Các chủ đề dạy thêm môn toán lớp 8 (12)

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ƠN TẬP HÌNH CHƯƠNG I.Lí Thuyết Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng tam giác Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc Đối với hai tam giác vng, ngồi trường hợp nói cịn có trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vng II Bài tập Bài 1: Cho tam giác chiếu điểm cân , đường cao Chứng minh , trung điểm Gọi hình Hướng Dẫn: có (cùng phụ ) nên (g.g) Ta lại có: nên Kết hợp với suy Cùng cộng với Bài 2: Cho tam giác cho (c.g.c) được: , đường trung tuyến Chứng minh Lấy điểm đoạn Hướng Dẫn: có góc chung, nên (g.g) Kết hợp với góc chung suy (c.g.c) Bài 3: Cho tam giác , giao điểm a) Kẻ , đường phân giác song song với Gọi giao điểm Chứng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) Chứng minh Hướng Dẫn: a) Ta có: nên góc bù với chúng Sẽ chứng minh Đặt Do nên (1) (2) Nhân (1) với (2) (3) Tương tự (4) Từ (3) (4) suy Vậy Do (c.g.c) b) Suy từ câu a) Lưu ý: Trong ví dụ trên, xét tỉ số gian , ta viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung , có nhiều tỉ số tỉ số trung gian từ định lí Ta-lét tính chất đường phân giác tam giác Cách viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung gian, với cách kẻ thêm đường thẳng song song cách thường dung để tạo cặp đoạn thẳng tỉ lệ Bài 4: Cho tam giác có cm, cm, Tính độ dài Hướng Dẫn: Trên Tam giác Ta có lấy điểm cho cân nên cm (g.g) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Đặt Do nên Do đó, Bài 5: Cho tam giác nhọn a)Đường cao (cm) , trực tâm có cm, cm, cm Tính ; b) Diện tích Hướng Dẫn: a) vng có (cùng phụ ) nên (g.g) Đặt Rút gọn Do nên Suy cm (cm) b) (cm) (cm2) Bài 6: Cho tam giác , đường trung tuyến Chứng minh nên (1) Điểm cạnh cho Hướng Dẫn: Do Theo bổ đề hai tam giác có góc (Ví dụ 14) ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com (2) (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: Lưu ý: Do nên đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến phân giác góc Ta gọi đườngđối trung qua qua đường Dạng 2: Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng Nếu có Bài 1: Cho tam giác nhọn tự hình chiếu , , đường cao a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ b) Gọi giao điểm đường cao cắt đến Chứng minh Gọi theo thứ vng góc với Hướng Dẫn: a) Kẻ ) nên (g.g) có (cùng phụ (1) Tương tự: (2) Ta lại có (g.g) (3) Từ (1), (2) (3) suy b) Kẻ (4) (g.g) có hai đường cao tương ứng nên Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com (5) Từ (4) (5) suy , chứng tỏ , mà nên Bài 2: Cho tam giác , đường trung tuyến cắt Gọi điểm cạnh Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt theo thứ tự Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt theo thứ tự Tìm vị trí điểm để: a) Tứ giác b) Tam giác có diện tích lớn nhất; có diện tích lớn Hướng Dẫn: a) Đặt Các tam giác đồng dạng nên lớn nhỏ Do nên lớn b) trung điểm Ta có nên , tương tự Suy lớn lớn (theo câu a) trung điểm III.Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác có cm, cm, Tính Hướng Dẫn: Trên tia đối tia BA lấy D cho BD = BC Ta có ∆ABC ∆ACD (g.g) Đặt AB = x Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Đáp số: AB = 9cm Bài 2: Cho tam giác có theo thứ tự di chuyển cạnh a) Tính theo , trung điểm cho , đặt Các điểm b) Chứng minh tia phân giác góc c) Chứng minh khoảng cách từ đến khồn đổi Hướng Dẫn: a) Ta có (cùng cộng với ) ∆BIM ∆CNI (g.g) b) Hai tam giác đồng dạng suy ∆MIN ∆ICN (c.g.c) c) Từ câu b) suy khoảng cách từ I đến MN khoảng cách từ I đến AC không đổi Bài 3: Cho tam giác vuông có cho Tia phân giác góc , đường phân giác Trên cạnh lấy điểm cắt Chứng minh song song với Hướng Dẫn: Kẻ IH BC Ta có ∆HIC ∆ABC (g.g) (1) Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC Ta có BI đường phân giác ∆EBC nên (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Từ (1) (2) suy DE // BI (định lí Ta-lét đảo) Bài 4: Cho tam giác nhọn tích tam giác , trực tâm có cm, cm, cm Tính diện Hướng Dẫn: Giải tương tự Ví dụ 37 Gọi AD đường cao ∆ABC Đặt Đưa phương trình: HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm Bài 5: Tam giác tam giác gì, có điểm thành hai tam giác đồng dạng thuộc cạnh thỏa mãn chia tam giác Hướng Dẫn: ∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh A, D, C (h.230a) mà nên , suy Có hai trường hợp: + Nếu ∆ABC cân A + Nếu ∆ABC vng A Bài 6: Cho tam giác vuông , đường cao , điểm đối xứng với thẳng qua vng góc với cắt Chứng minh qua Đường Hướng Dẫn: Ta có (cùng phụ ), (cùng phụ ) nên ∆ICA ∆HAD (g.g) Kẻ trung tuyến IK ∆ICA Do IK HB hai trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng nên Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ∆AHC có AK = KC KI // AH nên HI // IC Bài 7: Cho hình thoi , Chứng minh rằng: a) trung điểm Trên đoạn lấy điểm cho ; b) Hướng Dẫn: a) Sẽ chứng minh Ta có (1) Gọi O giao điểm AC BD Do (vì AB // OM) nên ∆ABE ∆MAO (g.g) Từ (1) (2) suy nên ∆DAE b) ∆DAE (2) , lại có ∆AMB (c.g.c) ∆AMB Suy hai góc bù với chúng Bài 8: Cho tam giác , điểm cho Đường thẳng qua điểm Chứng minh cạnh cho song song với cắt , điểm đoạn Gọi giao Hướng Dẫn: EI // BC (1) (do EI // BC) (do ) (do ∆ABC ∆AEB) (do AK // BD) (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Từ (1) (2) suy Bài 9: Cho hình vng Gọi giao điểm Chứng minh rằng: a) b) Một đường thẳng qua cắt tia đối tia Gọi theo thứ tự giao điểm song song với với ; trực tâm tam giác Hướng Dẫn: a) (1) (2) Do AB = CD nên từ (1) (2) suy MN // EF b) ∆AND ∆EAD (c.g.c) Tương tự AM AN DE BF Vậy H trực tâm ∆AMN Bài 10: Cho tam giác giao điểm với , trọng tâm Trên cạnh lấy điểm theo thứ tự Chứng minh Hướng dẫn: Kẻ Hãy chứng minh cho Gọi Hướng Dẫn: Kẻ DI // AC ∆BDI Kẻ AH , ta có BD = BI AD = CI (1) DG I đối xứng với D qua BG Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ∆KIG ∆ADH (g.g) (2) Từ (1) (2) suy KI = 2CI IC = CK ∆DIK có IC = CK DI // EC nên DE = EK Bài 11: Cho tam giác cân , đường cao , lấy điểm đoạn cho Chứng minh , điểm cạnh Gọi hình chiếu Đường vng góc với cắt Hướng Dẫn: ∆HKG ∆IDK có (cùng phụ ) nên ∆HKG ∆IDK (g.g) Do BI = HK, IK = BH = CH nên Kết hợp với ∆CHG ∆AHC (c.g.c) Cùng cộng với suy Bài 12: Cho tam giác nhọn , trực tâm Lấy điểm nằm tam giác cho Gọi theo thứ tự hình chiếu Chứng minh qua trung điểm Hướng Dẫn: Gọi I giao điểm OD HB, K giao điểm OE HC, Ta có OIHK hình bình hành nên OH qua trung điểm IK Hãy chứng minh IK //DE cách chứng minh Xét tam giác đồng dạng BDI CEK, BOD COE Bài 13: Cho tam giác nhọn , đường cao vng , vng có đồng quy Ở