GV Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook https //www facebook com/feo pro 1 CHƯƠNG V – TỨ GIÁC CHỦ ĐỀ 3 – ĐƯỜNG TRUNG BÌNH A LÝ THUYẾT 1 Đường trung bình của tam giác 1 1 Định nghĩa Đường[.]
GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro CHƯƠNG V – TỨ GIÁC CHỦ ĐỀ – ĐƯỜNG TRUNG BÌNH A LÝ THUYẾT Đường trung bình tam giác: 1.1 Định nghĩa Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đường thẳng qua trung điểm hai cạnh tam giác A Đường trung bình ABC a N M B C Đường thẳng 𝒂 đường trung bình tam giác ABC 𝒂 qua trung điểm M, N hai cạnh bên Ví dụ 1: Hãy vẽ đường trung bình tam giác sau E M F G N P GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro Hướng dẫn giải: E M a I J G F L b K P N Định lý: Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba ∆ABC Giả thiết ∆ABC M ∈ AB, MA = MB M ∈ d // BC Giả thiết M ∈ d // BC Hoặc d cắt AC N d cắt AC N Kết luận M trung điểm AB N ∈ AC, NA = NC Kết luận CHỨNG MINH: Dựng đường thẳng qua N song song với AB, cắt BC P ̂ = P̂1 (so le trong) (1) & A ̂=N ̂1 (so le trong) (2) ⇒B ̂=M ̂1 (so le trong) (3) MN // BC ⇒ B ̂1 Từ (1)(3) suy P̂1 = M Hình thang MNPB có MB // NP ⇒ MB = NP N trung điểm AC GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro A d N M 1 B C Mặt khác M trung điểm AB ⇒ MB = MA Suy MA = NP Xét ∆AMN & ∆NPC có: ̂1 ; A ̂=N ̂1 ; MA = NP P̂1 = M Suy ∆AMN = ∆NPC (g.c.g) ⇒ NA = NC ⇒ N trung điểm AC Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ nửa cạnh ∆ABC Giả thiết ∆ABC M ∈ AB, MA = MB Hoặc Giả thiết N trung điểm AC N ∈ AC, NA = NC Kết luận MN // BC MN = M trung điểm AB Kết luận BC MN // BC MN = BC GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro CHỨNG MINH: CÁCH 1: A N M D B C Dựng đường thẳng qua C song song với AB, cắt MN D Dễ thấy ∆ANM = ∆CND ⇒ MB = AM = CD Hình thang CDMB có MB = CD ⇒ MD // BC MD = BC Dựng đường thẳng qua N song song với AB, cắt BC P Hình thang MNPB có MN // BP ⇒ MN = BP (1) Tương tự ta có ND = PC (2) Mà ∆ANM = ∆CND ⇒ MN = ND (3) Từ (1)(2)(3) suy BP = PC = BC GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro CÁCH 2: A M N D B C Dựng đường thẳng qua C song song với AB, cắt MN D Dễ thấy ∆ANM = ∆CND ⇒ MB = AM = CD & MN = ND Hình thang CDMB có MB = CD ⇒ MD // BC MD = BC MN = ND } ⇒ MN = BC MD = BC GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro Đường trung bình hình thang: 2.1 Định nghĩa Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đường thẳng qua trung điểm hai cạnh bên hình thang Đường trung bình hình thang ABCD b A B N M C D Đường thẳng 𝒃 đường trung bình hình thang ABCD 𝒃 qua trung điểm M, N hai cạnh bên Ví dụ 2: Hãy vẽ đường trung bình hình thang sau J I L E F KH G E F B C M A D Q N P Hướng dẫn giải: I V L J T R S KH G B C M U ZW A D Q N Y P GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro 2.2 Định lý: Định lý 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai cạnh đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Hình thang ABCD Giả thiết Hình thang ABCD M ∈ AD, MA = MD M ∈ d // CD Giả thiết M ∈ d // CD Hoặc d cắt BC N d cắt BC N Kết luận M trung điểm AD N ∈ BC, NB = NC Kết luận N trung điểm BC Ví dụ 1: a) Vẽ tam giác dựng đường trung bình tam giác b) Vẽ hình thang dựng đường trung bình tam giác Hướng dẫn giải: a) Vẽ tam giác dựng đường trung b) Vẽ hình thang dựng đường trung bình bình tam giác tam giác A A M M N N D B B C C GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro B CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG DẠNG – TÍNH GĨC VÀ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải: • Vẽ thêm đường trung bình tam giác hình thang • Áp dụng định lý học Bài Tìm 𝑥, 𝑦 hình sau A 24cm D A 10cm x E D 32cm H B 10cm 8cm C B x C E Hình Hình M A G C y I E 8cm B x 16cm D F 6cm x y G A P K H Hình AB // CD // EF // GH Hình H GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro Hướng dẫn giải: Hình A 10cm x D E 10cm 8cm C B ̂1 = B ̂1 hai góc nằm vị trí đồng vị nên DE // BC Ta có D Ta có AE = EC } nên D trung điểm AB hay BD = AD = 8cm DE // BC Vậy 𝑥 = 8cm Hình D H 24cm A 32cm B x C E AD ⊥ DE Ta có BH ⊥ DE} nên AD // BH // CE CE ⊥ DE Suy ADEC hình thang vng Hình thang ADEC có AB = BC } nên H trung điểm DE hay HD = HE AD // BH // CE GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Facebook: https://www.facebook.com/feo.pro HD = HE } nên BH đường trung bình hình thang ADEC AB = BC Vì Suy BH = AD + EC 24 + EC 32 = EC = 40cm 2 Vậy 𝑥 = 40cm Hình M G y I 6cm x A P K H IP ⊥ AH Ta có GK ⊥ AH } nên IP // GK // MH MH ⊥ AH Tam giác AGK có Vì AI = IG } nên P trung điểm AK hay AP = PK IP // GK AI = IG } nên PK đường trung bình ∆AGK AP = PK Suy PI = x = GK = = 3cm 2 Tương tự ta GK đường trung bình hình thang IPHM Suy GK = IP + HM + HM 6= HM = 9cm 2 Vậy 𝑥 = 3cm, 𝑦 = 9cm 10