MỘT VÀI THỂ HIỆN CỦA THẾ GIỚI QUAN VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG VIỆC XEM XÉT TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU, GIẢNG DẠY TOÁN HỌC

MỘT VÀI THỂ HIỆN CỦA THẾ GIỚI QUAN VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG VIỆC XEM XÉT TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU, GIẢNG DẠY TOÁN HỌC

MỘT VÀI THỂ HIỆN CỦA THẾ GIỚI QUAN VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG VIỆC XEM XÉT TOÁN HỌC

VÀ VẬN DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU, GIẢNG DẠY TOÁN HỌC

ThS Nguyễn Thành Trung

I Mở đầu.

Mối quan hệ biện chứng giữa toán học và triết học làm bộc lộ vai trò định hướng to lớn của triết học đối với toán học Là người nghiên cứu toán học, hơn hết, phải biết vận dụng triết học vào công tác chuyên môn, định hướng cho việc nghiên cứu, giảng dạy toán học Do thế giới quan và phương pháp luận của chủ nghĩa duy vật biện chứng là khoa hoc, đúng đắn nhất, nên phần này sẽ sử dụng

nó để kiến giải sự phát triển của toán học qua đó rút ra ý nghĩa, phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy toán học

Do phần này chủ yếu viết theo hướng vận dụng nên những vấn đề nghiên

về lí thuyết cũng như những vấn đề mang tính chuyên môn cao sẽ không được trình bày sâu Chỉ đi sơ lượt để thấy được hướng vận dụng như thế nào mà thôi

Do đó, những ví dụ chọn minh hoạ là những ví dụ cơ bản, phổ thông, nhưng trực quan, dễ hiểu không đòi hỏi phải có kiến thức sâu về toán học

II Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học.

II.1 Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển

của toán học.

Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mac và Ăng-ghen đã chứng minh được khoa học, trong đó có toán học, không những phát sinh mà luôn phát triển trên cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống, hoạt động sản xuất, và những vấn đề của các khoa học khác

Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh các tập hợp người lao động và công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảy sinh số đếm, nhu

cầu đo đạt ruộng đất ở sông Nil sau mỗi trận lụt làm hình học hình thành và phát triển… Nhu cầu nghiên cứu vận động, trước hết là vận động cơ học, làm nảy sinh phép tính vi phân rồi tích phân

Toám lại, toán học xuất hiện và phát triển không phải do nhu cầu nào khác,

mà là nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra và đòi hỏi các công cụ từ toán học

II.2 Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và hoàn thiện toán học.

Đơn cử là việc ra đời số phức Ví dụ khi giải phương trình bậc ba (x-1) (x2+x+1) = 0 thì ta có ngay nghiệm là 1 Và phương trình bậc hai có hệ số âm thì

vô nghiệm Tới đây thì ta chưa thấy mâu thuẫn gì Nhưng ta hãy xét phương trình sau:

x3 - x = 0 (*)

Rõ ràng phương trình trên có 3 nghiệm là: -1; 0; 1 Nhưng khi giải bằng phương pháp Cardino ta thấy:

Đặt x = y + z với điều kiện y.z=1/3 thì (*) trở thành

y3 + z3 = 0

Đặt Y = y3 và Z = z3 thì ta có:

Y+Z=0 và Y.Z= 1/27

Do đó Y, Z là nghiệm phương trình X2+1/27 =0

Rõ ràng phương trình cuối này vô nghiệm nên phương trình (*) là vô nghiệm (mâu thuẫn)

Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai của số

âm và làm nảy sinh số phức

II.3 Mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình thành làm cho toán học phát triển không ngừng.

Theo lịch sử toán học, do nhu cầu chia vật làm xuất hiện số hữu tỷ, đến đây thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng mâu thuẫn mới lại xuất hiện làm nảy sinh số phức…

Tóm lại, mâu thuẫn luôn xuất hiện và là động lực thúc đẩy toán học Khi mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là toán học đã làm hết công việc của mình, mà vấn đề mới luôn đặt ra, mâu thuẫn mới luôn xuất hiện, đòi hỏi và thúc đẩy toán học ngày càng phát triển, ngày càng hoàn thiện và mở rộng không ngừng

II.4 Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán học.

