Hệ thống hóa kiến thức môn giải tích 2

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH 2 1 Đạo hàm Vi phân 1 1 Vi phân 1 Cấp 1 df = f ′xdx+ f ′ydy 2 Cấp 2 d2f = f ′′xxdx 2 + 2f ′′xydydy + f ′′yydy 2 1 2 Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của 1 ∇f(x,.

HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC MƠN GIẢI TÍCH 1.1 Vi phân Cấp 1: df = fx dx + fy dy Cấp 2: d2 f = fxx dx2 + 2fxy dydy + fyy dy 1.2 O(0, R) : x2 + y ≤ 2Rx : Hình trịn tâm O(−R, 0) π ≤ ϕ ≤ 2π ≤ r ≤ −2R sin ϕ : x2 + y ≤ −2Rx : Hình trịn tâm 0≤ϕ≤π ≤ r ≤ 2R sin ϕ Đạo hàm Vi phân Vector Gradient, đạo hàm theo hướng ∇f (x, y) = (fx , fy , fz ) , ∇f (x, y, z) = (fx , fy ) , Tích phân bội I = ∂f ∇f, u = ∂u |u| 3.1 ∂f ∇f, u = ∂u |u| Tích phân kép I = Hình chiếu giao tuyến z = z1 z = z2 : z1 (x, y) = z2 (x, y) (Sử dụng yếu tố khơng tạo miền kín khơng có) Giao miền tạo yếu tố điều kiện xác định z1 (x, y), z2 (x, y) f (x, y)dxdy 3.2 Trong tọa độ Descartes Tọa độ cầu x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ Sử dụng có mặt cầu tâm O tâm (0, 0, ±R) kết hợp với a/ Các mặt tọa độ b/ Các mặt phẳng qua trục Oz, VD : y = kx c/ Nón z = k x2 + y y2 (x) dx a f (x, y)dy y1 (x) D : c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y) x2 (y) d I= dy c 2.2 f (x, y)dx x1 (y) CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN (i) Điều kiện x, y điều kiện ϕ Oxy giống tọa độ cực (ii) Cho x = điều kiện Ω, lát cắt Oyz xác định ρ, θ Lưu ý : ρ khoảng cách từ gốc O đến đường trịn, θ góc quay từ trục Oz phía , (0 ≤ θ ≤ π) Tọa độ cực x = r cos ϕ, y = r sin ϕ r2 (ϕ) β I= dϕ α f (r cos ϕ, r sin varphi)rdr r1 (ϕ) Hình trịn tâm O(0, 0) : x2 + y ≤ R2 : ≤ ϕ ≤ 2π 0≤r≤R Thể tích Ω : V = dxdydz Ω O(0, R) : x2 + y ≤ 2Rx :  Hình trịn tâm O(0, −R)  π ≤ ϕ ≤ 3π 2 0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ : x2 + y ≤ −2Rx : Hình trịn tâm π π − ≤ϕ≤ 2 ≤ r ≤ 2R cos ϕ Đổi biến Tọa độ trụ : Khi miền D đổi sang tọa độ cực D : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) I= dxdy z1 (x,y) Các pt bất pt (xác định Ω) không chứa z D b f (x, y)dz D Cách xác định D : gồm yếu tố Pt mặt cong S : z = z(x, y) z = zx (x0 , y0 )(x − x0 ) + zy (x0 , y0 )(y − y0 ) + z0 2.1 z2 (x,y) I= Phương trình tiếp diện M (x0 , y0 , z0 ) Pt mặt cong S : F (x, y, z) = Fx (M )(x − x0 ) + Fy (M )(y − y0 ) + Fz (M )(z − z0 ) = Trong tọa độ Descartes Ω : z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), hcΩ = D ⊂ Oxy Hướng tăng nhanh f qua M hướng ∂f (M ) ∇f (M ) Giá trị lớn |∇f (M )| ∂u 1.3 f (x, y, z)dxdydz Ω Tích phân đường Tính I = f (x, y, z(x, y)) + zx2 + zy2 dxdy D 4.1 Tham số hóa