Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề về nguyên hàm – tích phân chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về về nguyên hàm – tích phân lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.
CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN 50 BÀI TỐN NGUYÊN HÀM - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Mục tiêu: Đề thi gồm 50 tập trắc nghiệm (có lời giải chi tiết) nguyên hàm mức độ nhận biết giúp HS làm quen với khái niệm nguyên hàm, thuộc vận dụng bảng nguyên hàm bản, bảng nguyên hàm mở rộng vào toán Câu 1: Nếu ∫ f ( x) dx = x + ln 2x + C với x∈ ( 0;+∞ ) hàm số f ( x) 1 1 1 A f ( x) = − + B f ( x) = x + C f ( x) = + ln(2x) D f ( x) = − + x 2x x x x 2x Câu 2: Cho I = ∫ x3 x2 + 5dx, đặt u = x2+5 Khi viết I theo u du ta được: ( ) ( ) 4 A I = ∫ u + 5u du B I = ∫ u − 5u du C I = ∫ u2du Câu 3: Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f ( x) = − A F ( x) = tanx− B F ( x) = − tanx cos2 x ( ) D I = ∫ u − 5u du thỏa mãn F(0)=1 Tìm F(x) C F ( x) = tanx+ D F ( x) = − tanx+ 3 x Câu 4: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x − + ? x A ∫ f ( x) dx = C ∫ x4 2x − + +C x ln2 f ( x) dx = x4− x +2 +C x B D ∫ f ( x) dx = x4 x + +2 +C x ∫ f ( x) dx = x4 2x + + +C x ln2 Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 2x + sin2x là: A x − cos2x + C 2 B x + cos2x + C C x2 − 2cos2x + C D x2 + 2cos2x + C Câu 6: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = A ∫ f ( x) dx = C ∫ f ( x) dx = 2x + 2x + + C B ∫ f ( x) dx = 2x + 1+ C D ∫ f ( x) dx = ( 2x + 1) 2x + + C 2x + +C Câu 7: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = e2018x A ∫ f ( x) dx = e2018x + C C ∫ f ( x) dx = 2018e 2018x +C B ∫ f ( x) dx = 2018e D ∫ f ( x) dx = e 2018x +C 2018x ln2018+ C Câu 8: Hàm số F ( x) = cos3x nguyên hàm hàm số: A f ( x) = sin3x x B f ( x) = −3sin3x C f ( x) = 3sin3x D f ( x) = − sin3x Câu 9: Khẳng định khẳng định sau sai ? A ∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) dx với k∈ ¡ B ∫ f ( x) + g( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g( x) dx với f ( x) , g( x) C ∫x D ( ∫ f ( x) dx) = f ( x) α dx = liên tục R α+1 x + C với α ≠ −1 α +1 Câu 10: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = −4x3+1 là: A − x4 + C x4 + x+ C B − Câu 11: Nguyên hàm hàm số f ( x) = A ∫ dx = ln x x B C −12x2 + C D − x4 + x + C x ∫ x dx = ln x + C C 1 ∫ x dx = − x2 + C D ∫ x dx = ln x + C Câu 12: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = tan2x ( ) A ∫ tan2xdx = 1+ tan 2x + C C ∫ tan2xdx = ( ) 1+ tan2 2x + C B ∫ tan2xdx = − ln cos2x + C D ∫ tan2xdx = − ln cos2x + C Câu 13: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 52x A ∫ 52x dx = 52x + C ln5 C ∫ 52x dx = 2.52x ln5+ C B ∫ 52x dx = 25x + C 2.ln5 D ∫ 52x dx = 25x+1 + C x+1 Câu 14: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = A ∫ C 4x − 3 dx = 2ln 2x − ÷+ C 4x − 2 ∫ 4x − 3dx = ln 2x − + C 2 B ∫ 4x − 3dx = ln 4x − + C D ∫ 4x − 3dx = ln 2x − ÷ + C Câu 