II.4.1 Trong công tác nghiên cứu toán học.

Phát hiện và giải quyết mâu thuẫn Nghiên cứu toán học không có nghĩa là

tự bản thân nhà toán học nghĩ ra điều gí đó mới lạ, mà vấn đề nghiên cứu phải bắt nguồn từ mâu thuẫn- đó là những bài toán học mà thực tiễn cuộc sống đang đặc ra cũng như những vấn đề mà nội bộ toán học đang bế tắc

Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ toán học cần gì thì ta sẽ giải quyết điều đó Cần có cái nhìn biện chứng, tự thân phủ định

và tạo mâu thuẫn trong toán học

Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu Khi bài

toán đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không cho phép nhà toán học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu Khi đó có thể trả lời những câu hỏi sau :

1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?

2) Có thể mở rộng hay không?

3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có những hướng phát triển nào khác?

4) Thu hẹp kết quả sẽ như thế nào? v.v…

II.4.2 Trong công tác giảng dạy toán học.

Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề cấp thiết thật sự được nhiều người quan tâm Trong giảng dạy giáo viên cần tạo ra được mâu thuẫn đó là mâu thuẫn trong nội bộ nhận thức của học sinh

Việc học tập của học sinh là quá trình tái phát minh (reinvention) lại kiến thức đã có, dưới sự dẫn dắt của người thầy, do đó giáo viên cần tạo mâu thuẫn qua đó tạo động cơ giúp cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức và có nhu

cầu tự tìm kiếm kiến thức Ở đây xin đưa ra phương pháp dạy học giải quyết

vấn đề qua các bước sau:

Bước 1:Tạo tình huống gợi vấn đề (Tạo mâu thuẫn trong nhận thức)

Bước 2:Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề

Bước 3: Giải quyết vấn đề

Bước 4: Thể thức hoá vấn đề và kết luận

Xin nêu ra một số phương pháp tạo vấn đề (tạo mâu thuẫn trong giảng

dạy)

1) Quan sát thí nghiệm và hình thành dự đoán

2) Lật ngược vấn đề

Ví dụ, sau khi học định lý “nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0” Giáo viên lật ngược vấn đề : “nếu hàm số liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0 không?”

3) Quy nạp tuong tự

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có

Trong tứ diện ABCD vuông tại A , đường cao AH ( tứ diện tương tự tam giác là có đỉnh ít nhất) ta có: hay không?

4) Khái quát hoá

5) Phát hiện sai lầm và nguyên nhân sai lầm

AH AB  AC

AH AB  AC  AD

6) Ví dụ và phản ví dụ v.v…

III Cái chung - cái riêng; Phủ định của phủ định- cơ sở các phát minh toán học.

III.1 Các phát minh toán học là sự mở rộng cái riêng và là sự phủ

định biện chứng.

III.1.1 Các hình thứ mở rộng.

Mở rộng hoàn toàn Ví dụ việc mở rộng tập hợp số là một mở rộng hoàn

toàn

Mở rộng là một thu hẹp tương đối.

Ví dụ trong không gian Topo (X,T), người ta đưa vào thêm khái niệm khoảng cách, metric, ta được không gian Metric (X,d); đưa vào khái niệm chuẩn, được không gian định chuẩn (X, . )

Phát minh toán học còn là sự phủ định biện chứng Chẳng hạn, sự ra đời

hình học Lobasepxki- Bolya là sự phủ định tiên đề V của hình học Euclide, giữ lại các tiên đề khác

III.1.2 Ý nghĩa trong nghiên cứu toán học.

