Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
17
Dung lượng
3,44 MB
Nội dung
DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI 8: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VNG I Tóm tắt lý thuyết Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: + Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng + Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vng đồng dạng Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường phân giác tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng II Các dạng tốn Dạng Chứng minh hai tam giác vng đồng dạng Phương pháp giải: Có thể sử dụng cách sau: Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác thường vào tam giác vuông Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Chứng minh: a) b) Hướng Dẫn: a) BEH CDH ( g g ) HE HB BEH CDH b) Có ta suy HD HC Từ chứng minh EHD BHC (c.g.c) Bài 2:Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Qua điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt AC, AB D, E Chứng minh: a) b) Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD A D, Trên cạnh AD, lấy E cho Chứng minh Hướng Dẫn: Ta chứng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ECD ABE DEC (c.g c) AEB 900 (ĐPCM) Từ ta có DEC AEB 900 suy BEC Bài 4:Cho tam giác ABC vuông A với Kẻ tia Cx vng góc với BC (tia Cx điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC) Trên tia Cx lấy điểm D cho Chứng minh BD song song với AC Hướng Dẫn: Ta chứng minh ABC CBD ACB CBD Từ suy BD//AC (ĐPCM) Dạng Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vng để giải tốn Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy điều cần chứng minh Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Chứng minh b) Chứng minh c) Gọi P trung điểm BH Q trung điểm AH Chứng minh d) Chứng minh Hướng Dẫn: a) Ta chứng minh ABH CBA từ suy AB2 = BH.BC (ĐPCM) b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh c) Từ AHC BHA AH AC AH AQ BH AB mà BH BP AC AQ Từ suy AB BP Do có BAP ACQ (c g c) d) Gọi M giao điểm CQ AP (M AP) MCA Sử dụng kết câu b) BAP Trong AMC ta chứng minh CMA 90 CP AQ (ĐPCM) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N chân đường vng góc kẻ từ H xuống AB AC Chứng minh: a) b) c) Hướng Dẫn: Học sinh tự chưng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ H K Chứng minh; a) E, F, b) c) Hướng Dẫn: AB AH a) Ta chứng minh AHB AEC ( g g ) AC AE (1) AD AK b) Tương tự câu a ta chứng minh AC AF AD.AF =AK.AC (2) c) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3) Lấy (3) + (2) ta AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM) Bài 4:Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Chứng minh Hướng Dẫn: Gợi ý: Gọi AH BC K , chứng minh AK BC Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ĐPCM Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình vng ABCD Gọi E F trung điểm AB BC I giao điểm DF CE Tính tỉ số diện tích hai tam giác CIE CBE Hướng Dẫn: Ta chứng minh CIF vuông I Vẽ BK CE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com S BC CBK CFI CBK 4 SCFI CF SCBE 5 CFI BEK Lại có nên SCIF Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Cho biết diện tích tam giác EBD FDC , tính diện tích tam giác ABC Hướng Dẫn: Đặt SABC = S2 EBD ABC Chứng minh BD a (1) BC s S EBD BD a BD S ABC BC S BC Chứng minh: 2 SCDF DC DC