15: Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + x+ A y = B y = ( x2 + x + x+ C y = ) x2 − 3x − x+ 3 x2 + 2x ( x + 1) ? D y = x2 − x − x+ x x Câu 16: Tính nguyên hàm I = ∫ + dx A I = x x ln2 ln3 ln2 ln3 ln2 ln3 + + C B I = x + x + C C I = + + C D I = − − +C 3 ln3 ln3 ( 4) 2x − 1dx Câu 17: Tìm H = ∫ A H = 5 5 B C D ( 2x − 1) + C H = ( 2x − 1) + C H = ( 2x − 1) + C H = ( 2x − 1) + C 5 Câu 18: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? A ∫ f ( x) g( x) dx = ∫ f ( x) dx.∫ g( x) dx B ∫ k.f ( x) dx = k.∫ f ( x) dx C ∫ f ( x) ± g( x) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g( x) dx D Câu 19: Hàm số F ( x) = A f ( x) = x ln3 x ∫ f '( x) dx = f ( x) + C ln x + C nguyên hàm hàm số hàm số ? B f ( x) = xln3 x C f ( x) = ln 3x x D f ( x) = x ln3 x Câu 20: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x3 + 2x là: A x4 − x2 + C B x4 + x2 + C C x4 +C Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) liên tục R thỏa mãn D x2 + C ∫ f ( x) dx = 4x − 3x2 + 2x + C Hàm số f ( x) hàm số hàm số sau? A f ( x) = 12x2 − 6x + + C B f ( x) = 12x2 − 6x + C f ( x) = x4 − x3 + x2 + Cx D f ( x) = x4 − x3 + x2 + Cx + C ' Câu 22: Tìm họ nguyên hàm ∫ sin2 xdx x sin2x +C A + B x sin2x + +C 2 C x sin2x − +C D x sin2x − +C 2 Câu 23: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + 3x A 2x x + 3x2 +C B 3x2 3x2 3x2 x x+ + C C x x + + C D 4x x + +C 2 2 Câu 24: Nguyên hàm hàm số f ( x) = cos3x là: B − sin3x + C A −3sin3x + C C − sin3x + C D sin3x + C Câu 25: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 2018x A 2018x +C log2018 B 2018x+1 +C x+ C 2018x +C ln2018 D 2018x.ln2018+ C Câu 26: Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? A ∫ exdx = ex + C B ∫ 0dx = C C D ∫ dx = x + C ∫ x dx = ln x + C Câu 27: Cho F(x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 Giá trị biểu thức F '( 4) A B Câu 28: Tìm họ nguyên hàm hàm số y = A ∫ C ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) dx = −2 ( x + 1) C D 16 ( x + 1) +C +C x+ −1 B ∫ ( x + 1) dx = x + 1+ C D ∫ ( x + 1) dx = ( x + 1) +C Câu 29: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x3 + x + là: A x4 x3 + +C B x4 x2 + + x+ C Câu 30: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 4x − x3 C x4 + + x+ C D 3x2 + C + 2018 là: x 4 B 20x + + C x A x − ln x + 2018x + C C x − ln x + 2018x + C D x + ln x + 2018x + C Câu 31: Nguyên hàm F(x) hàm số f ( x) = x + 2x 2x +C ln2 B F ( x) = x2 + 2x ln2 + C x2 + 2x + C D F ( x) = x2 2x + +C ln2 A F ( x) = 1+ C F ( x) = Câu 32: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin5x + 1 B − cos5x + 2x + C C cos2x + 2x + C D cos5x + 2x + C 5 A 5cos5x + C Câu 33: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos2x A ∫ cos2xdx = 2sin2x + C B ∫ cos2xdx = − sin2x + C C ∫ cos2xdx = sin2x + C D ∫ cos2xdx = sin2x + C Câu 34: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 2cos2x A − sin2x + C B −2sin2x + C Câu 35: Tất nguyên hàm hàm số f ( x) = A ln( 2x + 3) + C B ln 2x + + C C sin2x + C D 2sin2x + C là: 