Khi nhìn nhận ba góc độ mở rộng toán học nói trên có ý nghĩa vô cùng to lớn trong công tác nghiên cứu toán học Xin nêu lên một vài ví dụ:

Đối với mở rộng hoàn toàn Những vấn đề đúng với cái riêng thì cũng đúng

với cái chung vừa được mở rộng nên không cần nghiên cứu lại Chỉ nghiên cứu các vấn đề có ở cái chung

Ví dụ, những tính chất có trong tập số thực R cũng có trong tập số phức do vậy cần nghiên cứu những tính chất trong tập số phức mà tập số thực không

có-đó là những vấn đề liên quan đến căn bậc chẵn của số ảo…

Đối với sự thu hẹp tương đối Cần nghiên cứu những vấn đề trên cái riêng

vừa được thu hẹp Ví dụ, trên không gian metric (X,d), những vấn đề đúng trong không gian Topo thì đúng trong Metri, do đó cần nghiên cứu những cái liên quan đến metric d

Đối với phủ định biện chứng, cần nghiên cứu những vấn đề liên quan đến

cái mới vừa được phủ định

Ví dụ, hình học Lobasepxki, chỉ nghiên cứu những vấn đề liên quan tiên đề V’

III.2 Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau.

Ví dụ ta có thể xem hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nếu nhìn hình thoi dưới góc độ có hai cặp cạnh đối song song, ta cũng có thể xem nó

là tứ giác có hai đường chéo vuông góc nếu nhìn nó dưới góc độ đường chéo.v.v…

Trong nghiên cứu và giảng dạy cần nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau Đây là yêu cầu rất quan trọng, qua đó rèn luyện óc sáng tạo vì mỗi góc độ

sẽ mở ra một hướng nghiên cứu khác nhau

III.3 Một cái chung đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, bằng

những cách khác nhau sẽ cho những cái riêng khác nhau.

Ví dụ, tứ giác đem đặc biệt hoá các tính chất khác nhau của cạnh và góc được hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật v.v…Cho một cạnh triệt tiêu hoặc một góc dần đến 1800 được tam giác v.v…

III.4 Quy trình một mở rộng toán học.

Qua nghiên cứu trên, xin mạnh dạn đề xuất quy trình của một mở rộng toán học gồm chín bước sau:

1) Phân tích cái riêng cần mở rộng ra thành các bộ phận

2) Nhìn các bộ phận theo nhiều góc độ khác nhau

HH Euclide (Tiên đề V)

HH Lobasepx ki

(Tiên đề V’)

HH tuyệt đối (1,2, 3,4)

3) Lập các tổ hợp khác nhau về cách nhìn từng bộ phận, mỗi tổ hợp cho ta một cách nhìn về cái riêng mà ta muốn mở rộng

4) Mỗi cách nhìn từng bộ phận cho ta một hướng mở rộng Từ đó đề xuất các giả thuyết

5) Bằng trực giác loại bỏ những giả thuyết sai (nếu có)

6) Đem ứng dụng những giả thuyết chưa loại bỏ vào một số trường hợp đặc biệt, nếu sai thì loại bỏ tiếp

7) Điều chỉnh, bổ sung giả thuyết, nếu cần có thể áp dụng lại bước 6

8) Chứng minh các giả thuyết ở bước 7, nếu đúng thì có một mở rộng, nếu chưa chứng minh được thì tiếp tục nghiên cứu (quay lại 7)

9) Nếu sau bước 7, tất cả giả thuyết đều bị bát bỏ thì không nên nản lòng, quay lại 4 (thậm chí 1) để tìm sai sót và tiếp tục tiến trình

Ví dụ mở rộng định lý “ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy”.

Bước 1: Phân tích cái riêng thành các bộ phận.

1) Một tam giác 2) Ba trung tuyến 3) Quan hệ đồng quy của ba trung tuyến

Bước 2: Nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau.

