[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP[.]
[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH TÍCH PHÂN LOẠI Nội dung gồm chủ điểm : Tích phân đường loại II Tích phân kép loại II Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU) Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II PHƯƠNG PHÁP ◊ Tích phân kép có dạng : ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 tính miền phẳng D ◊ Các bước thực Chúng ta sẽ xác định cận tích phân ứng với miền D đề Chọn hệ tọa đồ phù hợp để toán giải gọn nhẹ Áp dụng định lý Fubini: tính cận tích phân theo thứ tự 𝑑𝑥 tới 𝑑𝑦 ngược lại BÀI TẬP Bài 1: Chúng ta ôn lại cách xác định cận tích phân Tính tích phân 𝐼 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 miền D giới hạn : 𝑥 = + √𝑦, 𝑥 = − 𝑦, 𝑥 = Lời giải : Đầu tiên xác định cận tích phân : - Với đường cong = + √𝑦 : thông thường ta để phương trình đường có dạng 𝑥 = 𝑓(𝑦) ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng thời biến đổi để phương trình đường để tính tốn tìm cận dễ dàng Bình phương vế ta có : 𝑥 = + √𝑦 { - 𝑥≥1 𝑦 = (𝑥 − 1)2 Chúng ta nháp đường parabola đường thẳng giới hạn miền D : Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN - Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Cận x , y xây dựng từ phương trình đường giới hạn : + Để đơn nhầm lẫn ta chọn điểm D làm điểm thử để tìm cận cận trên, cận VÍ DỤ : chọn điểm A(2,0) + Với parabola 𝑦 = (𝑥 − 1)2 thay x = 2, y = ta có: VT = 0, VP = miền D ứng với 𝑦 ≤ (𝑥 − 1)2 + Với đường thẳng 𝑥 = − 𝑦 thay x = 2, y = ta có: VT = 2, VP = miền D ứng với 𝑥 ≥ − 𝑦 + Và cuối thay x = vào 𝑥 = có miền D ứng với 𝑥 ≤ - Vậy { - 1≤𝑥≤3 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ (𝑥 − 1)2 Do : (𝑥−1)2 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 1−𝑥 3 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥((𝑥 − 1)2 − (1 − 𝑥))𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 = 34/3 1 Bài 2: Chúng ta ôn lại cách chuyển tọa độ cực cho miền D 𝑥2 + 𝑦2 ≤ Tính tích phân 𝐼 = ∬(𝑥 − 𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 miền D nửa hình trịn { 𝑦≥0 Lời giải : Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN - Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Đầu tiên xác định cận tích phân, miền giới hạn đường trịn elip tìm cận khơng tìm phương trình thỏa 𝑥 = 𝑓(𝑦) ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng thời nên tính tốn khơng dễ dàng Đối với miền giới hạn ta chuyển qua hệ tọa độ cực để thuận tiện tính tốn - Đặt : 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 - Với 𝑟 khoảng từ tâm tới điểm nằm hình trịn 𝜑 xác định hình - Sau chuyển tọa độ cực ta suy D miền :{0 ≤ 𝑟 ≤ √2 0≤𝜑≤𝜋 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Thay { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 nhân thêm định thức Jacobian ta có : 𝜋 √2 𝐼=∫ 𝜋 √2 ∫ 𝑟 (cos2 𝜑 − sin2 𝜑) 𝒓 𝑑𝜑𝑑𝑟 = ∫ 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑 0 Bài 3: Tọa độ cực dạng hình trịn có tâm khơng góc tọa độ Tính tích phân kép: 𝐼 = ∬ √𝑥 +𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 miền D giới hạn : 2𝑥 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 6𝑥 { 𝑦≥𝑥 Lời giải : - Ta đặt : Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 - 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Với 