2x + C ln 2x + + C D ln 2x + + C ln2 Câu 36: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin2x A ∫ sin2xdx = − C ∫ sin2xdx = cos2x +C cos2x +C B ∫ sin2xdx = − cos2x + C D ∫ sin2xdx = 2cos2x+ C Câu 37: Hàm số sau nguyên hàm hàm số y = cos x? A y= tanx Câu 38: Tìm B y = cot x C y= sinx D y= − sinx ∫ x2 dx 1 A ∫ dx = + C x x B 1 ∫ x2 dx = − x + C C 1 ∫ x2 dx = 2x + C D ∫ x2 dx = ln x +C Câu 39: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + cos x A ∫ f ( x) dx = C x2 + sinx+ C B ∫ f ( x) dx = xsin x + cosx + C D ∫ f ( x) dx = 1− sinx+ C ∫ f ( x) dx = x2 − sinx+ C Câu 40: Họ nguyên hàm hàm số y = cos3x A sin3x +C B − sin3x +C C sin3x + C D − sin3x + C Câu 41: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 5x4 + A x5 + 2x + C B x + 2x + C C 10x + C D x5 + Câu 42: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 3cos x + ( 0;+∞ ) x A −3sinx + +C x B 3sinx − +C x Câu 43: Nguyên hàm hàm số f ( x) = +C x D 3cosx+ lnx+ C 1− 2x A ∫ f ( x) dx = −2ln1− 2x + C C C 3cosx + ∫ f ( x) dx = − ln1− 2x + C B ∫ f ( x) dx = 2ln1− 2x + C D ∫ f ( x) dx = ln1− 2x + C Câu 44: Mệnh đề sai? A ∫ f '( x) dx = f ( x) + C với hàm f ( x) có đọa hàm R ∫ f ( x) + g( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g( x) dx, với hàm f ( x) , g( x) có đạo hàm R C ∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) dx với k với hàm số f ( x) có đạo hàm R D ∫ f ( x) − g( x) dx = ∫ f ( x) dx − ∫ g( x) dx, vợi f ( x) , g( x) có đạo hàm R B Câu 45: Hàm số nguyên hàm hàm số f ( x) = e1− 4x A y = −4e1− 4x B y = 1− 4x e 1− 4x C y = − e D e1− 4x Câu 46: Giả sử F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = 1 khoảng −∞;− ÷ Mệnh đề 3 3x + sau đúng? A F ( x) = ln( −3x − 1) + C B F ( x) = ln( 3x + 1) + C C F ( x) = ln( −3x − 1) + C D F ( x) = ln 3x + + C Câu 47: Nguyên hàm hàm số f ( x) = sinx+ cosx A sinx− cosx+ C B sinx+ cotx+ C C cos x− sinx+ C D sinx+ cosx+ C Câu 48: Nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 − x + là: C ∫( ∫( x x3 x2 + + x+ C B x3 x2 x − x + dx = − − x+ C D ∫( C e3 ( ) A ∫ x2 − x + dx = ) 2 ) − x + dx = 2x − 1+ C x3 x2 x − x + dx = − + x+ C 2 ) 3x Câu 49: Tích phân ∫ e dx A e3 − ( ) B e − D e3 + Câu 50: Nguyên hàm hàm số f ( x) = 3x A ∫ f ( x) dx = 3x+C B ∫ f ( x) dx = x ln3+ C C ∫ f ( x) dx = 3x+1 + C D x+ ∫ f ( x) dx = 3x +C ln3 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-D 3-D 4-D 5-A 6-C 7-B 8-B 9-A 10-D 11-B 12-D 13-B 14-C 15-A 16-C 17-B 18-A 19-C 20-B 21-B 22-C 23-B 24-D 25-C 26-C 27-D 28-B 29-B 30-C 31-D 32-B 33-D 34-C 35-B 36-A 37-C 38-B 39-A 40-A 41-A 42-B 43-C 44-C 45-C 46-C 47-A 48-D 49-A 50-D Câu 1: Chọn A Phương pháp: f ( x) = ( ∫ f ( x) ) , sử dụng công thức tính đạo hàm Cách giải: Ta có ∫ f ( x) dx = x + ln 2x + C ⇒ f ( x) = ( ∫ f ( x) ) = − x2 + 2x = − x2 + x 1 1 Câu 2: Chọn D Phương pháp: - Tính u2 = x2+5⇒ du = dx thay vào I Cách giải: Ta có: ( ) x2 + = u ⇒ u2 = x2 + 5⇒ 2udu = 2xdx ⇒ x3dx = x2.xdx = u2 − udu ( ) ( ) = ∫ u4 − 5u2 du Khi đó: I = ∫ u − uudu Câu 