Hệ thống hóa kiến thức môn giải tích 2

HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC MƠN GIẢI TÍCH 1.1 Vi phân Cấp 1: df = fx dx + fy dy Cấp 2: d2 f = fxx dx2 + 2fxy dydy + fyy dy 1.2 O(0, R) : x2 + y ≤ 2Rx : Hình trịn tâm O(−R, 0) π ≤ ϕ ≤ 2π ≤ r ≤ −2R sin ϕ : x2 + y ≤ −2Rx : Hình trịn tâm 0≤ϕ≤π ≤ r ≤ 2R sin ϕ Đạo hàm Vi phân Vector Gradient, đạo hàm theo hướng ∇f (x, y) = (fx , fy , fz ) , ∇f (x, y, z) = (fx , fy ) , Tích phân bội I = ∂f ∇f, u = ∂u |u| 3.1 ∂f ∇f, u = ∂u |u| Tích phân kép I = Hình chiếu giao tuyến z = z1 z = z2 : z1 (x, y) = z2 (x, y) (Sử dụng yếu tố khơng tạo miền kín khơng có) Giao miền tạo yếu tố điều kiện xác định z1 (x, y), z2 (x, y) f (x, y)dxdy 3.2 Trong tọa độ Descartes Tọa độ cầu x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ Sử dụng có mặt cầu tâm O tâm (0, 0, ±R) kết hợp với a/ Các mặt tọa độ b/ Các mặt phẳng qua trục Oz, VD : y = kx c/ Nón z = k x2 + y y2 (x) dx a f (x, y)dy y1 (x) D : c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y) x2 (y) d I= dy c 2.2 f (x, y)dx x1 (y) CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN (i) Điều kiện x, y điều kiện ϕ Oxy giống tọa độ cực (ii) Cho x = điều kiện Ω, lát cắt Oyz xác định ρ, θ Lưu ý : ρ khoảng cách từ gốc O đến đường trịn, θ góc quay từ trục Oz phía , (0 ≤ θ ≤ π) Tọa độ cực x = r cos ϕ, y = r sin ϕ r2 (ϕ) β I= dϕ α f (r cos ϕ, r sin varphi)rdr r1 (ϕ) Hình trịn tâm O(0, 0) : x2 + y ≤ R2 : ≤ ϕ ≤ 2π 0≤r≤R Thể tích Ω : V = dxdydz Ω O(0, R) : x2 + y ≤ 2Rx :  Hình trịn tâm O(0, −R)  π ≤ ϕ ≤ 3π 2 0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ : x2 + y ≤ −2Rx : Hình trịn tâm π π − ≤ϕ≤ 2 ≤ r ≤ 2R cos ϕ Đổi biến Tọa độ trụ : Khi miền D đổi sang tọa độ cực D : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) I= dxdy z1 (x,y) Các pt bất pt (xác định Ω) không chứa z D b f (x, y)dz D Cách xác định D : gồm yếu tố Pt mặt cong S : z = z(x, y) z = zx (x0 , y0 )(x − x0 ) + zy (x0 , y0 )(y − y0 ) + z0 2.1 z2 (x,y) I= Phương trình tiếp diện M (x0 , y0 , z0 ) Pt mặt cong S : F (x, y, z) = Fx (M )(x − x0 ) + Fy (M )(y − y0 ) + Fz (M )(z − z0 ) = Trong tọa độ Descartes Ω : z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), hcΩ = D ⊂ Oxy Hướng tăng nhanh f qua M hướng ∂f (M ) ∇f (M ) Giá trị lớn |∇f (M )| ∂u 1.3 f (x, y, z)dxdydz Ω Tích phân đường Tính I = f (x, y, z(x, y)) + zx2 + zy2 dxdy D 4.1 Tham số hóa đường cong Là biểu diễn x, y x, y, z theo biến Đường phẳng a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b] hay x = x(y), y ∈ [c, d] b/Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 : x = a + R cos t, y = b + R sin t t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π] x2 y2 c/Ellipse + = : a b x = a cos t, y = b sin t t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π] Tích phân mặt loại I= P dydz + Qdzdx + Rdxdy S 6.1 Cách tính Bước Chọn cách viết pt S, VD z = z(x, y) Bước Xác định hình chiếu Dxy S lên mp tọa độ tương ứng Bước Tính I = ± (P, Q, R)(−zx , −zy , 1)dxdy Dxy Đường không gian (giao tuyến mặt) Lấy + S lấy phía theo hướng Oz Cách : Nếu có pt mặt chứa biến, xem đường phẳng để tham số hóa, dùng pt cịn lại tìm tham số cho 6.2 Cơng thức Gauss-Oxtrogratxki biến thứ Cách : xác định hình chiếu giao tuyến lên