+

∫

Đặt t= 1+ f x2( )⇒ = +t2 1 f x2( ) ⇒t td = f x f x x( ) ( )′ d

Thay vào ta ∫d sint= x C+ ⇒ =t sinx C+ ⇒ 1+ f x2( )=sinx C+ Do f ( )0 = ⇒ =C

Vậy 1+ f x2( )=sinx+ ⇒2 f x2( )=sin2 x+4sinx+3

( ) sin2 4sin 3

f x x x

⇒ = + + , hàm số f x( ) liên tục, không âm đoạn 0; π

 

 

 

Ta có sin

6 x 2 x

π ≤ ≤ ⇒ ≤π ≤ , xét hàm số

( ) 4 3

g t =t + t+ có hồnh độđỉnh t= −2 loại Suy ( ) ( )

1;1

1

max g t g

     

= = , ( ) 1;1

1 21

min

2

g t g

     

  =  =

  Suy ( )

;

2 2

max f xπ π f π

     

  =  =

  , ; ( )

21

6

f x g

π π

π  

   

  =  =

 

( ) ( ) ( )

2

cos

1

′

⇒ =

+

f x f x

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Phương pháp nguyên hàm phần

Nếu u(x) , v(x) hai hàm sốcó đạo hàm liên tục K:

= −

∫u x v x dx( ) '( ) u x v x( ) ( ) ∫v x u x dx( ) '( ) Hay ∫udv =uv −∫vdu ( với du =u x dx dv’( ) , ’=v x dx( ) )

1.1 Phương pháp chung

• Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu dạng : I = ∫f x dx( ) = ∫f x f x dx1( ) ( )2

• Bước 2:Đặt :  = →  =

= =

 

  ∫

du f x dx

u f x

dv f x v f x dx

1 2 ' ( ) ( ) ( ) ( )

• Bước 3:Khi : ∫u dv =u v −∫v du 2 Các dạng thường gặp

2.1 Dạng 1

     =        ∫ x x I P x x dx

e sin

( ) cos Đặt

 =         =           x

u P x

x

dv x dx

e ( ) sin cos  =    −    ⇒   =           x

u du P x dx

x v x e ' '( ) cos sin

Vậy:

x

x

I P x x

e

cos ( ) sin

−    =       - −          ∫ x x

x P x dx

e

cos

sin '( )

2.2 Dạng 2

I = ∫P x( ).lnxdx Đặt

 =    =  u x

dv P x dx

ln ( )  =  ⇒   = =  ∫ du dx x

v P x dx Q x

1

( ) ( )

Vậy I lnx Q( )x Q x dx

x

1 ( )

= = ∫

2.3 Dạng 3

    =      

∫ x x

I e dx

x

sin

cos Đặt  =     =           x u e x dv dx x sin cos  =  −  ⇒  =           x

du e dx x v x cos sin Vậy I = I ex x

x cos sin −    =       - −         

∫ x e dxx

x

cos sin

Bằng phương pháp tương tựta tính −  

 



∫ x e dxx

x

cos

sin sau thay vào I

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (ĐH Vinh Lần 1)Tất cảcác nguyên hàm hàm số khoảng

A B

  tan2

f x x x ;0

2         

  tan ln cos 

x

F x x x x  C   tan ln cos 

2

x

C D Lời giải Chọn A

Gọi

Đặt

Khi đó:

Vì nên , suy

Vậy:

Câu 2: Cho ( ) 2 cos

x f x

x

= ;

2 π π

− 

 

  F x( ) nguyên hàm xf x′( ) thỏa mãn F( )0 0=

Biết ; 2

a∈ − π π

  thỏa mãn tana=3 Tính ( )

2

10

F a − a + a A ln10

2

− B ln10

4

− C 1 ln10

2 D ln10

Lời giải Chọn C

Ta có: F x( )=∫xf x x′( )d =∫x f xd ( ) =xf x( )−∫ f x x( )d Ta lại có: ( )d 2 d

cos x

f x x x

x

=

∫ ∫ = d tan∫x ( x)=xtanx−∫tan dx x tan sin d cos

x

x x x

x

= −∫

( )

1

tan d cos

cos

x x x

x

= +∫ =xtanx+ln cosx C+ ⇒F x( )=xf x x( )− tanx−ln cosx C+

Lại có: F( )0 0= ⇒ =C 0, đó: F x( )=xf x x( )− tanx−ln cosx ( ) ( ) tan ln cos

F a af a a a a

⇒ = − −

Khi ( ) 2

cos a f a

a

= =a(1 tan+ 2a)=10a 2

1 1 tan

cos a = + a =10

2

cos

10 a

⇔ =

1 cos

10

a

⇔ =

  tan ln cos 

x

F x x x x  C   tan ln cos

2

x

F x x x x  C

     

2

tan d tan 1 d tan d d d d

cos

x

F x x x x x x x x x x x x x x x

x

        

2

d d

1 tan

d d

cos

u x u x

v x

v x

x

 

  

 

 

   



  2 d d tan sin d

cos cos

x x x

F x x x x x x x

x x

    

  2

d cos

tan tan ln cos

cos 2

x x x

x x x x x C

x

      

;0 x   



  cosx0 ln cosx ln cos x

  tan ln cos 

x

Vậy F a( )−10a2+3a 10 3 ln 10 3 10

a a a a

= − − − + ln10

2

=

Câu 3: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

3

e x

f x = F( )0 =2 Hãy tính F( )−1 A 6 15

e

− B 4 10

e

− C 15

e − D

10 e Lời giải

Chọn C

Ta có ( )

d e dx I =∫ f x x=∫ x

Đặt x t= ⇒ =x t3 ⇒dx=3 dt t2 khi 2

e dx e dt I =∫ x= ∫ t t

Đặt 2 d d

e e d dt t

t t u t u

v

t v

=

 = 

 ⇒

 

= =

 

 ( )

2

3 et e dt

I t t t

⇒ = − ∫ =3ett2−6 e d∫ tt t

Tính ∫e dtt t

Đặt d d

e d dt et

t u t u

t v v

= =

 

⇒

 =  =

  e d e e d e e

tt t t t t t t t t

⇒∫ = −∫ = −

Vậy ⇒ =I 3ett2−6 e( tt−et)+C ( ) 3 2 ( 3 )

3e x e x e x

F x x x C

⇒ = − − +

Theo giả thiết ta có F( )0 = ⇒ = −2 C ( ) 3 2 ( 3 )

3e x e x e x

F x x x

⇒ = − − −

( )1 15

e F

⇒ − = −

Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= x xln A ( )d 32(3ln 2)

9

f x x= x x− +C

∫ B ( )d 32(3ln 2)

3

f x x= x x− +C

∫

C ( )d 32(3ln 1)

f x x= x x− +C

∫ D ( )d 32(3ln 2)

9

f x x= x x− +C

∫

Lời giải Chọn A

( )d ln d

I =∫ f x x=∫ x x x

Đặt: d d d d

2

t x t x t t x

x

= ⇒ = ⇒ =

2 2

2 ln d ln d

I t t t t t t

⇒ = ∫ = ∫

Đặt: 2 3

1

d d

ln

d d

3

u t

u t t

v t t v t

 =

 =

 

⇒

 

=

  =



( )

3 3

1 1

2 ln d ln 3ln

3 3 9

I  t t t t  t t t C t t C

⇒ =  − =  − + = − +

 ∫   

( )

3

2 3ln 1

9x x C

( )

2

1 3ln 2

9x x C

= − +

Câu 5: Tìm ( )

2

2 sin cos

x dx H

x x x

=

+ ∫

?

A ( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

= + +

+

B ( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

= − +

+

C ( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

−

= + +

+

D ( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

−

= − +

+

Lời giải Ta có:

( ) ( )

2

2

cos .

cos

sin cos sin cos

x x x x

H dx dx

x

x x x x x x

= =

+ +

∫ ∫

Đặt

( ) (( ))

2

2

sin cos

cos cos

sin cos

cos 1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

u du dx

x x

d x x x

x x

dv dx v

x x x x x x x x x

 =  +

=

 

 ⇒

 + 

 = =  = −



 + +  +



( )

2

1

tan

cos x sin cos cos cos sin cos

x x

H dx x C

x x x x x x x x

−

⇒ = − + = + +

+ ∫ +

Chọn C

Câu 6: ∫(2x x2+ +1 x x dxln ) có dạng ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+ , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C 1 D Không tồn

Lời giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm ∫(2x x2+ +1 x x dxln ) Sau đó, ta xác định giá trị của a Ta có:

(2x x2+ +1 x x dxln ) = 2x x2+1dx+ x x dxln

∫ ∫ ∫

Để tìm ∫(2x x2+ +1 x x dxln ) ta đặt

1

I =∫ x x + dx I2 =∫x x dxln tìm I I1, 2

*

1

I =∫ x x + dx

Dùng phương pháp đổi biến

Suy ra:

