HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH 2 1 Đạo hàm Vi phân 1 1 Vi phân 1 Cấp 1 df = f ′xdx+ f ′ydy 2 Cấp 2 d2f = f ′′xxdx 2 + 2f ′′xydydy + f ′′yydy 2 1 2 Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của 1 ∇f(x,[.]
HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC MƠN GIẢI TÍCH 1.1 Vi phân Cấp 1: df = fx0 dx + fy0 dy 2 Cấp 2: d f = 1.2 00 fxx dx2 + : x2 + y ≤ 2Ry : ( Hình trịn tâm O(0, −R) π ≤ ϕ ≤ 2π ≤ r ≤ −2R sin ϕ : x2 + y ≤ −2Ry 00 2fxy dydy + 00 fyy dy : Vector Gradient, đạo hàm theo hướng ∇f (x, y) = (fx , fy , fz0 ) , ∇f (x, y, z) = (fx , fy ) , 2.3 ∂f h∇f, ~ui = ∂~u |~u| Tọa độ cực mở rộng Áp dụng cho hình trịn (x − a)2 + (y − b)2 ≤ R2 x ( = a + r cos ϕ, y = b + r sin ϕ, J=r ≤ ϕ ≤ 2π (−π ≤ ϕ ≤ π) 0≤r≤R ∂f h∇f, ~ui = ∂~u |~u| Hướng tăng nhanh f qua M hướng ∂f (M ) ∇f (M ) Giá trị lớn |∇f (M )| ∂~u 1.3 O(0, R) ( Hình trịn tâm 0≤ϕ≤π ≤ r ≤ 2R sin ϕ Đạo hàm Vi phân y2 x2 Áp dụng cho miền + ≤ 1, a b x ( = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, J=abr ≤ ϕ ≤ 2π (−π ≤ ϕ ≤ π) 0≤r≤1 Phương trình tiếp diện M (x0 , y0 , z0 ) Pt mặt cong S : F (x, y, z) = Fx0 (M )(x − x0 ) + Fy0 (M )(y − y0 ) + Fz0 (M )(z − z0 ) = Tích phân bội I = Pt mặt cong S : z = z(x, y) z = zx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + zy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) + z0 Tích phân kép I = f (x, y, z)dxdydz Ω 3.1 RR RRR f (x, y)dxdy Trong tọa độ Descartes Ω : z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), hcΩ = D ⊂ Oxy D 2.1 Trong tọa độ Descartes I= D : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) y2R(x) Rb I = dx f (x, y)dy a 2.2 D z1 (x,y) ! f (x, y)dz dxdy Các pt bất pt (xác định Ω) không chứa z y1 (x) Hình chiếu giao tuyến z = z1 z = z2 : z1 (x, y) = z2 (x, y) (Sử dụng yếu tố không tạo miền kín khơng có) x1 (y) Giao miền tạo yếu tố điều kiện xác định z1 (x, y), z2 (x, y) Tọa độ cực x = r cos ϕ, y = r sin ϕ I= z2 (x,y) R Cách xác định D : gồm yếu tố D : c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y) x2R(y) Rd I = dy f (x, y)dx c RR Rβ α dϕ r2R(ϕ) 3.2 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr r1 (ϕ) Đổi biến Tọa độ trụ : Khi miền D đổi sang tọa độ cực 2 ( Hình trịn tâm O(0, 0) ≤ ϕ ≤ 2π (−π ≤ ϕ ≤ π) 0≤r≤R : x +y ≤R Hình trịn tâm ( π π − ≤ϕ≤ 2 ≤ r ≤ 2R cos ϕ O(R, 0) : x2 + y ≤ 2Rx : Hình trịn tâm O(−R, 0) π ≤ ϕ ≤ 3π 2 0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ : x2 + y ≤ −2Rx : : Tọa độ cầu x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ Sử dụng có mặt cầu tâm O tâm (0, 0, ±R) kết hợp với a/ Các mặt tọa độ b/ Các mặt phẳng qua trục Oz, VD : y = kx p c/ Nón z = k x2 + y CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN (i) Điều kiện x, y điều kiện ϕ Oxy giống tọa độ cực (ii) Cho x = điều kiện Ω, lát cắt Oyz xác định ρ, θ Lưu ý : ρ khoảng cách từ gốc O đến đường trịn, θ góc quay từ trục Oz phía x, y (0 ≤ θ ≤ π) RRR Thể tích Ω : V = dxdydz Xác định hình chiếu D Slên mp tọa độ tương ứng (VD chiếu lên mp z = 0) Xác định từ yếu tố : (i) Pt mặt chắn mà khơng chứa z (ii) Hình chiếu giao tuyến S mặt chắn mà pt chứa z (iii) Giao với điều kiện xác định z(x, y) q RR Tính I = f (x, y, z(x, y)) + zx02 + zy02 dxdy Ω Tích phân đường 4.1 Tham số hóa đường cong D Là biểu diễn x, y x, y, z theo biến Đường phẳng