2𝑥 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 6𝑥, thay { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 - 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Với 𝑦 ≥ 𝑥, thay { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 , ta có: ta có: { 2𝑐𝑜𝑠𝜑 ≤ 𝑟 (𝑛ê𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜑 ≥ 0) 𝑟 ≤ 6𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≥ 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑚à 𝑐𝑜𝑠𝜑 ≥ 𝑛ê𝑛 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≥1 𝑐𝑜𝑠𝜑 Suy : 𝜋 𝜋 ≤𝜑≤ Do đó: - 𝜋 6𝑐𝑜𝑠𝜑 𝐼=∫ ∫ 𝜋 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜋 𝒓 𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 4𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝜑 = − 2√2 𝜋 𝑟 Bài 4: Tích phân hàm trị tuyệt 𝑥2 + 𝑦2 ≤ Tính tích phân 𝐼 = ∬ |𝑥 − 𝑦 | 𝑑𝑥𝑑𝑦 miền D nửa hình trịn { 𝑦≥0 Lời giải : Tương tự hai ta tìm cận hệ tọa độ cực : {0 ≤ 𝑟 ≤ √2 0≤𝜑≤𝜋 - Để giải hàm lấy tích phân có trị tuyệt phá trị tuyệt xét dấu hàm 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Ta có :𝑓 = 𝑥 − 𝑦 thay { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑓 𝑡ℎà𝑛ℎ ∶ 𝑟 (cos2 𝜑 − sin2 𝜑) = 𝑟 𝑐𝑜𝑠2𝜑 - f ≥ miền D1 : ≤ φ ≤ f ≤ miền D2 : Suy { f ≥ miền D3 : π ≤φ≤ 3π π 3π ≤φ≤π Vậy 𝜋 √2 𝐼=∫ √2 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑 − ∫ 0 √2 =∫ 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝜋 𝜋 3𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑 + ∫ 𝜋 𝑟 𝑑𝑟(∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑 − ∫ 𝜋 √2 3𝜋 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ 3𝜋 𝜋 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑 3𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑑𝜑) = ⋯ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Bài 5: Tọa độ cực elip : 𝑥2 𝑦2 Tính tích phân 𝐼 = ∬ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 elip 𝑎2 + 𝑏2 = Lời giải : - Đối với phương trình elip: Chúng ta đặt khác chút so với đường tròn 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 {𝑎𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑏 Định thức JACOBIAN: J = 𝑎𝑏𝑟 Cận : { 0≤𝑟≤1 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Vậy 2𝜋 𝐼 = ∫ ∫ 𝑏𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝒂𝒃𝒓 𝑑𝜑𝑑𝑟 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II PHƯƠNG PHÁP Tích phân đường loại II có dạng ∫𝐶 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 Với C là đường cong trơn nối điểm Có cách tính Tính trực tiếp : Sử dụng vi phân tính 𝑑𝑥 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑑𝑦 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖 Sử dụng định lý Green đưa tích phân đường II tích phân kép Sử dụng định lý Stock đưa tích phân đường II tích phân mặt I BÀI TẬP Bài 1: Tính trực tiếp Những tính trực tiếp thường áp dụng cho C đường parabola đường thẳng Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 từ 𝐴(0,0) đến 𝐵(1,2) parabola 𝑦 = 2𝑥 Lời giải : Ta có: = 2𝑥 => 𝑑𝑦 = 4𝑥𝑑𝑥 Thay 𝑦 = 2𝑥 𝑣à 𝑑𝑦 = 4𝑥𝑑𝑥 vào I 2 𝐼 = ∫ 4𝑥 − 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = Bài 2: Định lý Green: ĐƯA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG II VỀ TÍCH PHÂN KÉP ! - Nhắc lại định lý Green : Cho miền D miền đóng có biên đường cong đơn giản, khép kín, trơn