1.Nhìn tam giác:

- Một tứ giác có một cạnh triệt tiêu

- Một tứ giác có một góc 1800

- Một lục giác có ba cạnh khác không xen kẻ với ba cạnh bằng không

- Cái tương tự tứ diện trong không gian (cạnh tam giác là mặt tứ diện)

- Cái tương tự tam diện trong không gian (cạnh tam giác là mặt tam diện, đỉnh tam giác là cạnh tam diện)

2 Nhìn trung tuyến Trung tuyến là đường thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện do đó khái niệm này ẩn ba khái niệm:

a) Đỉnh tam giác :

- Trung điểm của một cạnh bằng không

- Đỉnh tương tự cạnh tam diện

b) Trung điểm một cạnh:

- Trọng tâm của cạnh; Trọng tâm hai đầu mút của cạnh; Tâm vòng tròn không chiều trong không gian một chiều

- Là cái tương tự phân giác trong của một góc (mặt tam diện)

c) Đường thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện: tương tự với mặt phẳng nối một cạnh của tam diện với phân giác trong của mặt đối diện

3) Nhìn sự đồng quy

Định nghĩa 1: Ba đường thẳng AD, BE, CF gọi là “cắt nhau/S” nếu diện tích tam giác MNL là S

Do vậy, đồng quy là “cắt nhau/0”

Định nghĩa 2: Gọi k1 DB; k 2 EC; k 3 FA

   , ta có “ba đường thẳng AD,

BE, CF gọi là “k-cắt nhau” nếu k1.k2.k3 = k

Do vậy, đồng quy là “1- cắt nhau”

Bước 3: Phát biểu các dạng khác nhau của đinh lý theo các cách nhìn ở

1,2 ,3

1) Trong một lục giác có ba cạnh bằng không xen kẻ với ba cạnh khác không thì các đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối đồng quy

2) Cho ba điểm D,E, F theo thứ tự chia cạnh BC,CA,AB theo tỉ lệ -1 thì đường thẳng AD,BE,CF sẽ “1-cắt nhau”

E

D

A

3) Trong một tam giác ba đường thẳng nối ba đỉnh theo thứ tự với ba trọng tâm của các cạnh đối diện đồng quy

4) Trong một tam giác, ba đường thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm cạnh còn lại đồng quy

5) Trong mộ tam giác, ba đường thẳng nối mỗi đỉnh tam giác với tâm đường tròn không chiều đối diện đồng quy

Bước 4: Những giả thuyết mở rộng định lý.

1) Trong một lục giác,ba đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện đồng quy

2) Nếu ba điểm D,E,F theo thứ tự chia các cạnh BC,CA,AB theo tỉ lệ k1,k2,k3 thì ba đường thẳng AD,BE,CF “ -k1k2k3 cắt nhau”

3) Trong tứ diện, các đường thẳng nối bốn đỉnh theo thứ tự với trọng tâm của bốn mặt đối diện đồng quy

4) Trong tứ diện, các đường thẳng nối bốn đỉnh theo thứ tự với trọng tâm của chu vi bốn mặt đồng quy

5) Trong tứ diện, các đường thẳng nối bốn đỉnh với tâm vòng tròn ngoại tiếp bốn mặt tứ diện đồng quy

Sau đó, dùng kiến thức toán học để là những bước còn lại (xin không nêu ở đây)

III.5.Vấn đề mở rộng toán học trong giảng dạy.

Trong giảng dạy, giáo viên cần tập cho học sinh làm quen với mở rộng toán học, qua đó giúp học sinh làm quen với những mở rộng trong toán nói riêng và trong khoa học nói chung

Ví dụ, xét về cân bằng lực, thì trung điểm đoạn thẳng tương tự trọng tâm tam giác và tương tự trọng tâm tứ diện Do đó có mở rộng sau:

Đoạn thẳng AB Tam giác ABC Tứ diện ABCD

(2 điểm) (3 điểm) (4 điểm)

2 2

A M

M

x x

x

y y

y















B

3 3

G

G

x x x x

y y y y











4 4 4

G

G

G

x x x x x

y

z z z z z

























IV Nội Dung – Hình Thức.

IV.1 Cùng một nội dung có nhiều hình thức khác nhau.