b (2) SCBA BC BC s BD DC a b Từ (1) (2) BC BC s s S a b CDF CBA III Bài tập tự luyện Bài :Cho tam giác ABC đường cao AH(HBC) có AH = 6cm, BH = 4cm,HC=9cm Chứng minh rằng: a)AHBCHA b) BAˆ C 90 Hướng Dẫn: A B H C a) XétABH CHA AHˆ B AHˆ C =900 ˆ H HCˆ A phụ với góc HAC BA :ABH CHA Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) HAˆ B HAˆ C 90 BAˆ C 90 Bài 2: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Gọi G điểm cạnh BC Tính diện tích tứ giác ADGE biết diện tích tam giác ABC diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn: BH AC AB Theo giả thiết ta có: B ' H ' A ' C ' A ' B ' Ta chứng minh BHA B ' H ' A ' A A' Chứng minh ABC A ' B ' C '(c g c ) ADE ABC Do S ADE AE S ABC 16 AC suy AE=3EC Kẻ AA' DE, EE' BC 1 Chứng minh EE ' 3 AA ' nên SGDE S ADE 3cm S ADGE 12cm Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =12cm, BC=9cm Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BD a)Chứng minh AHB đồng dạng với BCD b)Tính độ dài đoạn thẳng AH c)Tính diện tích tam giác AHB Hướng Dẫn: 12 A B b9 D H C a/ Xét AHB BCD có: ABH = BDC (So le AB // CD) H = C = 900 AH AB = BC BD AB.BC 12.9 b/ Từ tỉ lệ thức AH = = BD BD Nên AHB BCD (g.g) Trong ADB, Â = 900 theo Pytago: BD2 = AD2 + AB2 = 225 BD = 15cm Do AH = = 7,2cm Và c/ Ta có SBCD = Và AH AB 7,2 = = = BC BD a.b = 54cm2 2 S AHB 16 4 = k2 = SABH = 54 = 34,56cm2 25 S BCD Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, chiếu H AC, E hình chiếu H AB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Gọi D hình Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn: a) Ta chứng minh được: C ) AED (vì BAH Từ suy ĐPCM b) Ta có: 2 S ADE DE AH S ABC BC BC 25 Từ tính SADE = 12,8cm2 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 6cm; BC = 10cm Lấy điểm D AB E AC cho AE = 3cm; DE = 5cm Chứng minh ADE ACB Hướng Dẫn: Xét hai tam giác vuông ABC AED Ta có AE DE ; AB BC 10 AE DE AB BC Suy ABC AED Vậy ADE ACB Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, có AH đường cao AM đường trung tuyến Tính diện tích tam giác AHM tỉ số diện tích tam giác AHM ABC, biết BH = 4cm; CH = 6cm Hướng Dẫn: Ta có hai tam giác vuông HAB HCA đồng dạng HA HB HC HA Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com AH BH HC 16.4 64 AH 8cm BM CM BC 10cm Suy ra: HM CH MC 6cm 1 Nên S AHM AH HM 24cm ; S ABC AH BC 80cm 2 Vậy S AHM 24 S ABC 80 10 Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) M trung điểm BC Vẽ MD AB D, ME AC E, AH BC H qua A kẻ đường thẳng song song DH cắt DE K HK cắt AC N Chứng minh HN2 = AN.CN Hướng Dẫn: MD AB MD // AC, D trung điểm AB Tương tự E trung điểm AC Ta có DE // BA Hai tam giác BDH DAK có: (góc đồng vị) BD = DA (g – c – g) DH = AK ADHK hình bình hành Ta có HK // DA HN AC Bài 8: Giả sử AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C kẻ đường thẳng CE, CF vng góc với AB, AD Chứng minh rằng: AB AE AD.AF AC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vẽ BH AC ( H AC ) Xét HAB EAC có H E 900 A chung Suy HAB EAC (g-g) AB AH AB AE AH AC (1) AC AE Xét HBC FCA có H F 900 BCH CAF (BC//AF) Suy HBC FCA (g-g) BC HC BC AF HC AC (2) AC AF Mà AD = BC (vì ABCD hình bình hành) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: AH.AC + HC.AC = BC.AF + AB.AE AC(AH+HC) = BC.AF + AB.AE AC = BC.AF + AB.AE (đpcm) Bài 9: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh AE.AB = AD.AC b) Chứng minh ADE ABC c) Chứng minh CH.CE + HB.BD = BC d) Giả sử góc A có số đo 600 S ABC 120cm Tính S ADE Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Xét AEC ADB có D E 900 A chung Nên AEC AE AC AD AB ADB (g-g) Vậy AE.BA AD AC (đpcm) b) Xét ADE ABC có A chung AE AC (cm câu a) AD AB Nên ADE ABC Vậy ADE ABC c) Vẽ HF BC, F BC Xét tam giác BFH tam giác BDC có B chung D F 900 Nên BFH BDC BF BH BH BD BF BC Suy BD BC Chứng minh tương tự ta có CH CE CF BC Mà CF BC BC BF BC (CF BF ) BC Do CH.CE + HB.BD = BC (đpcm) d) Đặt AB = a Trong tam giác vng ADB ta có A = 600 suy B1 300 ADB tam giác cạnh AB = a nên đường cao BD Mặt khác, ta có ADE AD AE AB AC S AD ADE S ABC AB ABC (cm câu b) a a ; AD 2 2 S AD a Vậy ADE a S ABC AB SABC 120cm Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1 nên S ADE = SABC 120 30cm 4 Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Qua điểm D đáy BC kẻ đường vuông góc với BC cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự E G Chứng minh DB.DC = DE.DG Hướng Dẫn: Xét DGC ABC có D A 900 C chung Suy DGC ABC (g-g) DG DC DG AB AB.DC DG AC (1) AB AC DC AC Xét ABC DBE có D A 900 B chung Suy ABC DBE (g-g) BD DE AB.DE DB AC AB AC DE AB (2) DB AC Từ (1) (2) suy DE DC DB DG Vậy DB.DC = DE.DG Bài 11: Trong tam giác ABC có hai góc B góc A thỏa mãn điều kiện A 900 B , kẻ đường cao CH Chứng minh CH BH AH Hướng Dẫn: Trong tam giác vng AHC ta có C1 A 900 (1) Trong tam giác vuông BHC ta có C2 B 900 (2) Mặt khác ta có A 900 B thay vào (1) ta C1 B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy ta có C1 B Xét HBC vng H HCA vng H có C1 B (cmt) Nên HBC HCA HB HC HC HB.HA HC HA Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm D cạnh AC kẻ đường CEvng góc với DB E Chứng minh BE.AC = AB.EC + AE.BC Hướng Dẫn: Gọi M giao điểm AB CE Vẽ AF vng góc với AE (Fthuộc BE) Xét MBE MCA có E A 900 M chung Suy MBE MCA (g-g) MB MC ; MBE MCA ME AM Xét ABF ACE có (cùng phụ với FED ) MBE MCA (cmt) ABF EAC Suy ABF ACE (g-g) AB BF AB.CE AC.BF (1) AC CE Mặt khác, ta có ABD ECD (g-g) E A 900 ADB EDC (đối đỉnh) DA BD AD DE DE DC DB DC Ta lại có ADE BDC có AD DE (cmt) ADE BDC (đối đỉnh) DB DC AED DCB Nên AEF ACB có AED DCB (cmt) E A 900 AE EF AE.CB AC.EF (2) AC CB Cộng (1) (2) vế theo vế ta AB.CE AE.BC AC BF AC.EF AC ( BF EF) AC.BE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy BE.AC = AB.EC + AE.BC Bài 13: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD M, tia DE cắt AB N Chứng minh rằng: a) NBC BCM b) BM vuông với CN Hướng Dẫn: a) Ta có AB//CM AB BE CM CE (1) Và ta có CD//BN BN BE CD CE (2) Từ (1) (2) BN BA CD CE BN MC CD AB mà CD = AB = BC (do ABCD hình thang vuông) BN BC BC MC BN MC BC Vậy NBC b) Ta có NBC BCM BCM (cm câu a) Suy B2 N ; C2 M Mà B1 B2 900 B1 N 900 Vậy BM vuông với CN Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH, từ H kẻ HI vng góc với AB I, HK vng góc với AC K a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC suy AI.AB = AK.AC b) Chứng minh c) Gọi O trung điểm đoạn IK Từ A vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng BO R Đường thẳng AR cắt cạnh BC S Chứng minh S trung điểm đoạn thẳng HC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a)Tứ giác AKHI có nên AKHI hình chữ nhật, ta có: Lại có (cùng phụ với góc Hai tam giác AKI