Các chủ đề dạy thêm môn toán lớp 8 (11)

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI 8: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VNG I Tóm tắt lý thuyết Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: + Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng + Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vng đồng dạng Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường phân giác tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng II Các dạng tốn Dạng Chứng minh hai tam giác vng đồng dạng Phương pháp giải: Có thể sử dụng cách sau: Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác thường vào tam giác vuông Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Chứng minh: a) b) Hướng Dẫn: a) BEH CDH ( g  g ) HE HB  BEH   CDH b) Có ta suy HD  HC Từ chứng minh EHD BHC (c.g.c) Bài 2:Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Qua điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt AC, AB D, E Chứng minh: a) b) Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD A D, Trên cạnh AD, lấy E cho Chứng minh Hướng Dẫn: Ta chứng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com  ECD  ABE DEC (c.g c)  AEB    900 (ĐPCM) Từ ta có DEC AEB 900 suy BEC Bài 4:Cho tam giác ABC vuông A với Kẻ tia Cx vng góc với BC (tia Cx điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC) Trên tia Cx lấy điểm D cho Chứng minh BD song song với AC Hướng Dẫn: Ta chứng minh  ABC CBD   ACB CBD Từ suy BD//AC (ĐPCM) Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vng để giải tốn Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy điều cần chứng minh Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Chứng minh b) Chứng minh c) Gọi P trung điểm BH Q trung điểm AH Chứng minh d) Chứng minh Hướng Dẫn: a) Ta chứng minh ABH CBA từ suy AB2 = BH.BC (ĐPCM) b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh c) Từ AHC BHA AH AC AH AQ   BH AB mà BH BP AC AQ Từ suy AB  BP Do có BAP ACQ (c  g  c)  d) Gọi M giao điểm CQ AP (M  AP)  MCA  Sử dụng kết câu b) BAP Trong AMC ta chứng minh  CMA 90  CP  AQ (ĐPCM) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N chân đường vng góc kẻ từ H xuống AB AC Chứng minh: a) b) c) Hướng Dẫn: Học sinh tự chưng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ H K Chứng minh; a) E, F, b) c) Hướng Dẫn: AB AH a) Ta chứng minh AHB AEC ( g g )  AC  AE (1) AD AK b) Tương tự câu a ta chứng minh AC  AF  AD.AF =AK.AC (2) c) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3) Lấy (3) + (2) ta AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM) Bài 4:Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Chứng minh Hướng Dẫn: Gợi ý: Gọi AH  BC  K  , chứng minh AK  BC Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ĐPCM Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình vng ABCD Gọi E F trung điểm AB BC I giao điểm DF CE Tính tỉ số diện tích hai tam giác CIE CBE Hướng Dẫn: Ta chứng minh CIF vuông I Vẽ BK  CE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com S  BC   CBK CFI  CBK   4 SCFI  CF  SCBE 5   CFI   BEK Lại có nên SCIF Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Cho biết diện tích tam giác EBD FDC , tính diện tích tam giác ABC Hướng Dẫn: Đặt SABC = S2 EBD ABC Chứng minh   BD a  (1) BC s S EBD  BD  a  BD       S ABC  BC  S  BC  Chứng minh: 2 SCDF  DC  DC b   (2)   SCBA  BC  BC s BD DC a b Từ (1) (2)  BC  BC  s  s  S a  