Các chủ đề dạy thêm môn toán lớp 8 (3)

Chuyªn ®Ò Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Phần I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Đinh lý Talet trong tam giác Nếu một đường thẳng song song với một cạnh c[.]

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG CẤU TRÚC CHUN ĐỀ Phần I KIẾN THỨC CƠ BẢN -1 Đinh lý Talet tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ MN // BC A AM AN  AB AC AM AN  MB NC M B N C Khái niệm tam giác đồng dạng Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu:  ' B ; C  ' C  +  A '  A ; B A ' B ' B 'C ' A 'C '   AB BC AC Các trường hợp đồng dạng tam giác: a) Trường hợp thứ (ccc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông + Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỷ lẹ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh huyền cạnh tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng PHẦN III CÁC DẠNG TỐN CỤ THỂ -DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ , DIỆN TÍCH Loại 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG - + Ví dụ minh họa: Bài 36 – 79 – SGK (có hình vẽ sẵn) A 12,5 B ABCD h.thang (AB // CD) AB = 12,5cm; CD = 28,5cm   = DBC DBA x =? GT x KL D C Giải   ABD BDC có : DAB = DBC (gt) 1 = D  ( so le AB // CD) B  ABD P BDC (g.g) x AB BD 12,5 = hay = 28,5 BD DC x  x = 12,5 28,5  x = 12,5 28,5  18,9(cm)  Bài 35 – 72 – SBT: A 10 M ABC; AB = 12cm; AC = 15cm BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm MN = ? GT KL N B C Giải Xét ABC ANM ta có : AM 10 = = AC 15 AN 18 = = AB 12  = Mặt khác, có A chung Vậy ABC P ANM (c.g.c) Từ ta có : AB BC 12 18 8.18 = hay   = 12(cm) AN NM 18 MN 12 Bài tập 3: a) Tam giác ABC có B = C ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài cạnh ABC có B = C biết số đo cạnh số tự nhiên liên tiếp A Giải a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC  = B ACD ABC có A chung; C = D  ACD P ABC (g.g)  D AC AD =  AC2 = AB AD AB AC C = = 36  AC = 6(cm) b) Gọi số đo cạnh BC, AC, AB a, b, c Theo câu (a) ta có AC2 = AB AD = AB(AB+BC)  b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + b= c + * Nếu b = c + từ (1)  (c + 1)2 = c2 + ac  2c + = ac  c(a-2) = (loại) c= ; a = 3; b = không cạnh tam giác * Nếu b = c + từ (1)  (c + 2)2 = c2 + ac  4c + = ac  c(a – 4) = Xét c = 1, 2, có c = 4; a = 5; = thỏa mãn toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho ABC vng A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực BC cắt BC , BA, CA M, E, D Tính độ dài đoạn BC, BE, CD + Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E  AB; D  AC; F  AC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm Tổng quát với BC = a, BC = c b) Chứng minh BD < 2ac với AB = c; BC = a a c c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d Loại 2: TÍNH GĨC Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho ABH vng H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy điểm C cho AC =  AH Tính BAC 3 A  = 900 ; AB = 20cm ABH; H 20 GT BH = 12cm; AC =  =? BAC KL B 12 H C AH Giải: AB 20 AC    BH 12 AH AB BH  AC AH Ta có  Xét ABH  CAH có :   = 900 AHB = CHA AB BH  (chứng minh trên) AC AH   ABH P CAH (CH cạnh gv)  CAH =  ABH    Lại có BAH +  + CAH = 900 ABH = 90 nên BAH Do : BAC = 900 Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 60 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA tương ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD? M