Các chủ đề dạy thêm môn toán lớp 8 (5)

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI 2: ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET I Tóm tắt lý thuyết Định lý Ta – lét đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác A E D C B GT ABC : D  AB,E  AC AD AE  BD EC KL DE BC Hệ định lý Ta – lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho A D B GT KL E C ABC : DE BC  D  AB,E  AC  AD AE DE   AB AC BC Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng d song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com A E D a A B D C a E B C AD AE DE   AB AC BC II Các dạng tập Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Phương pháp giải: Thực theo bước Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác Bước 2: Sử dụng định lý đảo định lý Ta – let để chứng minh đoạn thẳng song song Bài 1: Cho hình thang ABCD  AB CD  Gọi trung điểm đường chéo AC BD M N Chứng minh: MN, AB CD song song với Hướng Dẫn: Gọi P trung điểm AD Ta chứng minh NP MP đường trung bình ABD ADC nên suy NP//AB MP//DC Mặt khác AB//CD nên ta có P, N, M thẳng hàng  MN / / AB / / DC Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm M cạnh BC cho BC 4CM Trên cạnh AC lấy điểm N CN  Chứng minh MN song song với AB cho AN Hướng Dẫn: CM  BM CM CN   MN / / AB Kết hợp với giả thiết ta có BM AN Ta có BC 4CM  BM 3CM  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dạng Sử dụng hệ định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Phương pháp giải: Thực theo bước sau: Bước 1: Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, sử dụng hệ để lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hệ thức có từ hệ quả, từ suy đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC = m Trên cạnh AB lấy điểm D, E cho AD = DE = EB Từ D, E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự M N Tính độ dài đoạn thẳng DM EN theo m Hướng Dẫn: Áp dụng hệ định lý Ta-lét ta có: DM AD m   DM  BC AB EN AE   EN  m BC AB Bài 2: Cho hình thang ABCD  AB CD,AB  CD  Gọi trung điểm đường chéo BD M Qua M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC N Chứng minh: CD  AB a) N trung điểm AC; b) MN  Hướng Dẫn: a) Gợi ý: Gọi Q giao điểm MN với BC  Q  BC  Chứng minh Q trung điểm BC NQ//AB suy ĐPCM 2 DC  AB Vậy MN MQ  NQ  b) Ta có MQ  DC , NQ  AB Bài 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm tam giác, tia AI, BI, CI cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự D, E, F Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI H cắt tia BI K Chứng minh: AK HA AF AE AI  ;   a) b) BD DC BF CE ID Hướng Dẫn: a) AK / / BD  AI AH AI AK  ; Từ AH / / DC   ID BD ID DC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com AK AH  BD DC AK AH AK  AH HK AI     (1) b) Ta có: BD DC BD  DC BC ID Do Ta chứng minh AF AH AE AK  (2);  (3) BF BC CE BC AE AF AI   (ĐPCM) Từ (1), (2), (3) ta có CE BF ID  D  900 Gọi M điểm đường chéo AC Gọi N P Bài 4: Cho tứ giác ABCD có B MN MP  1 hình chiếu M BC AD Chứng minh AB CD Hướng Dẫn: Ta chứng minh MN//AB, áp dụng hệ định lý Ta-lét  Tương tự: PM / / DC  MN MC  (1) AB AC PM AM  (2) DC AC Lấy (1) + (2) ta ĐPCM Bài 5: A ‘B ABC; đường cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự B’, C’, H’ H’ C’ KL a) AH ' B ' C '  AH BC b) Biết AH’ = B H C AH; SABC = 67,5cm2 Tính SA’B’C’ Hướng Dẫn: AH ' B' H ' H ' C ' B' H ' H ' C ' B' C ' = = = = (đpcm) AH BH HC BH  HC BC AH ' B ' C ' AH ' AH '.B' C ' S AB 'C ' S AB 'C '  b) Từ ( ) = = = 2S ABC S ABC AH BC AH AH BC AH ' AH ' 1 Mà AH’ = AH  = ( ) = ( )2 = AH AH SAB 'C ' Vậy =  SABC = 67,5cm2 SABC a) Vì d // BC  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com S AB 'C ' SAB 'C ' 1 =  67,5 = SABC 9 67,5  SAB’C’ = = 7,5(cm2) Nên ta có : Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Phương pháp giải: Xét cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ tam giác để chứng minh đường thẳng song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận hệ định lý Ta – lét để có cặp đoạn thẳng tỉ lệ) Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC Hướng Dẫn: Từ IM//BK KN//IC ta suy Do AI AM AN AK   AB AK AI AC AN AM   ĐPCM AB AC Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM Gọi E giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB Chứng minh EF song song với BC Hướng Dẫn: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF H cắt tia BE K Áp dụng kết ý a) 3A MB = MC ta chứng minh AH = AK AH AF AK AE  ;  BC FB BC EC AF AE  nên  ĐPCM FB EC Lại có Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ chứng minh phần BTVN) Do AM, BE, CF đồng quy I  MB EC FA 1 MC EA FB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com MB 1 MC FB EC    FE / / BC FA EA Mà III Bài tập tự luyện Bài tập Bài 1: Cho tam giácABC vuông A, MN//BC ( M  AB; N  AC ) , AB=9cm; AM = 3cm; AN = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng NC, MN, BC Hướng Dẫn: MB = AB – AM = 6cm Vì MN//BC nên theo hệ định lí Talet ta có AM AN AM AN AM AN         MB NC NC AB AC AB  AM AC  AN Suy NC = 8cm Xét tam giác vng AMN có góc A vng, ta có MN  AM  AN 25 MN 5cm Vì MN//BC nên theo hệ định lí Talet ta có AM MN    Suy BC = 15cm AB BC BC Bài 2: Qua điểm E thuộc đường chéo BD tứ giác ABCD vẽ EF  AD  F  AB  , vẽ EG  DC  G  BC  Chứng minh FG  AC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com B G F E C A D Áp dụng định lý Talet ABD với EF  AD có: BE BF  (1) ED FA Áp dụng định lý Talet BDC với EG  DC BE BG  (2) ED GC BF BG   FG  AC (định lý Talet đảo) Từ (1) (2)  FA GC có: 3 Bài 3: Cho ABC điểm D  AC , điểm E  AC cho: CD  CA; BE  BA Gọi O giao điểm BD CE Tính tỉ số OD OB Hướng Dẫn: A D E O B Ta có AE AD  nên DE  BC AB AC Do OD DE AD    OB BC AC C Bài 4: Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắ BD E Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng minh rằng: EG  DC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com B A O G E D C Gọi O giao điểm AC BD Ta có AE  BC nên BG  AD nên OE OA  (1) OB OC OB OG  (2) OD OA Nhân vế (1) (2) OE OG  EG  DC OD OC Chú ý Cách giải khác Ta có BG  AD nên S ABD S AGD Cùng trừ S AOD ta S AOB S DOG (1) Chứng minh tương tự S AOB SCOE (2) Từ (1) (2) suy S DOG SCOE Cùng trừ S EOG S DEG SCEG EG  DC Bài 5: Cho điểm M nằm cạnh AB tứ giác ABCD Vẽ ME  BD  E  AD  , vẽ EG  AC  G  CD  , GH  DB  H  BC  a) Chứng minh rằng: MEGH hình bình hành b) Tính chu vi hình bình hành MEGH ABCD hình chữ nhật Hướng Dẫn: B M H A C G E D Cách (khơng dùng định lí Talet đảo) Ta có ME AE CG HG    suy ME HG Ta lại có ME  HG BD AD CD BD Vậy MEGH hình bình hành Cách (dùng định lí Talet đảo) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta có BM DE DG BH    nên MH  AC Tứ giác MEGH có MH / / EG , ME / / HG nên MA EA GC HC hình bình hành Bài 6: Cho M trung điểm đoạn thẳng AB điểm C nằm đường thẳng AB Lấy điểm D thuộc tia đối tia CB Gọi E giao điểm DM AC , K giao điểm BE AD