( )3

2

1 2 23 23 1

I =∫ x x + dx=∫ t dt= t C+ = x + +C , C1 số *I2 =∫x x dxln

Dùng phương pháp nguyên hàm phần

Đặt

2 ln

1

du dx

u x x

dv xdx v x

 =

 =

 ⇒

 = 

  =



, ta được:

2

2 2 2

2 ln

1 ln 1 ln 1 ln

2 2 2

I x x dx udv uv vdu

x x x dx x x xdx x x x C

x

= = = −

= − ⋅ = − = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

3

2 2

2 1

2 ln ln

3

2 1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

+ + = + = + + + − +

= + + − +

∫

Suy để ∫(2x x2+ +1 x x dxln ) có dạng ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+

2 ,

a= ∈ b= ∈ Chọn B

Câu 7: Biết F x( ) a xln b c ln 2( x 3)

x

 

= + +  +

  nguyên hàm hàm số ( )

( )

2 ln 2x

f x

x

+

= Tính

S a b c= + +

A S = −1 B

S = C

3

S = D

3

S= − Lời giải

Chọn A

Nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2( x2 3) x

+

= là:

( ) ln 2( 2 3) 1.ln 2( 3)

2

x

f x dx dx x dx

x x x x

+ −

= = − + −

+

∫ ∫ ∫ 1.ln 2( 3)

2

x dx

x x x

−

= − + −

+ ∫

( )

ln 2

3

x

dx

x x x

+  

= − +  − 

+

 

∫ ln 2( 3) 2ln 2ln 2( 3)

3

x

x x C

x

+

= − + − + +

( )

2ln ln 2 3

3 x x x C

 

= + − −  + +

 

⇒ F x( ) a xln b c ln 2( x 3)

x

 

= + +  +

 

( ) ( )

ln 2ln 2ln 2 3

3

x

x x C

x

+

= − + − + + , với C=0,

⇒ 2 ( )1

3

a b c+ + = + − + − = −

Câu 8: (Trần Đại Nghĩa)Cho

( )

2

2

ln ln 2

1

x x a

I dx

b c

x

+

= = −

+

∫ với a b c, , số nguyên dương

phân số phân số tối giản Tính giá trị biểu thức S a b c

+

=

A

S = B

3

S = C

3

S = D

2 S = Lời giải

Chọn A Ta có

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

1 1

ln ln

1 1

x x x x

I dx dx dx

x x x

+

= = +

+ + +

∫ ∫ ∫

Xét

( )

2

1

1

x

I dx

x

= +

∫

Đặt t x= + ⇒ =1 dt dx

3

3 3

3

1 2 2

2

2 2

1 1 ln ln3

2 t

I dt dt dt t

t t

t t

−

=∫ =∫ −∫ = + = −

Xét

( ) ( )

2

2 2

2

1

1 1

ln ln 1ln 2 1

1

1

x

I dx x dx dx

x x x x x

x

 

= = − + = − +  − 

+ +  + 

+

∫ ∫ ∫

2

1

1ln ln 1ln ln4

3 3

x I

x

= − + = − +

+

Do ln3 1ln ln4 2ln

2 3

I= − − + = −

2

6

a b S

c

+ +

⇒ = = =

Câu 9: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm hàm số

(2x2 x)ln 1

y

x x

+ +

=

A ( 1 ln) 2

x

x x x

x + + − + +C B ( 1 ln)

2

x

x x x

x + − + − +C

C ( 1 ln) 2

x

x x x

x + + − − +C D ( 1 ln)

2

x

x x x

x + − − + +C Lời giải

Chọn C

Ta có: ( ) ( )

2

1 l

2 ln 1

n d

d d

x x

x x x I

x

x

x x= + x I

+ +

+∫ = +

∫ ∫

( )

1 ln d

I =∫ x+ x x Đặt ( )

2 ln

d

d

1 d

2 d

x

v x x

u x

u x

x v x



= =

 ⇒

= +

 +

 

  =



( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

1

2

1

ln d ln d

l

2

n

I x x x x

x

x x x x x x x

x x x x x C

= + + +

+

− = − +

= − − +

∫ ∫

2 d lnx

I x C

x

=∫ = +

( )

( ) ( )

2

1

2

2

1

2

d ln

ln ln ln

2

x

x I x

x x

x x

I

x

x x x C x C x x x x C

=

= − − + +

+ +

+

+ + = + + − − +

∫

Câu 10: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2 ln

4 x f x x

x

 − 

=  

+

 ?

A 2

2

ln

4 x

x x

x

 − −

 + 

  B

4

2

16 ln 2

4

x x x

x

 −   − −

   + 

   

C 2

2

ln

4 x

x x

x

 − 

+

 + 

  D

4

2

16 ln 2

4

x x x

x

 −   − 

+

   + 

   

Lời giải

Đặt:

2

4

4

3

16

ln 16

4

16

4

x

x du

u x

x

x x

v dv x dx



 =  −   =

  + ⇒ −

    −

 =  = − =

 

2 4

4

2 2

4 16 16

ln ln ln

4 4 4

x x x x x

x dx xdx x C

x x x

 −   −   −   −   − 

⇒   =   − =   − +

+ + +

         

∫ ∫

Chọn B

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a ởcác đáp án vào ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+ Sau đó, với mỗi a của

các đáp án ta lấy đạo hàm ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+

Khơng khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên

việc tìm đạo hàm trởnên khó khăn

Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai

Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉtìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A sai

lầm

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I =∫ x x + dx

Đặt t= x2+1, t≥1 ta được t2 =x2+1,tdt =2xdx Suy ra:

( )3

2

1 13 13 1

I =∫ x x + dx=∫t dt= t +C = x + +C , C1 số

Học sinh tìm 2

2 12 ln 14

I = x x− x C+ theo phân tích

( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

+ + = + = + + + − +

= + + − +

∫

Suy để ∫(2x x2+ +1 x x dxln ) có dạng ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+ a=1,b=3 Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I =∫ x x + dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t= x2+1, t≥1 ta được t2 =x2+1,tdt =2xdx Suy ra:

( )3

2

1 13 13 1

I =∫ x x + dx=∫t dt= t C+ = x + +C , C1 số

Học sinh tìm 2

2 12 ln 14

I = x x− x C+ theo phân tích

( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

+ + = + = + + + − +

= + + − +

∫

Suy để (2x x2+ +1 x x dxln )

∫ có dạng ( 1)3 2ln

3

a x + +bx x− x C+

1 ,

3 a= ∈ b= ∉

Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b

Câu 11: (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết ( )d cos 2( 5)

f x x= x x− +C

∫ Tìm khẳng định khẳng định sau A ∫ f x x( )3 d =3 cos 6x ( x− +5) C B ∫ f x x( )3 d =9 cos 6x ( x− +5) C C ∫ f x x( )3 d =9 cos 2x ( x− +5) C D ∫ f x x( )3 d =3 cos 2x ( x− +5) C

Ta có ∫ f x x( )d =3 cos 2x ( x− +5) C ( )

( f x xd )′ (3 cos 2x ( x 5) C)′

⇒ ∫ = − +

( ) 3cos 2( sin 2) ( 5)

f x x x x

⇒ = − − −

( )3 3cos 6( 18 sin 6) ( 5)

f x x x x

⇒ = − − −

Xét ∫ f x x( )3 d =∫(3cos 6( x− −5 18 sin 6) x ( x−5 d)) x

( ) ( )

3cos 6x dx 18 sin 6x x dx

=∫ − −∫ − ( )1

Xét I =∫18 sin 6x ( x−5 d) x

Đặt

( ) ( )

3 3d d

6sin d d cos

x u x u

x x v x v

= =

 

 ⇒

 − = − − =

 

 

( ) ( )

3 cos cos d

I = − x x− + ∫ x− x, thay vào ( )1 ta ∫ f x x( )3 d =3 cos 6x ( x− +5) C Cách 2:

Đặt x=3t ⇒dx=3dt

Khi đó: ∫ f x x( )d =3 cos 2x ( x− +5) C ⇔3∫ f t t( )3 d 3 cos 2.3 5= ( ) (t t− +) C ( )3 d cos 5( )

f t t t t C

⇔∫ = − + ⇔∫ f x x( )3 d =3 cos 6x ( x− +5) C

Câu 12: (Ngô Quyền Hà Nội) Cho F x( )=x2 một nguyên hàm của hàm số f x e( ). 2x Khi

( ) d2x f x e x′

∫

A − +x2 2x C+ . B − + +x2 x C. C 2x2−2x C+ . D −2x2+2x C+

Lời giải Chọn D

Do F x( )=x2 một nguyên hàm của hàm số f x e( ). 2x nên f x e( ). 2x =F x′( )=2x

Xét ∫ f x e x′( ) d2x

Đặt

( ) ( )

2 d 2 d2

d d

x x

u e u e x

v f x x v f x

 =  =

 ⇒

 = ′  =

 

  ta có:

( ) d2x ( ). 2x 2 ( ) d2x 2 2

f x e x f x e′ = − f x e x= − x + x C+

∫ ∫

Câu 13: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F x( ) nguyên hàm  hàm số