Hình thoi ABCD; A = 600 ; B GT BN  DM K  KL Tính BKD =? K C A D Giải: N MB MC  (1) AB NC MC AD  Do CD // AM (vì M  AB) nên ta có : (2) NC DN MB AD  Từ (1) (2)  AB DN ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) A = 600 nên  Do BC // AN (vì N  AD) nên ta có :  AB = BD = DA MB AD MB BD   (cm trên)  AB DN BD DN   Mặt khác : MBD = DBN = 1200 MB BD    Xét 2MBD BDN có : ; MBD = DBN BD DN Từ  MBD P BDN (c.g.c)  = B  M 1  = B  ;    MBD KBD có M = MBD = 1200 BDM chung  BKD 1  = 1200 Vậy BKD Bài tập đề nghị: ABC có AB: AC : CB = 2: 3: chu vi 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC b) Biết A = 1050; D = 450 Tính góc cịn lại  Loại 3: TÍNH TỶ SỐ ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ CHU VI, TỶ SỐ DIỆN TÍCH Ví dụ minh họa:  + Bài 1: Cho ABC, D điểm cạnh AC cho BDC  ABC Biết AD = 7cm; DC = 9cm Tính tỷ số B BD BA GT  ABC; D  AC : BDC  ABC ; AD = 7cm; DC = 9cm KL Tính BD BA C B A Giải:  CAB CDB có C chung ;  (gt) ABC = BDC  CAB P CDB (g.g)  CB CA  ta có : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do CB2 = 9.16 = 144  CB = 12(cm) Mặt khác lại có : DB  BA + Bài 2: (Bài 29 – 74SGK) A A’ 6 12 B 12 C B’ ABC A’B’C’: AB =6 ; AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = a) ABC P A’B’C’ b) Tính tỉ số chu vi A’B’C’ GT KL C’ ABC Giải: a) A’B’C’ P ABC (c.c.c) Vì A' B ' A' C ' B ' C '    AB AC BC A' B ' A' C ' B ' C ' A' B ' A' C ' B ' C '   = AB AC BC AB  AC  BC   18  =   12 27 Chuvi A' B' C ' 18  Vậy ChuviABC 27 b) A’B’C’ P A+B+C+ (câu a)  + Bài 3: Cho hình vng ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm Ab, BC, SCMB CE cắt DF M Tính tỷ số S ? ABCD D C M GT F Hình vng ABCD; AE = EB ; BF = CF; CE  DF M KL SCMB Tính S ? ABCD A E B Giải: Xét DCF CBE có DC = BC (gt); C = B = 900; BE = CF 2 1= C  DCF = CBE (c.g.c)  D  = 1v  CMD vuông M Mà C + C = 1v  C + D DC CM 2; C  = M 1= C  )  CMD P FCD (vì D FD SCMD CD CD =  S SFCD CMD = S FCD FD FD 1 1 Mà SFCD = CF.CD = BC.CD = CD2 2 4 CD CD Vậy SCMD = CD2 = (*) FD FD FC Áp dụng định lý pitago vào tam giác vng DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 ta có : 1 SCMD = CD2 = SABCD 5 SCMB  S = ABCD CD2 = CD2 4 Thay DF2 = Bài tập đề nghị: Cho ABC, D trung điểm BC, M trung điểm AD a) BM cắt AC P, P’ điểm đối xứng củ P qua M Chứng minh PA = P’D Tính tỷ số PA AP PC AC b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh PQ // BC Tính tỷ số PQ PM BC MB c) Chứng minh diện tích tam giác BAM, BMD, CAM, CMD Tính tỷ số diện tích MAP ABC Loại 4: TÍNH CHU VI CÁC HÌNH + Bài 1(bài 33 – 72 – SBT) ABC; O nằm ABC; GT P, Q, R trung điểm OA, OB, OC KL a) PQR P ABC b) Tính chu vi PQR Biết chu vi ABC 543cm Giải: a) PQ, QR RP đường trung bình OAB , ACB OCA Do ta có : 1 AB; QR = BC ; RP = CA 2 PQ QR RP    Từ ta có : AB BC CA PQ = A  PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = P b) Gọi P chu vi PQR ta có : P’ chu vi PQR ta có : O Q P' 1 K   P’ = P = 543 = 271,5(cm) P 2 R B C Vậy chu vi PQR = 271,5(cm) + Bài 2: Cho ABC, D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE // BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi ABE = chu vi ABC Tính chu vi tam giác đó, biết tổng chu vi = 63cm A D ABC; DE//BC; C.viADE= C.vi ABC E GT C.vi ADE + C.viADE = 63cm KL Tính C.vi ABC C.vi ADE B C Giải: Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng AD = Ta có AB Chuvi ADE ' Chuvi ABC ChuviADE