khúc đó: 𝜕𝑄 𝜕𝑃 ∬ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ± ∬ ( − ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐶 𝐷 - Dấu “+” C biên dương D “-“ C biên âm D Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN - Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Cách xác định chiều biên : Đi theo chiều lấy tích phân miền D nằm bên TRÁI C biên DƯƠNG Ví dụ C biên miền D hình trịn 𝑥 + 𝑦 = lấy ngược chiều kim đồng hồ Chúng ta thấy ngược chiều kim đồng hồ phần phía đường biên nằm bên TRÁI nên biên dương Tính tích phân 𝐼 = ∫(𝑥𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑦 với C biên miền 𝑥 + 𝑦 ≤ 4𝑥 D: { 0≤𝑦 𝑥+𝑦−2≤0 lấy theo chiều kim đồng hồ Xác định chiều biên : Ta có miền D : Miền D nằm bên phải theo chiều kim đồng hồ Nên C theo chiều âm 𝑄𝑥 = 2𝑥 + 2𝑦, 𝑃𝑦 = 𝑥 − 2𝑦 Suy : 𝐼 = − ∬(2𝑥 + 2𝑦) − (𝑥 − 2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ −𝑥 − 4𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Đặt { 0≤𝑟≤2 Ta có D : {3𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 𝑥 − = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Do 𝜋 𝐼 = ∫ ∫ (−2 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 − 4𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝜑𝑑𝑟 ≈ −4,38 3𝜋 Chú ý: Nếu C khơng đường cong kín ta sử dụng định lý Green cách “mượn” thêm đường 𝐶1 hợp với C để tạo thành đường cong kín sau trừ 𝐶1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Tương tự đề C lấy theo đường sau từ điểm A(0,0) đến B(2,0) Ta “mượn” thêm đường 𝐶1 : 𝑦 = từ B(2,0) đến A(0,0) Suy : 𝐼=∫ (𝑥𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑦 𝐶𝑈𝐶1 − ∫ (𝑥𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑦 𝐶1 𝐼1 = ∫𝐶𝑈𝐶 (𝑥𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑦 = −4,38 tính tương tự 𝐼2 = ∫𝐶 (𝑥𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑦 tính trực tiếp : Ta có : 𝐶1 : 𝑦 = nên 𝑑𝑦 = Thay 𝑑𝑦 = 𝑣à 𝑦 = suy 𝐼2 = Vậy 𝐼 = 𝐼1 = −4,38 Bài 3: Định lý Stock: ĐƯA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG II VỀ TÍCH PHÂN MẶT I Nhắc lại định lý Stock : Với S mặt cong trơn có định hướng biên đường cong khép kín C, đạo hàm riêng P,Q,R liên tục S đó: 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝐶 =∬ ( 𝑆 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 − )𝑑𝑦𝑑𝑧 + ( − ) 𝑑𝑧𝑑𝑥 + ( − ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Vector pháp đơn vị 𝑛 xác định theo quy tắc bàn tay phải 𝑛 Định lý Stock thường sử dụng C giao tuyến mặt cong hay mặt phẳng không gian Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Chiều C Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Tính tích phân : 𝐼 = ∫(𝑧 + 2𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + 8𝑥𝑦𝑧𝑑𝑦 + (𝑦 + 𝑧 𝑥)𝑑𝑧 𝑣ớ𝑖 𝐶 đường cong giao tuyến { 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧 𝑧 = 2𝑦 lấy NGƯỢC chiều kim đồng hồ Theo quy tắc bàn tay phải ta có 𝑛 hướng lên Chọn mặt S: 𝑧 = 2𝑦 nằm paraboloid eliptic 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 có 𝑛 = (8𝑦𝑧 − 4𝑥𝑦) 𝐼=∬ [ 𝑆 =∬ √5 + (3𝑧 − 𝑧 ) −2 √5 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ √5 (0, −2,1) + (3𝑦 − 3𝑧 ) 0]𝑑𝑆 [(8𝑦 2𝑦 − 4𝑥𝑦) − 2(2.4𝑦 )]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑥 +𝑦 ≤2𝑦 −4𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑥 +𝑦 ≤2𝑦 Trang 10