a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b] hay x = x(y), y ∈ [c, d] b/Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 : ( x = a + R cos t, y = b + R sin t t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π] ( x = a cos t, y = b sin t y2 x2 c/Ellipse + = : a b t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π] Tích phân mặt loại I= RR P dydz + Qdzdx + Rdxdy S 6.1 Cách tính Bước Chọn cách viết pt S, VD z = z(x, y) Bước Xác định hình chiếu Dxy S lên mp tọa độ tương ứng RR Bước Tính I = ± (P, Q, R)(−zx0 , −zy0 , 1)dxdy Đường không gian (giao tuyến mặt) Dxy Cách : Nếu có pt mặt chứa biến, xem đường phẳng để tham số hóa, dùng pt cịn lại tìm tham số cho Lấy + S lấy phía theo hướng Oz biến thứ Cách : xác định hình chiếu giao tuyến lên mp tọa 6.2 Cơng thức Gauss-Oxtrogratxki độ, ts hóa cho hc dùng pt mặt để tìm ts cho biến Yêu cầu : S mặt biên Ω, lấy phía ngồi thứ RRR Px0 + Q0y + Ry0 dxdydz I= 4.2 Tích phân đường loại I= RB P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C A Ω 6.3 Công thức Stokes C biên mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy x nhìn từ phía dương Oz (nhìn từ xuống) Ln chọn phía x RB S R a/ C : y = y(x) ⇒ I = P (x, y(x))dx+Q(x, y(x))y (x)dx I = P dx + Qdy + Rdz xA C RR b/ C : x = x(t), y = y(t) = I = (Ry0 − Q0z )dydz + (Pz0 − R0 x)dzdx + (Q0 x − P y)dxdy tRB S RR R ⇒ I = P (x(t), y(t))x0 (t)dt + Q(x(t), y(t))y (t)dt Nếu lấy y : = − tA RR C L RRS = Công thức Green : C biên ngoài, x miền hữu hạn Lưu ý : S D D (nếu có biên C gồm biên biên lấy y) R RR I = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Q0x − Py0 dxdy Cách tính C D Lưu ý: C phải đường kín (hoặc nhiều đường kín) Nếu C khơng kín ghép đường (nên đường dạng x = a hay y = a theo chiều C so với miền D) Tích phân không phụ thuộc đường B1: Kiểm tra Q0 x = P y B2: Tính I cách đổi đường (đường gấp khúc x = a, y = b từ A đến B) chọn hàm U thỏa dU = P dx + Qdy I = U (B) − U (A) Tích phân mặt loại I= R f (x, y, z)ds S Cách tính Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x = x(y, z), y = y(z, x) ) 7 Chuỗi số 7.1 Chuỗi Chuỗi điều hòa P nα Chuỗi cấp số nhân 7.2 P xn ( α > : HT α ≤ : PK ( |x| < : HT |x| ≥ : P K Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát hội tụ Tiêu chuẩn D’Alembert : số hạng tổng qt có chứa tích vơ hạn Tiêu chuẩn Cauchy : số hạng tổng quát có chứa dạng uvnn Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu Không xuất dấu hiệu tc Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng a/Rút gọn số hạng tổng quát trước dùng D’A Cauchy b/Thành phần số hạng tổng quát chứa nα c/Áp dụng cho chuỗi không âm P (giữ nguyên dấu thay ∼) d/Nếu áp dụng cho cho |an | kết luận chuỗi so sánh hội tụ 7.3 Phát biểu định lý Điều kiện cần : an : chuỗi phân kỳ (an → khơng kết luận gì.) TC D’Alembert : < : HT > : P K ( : Dn ≥ : P K = → Dn < : oKL p TC Cauchy : Cn = n |an | → C : KL giống TC D’A P TC Leibnitz : (−1)n an , ≤ an ↓ ⇒ : hội tụ (an : PK, an → không ↓ : o KL) an+1 →D Dn = an an ∼ bn : P an P bn chất (bn = bn = xn ) Chuỗi lũy thừa 8.1 P hay nα an (x − x0 )n Miền hội tụ Bán kính hội tụ an R = lim an+1p hay R = lim n |an | Khoảng hội tụ : (x0 − R, x0 + R) (chuỗi pk bên [x0 − R, x0 + R]) Miền hội tụ : xét thêm hội tụ chuỗi số đầu Khoảng hội tụ (Tại đầu sử dụng C D dùng Cn , Dn ) 8.2 Chuỗi Taylor 8.3 Tính tổng chuỗi