( ) 2eax( 0)

f x =x a≠ , cho F F( )0 a

  = +

 

  Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau

A 0< ≤a B a< −2 C a≥3 D 1< <a Lời giải

( ) 2e dax

F x =∫x x Đặt d 1 e2 d

d e dax ax

u x x u x

v

v x a

=   =

 ⇒

  =

=

 

( ) 2eax e dax ax 2. ( )1

F x x x x x e A

a a a a

⇒ = − ∫ = −

Xét A=∫xe dax x Đặt d d

1

d axd ax

u x

u x

v e

v e x

a

=  =

 

⇒

 

= =

 

( ) ax axd 2

A xe e x

a a

⇒ = − ∫

Từ ( )1 ( )2 suy ( ) 2

2 2

1 eax ax e dax eax eax eax

F x x xe x x x C

a a a a a a

= − + ∫ = − + +

Mà F F( )0 a

  = +

 

  ⇒ 3 3

1 e e e C 1 C

a −a +a + =a + +

3 e 2 3e 2 0 1.

a a a

⇒ = − ⇒ = − ⇒ < ≤

Câu 14: (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số thỏa mãn Tất cảcác nguyên hàm

A B

C D

Lời giải Chọn D

Ta có

Vì

Vậy

Phân tích: Bài tốn cho hàm số thỏa mãn điều kiện chứa tổng

đưa ta tới công thức đạo hàm tích với Từđó ta cần chọn hàm cho phù hợp

Tổng quát: Cho hàm số liên tục , thỏa mãn (Chọn )

Ta có

( )

f x f x( )+ f x′( )=e ,−x ∀ ∈x

 f ( )0 2=

( )e2x f x

(x−2 e e) x+ +x C (x+2 e) 2x+ex+C

(x−1 e) x+C (x+1 e) x+C

( ) ( ) e x

f x + f x′ = − ⇔ f x( )ex+ f x′( )e 1x = ⇔(f x( )ex)′=1⇔ f x( )ex = +x C

( )0

f = ⇔2.e0 =C ⇔C=2 ⇒ f x( )e2x =(x+2 e) x

( )e d2x

f x x

∫ =∫(x+2 e d) x x =∫(x+2 d e) ( )x =(x+2 e) x−∫e dx (x+2)

(x e) x e dx x

= + −∫ =(x+2 e e) x− +x C =(x+1 e) x+C

( )

y f x= f x( ) f x′( )

( )u v ′=u v u v′ + ′ u f x= ( )

v

( )

y f x= y g x= ( ) K

( ) ( ) ( ) ( )

f x′ +g x f x =k x v e= G x( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x′ +g x f x =k x ⇔eG x( )f x′( )+g x e( ) G x( )f x( )=k x e( ) G x( )

( ) ( )

(eG x f x )′ k x e( ) G x( )

⇔ = ⇒eG x( )f x( )= k x e dx( ) G x( )

∫ ⇔ f x( )=e−G x( ) k x e dx( ) G x( )

Với nguyên hàm

Admin tổ4 – Strong team: Bản chất toán cho hàm số thỏa mãn điều kiện chứa tổng liên quan tới công thức đạo hàm tích với

Khi ta cần chọn hàm thích hợp Cụ thể, với tốn tổng qt :

Cho hàm số y f x= ( ), y g x= ( ), y h x= ( ), y k x= ( ) liên tục K, g x( )≠0 với ∀ ∈x K thỏa mãn g x f x h x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ + =k x

Ta sẽđi tìm v sau : ( )

( ) ( )( )

h x h x

v v

v g x ⇒ vdx g x dx

′

= =

′

∫ ∫

Khi : ( )( )

( ) ( )

ln x

h x g xd

dx e

h x

v v

g x

∫

=∫ ⇔ =

Câu 15: (ĐH Vinh Lần 1)Cho hàm số thỏa mãn Tất cảcác nguyên hàm

A B C D

Lời giải Chọn D

Ta có

Vì

Vậy

Câu 16: (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn

( ) ( ) ,

f x + f x′ = ∀ ∈x x  f ( )0 1= Tính f ( )1

A 2

e B

1

e C e D

e Lời giải

Chọn A

( ) ( ) (1)

f x + f x′ =x

Nhân vế (1) với ex ta được e x f x( )+e x f x′( )=x.ex

Hay e x f x( ) =′ x.ex ⇒e x f x( )= x.e dx x

  ∫

Xét I =∫x.e dx x

Đặt d d

e dx d ex

u x u x

x v v

= ⇒ =



 = ⇒ =



.e dx ex e dx e ex x

I =∫x x x= −∫ x x= − +C Suy exf x( )=x.e ex− +x C

( )

G x g x( )

( )

y f x=

( )

f x f x′( ) ( )u v. ′ =u v u v′. + . ′

( )

u f x= v

( )

f x ( ) ( )

2 x ,

f x′ + xf x = xe− ∀ ∈x

 f ( )0 1=

( )

ex x f x

( 2 )2

1

x + +C 1( 1)2

2

x

x + e− +C ( 2 )2

1 x

x + e− +C 1( 1)2 x + +C

( ) ( )

2 x

f x′ + xf x = xe− 2( ( ) ( )) 2

2

x x x

e f x′ xf x e xe−

⇔ + = ⇔(e f xx2 ( ))′ =2x ( )

2 2

2 d

x

e f x x x x C

⇒ =∫ = +

(0)

f = ⇔ =C 1⇒ f x( )=(x2+1)e−x2

( )

d

x xf x e x

∫ =∫x x( 2+1 d) x ( 1 d) ( 1)

2 x x

= ∫ + + 1( 1)2

2 x C

Theo giả thiết f(0) 1= nên C=2 ( ) e e ( )1

e e

x x x x

f x − + f

⇒ = ⇒ =

Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀĐH VINHL3 -2019 )Biết nguyên hàm

trên khoảng Gọi nguyên hàm thỏa mãn , giá trị

của

A B C D

Lời giải Chọn A

Vì nguyên hàm khoảng

,

Do , ,

Nên

Bởi

Từđó ;

Vậy

Câu 18: (SởLạng Sơn 2019)Cho hàm số y f x= ( )

Biết hàm số cho thỏa mãn hệ thức f x( )sinxdx =− f x( )cosx+ πxcosxdx

∫ ∫ Hỏi hàm số

( )

y f x= hàm sốnào hàm số sau? A f x( )= −πxlnπ . B ( )

ln

x

f x = ππ C f x( )=πxlnπ . D ( )

ln

x f x = − ππ Lời giải

Chọn B

Hệ thức f x( )sinxdx =− f x( )cosx+ πxcosxdx

∫ ∫ (1)

Xét ∫ f x( )sinxdx

Đặt ( ) '( )

sin cos

u f x du f x

dv xdx v x

= ⇒ =

 

= ⇒ = −

 Ta ∫ f x( )sinxdx= −f x( )cosx+∫ f x'( )cosxdx

Theo hệ thức (1), suy f x'( )=πx

Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có hàm số thỏa mãn ( ) ln

x

f x π

π

=

Câu 19: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1)Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm cấp hai (0;+∞) thỏa mãn 2xf x′( )− f x( )=x x2 cos ,x ∀ ∈x (0;+∞) ( );f 4π =0 Giá trị biểu thức f ( )9π là:

A 0 B −3 π C − π D −2 π Lời giải

ex

x f x( )−

(−∞ +∞; ) F x( ) f x′( )ex F( )0 1= ( )1

F −

5 e

− e

2

−

2 ex

x f x( )− (−∞ +∞; )

⇒ f ( )− =x ( )xex ′ = +ex xex ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )

( ) e ( )x ( )e ( )x

f − =x − − − −x − − ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )⇒ f x( )=e 1−x( −x) ∀ ∈ −∞ +∞x ( ; )

( ) e 1x( ) e x( 2)

f x′ = − −x ′= − x−

  ⇒ f x′( )e ex = −x(x−2 e) x = −x

( ) ( ) 1( )2

2 d

2

F x =∫ x− x= x− +C

( ) 1( )2

0 2

2

F = − + = +C C F( )0 1= ⇒ = −C

( ) 1( )2 ( ) 1( )2

2 1

2 2

Chọn B

Với x∈(0;+∞), ta có

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 cos

1

cos

2

cos sin cos

2 2

xf x f x x x x

x f x f x

x x

x x

f x x x f x x x x C

x x

′ − =

′ −

⇔ =

′

 

⇔  = ⇔ = + +

 

Mà f ( )4π =0 suy

C=− Vậy ( ) sin cos

2 2

x x x

f x = + −  x

 

