Chuong 4 moi quan he giua cac ham dac trung

HOÁ LÝ Chương – Các hàm đặc trưng phương trình TS Ngơ Thanh An Phần - Các hàm đặc trưng Tính chất hàm đặc trưng Hàm nhiệt động đặc trưng Hàm đặc trưng hàm trạng thái mà qua đạo hàm cấp xác định thông số vó mô hệ Tính chất hàm đặc trưng • Hàm U: đạt cực tiểu giá trị S, V • Hàm S: đạt cực đại giá trị U, V • Hàm G: đạt cực tiểu giá trị T, P • Hàm F: đạt cực tiểu giá trị T, V • Hàm H: đạt cực tiểu giá trị S, P Tính chất hàm đặc trưng Tính chất hàm đặc trưng Chứng minh Theo nguyên lý tăng entropy, entropy đạt cực đại thì: ( ) =0 ( 𝜕𝑈 𝐴=( 𝜕𝑉 ) 𝜕𝑆 𝜕𝑉 𝑈 Ta đặt giá trị A bằng: Vậy A bằng: 𝑆 𝜕 𝑆 𝜕𝑉 ) 0 𝜕𝑉 𝑆 Như vậy, hàm U đạt cực tiểu 𝑉 × 𝜕𝑆 𝜕𝑉 𝑈 Mối quan hệ hàm đặc trưng Biến đổi Legendre Ta có hàm số F = F(x,y) Cần chuyển đổi hàm F(x,y) về: · Hàm số G(x,w) với w biến liên hợp với biến y · Hàm số H(u,y) với u biến liên hợp với biến x · Hàm số L(u,w) với u, x y,w cặp biến liên hợp Cách thực hiện: 𝐹 =𝐹 (𝑥 , 𝑦 ) ( ) 𝑑 𝐹= 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝑦 ( ) × 𝑑𝑥 + 𝜕𝐹 × 𝑑𝑦 𝜕𝑦 𝑥 Ta có: Ta xét: ( ) 𝑢= 𝜕𝐹 𝜕𝑥 ( ) 𝑤= 𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑦 (1) (2) Lấy phương trình (1) – (2), thu được: Đặt hàm: Đặt: 𝑑 ( 𝐹 −𝑤 × 𝑦 ) =𝑢× 𝑑𝑥 − 𝑦 × 𝑑𝑤 𝐺 ( 𝑥 , 𝑤 ) =𝐹 ( 𝑥 , 𝑦 ) −𝑤 × 𝑦 𝑥 Mối quan hệ hàm đặc trưng Biến đổi Legendre 𝑑𝐺(𝑥 ,𝑤)=𝑢× 𝑑𝑥− 𝑦 × 𝑑𝑤 𝜕𝐺 Từ đây, ta có: 𝑦 =− 𝜕𝑤 𝑥 Như vậy, ( ) Tóm lại, phép biến đổi Legendre việc chuyển đổi hàm số F(x,y) dạng hàm số G(x,w), với y w cặp biến liên hợp Trong đó, thỏa điều kiện: 𝐺 ( 𝑥 , 𝑤 ) =𝐹 ( 𝑥 , 𝑦 ) −𝑤 × 𝑦 ( ) 𝜕𝐺 𝑦 =− ( 𝜕𝑤 ) 𝜕𝐹 𝑤= 𝜕𝑦 𝑥 𝑥