b   CDF CBA  III Bài tập tự luyện Bài :Cho tam giác ABC đường cao AH(HBC) có AH = 6cm, BH = 4cm,HC=9cm Chứng minh rằng: a)AHBCHA b) BAˆ C 90 Hướng Dẫn: A B H C a) XétABH CHA AHˆ B  AHˆ C =900 ˆ H  HCˆ A phụ với góc HAC BA  :ABH CHA Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) HAˆ B  HAˆ C 90  BAˆ C 90 Bài 2: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Gọi G điểm cạnh BC Tính diện tích tứ giác ADGE biết diện tích tam giác ABC diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn: BH AC AB Theo giả thiết ta có: B ' H '  A ' C '  A ' B ' Ta chứng minh BHA B ' H ' A '  A   A'  Chứng minh ABC A ' B ' C '(c  g  c ) ADE ABC  Do S ADE AE    S ABC 16 AC suy AE=3EC Kẻ AA'  DE, EE'  BC 1 Chứng minh EE ' 3 AA ' nên SGDE  S ADE 3cm  S ADGE 12cm Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =12cm, BC=9cm Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BD a)Chứng minh AHB đồng dạng với BCD b)Tính độ dài đoạn thẳng AH c)Tính diện tích tam giác AHB Hướng Dẫn: 12 A B b9 D H C a/ Xét AHB BCD có: ABH = BDC (So le AB // CD) H = C = 900 AH AB = BC BD AB.BC 12.9 b/ Từ tỉ lệ thức  AH = = BD BD Nên AHB BCD (g.g)  Trong ADB, Â = 900 theo Pytago: BD2 = AD2 + AB2 = 225  BD = 15cm Do AH = = 7,2cm Và c/ Ta có SBCD = Và AH AB 7,2 = = = BC BD a.b = 54cm2 2 S AHB 16  4 = k2 =    SABH = 54 = 34,56cm2 25 S BCD   Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, chiếu H AC, E hình chiếu H AB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Gọi D hình Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn:    a) Ta chứng minh được: C ) AED (vì BAH Từ suy ĐPCM b) Ta có: 2 S ADE  DE   AH       S ABC  BC   BC  25 Từ tính SADE = 12,8cm2 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 6cm; BC = 10cm Lấy điểm D AB E   AC cho AE = 3cm; DE = 5cm Chứng minh ADE  ACB Hướng Dẫn: Xét hai tam giác vuông ABC AED Ta có  AE DE   ;   AB BC 10 AE DE   AB BC Suy  ABC   AED  Vậy ADE  ACB Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, có AH đường cao AM đường trung tuyến Tính diện tích tam giác AHM tỉ số diện tích tam giác AHM ABC, biết BH = 4cm; CH = 6cm Hướng Dẫn: Ta có hai tam giác vuông HAB HCA đồng dạng  HA HB  HC HA Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com  AH BH HC 16.4 64  AH 8cm BM CM  BC 10cm Suy ra: HM CH  MC 6cm 1 Nên S AHM  AH HM 24cm ; S ABC  AH BC 80cm 2 Vậy S AHM 24   S ABC 80 10 Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) M trung điểm BC Vẽ MD AB D, ME AC E, AH BC H qua A kẻ đường thẳng song song DH cắt DE K HK cắt AC N Chứng minh HN2 = AN.CN Hướng Dẫn: MD AB MD // AC, D trung điểm AB Tương tự E trung điểm AC Ta có DE // BA Hai tam giác BDH DAK có: (góc đồng vị) BD = DA (g – c – g) DH = AK ADHK hình bình hành Ta có HK // DA HN AC Bài 8: Giả sử AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C kẻ đường thẳng CE, CF vng góc với AB, AD Chứng minh rằng: AB AE  AD.AF  AC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vẽ BH  AC ( H  AC ) Xét HAB EAC có   H E 900  A chung Suy HAB EAC (g-g) AB AH    AB AE  AH AC (1) AC AE Xét HBC FCA có   H F 900   BCH CAF (BC//AF) Suy HBC FCA (g-g) BC HC    BC AF HC AC (2) AC AF Mà AD = BC (vì ABCD hình bình hành) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: AH.AC + HC.AC = BC.AF + AB.AE  AC(AH+HC) = BC.AF + AB.AE  AC = BC.AF + AB.AE (đpcm) Bài 9: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh AE.AB = AD.AC   b) Chứng