Suy f ( )9π = −3 π

Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Giả sử F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=ln(x2+3)

x thỏa mãn ( )− +2 ( )1 0=

F F F( )− +1 F( )2 =aln 2+bln 5, với a, b số hữu tỷ Giá trị 3a+6b

A −4 B 5 C 0 D −3

Lời giải Chọn B

Xét f x x( )d ln(x2 3)dx x

+ =

∫ ∫

Đặt u=ln(x+3) dv 12dx x

= , ta có d d

3

= +

u x

x chọn v 1x Khi ( )d 1ln( 3) ( )d

3

f x x x x

x x x

= − + + =

+

∫ ∫ 1ln( 3) 1 d

3

 

− + +  − 

+

 

∫

x x

x x x

( ) ( )

1ln 3 1ln 1ln 3

3

= − x+ + x − x+ +C

x ( )

1 ln 3 1ln

3

 

= − +  + + + x  x x C +) Xét (−3;0) ta F x( )= −1 1x+3ln(x+ +3) 31ln( )− +x C1 Tính ( )2 1ln1 1ln 1

6

− = + +

F C ln2 1

3

= +C ; ( )1 2ln 1ln1 1

3

− = + +

F C ln2 1

3

= +C +) Xét (0;+∞) ta F x( )= −1 1x+3ln(x+ +3) 31lnx C+

Tính F( )1 = −43ln 4+13ln1+C2 = −8 ln23 +C2; F( )2 = −56ln 5+13ln 2+C2 Ta có F( )− +2 F( )1 0= 1ln 1 8ln 2

3

Từ F( )− +1 F( )2 = 2ln 1 5ln 1ln 2

3 +C −6 +3 +C =ln 2−56ln 5+C C1+

5 10

ln ln ln ln ln

6 3

= − + = − =aln 2+bln ta 10

3 =

a ;

6 = −

b ⇒3a+6b=5 Câu 21: (SỞGD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số f x( ) liên tục có đạo

hàm 0;

2

π

 

 

 , thỏa mãn ( ) tan ( ) cos3

x

f x x f x

x

′

+ = Biết

3 ln

3

f   π − f   π =aπ +b

    a b, ∈ Giá trị biểu thức P a b= +

A 14

9 B −29 C 79 D −49

Lời giải

Chọn D

( ) tan ( ) 3 cos

x

f x x f x

x

′

+ = cos ( ) sin ( ) 2

cos

x x f x x f x

x

′

⇔ + =

( )

sin

cos

x x f x

x

′

⇔  =

Do sin ( ) d 2 d

cos

x

x f x x x

x

′ =

 

 

∫ ∫ sin ( ) 2 d

cos

x

x f x x

x

⇒ =∫

Tính 2 d

cos

x

I x

x

=∫

Đặt

2

d d

d tan

d

cos

u x u x

x v x

v

x

=

  =

 ⇒

 =  =



 Khi

( )

2

d cos

d tan tan d tan d tan ln cos

cos cos

x x

I x x x x x x x x x x x

x x

=∫ = −∫ = +∫ = +

Suy ( ) tan ln cos ln cos

sin cos sin

x x x x x

f x

x x x

+

= = +

2 2ln 3

3 ln 3 2ln

3 3

aπ +b = f   π − f   π =  π −  −π + 

       

5 ln3

π

= − Suy 59

1 a b

 =    = − 

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN Câu 1: Cho hàm số ( )f x xác định \

2      

 thỏa mãn ( ) 2

f x x

′ =

− , (0) 1f = (1) 2f = Giá trị

biểu thức ( 1)f − + f(3)

A 4 ln5+ B 2 ln15+ C 3 ln15+ D ln15 Lời giải

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng ;  +∞  

 :

2

( ) ln(2 1)

2

f x dx x C

x

= = − +

−

∫ Lại có f(1) 2= ⇒C1=2

• Trên khoảng ;1 −∞   

 :

2

( ) ln(1 )

2

f x dx x C

x

= = − +

−

∫ Lại có f(0) 1= ⇒C2 =1

Vậy

1 ln(2 1)

2 ( )

1 ln(1 )

2

x khi x

f x

x khi x

 − + >

 = 

 − + <



Suy f( 1)− + f(3) ln15.= + Cách 2: Ta có: 0 1 3 1

(0) ( 1) '( ) ln | ln (1)

2

2

(3) (1) '( ) ln | ln (2)

2

dx

f f f x dx x

x dx

f f f x dx x

x − − −  − − = = = − =  −    − = = = − =  −  ∫ ∫ ∫ ∫

Lấy (2)-(1), ta f(3)− f(1)− f(0)+ f( 1) ln15− = ⇒ f( 1)− + f(3) ln15= + Câu 2: Cho hàm số ( )f x xác định \

3      

 thỏa mãn ( ) , 1( )

f x f

x

′ = =

− f   =  23 Giá trị biểu thức f ( )− +1 f ( )3

A 3 5ln 2+ B − +2 5ln C 4 5ln 2+ D 2 5ln 2+ Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ ( ) ( )

1

1

ln x ;

3

3 3 dx=

3 ln 1 x 1;

3

x C

f x f x

x x x C  − + ∈ −∞       ′ = ⇒ =  − −  − + ∈ +∞       ∫ Ta có: ( ) 1 2

0 0 1 1

2 2 0 2 2

3 f C C C C f =  + = =    ⇒ ⇔   =  + =  =         ( ) ln 1 x ;

3 ln x ;

3 x f x x  − + ∈ −∞       ⇒ =     − + ∈ +∞    

Khi đó: f ( )− +1 f( )3 =ln ln ln 32 5ln 2+ + + = + = + Cách 2: Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 3 3 2

3 2

3

3

0 dx dx ln ln

3

2

3 dx dx ln ln8

3

f f f x f x x

x

f f f x f x x

Lấy ( ) ( )2 − , ta được: ( )3 ( )1 ( )0 ln 32 ( )1 ( )3 5ln

f + f − − f − f   = ⇒ f − + f = +

 

Câu 3: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2)Cho hàm số f x( ) xác định \ 2{ }− thoả mãn

( )

2 x f x

x − ′ =

+ , f( )0 1= f ( )− =4 Giá trị biểu thức f( )2 + f( )−3

A 12 B ln C 10 ln 2+ D 3 20ln 2−

Lời giải Chọn A

Ta có: ( ) ( )d 1d d 7ln

2

x

f x f x x x x x x C

x x

−  

′

= = =  −  = − + +

+  + 

∫ ∫ ∫ , ∀ ∈x \ 2{ }−

+ Xét khoảng (− + ∞2; ) ta có: f ( )0 1= ⇔ −7ln 2+ = ⇒ = +C C 7ln

Do đó, f x( )=3x−7ln x+ + +2 7ln 2, với x∈ − + ∞( 2; ) Suy f ( )2 = −7 7ln 7ln 7ln 2+ = −

+ Xét khoảng (−∞ −; 2) ta có: f ( )− = ⇔ − −4 12 7ln 2+ = ⇒ =C C 14 7ln 2+

Do đó, f x( )=3x−7ln x+ +2 14 7ln 2+ , với x∈ −∞ −( ; 2) Suy f ( )− = +3 7ln

Câu 4: Cho hàm số f x( ) xác định \ 2;2{− } thỏa mãn ( ) 24 ; 0( )

f x f

x

′ = − =

− ; ( )0 f =

( )3

f = Tính giá trị biểu thức P f= ( )− +4 f( )− +1 f ( )4 . A ln

25

P= + B P= +3 ln C ln5

P= + D ln5

3

P= − Lời giải

Chọn B

Từ ( ) 24

4

f x x

′ =

− ( )

4

dx f x

x

⇒ =

−

∫ = (x 24)(dxx 2)

− +

∫

( )

( )

( )

1

2

3

ln ;

2

ln 2;2

2

ln 2;

2

x C x x

x C x x

x C x x

 −

+ ∈ −∞ −  +

  −

= + ∈ −

+   −

+ ∈ +∞

 +  Ta có

( ) ( ) ( )

3

0

2

f f f

− = 



= 

 = 

1

3

ln

0

1

ln

5

C C

C



 + =



⇒ + =



 + =



1

ln

2 ln

C C C

= −  

⇔ =

 = +



( )

f x ⇒

( )

( )

( )

2

ln -ln5 ;

2

ln 2;2

2

ln ln 2;

2

x khi x

x

x khi x

x

x khi x

x

 − ∈ −∞ −

 +   −

= + ∈ −

+   −

+ + ∈ +∞ 

+ 

Khi P= f ( )− +4 f ( )− +1 f ( )4 ln ln ln ln1 ln

Câu 5: Cho hàm số f x( ) xác định \ 2;1{− } thỏa mãn ( ) 2

f x

x x

′ =

+ − ; f ( )− −3 f ( )3 =0

( )0

f = Giá trị biểu thức f ( )− +4 f ( )− −1 f ( )4

A 1 ln23 3+ B 1 ln80+ C 1 ln 4ln

+ + D 1 8ln

3

+

Lời giải Chọn A

( ) 2 2

f x

x x

′ =

+ −

( ) ( )( )

( )

( )

( )

1

2

3

1ln ; 2

3

d d 1ln 2;1

2

1ln 1;