ABC có ) Suy chung, b) Theo trên, nên , hai tam giác AKB AIC có Từ ta có chung nên c) Xét tam giác ABS có AH BR đường cao nên O trực tâm tam giác ABS SO AB, suy SO // AC Mặt khác, theo tứ giác AKHI hình chữ nhật nên O trung điểm AH Như tam giác AHC, SO đường trung bình Từ ta có S trung điểm HC Bài 15:Cho tam giác Hướng Dẫn: cân , , , đường cao Tính độ dài A K B Vẽ đường cao Nên C có H , đồng dạng (g.g) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 16: Cho tam giác vuông , , Trên tia đối tia lấy điểm cho Trên nửa mặt phẳng chứa có bờ vẽ tia vng góc với Vẽ đường trịn , cắt tia Chứng minh vng góc với Hướng Dẫn: x E B nên ( Hình 22 ) có A D C ( ) đồng dạng (trường hợp cạnh huyền cạnh góc vng ),suy = (1) Ta lại có + (2) Từ (1) (2) suy Do Bài 17: Cho tam giác ) Biết , Hướng Dẫn: + , tức vuông , đường cao Tính độ dài Kẻ vng góc với ( thuộc Bài 18: Cho tam giác , đường cao ,trực tâm Biết , , Tính độ dài Hướng Dẫn: ABD CHD đồng dạng (g.g), HD = cm Bài 19: Cho tam giác , đường cao ’, , , cắt Chứng minh Hướng Dẫn: AHB ' BHA ' đồng dạng (g.g) AH HB ' AH HA ' BH HB ' BH HA ' Tương tự AH HA ' CH HC ' Bài 20: Cho tam giác , đường cao Chứng minh a) Các tam giác dồng dạng b) Các tam giác đồng dạng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Hướng Dẫn: a) ABD ACE đồng dạng (g.g) AB AD AC AE Do ADE ABC đồng dạng (c.g.c) b) Từ câu a suy Bài 21: Tỉ số cạnh góc vng tam giác vuông 3:4, đường cao tương ứng với cạnh huyền dài Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Hướng Dẫn: Gọi ABC tam giác vuông A, đường cao AH AHB CHA đồng dạng (g.g) AH HB AB 12 HB CH HA CA HC 12 Suy HB = cm, HC = 16 cm Bài 22: Hình thang vng a) Tính độ dài b) Tính tỉ số Hướng Dẫn: có = , hai đường chéo vng góc với A B C D a) ABD DAC đồng dạng (g.g) AB AD AD AB.DC 4.9 36 Vậy AD = cm DA DC BD AB b) Hai tam giác đồng dạng suy AC DA Bài 23: Cho hình chữ nhật cắt Tính độ dài Hướng Dẫn: có Đường thẳng qua Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! vuông góc với Trang 15 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com A B D C E EDA DAB đồng dạng (g.g) Đáp số EC 7cm Bài 24: Cho hình Điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh chân đường vng góc kẻ từ đến a) Chứng minh tam giác đồng dạng b) Tính cho Gọi Hướng Dẫn: a) AHF BHA đồng dạng (g.g) nên AH AF , BH BA AH AE E HBC Cịn HA (góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) Vậy HAE BH BC HBC đồng dạng (c.g.c) b) Từ câu a suy AHE BHC Bài 25: Cho tam giác vuông , đường phân giác cắt đường cao Chứng minh Hướng Dẫn: A D E B H C Theo tính chất đường phân giác ABH ABC , ta có: HE BH AD BA , EA BA DC BC Nhưng AHB CAB đồng dạng (g.g) BH BA HE AD BA BC EA DC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 26: Gọi đường chéo lớn hình bình hành , và a) Gọi hình chiếu Chứng minh b) Chứng minh Hướng Dẫn: theo thứ tự hình chiếu E B C K H A a) Do AC đường chéo nên ABC ACD 90o , D F E F nằm ngồi cạnh AB, AD Ta có AFC AHD đồng dạng(g.g) AC AF AD.AF AC AH (1) AD AH b) Vẽ BK AC chứng minh tương tự ta AB AE AK AC (2) Từ (1) (2) suy ra: AD.AF AB AE AC AH AC AK AC ( AH AK ) AC (vì AH AK AC AK CH ) Bài 27: Cho hai tam giác ABC cân A cân Cho biết tỉ số hai đường cao BH tỉ số hai cạnh tương ứng AC chứng minh hai tam giác đồng dạng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17