3: Chọn D Phương pháp: +) Tìm F ( x) = ∫ f ( x) dx +) Sử dụng giả thiết F (0) = tìm số C Cách giải: Ta có F ( x) = ∫ f ( x) dx = ∫ − cos2 x dx = − tanx+ C F (0) = 1⇔ − tan0+ C = 1⇔ C = 1⇒ F (x) = − tanx+ Câu 4: Chọn D Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm Cách giải: ∫ x4 2x f ( x) dx = + + +C x ln2 Câu 5: Chọn A Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm Cách giải: f (x) = 2x + sin2x ⇔ F (x) = ∫ f ( x) dx = ∫ ( 2x + sin2x) dx = x2 − cos2x + C Câu 6: Chọn C Cách giải: ∫ f ( x) dx = ∫ 2x + dx = ( 2∫ − 2x + d ) − +1 ( 2x + 1) ( 2x + 1) = − +1 − 1 ( 2x + 1) +C= + C = 2x + + C 2 Câu 7: Chọn B Cách giải: ∫ f ( x) dx = ∫ e 2018x dx = 1 2018x ∫ e2018xd ( 2018x) = e + C 2018 2018 Câu 8: Chọn B Phương pháp: F ( x) = ∫ f ( x) dx F (x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) , f ( x) = F '( x) Cách giải: Ta có: F '(x) = (cos3x) = −3sin3x nên F (x) = cos3x nguyên hàm hàm số f ( x) = −3sin3x Câu 9: Chọn A Phương pháp: Sử dụng tính chất nguyên hàm Cách giải: Đáp án A: ∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) dx với k ≠ nên A sai Câu 10: Chọn D Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính ngun hàm Cách giải: Ta có: ∫ ( ) f ( x) dx = ∫ −4x3 + dx = − 4x4 + x + C = − x4 + x + C Câu 11: Chọn B Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm Cách giải: Ta có ∫ f ( x) dx = ∫ x dx = ln x + C Câu 12: Chọn D Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm hàm lượng giác: ∫ tanxdx = − ln cos x + C Cách giải: Ta có 1 ∫ f ( x) dx = ∫ tan2xdx = ∫ tan2xd(2x) = − ln cos2x + C Câu 13: Chọn B Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm hàm số mũ Cách giải: Ta có f ( x) = 25x ⇒ ∫ f ( x) dx = ∫ 25x dx = 25x 52x +C= + C ln25 2ln5 Câu 14: Chọn C Phương pháp: Dựa vào nguyên hàm phương pháp đổi biến số Cách giải: Ta có 2 2 2 ∫ f ( x) dx = ∫ 4x − 3dx = ln 4x − + C = ln 2 2x − 3÷ + C = ln 2x − 3÷ + C Câu 15: Chọn A Phương pháp: Tìm nguyên hàm nguyên hàm Cách giải: Ta có x + 1) − ( f ( x) = = = 1− 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x2 + 2x 10 Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ R, a ≠ ) có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) qua gốc tọa độ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ sau Tính giá trị H = f ( ) − f ( ) A 51 B 45 Câu Cho f ( x ) = C 58 D 64 x π π − ; ÷ F ( x ) nguyên hàm hàm số xf ′ ( x ) thỏa mãn cos x 2 π π F ( ) = Biết a ∈ − ; ÷ thỏa mãn tan a = Tính F ( a ) − 10a + 3a 2 A ln10 2 Câu 10 Biết ∫ 3x + A B − ln10 x x2 −1 86 27 C − ln10 D ln10 dx = a + b + c 35 với a, b, c số hữu tỉ Tính P = a + 2b + c − B − C 67 27 D – Câu 11 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x − − x tập R thỏa mãn F ( 1) = 3, F ( −1) = 2, F ( −2 ) = Tính tổng T = F ( ) + F ( ) + F ( −3) A Câu 12 Cho hàm số B 12 f ( x) 1 f ( −3) + f ( 3) = f − ÷+ 2 A T = + ln C 14 xác định R \ { −1;1} D 10 thỏa mãn f ′( x) = Biết x −1 1 f ÷ = Tính P = f ( ) + f ( ) 2 B T = ln C T = + ln D T = + ln 47 Câu 13 Cho hàm