3

x C x

x

x x x

f x C khi x

x x x x x

x C khi x

x

 −

+ ∈ −∞ −  +



 −

⇒ = = = + ∈ −

+ − − +  +

 −

+ ∈ +∞



+ 

∫ ∫

Do f ( )− −3 f ( )3 0= ⇒13ln 4+C1−1 23 5ln −C3 ⇒C C3 = 1+13ln10 Và ( )0 1 1ln 2 2 1ln

3 3 3

f = ⇒ +C = ⇒C = +

( )

( )

( )

( )

1

1

1ln ; 2

3

1ln 1 1ln 2 2;1

3 3

1ln 1ln10 1;

3

x C khi x

x x

f x khi x

x

x C khi x

x

 − + ∈ −∞ −

 +



 −

⇒ = + + ∈ −

+ 

 −

+ + ∈ +∞



+ 

Khi đó:

( )4 ( )1 ( )4 3 21 5ln 13ln 3 31 1ln 13 2ln 13ln10 13 3ln f − + f − − f = +C   + + +   − +C + = +

     

Câu 6: Cho hàm số f x( ) xác định \ 1{ }± thỏa mãn ( ) 21

f x x

′ =

− Biết f ( )− +3 f ( )3 =0

1 2

2

f − + f   =

    Giá trị T = f ( )− +2 f ( )0 + f ( )4 bằng: A 5ln

2

T = + B 1 9ln

2

T = + C 9ln

2

T = + D 9ln

2

T =

Lời giải Chọn B

Ta có ( )d 21 d

f x x x

x

′ =

−

∫ ∫ 1 d

2 x x x

 

=  −  − +

 

∫ 1ln

2

x C

x −

= +

+

Do ( )

2

1ln khi 1, 1

2

1 1ln khi 1 1

2

x C x x

x

C x

f

x x x

− + < − >

+ −

+ −

  = 

< < +

 

Do f ( )− +3 f ( )3 =0 nên C1=0, 1

2

f − + f   =

Nên ( )

1ln khi 1, 1

2

1 1ln 1 1 1

2

x x x

x

x x

x

x f

−

< − > +

− +

  = 

− < < +

 

T = f ( )− +2 f ( )0 + f ( )4 1 9ln

= +

Vậy f ( )2 + f ( )− = +3 7ln 7ln 12+ − =

Câu 7: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số y f x= ( ) thỏa mãn

( ) ( )

'

f x f x =x +x Biết f ( )0 =2 Tính f2( )2 .

A 2( )2 313 15

f = B 2( )2 332

15

f = C 2( )2 324 15

f = D 2( )2 323 15

f =

Lời giải

Ta có ∫ f x f x x'( ) ( ). d =∫(x4+x2)dx C+ 2( )

2

f x x x C

⇒ = + +

Do f ( )0 =2 nên suy C=2

Vậy 2( )2 2 32 2

f =  + + 

 

332 15 =

Câu 8: (Đặng Thành Nam Đề 15)Cho hàm số f x( ) có đạo hàm \ 0{ } thỏa mãn f x( ) f x( ) x2

x

′ + =

và f ( )1 = −1 Giá trị f   

  A

96. B

1

64. C

1

48. D

1 24 Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4

f x x

f x x xf x f x x xf x x xf x x dx C

x ′

′ + = ⇔ ′ + = ⇔  = ⇒ =∫ = +

( )1

4

f = − ⇒ = −C Khi ( )

4 96

x

f x f

x

−  

= ⇒  =

 

Câu 9: (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1) 4=

3

( ) ( )

f x =xf x′ − x − x với x>0 Giá trị f(2)

A 5 B 10 C 20 D 15

Lời giải

3

3

2

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x x f x x x f x

f x xf x x x x

x x x

′ ′

− − −  

′

− = − − ⇔ = ⇔  = +

 

Suy ra, f x( )

x nguyên hàm hàm số g( )x =2x+3 Ta có ∫(2x+3)dx x= 2+3x C+ , C∈

Do đó,

1

( ) 3 ,

f x x x C

x = + + (1) với C1∈

Vì f(1) 4= theo giả thiết, nên thay x=1 vào hai vế (1) ta thu C1=0, từ

3

( )

f x =x + x Vậy f(2) 20=

Câu 10: Cho hàm số f x  thỏa mãn ( ( )) ( ) ( )

2 4

' " 15 12 , 

f x + f x f x = x + x x∀ ∈ f ( )0 = f ' 0( ) 1= Giá trị ( ( ))

2

A 10 B 8 C 5

2 D

9 Lời giải

Ta có (f x f x( ) ( ) ' )′ =(f x'( ))2+ f x f x( ) ( ) " =15x4+12 ,x x∀ ∈.

( ) ( ). 3 6 C, .

f x f x′ x x x

⇒ = + + ∀ ∈

Lại có f ( )0 = f' 1( )= nên C =1 f x f x( ) ( ) ' =3x5+6x2+ ∀ ∈1, x 

( )

( )

( 2) ( ) ( ) 5 2

2 ' 12 2,

f x ′ = f x f x = x + x + ∀ ∈x  ( ( ))2

1

4 ,

f x x x x C x

⇒ = + + + ∀ ∈

Mà f ( )0 =1 nên C1 =1 Vậy(f ( )1 )2 = +1 4.1 2.1 8.6 3+ + =

Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số y f x= ( ) liên tục có đạo hàm đoạn [−1;0], đồng thời thỏa mãn điều kiện

( ) (3 2 ) f x( ) , [ 1;0]

f x′ = x + x e− ∀ ∈ −x Tính A f= ( )0 − f ( )−1 . A A= −1 B A

e

= C A=1 D A=0

Lời giải Chọn D

Ta có f x′( )=(3x2+2x e) −f x( ) ,∀ ∈ −x [ 1;0 ] ⇔ f x e′( ) f x( ) =3x2+2 ,x ∀ ∈ −x [ 1;0 ] ( )∗ Lấy nguyên hàm hai vế ( )∗ ta ef x( )d(f x( ))=x x C3+ 2+

∫

( ) ( )

1 ln

f x

e x x C f x x x C

⇒ = + + ⇒ = + +

Do ( )

( ) 11 ( ) ( )

0 ln

1 ln

f C

f f

f C

 =

 ⇒ − − =



− =

 Vậy A=0

Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI)Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục nhận giá

trịdương khoảng thỏa mãn với Mệnh đề

nào sau đúng?

A B C D

Lời giải Chọn C

Ta có

( ) ( )

( ) ( )

1 3x

f x f x x

f x f x

′

= +

′

⇔ =

+

( )

ln

3

f x x C

⇔ = + +

Vì

Vậy

Câu 13: (Sở Quảng Ninh Lần1)Biết ln có hai số a b để ( ) (4 0)

ax b

F x a b

x +

= − ≠

+ nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa mãn 2f x2( )=(F x( )−1) f x′( ) Khẳng định

đầy đủ nhất?

( )

f x ,

(0;+∞) f ( )1 1,= f x( )= f x'( ) 3 1x+ x>0 ( )

4< f <5 1< f ( )5 <2 3< f ( )5 <4 2< f ( )5 <3

( )1 4

3

f = ⇒ + = ⇔ = −C C

( ) ( ) ( )

3 3

2

ln 3,8

3

x

f x x f x e + − f e

⇒ = + − ⇔ = ⇒ = ≈

A a∈, b∈ B a=1,b=4 C a=1,b= −1 D a=1,b∈\ 4{ } Lời giải

Chọn D

Do 4a b− ≠0nên F x( )≠C x∀ ∈ Vì ln có hai số a bđể ( ) (4 0)

ax b

F x a b

x +

= − ≠

+ nguyên hàm hàm số f x( )nên f x( ) hàm Từ giả thiết ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

2

1

f x f x

f x F x f x

F x f x

′ ′

= − ⇔ =

−

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

d d 2ln ln

1

f x x f x x F x f x C

F x f x

′

= ⇔ − = +

−

∫ ∫ với C số

( ) ( ) ( ) ( ( ) )2 ( 1)

2ln ln ln

4

C C C a x b

F x e f x f x e F x e

x − + −

 

− + = ⇔ = − =  

+

 

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1

4

1

4

C

C

a x b

f x e

x

a x b

f x e

x

  − + − 

 =  

+

  

⇔ 

− + −

 

 = −

 

 +

 



Trường hợp ( ) ( )

2

1

4

C a x b

f x e

x − + −

 

=  

+

 

Ta có ( ) ( ) ( )

( )2

4 a b

F x f x f x

x −

′ = ⇒ =

+

Đồng hệ số ta có:

( )

( )2 ( )

2

1

1 4

4

4

C

C C

C a

a b

e a x b a b x

e b b b e

e

=   =

 =

 

− + − = − ∀ ∈ ⇔ ⇔

− = − −

 

  =

 



Loại b=4 điều kiện 4a b− ≠0 Do ( )a b; 1;4eCC e  −  =     Trường hợp ( ) ( )

2

1

4

C a x b

f x e

x − + −

 