ChuviABC  ChuviADE 63     = =9 ChuviABC 5 %2 K= Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) Bài tập đề nghị: + Bài 1: A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu vi tamgiasc 51dm + Bài 2: Tính chu vi ABC vuông A biết đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành tam giác có chu vi 18cm 24cm Loại 5: TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH + Bài 1(Bài 10 – 63 – SGK): A B’ H’ C’ ABC; đường cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự B’, C’, H’ KL a) AH ' B ' C '  AH BC b) Biết AH’ = B H Giải: C Tính SA’B’C’ AH; SABC = 67,5cm2 AH ' B ' H ' H ' C ' B ' H ' H ' C ' B' C ' = = = = (đpcm) AH BH HC BH  HC BC SAB 'C ' AH ' B ' C ' AH ' AH '.B ' C ' 2S AB 'C '  b) Từ ( ) = = 2S = S AH BC AH AH BC ABC ABC AH ' AH ' 2 Mà AH’ = AH  = ( ) =( ) = AH AH SAB 'C ' Vậy S =  SABC = 67,5cm2 ABC S AB 'C ' SAB 'C ' 1 Nên ta có : S =  67,5 = 9 ABC a) Vì d // BC   SAB’C’ = 67,5 = 7,5(cm2) + Bài 2(bài 50 – 75 – SBT) ABC( A = 900); AH  BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính SAMH Giải: A Xét 2 vng HBA  vng HAC có :   + HAC = 1v (1) BAH   + HAC = 1v (2) HCA   Từ (1) (2)  BAH = HCA Vậy HBA P  HAC (g.g) B H M C  HB HA  HA HC  HA2 = HB.HC = 4.9 = 36  HA = 6cm Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 6.13 SABC = = 19,5(cm2) 2 SAHM = SBAH = 19,5 - 4.6 = 7,5(cm2) SABM = Vậy SAMH = 7,5(cm2) + Bài 3: Cho ABC hình bình hành AEDF có E  AB; D  BC, F  AC Tính diện tích hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; ABC hình bình hành AEDF GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 KL Tính SAEDF Giải:  (đồng vị DF // AB) (1) Xét EBD FDC có B = D E1 = D2 ( so le AB // DF)  1= D2 = E1 ( so le DE // AC) (2) Từ (1) (2)  EBD P FDC (g.g) Mà SEBD : SFDC = : 12 = : = ( )2 Do : EB ED 1    FD = 2EB ED = FC FD FC 2 A  AE = DF = 2BE ( AE = DF) AF = ED = EC ( AF = ED) F E Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) 1 SADF = SFDC = 12 = 6(cm2) 2 B D C  SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2) Bài tập đề nghị: + Bài 1:Cho hình vng ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD, DC Gọi I, H theo thứ tự giao điểm AF với BE, BD Tính diện tích tứ giác EIHD +Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, diện tích ABC 11cm2 Qua B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD M, cắt CD N Tính diện tích MND + Bài 3: Cho ABC có B C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; PQ  BC a) Tính diện tích hình chữ nhật hình vng b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí diện tích có giá trị lớn DẠNG II: CHỨNG MINH HỆ THỨC, ĐẲNG THỨC NHỜ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I Các ví dụ định hướng giải: Ví dụ 1: Bài 29(SGK – T79) – (H8 – Tập 2) Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao điểm 2đường chéo AC BD a) Chứng minh rằng: OA OD = OB OC b) Đường thẳng qua O vng góc với AB CD theo thứ tự H K CMR: OA AB = OK CD * Tìm hiểu tốn : Cho gì? Chứng minh gì? * Xác định dạng tốn: ? Để chứng minh hệ thức ta cần chứng minh điều gì? TL: OA OB = OC OD ? Để có đoạn thẳng ta vận dụng kiến thức TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA OD = OB.OC Sơ đồ : + A = C (SLT l AB // CD)  +  ( Đối đỉnh) AOB = COD  OAB P OCD (g.g)  A D  OA.OD = OC.OC OH AB = OK CD OH Tỷ số tỷ số nào? OK OH OA TL : = OK OC OH AB ? Vậy để chứng minh = ta cần chứng minh điều OK CD AB OA TL: = CD OC b) OH OA = OK OC Ví dụ 2: OH OK = B O OA OB = OC OD Sơ đồ :  = K  = 900 +H + A = C 1.