minh ADE  ABC c) Chứng minh CH.CE + HB.BD = BC d) Giả sử góc A có số đo 600 S ABC 120cm Tính S ADE Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com   a) Xét AEC ADB có D E 900  A chung Nên AEC AE AC  AD AB ADB (g-g)  Vậy AE.BA  AD AC (đpcm)  b) Xét ADE ABC có A chung AE AC  (cm câu a) AD AB Nên ADE   ABC Vậy ADE  ABC c) Vẽ HF  BC, F  BC  Xét tam giác BFH tam giác BDC có B chung   D F 900 Nên  BFH  BDC BF BH   BH BD BF BC Suy BD BC Chứng minh tương tự ta có CH CE CF BC Mà CF BC  BC BF BC (CF  BF ) BC Do CH.CE + HB.BD = BC (đpcm) d) Đặt AB = a   Trong tam giác vng ADB ta có A = 600 suy B1 300 ADB tam giác cạnh AB = a nên đường cao BD  Mặt khác, ta có ADE AD AE   AB AC S  AD   ADE   S ABC  AB  ABC (cm câu b) a a ; AD  2 2 S  AD   a  Vậy ADE    a   S ABC  AB    SABC 120cm Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1 nên S ADE = SABC  120 30cm 4 Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Qua điểm D đáy BC kẻ đường vuông góc với BC cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự E G Chứng minh DB.DC = DE.DG Hướng Dẫn:    Xét DGC ABC có D  A 900 C chung Suy DGC ABC (g-g) DG DC DG AB    AB.DC DG AC   (1) AB AC DC AC    Xét ABC DBE có D  A 900 B chung Suy ABC DBE (g-g) BD DE    AB.DE DB AC AB AC DE AB   (2) DB AC Từ (1) (2) suy DE DC  DB DG Vậy DB.DC = DE.DG   Bài 11: Trong tam giác ABC có hai góc B góc A thỏa mãn điều kiện A 900  B , kẻ đường cao CH Chứng minh CH BH AH Hướng Dẫn:     Trong tam giác vng AHC ta có C1  A 900 (1) Trong tam giác vuông BHC ta có C2  B 900 (2)     Mặt khác ta có A 900  B thay vào (1) ta C1 B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com   Vậy ta có C1 B   Xét HBC vng H HCA vng H có C1 B (cmt) Nên HBC HCA HB HC   HC HB.HA HC HA Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm D cạnh AC kẻ đường CEvng góc với DB E Chứng minh BE.AC = AB.EC + AE.BC Hướng Dẫn: Gọi M giao điểm AB CE Vẽ AF vng góc với AE (Fthuộc BE)   Xét MBE MCA có E  A 900  M chung Suy MBE MCA (g-g)   MB MC  ; MBE MCA ME AM Xét ABF ACE có       (cùng phụ với FED ) MBE MCA (cmt) ABF EAC Suy ABF ACE (g-g) AB BF    AB.CE  AC.BF (1) AC CE Mặt khác, ta có ABD      ECD (g-g) E  A 900 ADB EDC (đối đỉnh) DA BD AD DE    DE DC DB DC Ta lại có ADE  BDC có AD DE    (cmt) ADE BDC (đối đỉnh) DB DC   AED DCB Nên AEF      ACB có AED DCB (cmt) E  A 900 AE EF   AE.CB  AC.EF (2) AC CB Cộng (1) (2) vế theo vế ta AB.CE  AE.BC  AC BF  AC.EF  AC ( BF  EF)  AC.BE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy BE.AC = AB.EC + AE.BC Bài 13: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD M, tia DE cắt AB N Chứng minh rằng: a) NBC BCM b) BM vuông với CN Hướng Dẫn: a) Ta có AB//CM  AB BE  CM CE (1) Và ta có CD//BN  BN BE  CD CE (2) Từ (1) (2)  BN BA  CD CE  BN MC CD AB mà CD = AB = BC (do ABCD hình thang vuông) BN BC  BC MC  BN MC BC  Vậy NBC b) Ta có NBC BCM BCM (cm câu a)     Suy B2 N ; C2 M     Mà B1  B2 900  B1  N 900 Vậy BM vuông với CN Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH, từ H kẻ HI vng góc với AB I, HK vng góc với AC K a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC suy AI.AB = AK.AC b) Chứng minh c) Gọi O trung điểm đoạn IK Từ A vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng BO R Đường thẳng AR cắt cạnh BC S Chứng minh S trung điểm đoạn thẳng HC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a)Tứ giác AKHI có nên AKHI hình chữ nhật, ta có: Lại có (cùng phụ với góc Hai tam giác AKI ABC có ) Suy chung, b) Theo trên, nên , hai tam giác AKB AIC có Từ ta có chung nên c) Xét tam giác ABS có AH BR đường cao nên O trực tâm tam giác ABS SO AB, suy SO // AC Mặt khác, theo tứ giác AKHI hình chữ nhật nên O trung điểm AH Như tam giác AHC, SO đường trung bình Từ ta có S trung điểm HC Bài 15:Cho tam giác Hướng Dẫn: cân , , , đường cao Tính độ dài A K B Vẽ đường cao Nên C có H , đồng dạng (g.g) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 16: Cho tam giác vuông , , Trên tia đối tia lấy điểm cho Trên nửa mặt phẳng chứa có bờ vẽ tia vng góc với Vẽ đường trịn , cắt tia Chứng minh vng góc với Hướng Dẫn: x E B nên ( Hình 22 ) có A D C ( ) đồng dạng (trường hợp cạnh huyền cạnh góc vng ),suy = (1) Ta lại có + (2) Từ (1) (2) suy Do Bài 17: Cho tam giác ) Biết , Hướng Dẫn: + , tức vuông , đường cao Tính độ dài Kẻ vng góc với ( thuộc Bài 18: Cho tam giác , đường cao ,trực tâm Biết , , Tính độ dài Hướng Dẫn: ABD CHD đồng dạng (g.g), HD = cm Bài 19: Cho tam giác , đường cao ’, , , cắt Chứng minh Hướng Dẫn: AHB ' BHA ' đồng dạng (g.g) AH HB '    AH HA ' BH HB ' BH HA ' Tương tự AH HA ' CH HC ' Bài 20: Cho tam giác , đường cao Chứng minh a) Các tam giác dồng dạng b) Các tam giác đồng dạng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Hướng Dẫn: a) ABD ACE đồng dạng (g.g) AB AD  AC AE Do ADE ABC đồng dạng (c.g.c) b) Từ câu a suy Bài 21: Tỉ số cạnh góc vng tam giác vuông 3:4, đường cao tương ứng với cạnh huyền dài Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Hướng Dẫn: Gọi ABC tam giác vuông A, đường cao AH AHB CHA đồng dạng (g.g)  AH HB AB 12 HB      CH HA CA HC 12 Suy HB = cm, HC = 16 cm Bài 22: Hình thang vng a) Tính độ dài b) Tính tỉ số Hướng Dẫn: có = , hai đường chéo vng góc với A B C D a) ABD DAC đồng dạng (g.g) AB AD   AD  AB.DC 4.9 36 Vậy AD = cm DA DC BD AB    b) Hai tam giác đồng dạng suy AC DA  Bài 23: Cho hình chữ nhật cắt Tính độ dài Hướng Dẫn: có Đường thẳng qua Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! vuông góc với Trang 15 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com A B D C E EDA DAB đồng dạng (g.g) Đáp số EC 7cm Bài 24: Cho hình Điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh chân đường vng góc kẻ từ đến a) Chứng minh tam giác đồng dạng b) Tính cho Gọi Hướng Dẫn: a) AHF BHA đồng dạng (g.g) nên AH AF  , BH BA AH AE  E HBC   Cịn HA (góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) Vậy HAE BH BC HBC đồng dạng (c.g.c)  b) Từ câu a suy  AHE BHC Bài 25: Cho tam giác vuông , đường phân giác cắt đường cao Chứng minh Hướng Dẫn: A D E B H C Theo tính chất đường phân giác ABH ABC , ta có: HE BH AD BA   , EA BA DC BC Nhưng AHB CAB đồng dạng (g.g) BH BA HE AD     BA BC EA DC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 26: Gọi đường chéo lớn hình bình hành , và a) Gọi hình chiếu Chứng minh b) Chứng minh Hướng Dẫn: theo thứ tự hình chiếu E B C K H A a) Do AC đường chéo nên  ABC  ACD  90o , D F E F nằm ngồi cạnh AB, AD Ta có AFC AHD đồng dạng(g.g) AC AF   AD.AF AC AH (1) AD AH b) Vẽ BK  AC chứng minh tương tự ta AB AE AK AC  (2) Từ (1) (2) suy ra: AD.AF  AB AE AC AH  AC AK AC ( AH  AK ) AC (vì AH  AK  AC AK CH ) Bài 27: Cho hai tam giác ABC cân A cân Cho biết tỉ số hai đường cao BH tỉ số hai cạnh tương ứng AC chứng minh hai tam giác đồng dạng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17