số f ( x) 1 f ( −3) + f ( 3) = f − ÷+ 2 A T = ln − xác định R \ { −1;1} thỏa mãn f ′( x) = Biết x −1 1 f ÷ = Tính T = f ( −2 ) + f ( ) + f ( ) 2 B T = ln + C T = ln + D T = ln − Câu 14 Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1, f ( ) = thỏa mãn f ′ ( x ) x + = x f ( x ) + Tính f ( 3) A Câu 15 Cho hàm số B f ( x) C xác định khoảng D ( 0; +∞ ) \ { e} thỏa mãn f ′( x) = , x ( ln x − 1) 1 1 f ÷ = ln 6, f ( e ) = Giá trị biểu thức f ÷+ f ( e3 ) e e A 3ln + B ln C ( ln + 1) Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương D ln + ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 1) = 1, f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1, ∀x > Mệnh đề sau đúng? A < f ( ) < B < f ( ) < C < f ( ) < D < f ( ) < Câu 17 Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng R \ { −2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 1 , f ( ) = x + x −1 f ( −3) − f ( 3) = Tính giá trị biểu thức T = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) A 1 ln + 3 B ln 80 + C 4 8 ln ÷+ ln + D ln ÷+ 5 5 Câu 18 Hàm số sau nguyên hàm hàm số y = ln x ? A y = ln x B y = x C y = x ln x + x D y = x ln x − x Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x + cos x A − cos x + sin x + C B cos x − sin x + C C sin x + sin x + C D cos x − sin x + C 48 Câu 20 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) f ( x ) f ( x) = − = x.e x ∀x ∈ R f ( 1) = Hỏi phương trình có nghiệm? e A Câu 2018 B 21 Cho hàm π 3π f ′ ( x ) = tan x, ∀x ∈ − ; 4 A ( log e + 1) C y = f ( x) số liên D tục π 2 [ 0; π ] \ đoạn thỏa mãn π 2π π ÷\ , f ( ) = 0, f ( π ) = Tỷ số f ÷ f ÷ 2 4 B C ( + ln ) + ln D ( − log e ) x Câu 22 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( x ) + x e + , ∀x ∈ R f ( ) = −1 Tính f ( 3) A 6e3 + B 6e + C 3e − Câu 23 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = D 9e3 − x − x2 thỏa mãn f ( ) = Khi phương trình F ( x ) = x có nghiệm A − B C – D x x Câu 24 Gọi F ( x ) = ( ax + bx + cx + d ) e nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + x − x + ) e Tính a + b + c + d A 244 Câu 25 Giả F ( x ) = A − x3 + A – B 247 sử nguyên C 245 hàm hàm D 246 số f ( x) = x2 − x3 + ( x 1+ x ) có dạng B Hãy tính A + B 1+ x B C D − 49 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1–C 2–B 3–C 4–B 5–C 6–A 7–D 8–C 9–A 10 – B 11 – B 12 – A 13 – C 14 – B 15 – C 16 – D 17 – A 18 - D 19 – C 20 – D 21 – A 22 – D 23 – A 24 – D 25 – D Câu Chọn C Phương pháp: + ∫ f ( x ) dx = F ( x ) ⇔ f ( x ) = F ′ ( x ) + Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần: ∫ udv = uv − ∫ vdu 3x Cách giải: I = ∫ f ′ ( x ) e dx 3x u = e ⇔ Đặt dv = f ′ ( x ) dx Ta có: ∫ f ( x) e 3x 3x du = 3e dx ⇒ I = f ( x ) e3 x − 3∫ f ( x ) e3 x dx = f ( x ) e3 x − ( x + 1) e3 x + C v = f x ( ) dx = ( x + 1) e x ⇒ f ( x ) e3 x dx = ( x + 1) e x ′ = e x + ( x + 1) e x = ( x + ) e x x x x Vậy I = ( x + ) e − ( x + 1) e + C = ( −2 x − 1) e + C Câu Chọn B Cách giải: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ tan xdx