Chứng minh CK  AB Hướng Dẫn: D C K E G H A M B Hình 81 MG  BK , MH / / AC nên  DC DE DK DC DK    suy CH EM KG 2CH KG DC DK   CK  AB CD KA Chú ý Bài toán cho ta toán dựng hình: cho đoạn thẳng AB trung điểm M Qua điểm C nằm ngồi đường thẳng AB , dùng thước dựng đường thẳng song song với AB Bài 7: Cho tam giác ABC, M điểm BC Các đường song song với AM vẽ từ B C cắt AC, AB N P Chứng minh 1   AM BN CP Hướng Dẫn: Áp dụng hệ định lí Talet cho tam giác BNC tam giác CPB, ta có AM MC  BN CB (1) AM BM  (2) CP BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Lấy (1) + (2) ta AM AM MC  BM   1 BN CP CB 1   BN CP AM Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB// CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM  BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK//AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo E, F Chứng minh EI = IK = KF Hướng Dẫn: a) Theo giải thiết AB//CD nên theo định lý Talet ta có IM DM KM MC  ;  IA AB KB AB Mà CM = DM nên IM KM   IK / / AB (theo định lí Talet đảo) IA KB b)Theo chứng minh câu a ta có IE//CD EI AE BF KF EI KF       DM AD BC MC DM MC Mà DM = MC  IE KF Chứng minh tương tự IK = KF Vậy IE = IK = KF Bài 9: Cho tam giác ABC trung tuyến AD Một đường thẳng song song với AD cắt cạnh BC, đường thẳng CA, AB E, N, M Chứng minh EM EN  2 AD AD Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Ta có MP//BD nên Mà AP AM  (định lí Talet) AD AB AM CN  AB CD Suy (1) AP CN  AD CD Suy PN//AC ( định lí Talet) FN CN  BC CD (1) ME AM  BC AB (2) b) Ta có FN//BC nên ME//BC nên Từ (1), (2) (3) suy ME FN   ME FN BC BC Bài 4: Cho tam giác ABC Kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D cắt AC E Qua C kẻ Cx song song với AB, cắt DE G Gọi H giao điểm AC BG Kẻ HI song song với AB  I  BC  Chứng minh a)AD.EG = BD.DE b) HC HE.HA 1   c) HI AB CG Hướng Dẫn : a) Tứ giác DGCB có DG//BC; CG//DB nên tứ giác DGCB hình bình hành Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com  BD = CG (1) DE DA  (2) EG GC Trong tam giác AD//CG nên Từ (1) (2) suy DE DA  EG BD  DE.BD = DA.EG (đpcm) b) Ta có BC//EG  HE HG  (định lí Talet) HC HB Ta lại có AB//CG  Suy HC HG  HA HB HE HC  HC HA  HC HA.HE (đpcm) c) Ta có AB//IH  HI IC  (định lí Talet) AB BC (3) IH//CG  IH IB  (định lí Talet) CG BC (4) Lấy (3) +(4) vế theo vế ta  Hay IH HI IB IC IB  IC     1 CG AB BC BC BC IH HI 1  1    (đpcm) CG AB CG AB IH   Bài 5: Cho tia Ox Oy, Oz tạo thành xOy  yOz 600 Chứng minh A, B, C điểm 1   thẳng hàng Ox, Oy, Oz ta có BD OA OB Hướng Dẫn: Qua B vẽ BD//Ox, D Oz Và DE//Oz, E  Ox Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta có tứ giác ODBE hình bình hành mà OB tia phân giác góc AOC, nên ODBE hình thoi Suy DB = BE Tam giác AOC có BD//OA nên BD CB  (hệ định lí Talet) OA AC Tam giác AOC có EB//OC nên BE AB  (hệ định lí Talet) OC AC Do Hay BD BE CB  AB   1 OA OC AC BD BD  1 BD = BE (cmt) OA OC 1   BD OA OB Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm đường chéo Qua O ta kẻ Nên đường thẳng song song với CD cắt BC M Chứng minh 1   OM AB CD Hướng Dẫn: Trong tam giác ABC có OM//AB  OM MC  AB BC Trong tam giác DCB có OM//DC  OM MB  CD BC Do Hay (1) (2) OM OM MC BM    1 AB CD BC BC 1   AB CD OM Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Qua D kẻ DF vng góc với AB (F thuộc AB); qua E kẻ EG vng góc với AC Chứng minh: a) AD.AE AB.AG AC.AF; b) FG song song với BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20