= −  

+

 

Ta có ( ) ( ) ( )

( )2

4 a b

F x f x f x

x −

′ = ⇒ =

+

Đồng hệ số ta có:

( )

( )2 ( )

2

1

1 4

4

4 4 1

C

C C

C a

a b

e a x b a b x

e b b b e

e

=   =

 =

 

− − + − = − ∀ ∈ ⇔ ⇔

− − = − +

 

  =

 



Câu 14: Cho hàm số f x( ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục (0;+∞) thỏa mãn ( )2 15

f = ( ) (2 4) ( )2 0

f x′ + x+ f x = Tính f ( )1 + f ( )2 + f ( )3

A 157 B 1511 C 1130 D 307 Lời giải

Chọn D

Vì f x′( ) (+ 2x+4) ( )f2 x =0 f x( )>0, với x∈(0;+∞) nên ta có ( ) ( )

2

f x x f x

′

− = + Suy 1( ) x2 4x C

f x = + + Mặt khác ( )

1

15

f = nên C =3 hay ( ) 2

f x

x x

=

+ +

Do f ( )1 + f ( )2 + f ( )3 1 15 24

= + +

30

=

Câu 15: Cho hàm số f x( ) xác định liên tục  Biết f6( ) ( )x f x. ′ =12x+13 f ( )0 =2 Khi

phương trình f x( )=3 có nghiệm?

A 2 B 3 C 7 D 1

Lời giải Chọn A

Từ f6( ) ( )x f x. ′ =12x+13⇒∫ f x f x dx6( ) ( ). ′ =∫(12 13x+ )dx

( ) ( )

6 6 13

f x df x x x C

⇔∫ = + + 7( ) 6 13

f x

x x C

⇔ = + + ( )0 2

f = C

→ =

Suy ra: f7( )x =42x2+91x+2

Từ f x( )=3⇔ f7( )x =2187 ⇒42x2+91x+ =2 2187 ⇔42x2+91x−2185 *= ( )

Phương trình ( )* có nghiệm trái dầu ac<0

Câu 16: Cho hàm số f x( ) xác định  thỏa mãn f x′( )= e ex+ −x−2,

( )0

f = ln1 f   =

  Giá trị biểu thức S= f (−ln16)+ f (ln 4)

A 31

S = B

2

S = C

2

S = D f ( ) ( )0 2f =1 Lời giải

Chọn C

Ta có f x′( )= e ex+ −x−2 e e

x x

−

= 2

2

e e

e e

x x

x x

x x

− −



− ≥

 = 

 − <



Do ( ) 2

2

2

2e 2e

2e 2e

x x

x x

C x

f x

C x

− −



+ + ≥

 = 

− − + <



Theo đề ta có f ( )0 =5 nên 0

2e +2e +C =5 ⇔C1=1

( )ln 4 2eln 42 2e ln 42 1

f −

⇒ = + + =6

Tương tự ln1

4 f   =

  nên

1

ln ln

4

2

2

2e 2e C

            −

( ln16) 2e ( ln162 ) 2e( ln162 )

f

− −

−

⇒ − = − − +

2

= − Vậy ( ln16) ( )ln

2

S f= − + f =

Câu 17: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục và thỏa mãn f x( )>0, ∀ ∈x  Biết f ( )0 =1 ( )

( )

' 2 2

f x

x

f x = − Tìm giá trị thực tham số m đểphương trình f x( )=m có hai nghiệm thực

phân biệt

A m e> B 0< ≤m C 0< <m e D 1< <m e Lời giải

Chọn C Ta có ( )

( ) 2

f x

x f x

′

= − ( )

( )d (2 d) f x

x x x

f x ′

⇒∫ =∫ −

( )

ln f x 2x x C

⇔ = − + ⇔ f x( )=A e 2x x− Mà f ( )0 =1 suy f x( )=e2x x− Ta có 2x x− = −1 (x2−2 1x+ ) 1 ( 1)2 1

x

= − − ≤ Suy 2

0<e x x− ≤e ứng với một giá trị thực

t< phương trình 2x x− =t sẽ có hai nghiệm phân biệt

Vậy đểphương trình f x( )=m có nghiệm phân biệt 0<m e< 1=e

Câu 18: Cho hàm số f x( ) liên tục  f x( )≠0 với x∈ f x′( ) (= 2x+1) ( )f2 x ( )1 0,5

f = − Biết tổng f ( )1 f ( )2 f ( )3 f (2017) a

b

+ + + + = ; (a∈,b∈) với a

b tối

giản Mệnh đềnào đúng?

A a b+ = −1 B a∈ −( 2017;2017). C a

b < − D b a− =4035

Lời giải Chọn D

Ta có f x′( ) (= 2x+1) ( )f2 x ( )

( ) ( )

2

f x

x f x

′

⇔ = + ( )

( ) ( )

2 d d

f x

x x x

f x ′

⇒∫ =∫ + ( )

1 x x C

f x

⇔ − = + +

Mà ( )1

f = − nên C=0 ( ) 21 1

1

f x

x x x x

⇒ = − = −

+ +

Mặt khác

( )1 ( )2 ( )3 (2017) 1 1 1 1

2 2018 2017

f + f + f + + f = − +   −   + − + + − 

       

( )1 ( )2 ( )3 (2017) 1 2017 2018 2018

f f f f −

⇔ + + + + = − + = ⇒ = −a 2017; b=2018

Khi b a− =4035

Câu 19: (SỞGD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x( ) liên tục , f x( )≠0 với x thỏa mãn ( )1

2

f = − , f′( ) (x = 2x+1) ( )f2 x .Biết f ( )1 f ( )2 f (2019) a 1

b

+ + + = − với

( )

, , ,

a b∈ a b = Khẳng định sau sai?

A a b− =2019 B ab>2019 C 2a b+ =2022 D b≤2020

( ) (2 1x ) ( )f2

f′ x = + x ( )

( )

2 2x f x

f x

⇔ ′ = + ( )

( ) ( )

2 dx

f

x dx f x

x

⇒∫ ′ =∫ +

( )

( )

( ) ( )

2

d f x

x dx f x

⇒∫ =∫ +

( )

1 x x C

f x

⇒ − = + + ( )1 (Với C số thực) Thay x=1 vào ( )1 11

2

C

+ = −

− C

⇔ = Vậy ( ) 1

f x

x x

= −

+

1 1 1

(1) (2) (2019)

2 2020 2019

T f= + f + + f = −   + − + + − 

     

1

2020

= − +

Suy ra: 2019

2020

a

a b b

= 

⇒ − = −  =



Câu 20: ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục khoảng (0;+ ∞), biết

( ) (2 1) ( )2 0

f x′ + x+ f x = , ∀ >x ( )2

f = Tính giá trị biểu thức

( )1 ( )2 (2019)

P f= + f + + f

A 2021

2020 B

2020

2019 C

2019

2020 D

2018 2019 Lời giải

Chọn C

TH1: f x( )=0⇒ f x′( )=0 trái giả thiết

TH2: f x( )≠0 ⇒ f x′( )= −(2 x+ ) ( )f x2 ( )

( ) ( )

2

f x x

f x ′

⇒ = − +

( )

( ) ( )

2 d d

f x

x x x

f x ′

⇒∫ = −∫ +

( )1 (x2 x C)

f x

−

⇒ = − + +

Ta có: ( )2

f = ⇒C=0 ( ) 21 1

1 f x

x x x x

⇒ = = −

+ +

1 1 2019

1 2 2020 2020

P

⇒ = − + − + − =

Câu 21: Cho hàm số f x( )≠0 thỏa mãn điều kiện f x'( ) (= 2x+3 ) f2( )x ( )0

f = − Biết tổng ( )1 ( )2 (2017) (2018) a

f f f f

b

+ + + + = với a∈,b∈* a

b phân số tối giản Mệnh đề

A a

b < − B

a b >

C a b+ =1010 D b a− =3029

Lời giải Chọn D

Biến đổi f x'( ) (= 2x+3 ) f2( )x ( ) ( ) '

2

f x x

f x

⇔ = + ( )

( ) ( )

'

2

f x dx x dx

f x

⇔∫ =∫ +

( ) ( )

1 3

3

x x C f x

f x x x C

⇔ − = + + ⇒ = −

+ + Mà ( )

1

2

f =− nên =2

Do ( )

( )( )

2

1

3 2

f x

x x x x

= − = −

+ + + +

Khi a f( )1 f ( )2 f (2017) f (2018)

b = + + + +

1 1

2.3 3.4 2018.2019 2019.2020

 

= − + + + + 

 

1 1 1

2 3 2018 2019 2020

 

= − − + − + + − − 

 

1

2 2020

 

= − − 

 

1009 2020

−

=

Với điều kiện a b, thỏa mãn toán, suy ra: 1009 2020

a b

= −   =

 ⇒ − =b a 3029

Câu 22: Cho hàm số y= f x( ), ∀ ≥x 0, thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3