phía ngồi tam giác , vẽ tam giác Chứng minh đường thẳng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Hướng Dẫn: Qua C kẻ đường thẳng vng góc với BF, cắt HA K Do nên (g.g) (g.g) Từ (1) (2) suy , lại có nên KH, BF, CE ba đường cao Bài 14: Cho tam giác nhọn , (c.g.c) nên chúng đồng quy Các điểm theo thứ tự thuộc cạnh cho Chứng minh rằng: a) ; b) đường cao Hướng Dẫn: a)Đặt góc m, n, p hình vẽ Ta có (bằng trừ tổng ba góc ) Do (g.g) b) (h.239b) (c.g.c) Tương tự Suy , Tương tự Bài 15: Cho tam giác cạnh , thuộc cạnh a) Chứng minh b) Gọi vuông , đường phân giác , thuộc cạnh Gọi song song với giao điểm c) Chứng minh Hình vng giao điểm có thuộc Chứng minh Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a)Theo định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác tam giác đồng dạng, ta có , tức b) Do nên Tương tự, Từ (1) (2) suy Ta lại có Nên (do AD đường phân giác), , tức (do ) c) Ta có (c.g.c) Bài 16: Cho tam giác , đường trung tuyến Đường thẳng qua song song với song song với cắt Chứng minh rằng: a) b) , điểm cắt thuộc cạnh cho Đường thẳng qua ; Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38 Hướng Dẫn: a) Ta có Nhân (1) với (2) Ta chứng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Nên từ (3) suy (c.g.c) b) Ta lại có Bài 17: Cho hình chữ nhật minh rằng: a) Điểm nên nằm hình chữ nhật cho Chứng ; b) Hướng Dẫn: a) Qua I kẻ , kẻ (g.g) (c.g.c) , tức b)Kẻ đường vng góc với DI D, kẻ đường vng góc với CI C, chúng cắt K Do nên , nên , Bài 18: Cho hình vng Hãy dựng đường thẳng qua cho tích có giá trị nhỏ (g.c.g) , cắt tia đối tia Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Hướng Dẫn: Đặt , , Ta có Ta lại có nên d vng góc với BD B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 19: Một hình thang có đáy nhỏ cm, đáy lớn cm chia thành hai phần đoạn thẳng song song với hai đáy dài cm có hai đầu mút nằm hai cạnh bên Chứng minh hai phần có diện tích Hướng Dẫn: Kí hiệu hình vẽ Kẻ BG, FI song song với AD nên tỉ số hai đường cao tỉ số đồng dạng : Suy điều phải chứng minh Bài 20: Cho tam giác nhọn , có đường cao tứ giác Chứng minh cắt Biết diện tích Hướng Dẫn: Giả sử (g.g) mà nên Từ (1) (2) suy Giả sử Vậy , tức , tương tự , trái với giả thiết , trái với giả thiết Bài 21: Cho tam giác vng cạnh cho tam giác tích nhỏ Tìm vị trí điểm theo thứ tự nằm vuông đồng dạng với tam giác cho có diện Hướng Dẫn: có góc khơng đổi nên có diện tích EF nhỏ Kẻ , , Gọi I trung điểm EF, ta có Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com D trùng H, E trùng M, F trùng N Khi Bài 22: Cho tam giác có diện tích , kẻ song song với a)Kẻ với , điểm nằm tam giác Kẻ , kẻ song song với song song với , kẻ song song với Chứng minh diện tích tam giác b)Chứng minh song song với , kẻ song song nửa diện tích lục giác Hướng Dẫn: a) Bạn đọc tự giải b) Đặt , , , Ta chứng minh , , Các tam giác AFI, KBD, EHC đồng dạng với O trọng tâm Đặt nên Bài 23:Cho tam giác ABC vng A, có AB=3cm, AC=4cm,vẽ đường cao AH a) Vẽ đường thẳng vng góc với AC C cắt AH kéo dài D Chứng minh , suy AC2 = AB CD b) Chứng minh tứ giác ABDC hình thang vng Tính diện tích ABDC c) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt AC E cắt BD F So sánh HE HF? Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a)Ta có: (cùng phụ với góc ), Do đó: Từ suy b)Vì AB CD vng góc với AC nên AB // CD Tứ giác ABDC có AB // CD nên ABDC hình thang vng Theo c) Dễ thấy: (1) Mặt khác, EF // DC nên theo định lí Talet ta có: (1) (2) (2) Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao (H thuộc BC) a) Trên tia đối tia AC lấy điểm D, vẽ AE vng góc với BD E Chứng minh tam giác AEB đồng dạng tam giác DAB b) Chứng minh BE.BD= BH.BC c) Chứng minh Giải: a) Ta có: b) (1) Xét hai tam giác BAH BCA có: Nên , Suy (2) (1) (2) suy BE.BD = BH.BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com c) Theo Xét hai tam giác BEH BCD có góc Nên chung Từ ta có Bài 25: Cho tam giác ABC vng A có AB = 8cm, AC = 6cm, đường cao AH Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt AH D a) Chứng minh b) Chứng minh AC2 = AB.DC c) Tứ giác ABDC hình gì? Vì sao? Tính diện tích tứ giác ABDC Hướng Dẫn: a) Ta có b) (so le trong) (cùng phụ với góc nên ) DC // AB nên Do , từ suy ra: c) AB // CD nên ABDC hình thang vng Bài 26: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Kẻ BD tia phân giác của  cắt AH I Chứng minh AD = IH DC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta chứng minh Theo tính chất chân đường phân giác thì: (1) Dễ thấy hai tam giác BAC BHA đồng dạng nên: Xét hai tam giác BHI BAD có: Do (2) ( BD tia phân giác của  , suy ra: Từ (1), (2), (3) suy ra: ); (3) Bài 27 Cho đoạn thẳng AB Trong mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax va By vng góc với AB A B Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác A, B) Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), tia vng góc MC M cắt By D a) Chứng minh b) Đường thẳng CD cắt AB E Chứng minh EC.BD= ED.AC c) Vẽ MH vng góc với CD H Chứng minh HM2 = HC.HD d) Gọi I giao điểm BC AD Chứng minh DE.IA = ID.EC Hướng Dẫn: a) Ta có: , suy Lại có , Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) Vì BD // AC, theo định lí Talet ta có: c) (cùng phụ với góc ); , nên ta có: d) Ta có: Mặt khác: BD // AC, ta suy Từ ta có: nên Bài 28: Cho tam giác ABC vng A có AB = 15cm, AC = 20 cm đường cao AH Vẽ HD vng góc AB D HE vng góc AC E a) Vẽ tia Ax vng góc DE cắt BC M Chứng minh M trung điểm BC b) Tính diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn: a) Tứ giác ADHE có nên ADHE hình chữ nhật (cùng phụ với góc ) (ADHE hình chữ nhật) (cùng phụ với góc Do đó: trung điểm BC ) Từ suy hai tam giác AMB AMC cân M Vậy M b) Dễ thấy Từ suy Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy Bài 29: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD BH cắt I a) Chứng minh HI.CB = CH.IA b) Tia CI cắt AB, DH K, M Chứng minh: IK.MC= KC.IM Hướng Dẫn: a) Xét hai tam giác IHA CHB có: (cùng phụ với góc ) Do Suy b) Dễ thấy hai tam giác CDA CHB đồng dạng, đó: Hai tam giác CDH CAB có góc chung Chứng minh tương tự, ta có Suy giác HKM Vì nên , từ ta có , hay I chân đường phân giác kẻ từ H tam nên C chân đường phân giác ngồi kẻ từ H tam giác HKM Theo tính chất chân đường phân giác ngồi thì: Bài 30: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H (D thuộc AC, E thuộc AB) a) Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng tam giác ABC b) Gọi K, F giao điểm AH với DE, BC Chứng minh KH.AF= AK.HF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20