Đặt tan x = t ⇒ dx dt = dt ⇒ ( tan x + 1) dx = dt ⇒ dx = 2 cos x t +1 Khi đó: I = ∫ t dt t t = ∫ t − t + ÷dt = ∫ t 3dt − ∫ tdt + ∫ dt t +1 t +1 t +1 2 d ( t + 1) = t − t + ∫ = t − t + ln t + + C 2 t +1 2 = 1 tan x − tan x + ln ( tan x + 1) + C 2 50 = 1 tan x − tan x + ln ÷+ C 2 cos x = 1 tan x − tan x − ln cos x + C Câu Chọn C Phương pháp: + f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx, sử dụng giả thiết f ( ) = 1, f ( 1) = tìm số C + Tính f ( −1) ; f ( 3) cách thay x = −1, x = Cách giải: Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ dx = ln x − + C = ln x − + C 2x −1 1 Xét khoảng −∞; ÷ ta có: f ( x ) = ln ( −2 x + 1) + C 2 1 f ( ) = C = ⇔ f ( x ) = ln ( −2 x + 1) + 1∀x ∈ −∞; ÷ 2 1 Xét khoảng ; +∞ ÷ ta có: f ( x ) = ln ( x − 1) + C 2 1 f ( 1) = ln1 + C = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = ln ( x − 1) + 2∀x ∈ ; +∞ ÷ 2 1 ln ( −2 x + 1) x ∈ −∞; ÷ ⇒ f ( x) = 1 ln ( x − 1) x ∈ ; +∞ ÷ 2 ⇒ f ( −1) + f ( 3) = ln + + ln + = ln15 + Câu Chọn B Phương pháp: Chia biểu thức, lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm số f ( x ) Cách giải: Ta có: f ′ ( x ) = ⇔∫ d ( f ( x) ) f ( x) =∫ x f ( x ) d ( x + 1) x2 + x2 + ⇔ f ′( x) = f ( x) x x2 + ⇔∫ f ′( x) x dx = ∫ dx f ( x) x2 + = x + + C ⇔ ln f ( x ) = x + + C ⇔ f ( x ) = e x +1+ C → eC +1 = e ⇒ C = Mà f ( ) = e 51 Vậy f ( 3) = e Câu Chọn C Phương pháp: Xét khoảng x, tìm f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx Cách giải: Trên khoảng ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ( −3 ) + f ( ) = 1 1 x −1 x −1 dx = ∫ − + C1 = ln + C1 ÷dx = ln x −1 x −1 x +1 x +1 x +1 1 ln + ln + C1 = ⇔ C1 = 2 Trên khoảng ( −1;1) ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 1 f − ÷+ 2 1 x −1 −x +1 dx = ln + C2 = ln + C2 x −1 x +1 x +1 1 1 f ÷ = ln + ln + C2 = ⇔ C2 = 2 2 1 x −1 ln x + x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) ⇒ f ( x) = ln − x + + x ∈ ( −1;1) x +1 ⇒ T = f ( −2 ) + f ( ) + f ( ) = 1 ln + ln1 + + ln = ln + 2 2 Câu Chọn A Phương pháp: + Nhận xét VT = f ( x ) f ′ ( x ) + Lấy nguyên hàm hai vế hai lần Cách giải: Ta có: f ( x ) f ′ ( x ) ′ = f ′ ( x ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15 x + 12 x Nguyên hàm vế ta f ( x ) f ′ ( x ) = 3x + x + C Do f ( ) = f ′ ( ) = ⇒ C = Tiếp tục nguyên hàm vế ta được: ⇒ ∫ f ( x ) df ( x ) = ∫ ( 3x + x + 1) dx f ( x ) 3x6 x3 = + + x + D = x6 + x3 + x + D Do f ( ) = ⇒ D = 1 ⇒ f ( x ) = x + x + x + ⇒ f ( 1) = 2 52 Câu Chọn D Phương pháp: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx Cách giải: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 1 x −1 dx = ln +C x −1 x +1 x −1 ln x + +C1 x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) ⇒ f ( x) = ln − x + C x ∈ ( −1;1) x + f ( −3 ) + f ( ) = 1 ln + ln + C1 = ⇔ C1 = 2 1 1 f − ÷+ f ( 3) = ln + ln + C2 = ⇔ C2 = 2 2 x −1 ln x + x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) ⇒ f ( x) = ln − x + x ∈ ( −1;1) x + ⇒ f ( −2 ) + f ( ) + f ( ) = 1 ln + ln1 + + ln = + ln 2 5 Câu