mp tọa Yêu cầu : S mặt biên Ω, lấy phía ngồi độ, ts hóa cho hc dùng pt mặt để tìm ts cho biến thứ I= Px + Qy + Ry dxdydz Ω 4.2 Tích phân đường loại B I= P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C A Cách tính xB a/ C : y = y(x) ⇒ I = P (x, y(x))dx+Q(x, y(x))y (x)dx xA C biên mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy nhìn từ phía dương Oz (nhìn từ xuống) Ln chọn phía S I = P dx + Qdy + Rdz C (Ry − Qz )dydz + (Pz − R x)dzdx + (Q x − P y)dxdy S tB P (x(t), y(t))x (t)dt + Q(x(t), y(t))y (t)dt tA Nếu lấy C D Lưu ý: C phải đường kín (hoặc nhiều đường kín) Nếu C khơng kín ghép đường (nên đường dạng x = a hay y = a theo chiều C so với miền D) Tích phân không phụ thuộc đường B1: Kiểm tra Q x = P y B2: Tính I cách đổi đường (đường gấp khúc x = a, y = b từ A đến B) chọn hàm U thỏa dU = P dx + Qdy I = U (B) − U (A) Tích phân mặt loại I= f (x, y, z)ds S Cách tính Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x = x(y, z), y = y(z, x) ) Xác định hình chiếu D Slên mp tọa độ tương ứng (VD chiếu lên mp z = 0) Xác định từ yếu tố : (i) Pt mặt chắn mà khơng chứa z (ii) Hình chiếu giao tuyến S mặt chắn mà pt chứa z (iii) Giao với điều kiện xác định z(x, y) =− : C S = Lưu ý : Công thức Green : C biên ngoài, miền hữu hạn D (nếu có biên C gồm biên biên lấy ) I = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Qx − Py dxdy Công thức Stokes =I= b/ C : x = x(t), y = y(t) ⇒I= 6.3 S D Chuỗi số 7.1 Chuỗi Chuỗi điều hòa nα α > : HT α ≤ : PK Chuỗi cấp số nhân xn |x| < : HT |x| ≥ : P K 7.2 Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát hội tụ Tiêu chuẩn D’Alembert : số hạng tổng qt có chứa tích vơ hạn Tiêu chuẩn Cauchy : số hạng tổng quát có chứa dạng uvnn Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu Không xuất dấu hiệu tc Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng a/Rút gọn số hạng tổng quát trước dùng D’A Cauchy b/Thành phần số hạng tổng quát chứa nα c/Áp dụng cho chuỗi không âm (giữ nguyên dấu thay ∼) d/Nếu áp dụng cho cho |an | kết luận chuỗi so sánh hội tụ 7.3 Phát biểu định lý : chuỗi phân kỳ (an → không Điều kiện cần : an kết luận gì.) TC D’Alembert : Dn = an+1 an   < : HT  > : P K →D:  Dn ≥ : P K   = → Dn < : oKL TC Cauchy : Cn = n |an | → C : KL giống TC D’A TC Leibnitz : (−1)n an , ≤ an ↓ ⇒ : hội tụ (an : PK, an → không ↓ : o KL) an ∼ bn : an bn chất (bn = bn = xn ) Chuỗi lũy thừa 8.1 hay nα an (x − x0 )n Miền hội tụ Bán kính hội tụ an R = lim an+1 hay R = lim n |an | Khoảng hội tụ : (x0 − R, x0 + R) (chuỗi pk bên [x0 − R, x0 + R]) Miền hội tụ : xét thêm hội tụ chuỗi số đầu Khoảng hội tụ (Tại đầu sử dụng C D dùng Cn , Dn ) 8.2 Chuỗi Taylor 8.3 Tính tổng chuỗi ... b/Đường tròn (x − a )2 + (y − b )2 = R2 : x = a + R cos t, y = b + R sin t t ∈ [0, 2? ?] hay t ∈ [−π, π] x2 y2 c/Ellipse + = : a b x = a cos t, y = b sin t t ∈ [0, 2? ?] hay t ∈ [−π, π] Tích phân mặt loại...4 Tích phân đường Tính I = f (x, y, z(x, y)) + zx2 + zy2 dxdy D 4.1 Tham số hóa đường cong Là biểu diễn x, y x, y, z theo biến Đường phẳng... để tham số hóa, dùng pt cịn lại tìm tham số cho 6 .2 Công thức Gauss-Oxtrogratxki biến thứ Cách : xác định hình chiếu giao tuyến lên mp tọa Yêu cầu : S mặt biên Ω, lấy phía ngồi độ, ts hóa cho hc