đường cong Là biểu diễn x, y x, y, z theo biến Đường phẳng a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b] hay x = x(y), y ∈ [c, d] b/Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 : x = a + R cos t, y = b + R sin t t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π] x2 y2 c/Ellipse + = : a b x = a cos t, y = b sin t t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π] Tích phân mặt loại I= P dydz + Qdzdx + Rdxdy S 6.1 Cách tính Bước Chọn cách viết pt S, VD z = z(x, y) Bước Xác định hình chiếu Dxy S lên mp tọa độ tương ứng Bước Tính I = ± (P, Q, R)(−zx , −zy , 1)dxdy Dxy Đường không gian (giao tuyến mặt) Lấy + S lấy phía theo hướng Oz Cách : Nếu có pt mặt chứa biến, xem đường phẳng để tham số hóa, dùng pt cịn lại tìm tham số cho 6.2 Cơng thức Gauss-Oxtrogratxki biến thứ Cách : xác định hình chiếu giao tuyến lên mp tọa Yêu cầu : S mặt biên Ω, lấy phía ngồi độ, ts hóa cho hc dùng pt mặt để tìm ts cho biến thứ I= Px + Qy + Ry dxdydz Ω 4.2 Tích phân đường loại B I= P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C A Cách tính xB a/ C : y = y(x) ⇒ I = P (x, y(x))dx+Q(x, y(x))y (x)dx xA C biên mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy nhìn từ phía dương Oz (nhìn từ xuống) Ln chọn phía S I = P dx + Qdy + Rdz C (Ry − Qz )dydz + (Pz − R x)dzdx + (Q x − P y)dxdy S tB P (x(t), y(t))x (t)dt + Q(x(t), y(t))y (t)dt tA Nếu lấy C D Lưu ý: C phải đường kín (hoặc nhiều đường kín) Nếu C khơng kín ghép đường (nên đường dạng x = a hay y = a theo chiều C so với miền D) Tích phân không phụ thuộc đường B1: Kiểm tra Q x = P y B2: Tính I cách đổi đường (đường gấp khúc x = a, y = b từ A đến B) chọn hàm U thỏa dU = P dx + Qdy I = U (B) − U (A) Tích phân mặt loại I= f (x, y, z)ds S Cách tính Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x = x(y, z), y = y(z, x) ) Xác định hình chiếu D Slên mp tọa độ tương ứng (VD chiếu lên mp z = 0) Xác định từ yếu tố : (i) Pt mặt chắn mà khơng chứa z (ii) Hình chiếu giao tuyến S mặt chắn mà pt chứa z (iii) Giao với điều kiện xác định z(x, y) =− : C S = Lưu ý : Công thức Green : C biên ngoài, miền hữu hạn D (nếu có biên C gồm biên biên lấy ) I = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Qx − Py dxdy Công thức Stokes =I= b/ C : x = x(t), y = y(t) ⇒I= 6.3 S D Chuỗi số 7.1 Chuỗi Chuỗi điều hòa nα α > : HT α ≤ : PK Chuỗi cấp số nhân xn |x| < : HT |x| ≥ : P K 7.2 Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát hội tụ Tiêu chuẩn D’Alembert : số hạng tổng qt có chứa tích vơ hạn Tiêu chuẩn Cauchy : số hạng tổng quát có chứa dạng uvnn Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu Không xuất dấu hiệu tc Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng a/Rút gọn số hạng tổng quát trước dùng D’A Cauchy b/Thành phần số hạng tổng quát chứa nα c/Áp dụng cho chuỗi không âm (giữ nguyên dấu thay ∼) d/Nếu áp dụng cho cho |an | kết luận chuỗi so sánh hội tụ 7.3 Phát biểu định lý : chuỗi phân kỳ (an → không Điều kiện cần : an kết luận gì.) TC D’Alembert : Dn = an+1 an   < : HT  > : P K →D:  Dn ≥ : P K   = → Dn < : oKL TC Cauchy : Cn = n |an | → C : KL giống TC D’A TC Leibnitz : (−1)n an , ≤ an ↓ ⇒ : hội tụ (an : PK, an → không ↓ : o KL) an ∼ bn : an bn chất (bn = bn = xn ) Chuỗi lũy thừa 8.1 hay nα an (x − x0 )n Miền hội tụ Bán kính hội tụ an R = lim an+1 hay R = lim n |an | Khoảng hội tụ : (x0 − R, x0 + R) (chuỗi pk bên [x0 − R, x0 + R]) Miền hội tụ : xét thêm hội tụ chuỗi số đầu Khoảng hội tụ (Tại đầu sử dụng C D dùng Cn , Dn ) 8.2 Chuỗi Taylor 8.3 Tính tổng chuỗi ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Ngày thi: 28-05-2018 Giờ thi: CA Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Câu 1: Cho hàm số f (x, y) = 6x2 y − 2mx3 + m2 xy − 6y Tìm tất các giá trị thực m để ∇f (3, −2) vng góc với vector (2, 1) Câu 2: Cho vật thể Ω giới hạn nón z = − x2 + y , mặt phẳng z = 0, miền nằm hai mặt trụ x2 + y = x2 + y = Gọi mặt định hướng S biên Ω, lấy 3xydydz + z(x2 + y )dxdy phía Tính I = S Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn y = x2 , y = (x − 2)2 , x = 2, C biên D, lấy theo chiều kim đồng hồ −xdy a/ Chứng minh diện tích D tính tích phân C b/ Tìm diện tích miền D theo cách tính (x + 2y − z)dS, S phần mặt phẳng z = 2x − 2y bị chắn Câu 4: Tính I = S mặt z = x2 + y − 2y − 3, x = 1, lấy miền x ≥ Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ∞ (−1)n + 4n a/ n2 + 2αn n=1 ∞ (n2 + 1) b/ n=1 (2n + 1)!! 5n n! Trong : (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n + 1) ∞ Câu 6: Tìm miền hội tụ chuỗi n=1 (−1)n (x + 2)2n+1 4n − n4 Sinh viên không sử dụng tài liệu Giảng viên TS Huỳnh Thị Hồng Diễm Phó Chủ nhiệm môn TS.Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu (1.5đ)∇f (3, −2) = (4m2 − 54m + 144, −12m2 − 288) (1đ) ∇(3, −2) ⊥ (2, 1) ⇔ 4m2 + 108m = ⇔ m = hay m = −27 (0.5đ) Câu (2đ) Áp dụng công thức Gauss : 2π (3y+x2 +y )dxdydz = − I=− dϕ Ω (3r sin ϕ+r2 )rdz = − dr −r 62π Đúng cận cho 0.5đ Câu (2đ) a/ Dùng công thức Green −x.2(x − 2)dx = −2dy + −x.2xdx + b/ S(D) = (0.5đ) (1đ+0.5đ) Nếu không dùng đường cho tối đa 0.5đ 2 Câu (1.5đ) Hình chiếu S lên √ Oxy, D : (x − 1) + y ≤ 4, x ≥ I = (x + 2y − 2x + 2y) + + 4dxdy D π/2 dϕ (1 + r cos ϕ + 4r sin ϕ)rdr =3 −π/2 = −6π − 16 = −34, 8496 (0.5đ+0.25đ+0.25đ) Câu (1.5đ)  n 4 (T H1) (−1)n + 4n  n2 , α ≤ n ∼ a/ < an =  n + 2αn  α , α > (T H2) TH1 : PK theo ĐKC TH2 : HT ⇔ α > (0.5đ) b/ D = (0.5đ) nên ht (0.5đ) ∞ (−1)n , X = x2 n − n4 n=1 RX = 4, DX = [0, 4) (0.5đ+0.5đ), Dx = (−4, 0) (0.5đ) Câu (1.5đ) = (x + 2) an X n với an = ( 0.5đ) (0.5đ+1đ+0.5đ) ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Ngày thi: 28-05-2018 Giờ thi: CA Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Câu 1: Cho mặt cong S có phương trình z = x2 y − 5x3 − 2xy + 3y − Tìm pháp vector S M (1, −1, −10) viết phương trình tiếp diện S M Câu 2: Gọi C giao tuyến trụ x + y = mặt phẳng y = 2z, lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Oz (nhìn từ âm sang dương) Tính tích phân (xy − yz )dx + (3x + y )dy − 2z dz I= C (ex sin y − emy sin x) dx + (ex cos y + 2emy cos x) dy Câu 3: Cho I = C a/ Tìm m để I tích phân khơng phụ thuộc đường Oxy b/ Với m tìm câu a/, tính I với C đường cong từ O(0, 0) đến π π A ,− 4 √ x2 + y dxdydz, Ω miền cho 3z ≥ x2 + y , x2 + Câu 4: Tính I = Ω y + z ≤ 4z, x ≥ y Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ∞ an + n2 a/ , a ∈ R n n! + n=1 ∞ (3n + 1) b/ n=1 n2 − n2 + 2n + n2 ∞ Câu 6: Tìm miền hội tụ chuỗi n=1 2n + (x − 5)n 3n + n2 Sinh viên không sử dụng tài liệu Giảng viên TS Huỳnh Thị Hồng Diễm Phó chủ nhiệm mơn TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH HK172 CA Câu (1.5đ)n(1, −1, −10) = (±)(−15, 5, −1) (0.5đ) (Chọn + hay − cho 0.5đ ) Pt tiếp diện z = −15(x − 1) + 5(y + 1) − 10 15(x − 1) − 5(y + 1) + z + 10 = (1đ) Câu (2đ)Gọi S phần mặt phẳng z = (0.5đ) Áp dụng ct Stokes y nằm trụ, lấy phía theo hướng Oz 0dydz + (−2yz)dzdx + (3 − x + z )dxdy I=− (0.5đ) S Dxy : |x| + |y| ≤ 1, (0, −2yz, − x − z )(0, −1/2, 1)dxdy I=− (Có thể qua mặt ) Dxy y2 y +3−x− =− dxdy (0.5đ) Dxy 73 ≈ −6.0833 (0.5đ) 12 Lưu ý : Sinh viên lấy S phía I = =− = − S Dxy (0.5đ) Câu (2đ)a/ m = b/ Cách √ : Chọn đường (0.5đ) Viết xác định (0.5đ) −π/2 e − eπ/4 − ≈ −2.4039(0.5đ) I= Cách :chỉ hàm U (x, y) = ex sin y + e2y cos x (1đ) (khơng cần nêu cách tìm phải có khẳng định kiểm tra dU = P dx + Qdy, không làm việc cho 0.5đ) π/4 Câu (1.5đ) Dùng tọa độ cầu :I = π/3 dϕ −3π/4 cos θ ρ3 sin2 θdρ = π dθ 0 4π √ + 3 ≈ 18.6009 (1đ+0.5đ) Lưu ý : Nếu cận cho 0.5đ Dùng tọa độ trụ phần lớn sai (nếu khơng tách thành tích phân) Câu a/ Tách thành chuỗi dùng tc D’Alembert : hội tụ ∀a (0.5đ) Lưu ý : Để nguyên dùng D’A mà khơng chia trường hợp a để tính lim khơng cho điểm So sánh tử số với an , ∀a mà không biện luận không cho điểm b/C = e−2 ≈ 0.1353 (0.5đ) ⇒ hội tụ (0.5đ) Câu (1.5đ) R = (0.5đ), khoảng hội tụ (2, 