Chọn C Phương pháp: Xác định hàm số f ′ ( x ) từ tính f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx 2 Cách giải: Ta dễ dàng tìm phương trình parabol y = 3x + ⇒ f ′ ( x ) = x + ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = x + x Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x + x ⇒ f ( ) = 68, f ( ) = 10 ⇒ H = 58 Câu Chọn A Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân phần tính F ( x ) Cách giải: F ( x ) = f ( x ) = F ( x) = x2 x x2 − dx + C = − xd ( tan x ) + C cos x ∫ cos x cos2 x ∫ x2 x2 sin x − x tan x + tan dx + C = − x tan x + ∫ dx + C 2 ∫ cos x cos x cos x 53 F ( x) = d ( cos x ) x2 x2 − x tan x − + C = − x tan x − ln cos x + C ∫ cos x cos x cos x x2 − x tan x − ln cos x cos x F ( 0) = C = ⇒ F ( x ) = F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd ( f ( x ) ) = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx + C 1 π π = tan a + = 10 ⇔ cos a = a ∈ − ; ÷÷ cos x 10 2 tan a = ⇒ 1 1 ⇒ F ( a ) − 10a + 3a = − ln = − ln = ln10 10 10 10 ⇒ F ( a ) = 10a − 3a − ln Câu 10 Chọn B Phương pháp: Nhân liên hợp, tách thành tích phân sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Cách giải: ∫ 3x + x x2 −1 ) ( ( x 3x − x − 1 x − ( x − 1) dx = ∫ 2 1 ) dx = ∫ x − x x − dx = ∫ x dx − ∫ x x − 1dx = I1 − I 2 I1 = ∫ 3x dx = x = − = 1 Đặt x − = t ⇔ x − = t ⇔ 18 xdx = 2tdt ⇔ xdx = tdt x = ⇒ t = 2 Đổi cận: x = ⇒ t = 35 35 t3 ⇒ I = ∫ t dt = 92 27 35 = 35 35 16 − 27 27 a = 16 35 35 16 ⇒ I = 7+ − ⇒ b = 27 27 27 35 c = − 27 ⇒ P = a + 2b + c − = − Câu 11 Chọn B 54 Phương pháp: Chia khoảng để phá trị tuyệt đối, qua tìm ngun hàm hàm số f ( x ) Cách giải: x + C1 x ≥ x ≥ Ta có: f ( x ) = + x − − x = 2 x − ≤ x < ⇒ F ( x ) = x +C − ≤ x < −2 x < −1 −2 x + C x < −1 F ( 1) = + C1 = C1 = Theo đề ta có: F ( −1) = ⇔ 1 + C2 = ⇔ C2 = 4 + C = C = F ( −2 ) = F ( ) = 2.2 + = x + x ≥ ⇒ F ( x ) = x +1 − ≤ x < ⇒ F ( ) = −2 x x < −1 F ( −3) = −2 ( −3) = ⇒ T = + + = 12 Câu 12 Chọn A Phương pháp: ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C Cách giải: f ′ ( x ) = ⇒ f ( x) = ∫ 1 ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ dx x −1 x −1 ( x − 1) ( x + 1) 1 ln 2 ⇒ f ( x) = ln dx = x < −1 x −1 + C1 , x +1 x >1 x −1 + C , −1 < x < x +1 Ta có: f ( −3) + f ( 3) = ⇔ 1 f ÷+ 2 1 1 x −1 dx + ∫ dx = ln +C ∫ x −1 x +1 x +1 1 ln + C1 + ln + C1 = ⇔ 2C1 = ⇔ C1 = 2 1 1 f − ÷ = ⇔ ln + C2 + ln + C2 = ⇔ C2 = 2 2 −1 −1 P = f ( ) + f ( ) = ln + 1÷+ ln ÷ = ln + +1 +1 Câu 13 Chọn C Phương pháp: Tìm hàm số thông qua nguyên hàm, chia nhỏ trường hợp để xét giá trị Cách giải: Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 1 x −1 dx = ln +C x −1 x +1 55 x −1 ln x + +C1 x > 1 1− x ⇒ f ( x ) = ln + C2 − < x < x +1 x −1 ln x + + C3 x < −1 f ( −3 ) + f ( ) = 1 f − ÷+ 2 1 ln + C1 + ln + C3 = ⇔ C1 + C3 = 2 1 1 f ÷ = ln + ln + C2 = ⇔ C2 = 2 Vậy T = f ( −2 ) + f ( ) + f ( ) = 1 ln + C3 + C2 + ln + C1 = ln + 2 Câu 14 Chọn B Phương pháp: Lấy nguyên hàm hai vế, tìm hàm số f ( x ) Cách giải: f ′ ( x ) x2 + = 2x f ( x ) + ⇔ ⇔∫ d ( f ( x ) + 1) f ( x) +1 =∫ d ( x + 1) x +1 f ′( x) f ( x) +1 = 2x x +1 ⇔∫ f ′( x) f ( x) +1 dx = ∫ 2x x2 + dx ⇔ f ( x ) + = x2 + + C Mà f ( ) = ⇒ + = 02 + + C ⇒ C = ⇒ f ( x ) + = x2 + ⇔ f ( x ) = x2 ⇒ f ( 3) = ( 3) =3 Câu 15 Chọn C Phương pháp: Tìm hàm số thơng qua nguyên hàm đạo hàm, chia trường hợp phá trị tuyệt đối, tìm số C Cách giải: Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 1 dx = ∫ d ( ln x ) = ln ln x − + C x ( ln x − 1) ln x − ln ln x − + C1 < x < e ⇒ f ( x) = ln ln x − + C2 x > e 1 Do f ÷ = ln ⇒ ln ln − + C1 = ln ⇔ ln + C1 = ln ⇔ C1 = ln e e 2 Đồng thời f ( e ) = ⇒ ln ln e − + C2 = ⇔ C2 = 56 1 3 Khi f ÷+ f ( e ) = ln ln − + ln + ln ln e − + = ( ln + 1) e e Câu 16 Chọn D Phương pháp: f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + ⇔ f ′( x) = f ( x) 3x + Lấy nguyên hàm hai vế Cách giải: f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + ⇔ f ′( x) = f ( x) 3x + Lấy nguyên hàm hai vế ta có: f ′( x) ∫ f ( x) dx = ∫ dx ⇔ ln f ( x ) = x + + C = ln f ( x ) ( f ( x ) > ) 3x + 2 4 ⇒ ln f ( 1) = + C ⇔ C = − ⇒ ln f ( x ) = 3x + − ⇔ f ( x ) = e 3 3 3 x +1 − 4 ⇒ f ( ) = e ≈ 3, 79 Câu 17 Chọn A Phương pháp: Lấy nguyên hàm f ′ ( x ) để tìm hàm số f ( x ) chia trường hợp tính giá trị biểu thức Cách giải: Ta có f ′ ( x ) = dx x −1 ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ = ln +C x + x−2 x + x−2 x+2 1 x −1 ln x + + C1 x > 1 x −1 + C2 x < −2 Khi f ( x ) = ln x + 1 − x ln x + + C3 − < x < Mà f ( ) = 1 1 1 ⇒ C3 + ln = ⇒ C3 = − ln 3 3 1 1 Và f ( −3) − f ( 3) = ⇔ ln + C2 − ln − C1 = ⇔ C2 − C1 = − ln + ln 3 3 5 1 Do đó: T = ln + C2 + ln + C3 − ln − C1 3 1 1 1 T = ln + ln − ln − ln + ln + − ln 3 3 3 57 5 2 2 5÷ 1 T = ln + = ln + ÷ ÷ 3 2 2 Câu 18 Chọn D b b Phương pháp: Sử dụng công thức phần: ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a a Cách giải: ∫ ln xdx = x ln x − ∫ xd ( ln x ) = x ln x − ∫ x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C x ⇒ y = x ln x − x nguyên hàm hàm số y = ln x Câu 19 Chọn C Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm Cách giải: Ta có: =− ∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin x + cos x ) dx = − cos x + sin x + C 1 − 2sin x ) + sin x + C = sin x + sin x + C ( Câu 20 Chọn D Phương pháp: + Nguyên hàm hai vế tìm f ( x ) + Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình f ( x ) = − e Cách giải: f ′ ( x ) f ( x ) 2018 ⇔ ∫ f ( x ) 2018 f ( x ) ⇔ 2019 2019 2018 = x.e x ∀x ∈ R ⇒ ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d ( f ( x ) ) = ∫ xd ( e 2019 ) f ( x ) ⇔ 2019 = xe x − e x + C ⇔ f ( x ) f ( 1) = ⇔ 12019 = 2019C ⇔ C = ⇒ f ( x ) x dx = ∫ x.e x dx 2019 2019 = xe x − ∫ e x dx + C = 2019 ( xe x − e x + C ) 2019 = 2019 xe x − e x + ÷ 2019 2019 −1 ⇒ f ( x ) = − ⇒ f ( x ) = 2019 e e 1 ⇔ 2019 xe x − e x + ⇔ 2019 ( xe x − e x ) + + 2019 = ÷= − 2019 2019 e 58 x x Xét hàm số f ( x ) = 2019 ( xe − e ) + + e 2019 ta có: f ′ ( x ) = 2019 ( e x + xe x − e x ) = 2019 xe x = ⇔ x = f ( ) = −2018 + e 2019