(SLT; AB // CD)  OAH P OCK(gg)  H Câu a  OAB P OCD  AB OA = CD OC AB CD 10 K C Cho hai tam gíac vng ABC ABD có đỉnh góc vng C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đường thẳng qua P vng góc với AB I CMR : AB2 = AC AP + BP.PD O C P A I Định hướng: - Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)  AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB) - Việc chứng minh toán đưa việc chứng minh hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P)  = I = 900 Sơ đồ : + D + C = I = 900   + PBI chung + PAI chung   ADB P PIB ACB P AIP (gg)   AB PB DB AB AP = IB  AB.AI = PB.DB B AC = AI  AB AI = AC AP AB IB + AB AI = BP PD + AC AP  AB (IB + IA) = BP PD + AC AP  AB = BP PD + AC AP Ví dụ 3: Trên sở ví dụ đưa toán sau: Cho  nhọn ABC, đường cao BD CE cắt H A CMR: BC2 = BH BD + CH.CE D Định hướng: Trên sở tập E Học sinh đưa hướng giải tập H  Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K  BC) Sử dụng P chứng minh tương tự ví dụ B C Ví dụ 4: Cho  ABC, I giao điểm đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI I cắt AC BC M N Chứng minh a) AM BI = AI IM A b) BN IA = BI NI M AM c) BN  AI  =    BI  I 11 * Định hướng: a) ? Để chứng minh hệ thức AM BI = AI  AM B N C IM   IM ta cần chứng minh điều   BI   AI b) Để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh điều ( AMI P AIB) Sơ đồ: A1 = A2 (gt) 1 * CM: I = B I = B  C  v MIC: IMC = 900 AMI P AIB (gg) ABC: + B + C = 1800(t/c tổng ) A   B C + + = 900 2 A  B  Do đó: IMC = + (1) 2  =  A1 + I1 (t/c góc ngồi ) Mặt khác: IMC  AM AI A  IM BI =  A  hay IMC = + I1 (2) AM BI = AI IM Từ 91) (2)  AMI P AIB (  A1 = A2 ;  AM AI IM BI =  B = I1 hay B1 = I1  ) I1 = B  AM BI = AI IM b) Tương tự ý a Chứng minh BNI P BIA (gg)  BN BI NI IA =  BN IA = BI IN c) (Câu a)  AI  AI  - HS nhận xét   = BI  IA  Tính AI2 ; BI2  BNI P BIA  AM AI AI BI (Tính AI ; BI nhờ P) AMI P AIB (Câu b)  AI =  IM BI  = AM AB 12 BI BN = AB BI  BI = BN AB AM AI = BN BI   AI     BI  = AM BN II Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho hình ABCD (AB // CD), gọi O giao điểm đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy cắt BC I cắt AD J CMR : = OI b) = IJ a) AB AB CD + CD + + Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) tia đối tia DA lấy điểm I  cho ACI = BDA CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC DẠNG 3: CHỨNG MINH QUAN HỆ SONG SONG I Mục tiêu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, trường hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải toán chứng minh quan hệ song song - Thông bao tập khắc sâu kiến thức tam giác đồng dạng, định lý Ta – lét đảo - Rèn kỹ tư duy, suy luận lô gic, sáng tạo giải tập II Kiến thức áp dụng - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trường hợp đồng dạng tam giác - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song * Ví dụ minh họa: + Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD; F giao điểm MB AC Chứng minh EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA  DB =  E MB  AC =  F  KL D M C EF // AB 13 Định hướng giải: - Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt)   AB // DM AB // MC   MED P  AEB GT MFC P BFA    ME EA MD ; AB = MF FB MD = MC  ME EA = = MC AB MF FB  EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho  ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đường cao Kẻ EM, FN hai đường cao AEF Chứng minh MN // BC Sơ đồ phân tích AMF P AFC (g.g); AFN P ABE A   M N AM AF = AE AC AM AF AF AB AM AB AF AB  =  = = AN AE AE AE AC AC F E B C AN AC  MN // BC (định lý Ta – lét đảo) + Ví dụ 3: Cho ABC, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỷ số : 2, điểm I, K theo thứ tự chia đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số : Chứng minh IK // BC Gọi M trung điểm AF Gọi N giao điểm DM EF A Xét  ADM  ABC có : D 14 M I F K N AD AB = AM AC = Góc A chung ADM P ABC (c.gc) B E   ABC mà góc vị trí đồng vị nên DM // BC ADM =   MN // EC mà MF = FC nên EF = FN C EK EK EF 1 = = = (1) EN EF EN 3 EI mà = (gt) (2) ED EK EI Từ 91) (2)  = Suy IK // DN (định lý Ta – lét đảo) EN ED Ta có : Vậy IK // BC * Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng mi9nh EG // DC DẠNG : CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I Các ví dụ định hướng giải: + Ví dụ: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC F lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB F B a) CMR :  ABC P AED D b) FBD P FEC c) Tính ED ; FB? 3,6 Bài tốn cho gì? C Dạng tốn gì? Để chứng minh  đồng dạng có phương pháp nào? Bài sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT  A chung AB AC = =2 AE AD b)  ABC P AED (c.g.c) ABC P  AED (câu a)    = D   = D ; D C 1    = D C 15 A E 2,4  chung F  FBD P FEC (g.g) c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB + Ví dụ 2: Cho ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy điểm  D E AB; AC cho DME = B A a) CMR : BDM P CME b) MDE P DBM c) BD CE không đổi ? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều D E ? Từ gt  nghĩ đến 2 P theo trường hợp (g.g) ? Gt cho yếu tố góc ( B = C ) B  = M  ) M ? Cần chứng minh thêm yếu tố ( D a) Hướng dẫn sơ đồ gt góc ngồi DBM    ;   ; DMC  + B    B = M = D DMC = M + M 1 ABC cân       = C D1 = M ; B  BDM P CME (gg) Câu a gt   DM ME b) DM ME =  =  = M  (gt) ; B 1 C BD ; CM = BM BM BD BM  DM ME  BD BM  DME P DBM (c.g.c) c) Từ câu a : BDM P CME (gg) BD BM   BD CE = Cm BM CM CE BC Mà CM = BM = =a a2  BD CE = (không đổi)  Lưu ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi A Bài cho BC = 2a không đổi Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD CE theo a + Ví dụ 3: Cho ABC có trung điểm F 16 Q P B E M D N C BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Gọi P giao điểm AM BE; Q giao điểm CF AN CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng b) ABC P DQP * Hướng dẫn a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp Bài chọn phương pháp nào? - Lưu ý cho học sinh cho trung điểm  nghĩ tới đường trung bình   Từ nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho đường thẳng PD FP // AC PD đường trung bình BEC  PD // AC F, P, D thẳng hàng FP đường trng bình ABE  FP // AC Tương tự cho điểm D, Q, E 1 AC AC EC = = 2 AC  AC  =    PD  AB  4QD  =   QD  QD  b) PD = AC)   AC AB  DP QD (Đơn vị EF // AB) (so le PD // ;   BAC EDP  ABC P DQP (c.g.c) Dạng chứng minh tam giác đồng dạng II Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho ABC, AD phân giác A ; AB < AC Trên tia đối DA lấy  Chứng minh điểm I cho ACI BDA a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC + Bài 2: Cho ABC; H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm đường trung trực  Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh : a)  OED P  HCB b)  GOD P  GBH c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG + Bài 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M trung điểm BC Qua M kẻ đường vng góc với BC cắt AC, AB D, E a) CMR : ABC P MDC b) Tính cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC + Bài 4: Cho ABC; O trung điểm cạnh BC 17  = 600; cạnh ox cắt AB M; oy cắt AC N Góc xoy a) Chứng minh: OBM P NCO b) Chứng minh : OBM P NOM   c) Chứng minh : MO NO phân giác BMN CNM d) Chứng minh : BM CN = OB DẠNG 5: CHỨNG MINH ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, GĨC BẰNG NHAU Ví dụ 1: Bài 20 T 68 – SGK Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh : OE = Oì A E D B F C Định hướng Sơ đồ giải H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và OE = OF  CD) OE OF TL: Các tam giác đồng dạng đoạn = DC DC thẳng tỷ lệ  H: EO đoạn hình vẽ OE AO OF BO AO BO = ; = ; = thường lập tỷ số? DC AC DC BD AC BD EO    TL: DC AEC BOF AOB H: Vậy OF đoạn nào? (gợi ý) P P P OF ADC BDC COD TL: DC   EF // DC AB // CD  gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta đưa chứng minh điều gì? TL : EO DC = OF (1) DC H: OE; DC cạnh tam giác nào? (AEO; ADC, tam giác đồng dạng chưa? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC H: lập tỷ số EO OF = DC DC 18 EO AO = ; DC AC TL: OF BO = DC BD H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? AO BO = AC BD TL: H: Đây tỷ số có từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL:  AOB;  COD H: Hãy chứng minh điều Ví dụ 2: Bào 10 – T67 – SGK: Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt cạnh bên đường chéo AD, BD, AC BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q CMR: MN = PQ Định hướng giải: Đây tập mở rộng so với ví dụ Từ hệ định lý Talet cho ta tam giác đồng dạng ta chứng minh được: MN DM = AB DA E PQ AB DM DA B A O M N P Q C D CQ CB CQ = (kéo dài AD cắt BC E CB = chứng minh MN CQ  =  MN = PQ DA CB Ví dụ 3: Bài 32 – T77 – SGK   1800), đặt đoạn thẳng OA = 5cm, OB = Trên cạnh góc xoy ( xoy 16cm Trên cạnh thứ góc đó, đặt đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB OAD đồng dạng b) Gọi giao điểm cạnh AB BC I, CMR: Hai tam giác IAB IBC có góc đơi x B O  A I OC OA 10 = C D y OB  OBC P  ODA OD Góc O chung c) IAB ICD ta dễ nhìn thấy khơng Do để chứng minh chúng có góc đơi ta chứng minh đồng dạng 19   Vì OBC P ODA nên OBC = ODA (1)  Mặt khác ta có AIB CID (đối đỉnh)  BAI P DCI (g.g)  DCI   BAI Ví dụ 4: Bài 36 – T72 – SGK Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm BD = 8cm   Chứng minh : Ta xét chứng minh BAD DBC Xét BAD DBC có AB // CD :   (so le ) ABD BDC AB   BD BD   DC 16 AB BD   ( ) BD DC A B C  BAD P DBC (c.g.c) D    BAD DBC Ví dụ 4: Bài 60 – T77 – SBT Tam giác ABC có hai trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh đoạn thẳng FM, MN, NE Định hướng giải: Từ giả thiết cho song song ta suy tỷ lệ thức tam giác đồng dạng Ta có : B L FM FQ = (1) K FE FP O M N E FQ FP AF = (cùng ) LO CL AL A FQ LO LO P  (2) ( ta có trung tuyến  )  = FP CL CL FM 1 Từ (1) (2) suy : =  FM = FE FE 3 1 Tương tự ta có EN = EF suy MN = EF 3 C Vậy FM = MN = NE Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng giải toán Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc phương pháp thường dùng : * Đưa đoạn thẳng cần quy tử tỷ số có mẫu * Chứng minh đoạn thẳng độ dài 20