8) biên phân kỳ theo điều kiện cần (0.5đ) (0.5đ) Điều chỉnh đáp án CA dxdy Câu : I = 4 − x2 − y Dxy Câu : = 4n−1 + x2n (2n)! n = +∞ (−1)n (2x)2n − 4(2n)! ∞ (−1)n−1 n (x ) n (cos 2x − 1) − ln(1 + x2 ) = +∞ n (−1) = 4π +∞ n (−1) 4n−1 + x2n (2n)! n = +∞ (−1)n (2x)2n + 4(2n)! ∞ (−x2 )n n (cos 2x − 1) − ln(1 + x2 ) Điều chỉnh đáp án CA Câu : I = − =− −1 dx D 1−x2 cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy −2ydxdy − C 2ydy + Câu : S = − ln + 3 dx ∞ (1−x)2 2ydy − −1 (−1)n = − ln + 2n + 3 1dx = 41 11 +2= 15 15 arctan − + 2π = − ln + − 34 Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH HỌC KỲ 162 Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 90 phút Giờ thi: CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Câu 1: Cho f (x, y, z) = earctan x+z y ∂f (2, 1, −1) ∂u u = (1, −1, 1) Tính Câu 2: Cho (L) đường gấp khúc ABC, AB cung y = − x2 , BC cung y = (x − 1)2 tọa độ điểm A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0) C Tính I = A cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy theo đường cong (L) (x + 2z)dxdydz, với Ω miền giới hạn x2 + y + z ≤ Câu 3: Tính tích phân I = Ω 1, z ≥ −1 + x2 + y , y ≥ 2dydz +(y −2x−z)dxdy, với S phần mặt trụ z = 2x−x2 Câu 4: Tính tích phân I = S nằm hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x mặt phẳng z = 0, lấy phía theo hướng trục Oz Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n 1.4.7 (3n (−1) Câu 6: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa + 1) + ln n (2n)!!2n +∞ n2 + 4n2 − n (x − 2)n Câu 7: Tính tổng S chứng minh phân kỳ chuỗi số sau : Sinh viên không sử dụng tài liệu Phó chủ nhiệm mơn TS.Nguyễn Bá Thi ∞ (−1)n n(2n + 3) ĐÁP ÁN π e4 ∂f π Câu 1: ∇f (2, 1, −1) = (1, −1, 1) (0.5đ), ∇(M ), u = e (0.5đ) , (2, 1, −1) = 2 ∂u √ π e (0.5đ) Câu 2: Gọi C đường y = 0, x : → −1, C ∪ L biên âm miền phẳng D cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy = − −2ydxdy (0.5đ) L∪C D I=− −2ydxdy − D −1 =− cos ydx − (2xy + x sin 2y)dy C dx 1−x2 2ydy + dx (1−x)2 2ydy − −1 x.1dx = 11 11 −0= 15 15 Mỗi tính 0.5đ Nếu kép sai chiều C, cho 0.5 Câu 3: I = π dϕ √ dr 1−r2 −1+r r(r cos ϕ + 2z)dz = π cận z : (0.5đ), cận : r, ϕ (0.5đ), đáp số : (0.5đ) Câu 4: Dxy : ≤ x ≤ 2, −2x ≤ y ≤ 3x (2, 0, y − 2x − 2x + x2 )(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ) I=− Dxy =− = (x2 + y − 4)dxdy Dxy 3x dx −2x (x2 =− + y − 4)dy (0.5đ) 80 (0.5đ) 3n + an+1 (0.5đ)= lim = (0.5đ) Kết luận hội tụ : (0.5đ) Nếu n→∞ 4(n + 1) n→∞ an thiếu trị tuyệt đối kết luận đúng, cho 0.5đ Câu 5: D = lim Câu 6: Bán kính hội tụ R = 4, (0.5đ) Hai cận phân kỳ theo Điều kiện cần Cauchy Cn (0.5đ) (−1)n ∞ (−1)n − (0.5đ) 3n 2n + ∞ (−1)n = − ln + 3 2n + 1 2π = − ln + arctan = − ln + − (1đ) 3 34 Câu 7: S = ∞ Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 162 – Môn: GIẢI TÍCH Bộ mơn Tốn Ứng dụng Ngày thi: 03/07/2017 - Ca thi: CA - Thời gian làm bài: 90 phút - ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU Câu 1: Cho hàm f  x, y, z   ln x3  yz x2  y  z u   2, 2,1 Tính df 1,1,0  , f 1,1,0 u Câu 2: Tính thể tích vật thể giới hạn z  0, z   x , y  0,2 y  z  Câu 3: Tính tích phân I   1  z  ds với S phần mặt cầu x   y  z nằm mặt s phẳng y   x 3, x  y Câu 4: Dùng công thức Stokes để tính tích phân I  3   z  xy  dx  32 xyzdy   y  z x  dz với C  x  y  z lấy NGƯỢC chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương z  y  C đường cong  Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số n  n  2  n  2 n 1 n2 n 2       n 1  n 3 n   2.5.8  3n    22n 1  n! n 1   4n 1  2n Câu 6: Tìm miền hội tụ D chuỗi lũy thừa   1   x tính tổng chuỗi x    2n ! n  n 1    n Bộ môn duyệt ĐÁP ÁN: Câu 1: f x  M   2, f y  M   1, f z  M   (1đ), df  M   2dx  dy  3dz (0.5đ) f 1,1,0  (0.5đ) Lưu ý: Phần tính đhr đh cho 0.5đ u 2 z  x2 z 64  dxdz  dy  0.5®    dx     dz  0.5®    0.5®  2 2  z   x2 , z  Câu 2: V   2  1  z  ds   1  z  ds  0.5®  Câu 3: I  S , z 0 S , z 0      x  y Dxy  4r   d  r   4 x  y  dxdy     x  y 2 Dxy  4 x  y     0, 4,1 (0.5đ) 17  4   I    32 yz  xy   3z  z  y  3z 0ds 17 17  S  x2  y  y     n 1   32 y.4 y  xy   2.16 y  dxdy (0.5đ)  (0.5đ)   n2 Câu 5:    n 3 n  n  n  2  n   n 1 n 2 ,lim n un   0.5®    HT (0.25® )   e  n 1  2.5.8  3n   22n 1  n! dxdy dr  0.5®   2  0.5đ Cõu 4: Chn S mp z y phần nằm paraboloid, lấy phía TRÊN, nS   lim un 1   0.5®    HT (0.25® ) un Câu 6: R   D  [1,1](0.5® )  4n 1  1n    1n   1n 1 2n n x    2 x    x2    n  n n 1  2n ! n 1 4. 2n ! n 1     n    1n 1    1 2n   x2  2 x   1    n   2n !  n 1 n    n n (0.5đ)    cos  2 x   1  ln  x (0.5đ)  2   2  1     (0.5đ)  cos    1  ln 1     ln 1   16   16  4        ... 4n−1 + x2n (2n)! n = +∞ (−1)n (2x)2n − 4(2n)! ∞ (−1)n−1 n (x ) n (cos 2x − 1) − ln(1 + x2 ) = +∞ n (−1) = 4π +∞ n (−1) 4n−1 + x2n (2n)! n = +∞ (−1)n (2x)2n + 4(2n)! ∞ (−x2 )n n (cos 2x − 1) −... (1đ) ∇(3, ? ?2) ⊥ (2, 1) ⇔ 4m2 + 108m = ⇔ m = hay m = ? ?27 (0.5đ) Câu (2? ?) Áp dụng công thức Gauss : 2? ? (3y+x2 +y )dxdydz = − I=− dϕ Ω (3r sin ϕ+r2 )rdz = − dr −r 62? ? Đúng cận cho 0.5đ Câu (2? ?) a/ Dùng... ln(1 + x2 ) Điều chỉnh đáp án CA Câu : I = − =− −1 dx D 1−x2 cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy −2ydxdy − C 2ydy + Câu : S = − ln + 3 dx ∞ (1−x )2 2ydy − −1 (−1)n = − ln + 2n + 3 1dx = 41 11 +2= 15