Cùng một nội dung là hình học Euclide có nhiều hình thức thể hiện là hình học tổng hợp, hình học giải tích…

IV.2 Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại

nội dung.

Nội dung quyết định hình thức không có nghĩa là có thể tìm hình thức để diễn tả nội dung một cách tuỳ tiện, hình thức phải chịu sự chi phối của nội dung Đến lượt mình, hình thức tác động trở lại nội dung Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung những khó khăn và thuận lợi riêng

Chẳng hạn, khi nghiên cứu hình học Euclide bằng phương pháp tổng hợp

có thuận lợi là huy động được trí tưởng tượng không gian, và khó khăn là vẽ nhiều hình, phức tạp và khó đi vào vô cùng bé, vô cùng lớn…

IV.3 Vận dụng vào nghiên cứu và giảng dạy toán học.

Dựa vào mối liên hệ giữa nội dung và hình thức, chùng ta có thể áp dụng trong xây dựng hệ thống bài tập

Dưới một nội dung (bài tập), giáo viên có thể tìm ra nhiều hình thức khác nhau để diễn tả nội dung đó Sau đó, căn cứ vào tình hình của lớp mà lựa chọn hình thức cho phù hợp

Ví dụ, từ nội dung : sin2x = 2.sinx.cosx (1) giáo viên có thể yêu cầu học

sinh làm những chứnh minh sau:

1) sin4x = 4.sinx.cosx.cos2x (nhân hai vế cho 2cos2x)

sin8x = 8.sinx.cosx.cos2x.cos4x (nhân hai vế cho 2cos4x)

v.v…

sin2nx = 2n.sinx.cosx.cos2x.cos4x… cos2n-1x (2)

2) Tính giá trị biểu thức :

A = sin10.sin20.sin40 (nhân 2 vế cho 2cos10 rồi áp dụng (1))

3) Giải phương trình:

sinx.cosx.cos2x.cos4x… cos2n-1x = 1/2n (áp dụng (2))

v.v…

V Thực tiễn và vấn đề chính xác hoá toán học.

V.1 Thực tiễn là tiêu chí chính xác hoá toán học.

Con đường nhận thức theo triết học Mác- Lênin là “Từ trực quan sinh động

đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng trở về với thực tiễn” Thực tiễn Là

khâu cuối cùng và là tiêu chí khách quan nhất để kiẻm chứng mọi tri thức khoa học, trong đó có toán học Ở đây có nhiều vấn đề cần xem xét:

Nếu lý thuyết toán học ra đơi phù hợp với nội bộ toán học (đã được thực

tiễn kiểm nghệm là đúng) hay phù hợp với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với các khoa học khác, thì không ngần ngạy gì, có thể khẳng định ngay là lý thuyết đó đúng

Nhưng vấn đề đặt ra là lý thuyết ấy ra đời nội bộ toán học và các khoa học

chưa thể trả lời ngay nó đúng hay sai thì sao? Ở đây ta cần xem xét lại một tí,

đừng vội chủ quan mà đánh giá, hãy nhớ lại hình học Lobasepxki, khi mới ra đời có ai hiểu được? Vậy thì tiêu chuẩn đánh giá là gì? Xin mạnh dạn khẳng

định rằng, “một lý thuyết toán học dù có kỳ hoặc đến đâu chăng nữa đều có

quyền tồn tại, miễn là nó được suy ra một cách chặt chẽ, phù hợp với logic.

Ta biết rằng logic chính là từ thực tiễn mà ra, nên phù hợp với logic sẽ hứa hẹn một sự phù hợp với thực tiễn nào đó nhưng mà hiện nay chưa ai biết và rồi tương lai sẽ có người biết”

Một lý thuyết thật sự khoa học thì phải khách quan, có như vậy mới chính xác Nếu có hai hay nhiều lý thuyết nói về cùng một vấn đề thì lý thuyết nào diễn tả đúng đắn hơn thì chính xác hơn

V.2 Vận dụng vào thực tiễn nghiên cứu và giảng dạy.

V.2.1 Trong nghiên cứu.