0 0;

f x f x f x xf x

f f

 ′′ −  ′  + =

  



′ = =

 Tính f ( )1

A 23 B 32 C 67 D 76 Lời giải

Chọn C

Ta có: f x f x′′( ) ( ). −2f x′( )2+xf x3( )=0

  ( ) ( )( ) ( )

2

f x f x f x

x f x

′′ −  ′ 

⇔ = −

( ) ( )

2

f x

x f x

′

 ′ 

⇒  = −

 

( ) ( )

2

2 2

f x x C

f x ′

⇒ = − + ( ) ( )

2

0

0

f

C f

′

⇒ = − + ⇒ =C

Do ( )

( )

2 2

f x x

f x ′

= − ( )

( )

1

2

0

d d

2

f x x x x

f x ′

⇒∫ = −∫

( )

1 3

0

1

6 x f x

  ⇒ − = − 

  ( ) ( )

1 1

1

f f

⇒ − + = − ( )1

7

f

⇒ =

Câu 23: Giả sử hàm số f x( ) liên tục, dương ; thỏa mãn f ( )0 =1 ( )

( ) 1

f x x

f x x

′ =

+ Khi hiệu ( )2 2 1( )

T = f − f thuộc khoảng

A ( )2;3 B (7;9) C ( )0;1 D (9;12) Lời giải

Chọn C Ta có ( )

( )d f x

x f x

′

=

∫ 1d

x x

x + ⇔

∫ ( ( )( )) ( 22 )

d

d 1

2

x f x

f x x

+ =

+

Vậy ln( ( )) 1ln( 1)

f x = x + +C, mà f ( )0 = ⇔1 C=0 Do f x( )= x2+1 Nên f ( )2 =3; 1f ( )=2 ⇒ f ( )2 2 2− f ( )= − ∈( )0;1

Câu 24: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019)Cho hàm số f x( )>0 với x∈

, f ( )0 1= f x( )= x+1.f x′( ) với x∈ Mệnh đề đúng?

A f x( )<2 B 2< f x( )<4 C f x( )>6 D 4< f x( )<6 Lời giải

Ta có: ( )

( ) 1

f x

f x x

′ =

+

( )

( )d 1d

f x

x x

f x x

′

⇒ =

+

∫ ∫ ⇔ln(f x( ))=2 x+ +1 C

Mà f ( )0 1= nên C = − ⇒2 f x( )=e2 x+ −1 2⇒ f( )3 =e2 >6

Câu 25: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương (0;+ ∞) thỏa mãn f ( )1 1= ,

( ) ( )

f x = ′f x x+ , với x>0 Mệnh đềnào sau đúng?

A 4< f ( )5 <5 B 2< f ( )5 <3 C 3< f ( )5 <4 D 1< f( )5 <2

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Với điều kiện tốn ta có

( ) ( )

f x = ′f x x+ ( )

( ) 11 ( )( )d 11 d

f x f x x x

f x x f x x

′ ′

⇔ = ⇔ =

+ ∫ ∫ +

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

d 1 d 1

3

f x

x x

f x

−

′

⇔∫ = ∫ + + ln ( )

3

f x x C

⇔ = + + ⇔ f x( )=e2 13 x+ +C

Khi ( )1 1 e43 1

3

C

f = ⇔ + = ⇔ = −C ⇒ f x( )=e23 1x+ −34 ⇒ f ( )5 =e34 ≈3,79 3; 4∈( ) Vậy 3< f ( )5 <4

Chú ý: Các bạn tính d

x x+

∫ cách đặt t= 1x+ Cách 2:

Với điều kiện tốn ta có

( ) ( )

f x = ′f x x+ ( )

( ) 11

f x

f x x

′

⇔ =

+

( ) ( )

5

1

1

d d

3

f x x x

f x x

′

⇔ =

+

∫ ∫ ( ( )( ))

1

d 4

3

f x f x

⇔∫ =

( )

1 ln

3

f x

⇔ = ( )

( )5 ln

1

f f

⇔ = ⇔ f( )5 = f ( )1 e43 ≈3,79 3; 4∈( ) Câu 26: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f x′( )2+ f x f x( ) ( ). ′′ =15x4+12x

  , ∀ ∈x  f ( )0 = f′( )0 =1

Giá trị f2( )1 bằng A 9

2 B

5

2 C 10 D 8

Lời giải Chọn D

Ta có: (f x′( ))2+ f x f x( ) ( ). ′′ =15x4+12x, ∀ ∈x 

( ) ( ). 15 12

f x f x′ ′ x x

⇔  = + , ∀ ∈x  ( ) ( )

1

f x f x′ x x C

Do f ( )0 = f′( )0 =1 nên ta có C1 =1 Do đó: f x f x′( ) ( ). =3x5+6x2+1 ( )

2

1 3 6 1

2 f x x x

′

 

⇔  = + +

  ( )

2

2

4

f x x x x C

⇔ = + + +

Mà f ( )0 =1 nên ta có C2 =1 Do f2( )x =x6+4x3+2x+1 Vậy f2( )1 =8.

Câu 27: Cho hàm số f x( ) liên tục  thỏa mãn ( 1)d 2( 3)

f x x

x C

x x

+ + +

= +

+ +

∫ Nguyên hàm

của hàm số f ( )2x tập + là: A ( 2 )

2

x C

x

+ +

+ B

4

x C

x

+ +

+ C ( )

2

4

x C

x

+ +

+ D ( )

2

8

x C

x

+ + + Lời giải

Chọn D

Theo đề ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )2

1 3

d d

5

1 1 4

f x x x

x C f x x C

x

x x

+ + + + +

= + ⇔ + + = +

+

+ + +

∫ ∫

Hay ( )d 2(2 3) ( )d 2

4

t t

f t t C f t t C

t t

+ + ′

= + ⇒ = +

+ +

∫ ∫

Suy ( ) ( ) ( )

( )2

1 3

2 d d

2 2 8

x x

f x x f x x C C

x x

 +  +

= =  + = +

+ +

 

∫ ∫

Câu 28: (SởNinh Bình 2019 lần 2)Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1) 3= x(4− f x'( ))= f x( ) 1− với

x> Tính f(2)

A 6 B 2 C 5 D 3

Chọn C Ta có

( )

(4 '( )) ( ) ( ) '( ) ( ) '

x − f x = f x − ⇔ f x +xf x = x+ ⇔ xf x = x+

( ) ( )

( ) ( ) 'd d

xf x xf x x x x x x C

⇒ =∫ =∫ + = + + Với x=1 (1) 3f = + ⇔ = + ⇔ =C 3 C C

Do xf x( ) 2= x2+x Vậy 2 (2) 2.2 2f = 2+ hay f(2) 5=

Câu 29: (Chuyên Hùng Vương Gia Lai)Cho hàm số y f x= ( ) xác định , thỏa mãn f x( )>0, ∀ ∈x 

và f x′( )−2f x( )=0 Tính f ( )−1 biết f ( )1 1=

A e−4. B e3. C e4. D e−2 Lời giải

Chọn A

Vì f x( )>0, nên ta có:

( ) ( )

f x′ − f x = ( )

( )

f x f x

′

⇔ = ( )

( )d 2d

f x

x x

f x ′

⇒∫ =∫ :

C

⇔ ∃ ∈ ln f x( ) =2x C+ ⇒ln f x( )=2x C+ Cho x=1 ⇒ln 2f ( )= +C ⇔ln1 2= +C ⇔ = −C

Do đó: ln f x( )=2x−2 ⇔ f x( )=e2 2x− ⇒ f ( )− =1 e−4

Câu 30: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết ln có hai số a b để

( ) (4 0)

4 ax b

F x a b

x +

= − ≠

+ nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa mãn

( ) ( ( ) ) ( )

2

2f x = F x −1 f x′ Khẳng định đầy đủ nhất?

A a∈, b∈ B a=1,b=4 C a=1,b= −1 D a=1,b∈\ 4{ } Lời giải

Do 4a b− ≠0nên F x( )≠C x∀ ∈ Vì ln có hai số a bđể ( ) (4 0)

ax b

F x a b

x +

= − ≠

+

một nguyên hàm hàm số f x( )nên f x( ) hàm Từ giả thiết 2 2( ) ( ( ) 1) ( ) 2( )( ) ( )( )

1

f x f x

f x F x f x

F x f x

′ ′

= − ⇔ =

−

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

d d 2ln ln

1

f x f x

x x F x f x C

F x f x

′

= ⇔ − = +

−

∫ ∫ với C số

( ) ( ) ( ) ( ( ) )2 ( 1)

2ln ln ln

4

C C C a x b

F x e f x f x e F x e

x

− + −

 

− + = ⇔ = − =  

+

 

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1

4

1

4

C

C

a x b

f x e

x

a x b

f x e

x

  − + − 

 =  

+

  

⇔ 

− + −

 

 = −

 

 +

 



Trường hợp ( ) ( )

2

1

4

C a x b

f x e

x − + −

 

=  

+

 

Ta có ( ) ( ) ( )

( )2

4 a b

F x f x f x

x −

′ = ⇒ =

+

Đồng hệ số ta có:

( )

( )2 ( )

2

1

1 4

4

4

C

C C

C a

a b

e a x b a b x

e b b b e

e

=   =

 =

 

− + − = − ∀ ∈ ⇔ ⇔

− = − −

 

  =

 



Loại b=4 điều kiện 4a b− ≠0 Do ( )a b; 1;4eCC e  −  =     Trường hợp ( ) ( )

2

1

4

C a x b

f x e

x − + −

 

= −  

+

 

Ta có ( ) ( ) ( )

(4 )2 a b

F x f x f x

x −

′ = ⇒ =

Đồng hệ số ta có:

( )

( )2 ( )

2

1

1 4

4

4

C

C C

C a

a b

e a x b a b x

e b b b e

e

=   =

 =

 

− − + − = − ∀ ∈ ⇔ ⇔

− − = − +

 

  =

 



Loại b=4 điều kiện 4a b− ≠0 Do ( )a b; 1;4eCC e  +  =    

Câu 31: (Thuận Thành Bắc Ninh)Cho hàm số f x( ) 0≠ ; f x′( ) (= 2 x+ ) ( )f x2 f( )1 = −0,5 Biết tổng f ( )1 f ( )2 f ( )3 f (2017) a

b

+ + + + = ; (a∈;b∈) với a

b tối giản Chọn khẳng định A a

b < − B a b− =1 C b a− =4035 D a b+ = −1 Lời giải

Chọn C

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2

2 f x

f x x f x x

f x ′

′ = + ⇒ = + (do f x( ) 0≠ )

Lấy nguyên hàm vế ta được:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

d d

f x

x x x x x C f x

f x f x x x C

′ −

= + ⇔ − = + + ⇔ =

+ +

∫ ∫

Mà f ( )1 = −0,5⇒ =C 0, ( ) 2 1

1 f x

x x x x

−

= = −

+ + Nên

(2017) (2016 ) (1) 1 1 1

2018 2017 2017 2016

1 1 2017

2018 2018

f + f + + f = − + − + + − = − = −

Suy a= −2017;b=2018 nên b a− =4035

Câu 32: (THPT LÝ NHÂN TÔNG LẦN NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x( ) liên tục không âm 0; π

 

 

 

, thỏa mãn f x f x( ) ( ) ′ =cos 1x + f x2( ) với 0;

x∈  π

  f ( )0 = Giá trị f

π

     

bằng

A 2 B 1 C 2 D 0

Lời giải Với 0;

2

x∈  π

  ta có ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

cos cos *

2

f x f x

f x f x x f x x

f x ′

′ = + ⇒ =

+

Suy 1+ f x2( ) =sinx C+ Ta có f ( )0 = 3⇒ =C

Dẫn đến ( ) ( )2

sin

Vậy 2

f   = π

 

Câu 33: (Sở Bắc Ninh)Cho hàm số f x( ) liên tục R thỏa mãn điều kiện: f ( )0 =2 2, f x( )>0,

∀ ∈x  f x f x( ) ( ) (. ′ = 2 1x+ ) + f x2( ), ∀ ∈



x Khi giá trị f ( )1

A 26 B 24 C 15 D 23

Lời giải Chọn B

Ta có f x f x( ) ( ) (. ′ = 2 1x+ ) + f x2( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 1

1 ′

⇔ = +

+ f x f x

x

f x

Suy ( ) ( )

( ) ( )

2

d 2 d

1 ′

= + +

∫ f x f x x ∫ x x f x

( )

( )

( ) ( )

2 d

2 d

+

⇔ = +

+

∫ f x ∫ x x

f x ( )

2

1

⇔ + f x =x + +x C

Theo giả thiết f( )0 =2 2, suy 2+( )2 = ⇔ =C C

Với C=3 1+ f x2( )=x2+ + ⇒x 3 f x( )= (x2+ +x 3)2 −1 Vậy f ( )1 = 24

Câu 34: (THPT YÊN PHONG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số f x( ) liên tục tập  thỏa mãn ( ) 1 2 ( ) 1

f x x′ + = x f x + f x( )> −1, f ( )0 =0 Tính f ( )3

A B 9 C 3 D 0

Lời giải

Cách

Với điều kiện toán

Ta có f x x′( ) 2+ =1 2x f x( )+1 ( )

( )

2 1

f x x

f x x

′

⇔ =

+ + Suy ( )

( ) d d

2 1

f x x x x

f x x

′

=

+ +

∫ ∫ ⇔ f x( )+ =1 x2+ +1 C

Với f ( )0 =0 ta có 1= + ⇔C C=0

Khi f x( )+ =1 x2+1 ⇔ f x( )=x2 Vậy f ( )3 =3

Cách

Từ giả thiết ta suy ( )

( ) ( )*

2 1

f x x

f x x

′

=

Ta có ( )

( )

3

2

0

d d

2 1

f x x x x

f x x

′

=

+ +

∫ ∫ ( ) 3

0

1

f x x

⇔ + = +

( )3 ( )0 1

f f

⇔ + − + = ⇔ f ( )3 2+ = ⇔ f ( )3 =3

Câu 35: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]0;4 thỏa mãn

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

 

 

′′ + =  ′ 

+

f x

f x f x f x

x f x( )>0 với x∈[ ]0;4 Biết f′( )0 = f( )0 1=

, giá trị f ( )4

A e2. B 2e. C e3. D e2+1 Lời giải

Chọn A

Ta có: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

3

2

   

   

′′ + = ′  ⇔ ′′ − ′  = −

+ +

f x f x

f x f x f x f x f x f x

x x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 3 3

1

2

′

′′ −  ′   ′ 

⇔ = − ⇔  = −

  +   +

 

f x f x f x f x

f x

f x x x

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3

2 1

3

1 2 1

2

2

−

′ ′ ′

⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = +

+ +

∫ ∫

f x f x f x

dx x dx C

f x x f x f x x

Thay x=0 ta được: C1 =0

( )

( ) ( )( ) ln ( ) 2

2

′ ′

⇒ = ⇒ = ⇔  = + +

+ ∫ ∫ +

f x f x dx dx f x x C

f x x f x x

Thay x=0 ta đượcC2 = −1

( )

ln 1

⇒ f x = x+ −

Thay x=4 ta ln ( )4 = ⇒2 ( )4 = f  f e

Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn

( ) 2 ( ) ( )

1 "

xf x′ + =x − f x f x

   

    với x dương Biết f ( )1 = f′( )1 1= Giá trị ( )

2 2 f bằng A f2( )2 = 2ln 2+ . B f2( )2 =2ln 2+ .

C f2( )2 =ln 1+ . D f2( )2 = ln 1+ Lời giải

Ta có: xf x′( )2+ =1 x21− f x f x( ) ( ) " ; x>0

   

( ) ( ) ( )

2 ' 1 1 "

x f x x f x f x

⇔   + =  − 

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 '

2

' "

1

' "

1

'

f x f x f x

x

f x f x f x

x f x f x

x

⇔  + = −

⇔  + = −

Do đó: f x f x( ) ( ) ' '.dx 12 dx f x f x( ) ( ) ' x c1

x x

 

= − ⇒ = + +

   

   

∫ ∫

Vì f ( )1 = f ' 1 2( )= ⇒ = + ⇔ = −c1 c1 Nên f x f x x( ) ( ) ' d x 1 dx

x

 

=  + − 

 

∫ ∫ f x( ).d(f x( )) x 1 dx

x

 

⇔ =  + − 

 

∫ ∫

( )

2

2

ln

2

f x x x x c

⇒ = + − + Vì ( )1 1 1 2 2

2

f = ⇒ = − + ⇔c c =

Vậy 2( ) ln 1 2( )2 2ln 2

2

f x = x + x x− + ⇒ f = +

Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên)Cho hàm số f x  thỏa mãn ( ( )) ( ) ( )

2 4

' " 15 12 , 

f x + f x f x = x + x x∀ ∈ f ( )0 = f ' 0( ) 1= Giá trị ( ( ))

2 f là

A 10 B 8 C 52 D 92

Lời giải Chọn B

Ta có ( ( ) ( )) ( ( ))2 ( ) ( ) 4

' ' " 15 12 ,

f x f x ′ = f x + f x f x = x + x x∀ ∈

( ) ( ). 3 6 C, .

f x f x′ x x x

⇒ = + + ∀ ∈

Lại có f ( )0 = f ' 1( )= nên C=1 f x f x( ) ( ) ' =3x5+6x2+ ∀ ∈1, x .

( )

( )

( 2) ( ) ( ) 5 2

2 ' 12 2,

f x ′ = f x f x = x + x + ∀ ∈x  ( ( ))2

1

4 ,

f x x x x C x

⇒ = + + + ∀ ∈

Mà f ( )0 1= nên C1 =1 Vậy( ( ))

2 6 3

1 4.1 2.1