Tăng cường các hoạt động của học sinh trong dạy học bất đẳng thức bất phương trình ở lớp 10 THPT

Tăng cường các hoạt động của học sinh trong dạy học bất đẳng thức bất phương trình ở lớp 10 THPT

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Định hớng đổi mới PPDH Toán ở trờng phổ thông hiện nay là tích

cực hoá hoạt động học tập của học sinh Định hớng này có thể đợc diễn

đạt theo nhiều cách khác nhau, nhng tựu trung lại, bản chất của nó là

tăng cờng hoạt động của ngời học.

Tâm lý học đã chứng minh đợc rằng, năng lực, t duy và kỹ năngcủa con ngời chỉ có thể đợc hình thành và phát triển thông qua hoạt

động Do đó, muốn phát triển đợc trí tuệ cho học sinh thì đơng nhiênphải tạo môi trờng cho họ đợc hoạt động

Nhiều nhà khoa học uy tín đã khẳng định rằng dạy Toán là dạy

hoạt động Toán học, và cũng đã có những công trình nghiên cứu về các

hoạt động Toán học của học sinh Nhờ những công trình này, giáo dụchọc Toán học đã phát triển thêm một bớc

Sách giáo khoa Toán phân ban sau nhiều năm thí điểm đã đợc đavào sử dụng chính thức từ năm học 2006 - 2007 với nhiều sự đổi mới vềnội dung và phơng pháp trình bày Để dạy có hiệu quả theo chơng trình

và Sách giáo khoa mới, ắt phải có những cải tiến về phơng pháp và hìnhthức tổ chức dạy học - mà trong đó cần quan tâm thích đáng tới các hoạt

động của học sinh

Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học môn Toán đợc tácgiả Nguyễn Bá Kim đề xuất năm 1983 Quan điểm này đợc thể hiện quabốn T tởng chủ đạo Vận dụng tốt quan điểm này là một tiền đề để gópphần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán Tuy nhiên, vận dụng quan

điểm này nh thế nào thì đây là một vấn đề cần đợc cụ thể hóa theo từngchủ đề nhất định

Trong môn Toán có rất nhiều dạng hoạt động, phát hiện ra cácdạng hoạt động đó và cho học sinh tập luyện những hoạt động này có ýnghĩa then chốt để nâng cao hiệu quả học tập của học sinh

Bất đẳng thức - Bất phơng trình là một chủ đề rất quan trọng của

Đại số 10, những kiến thức trong chủ đề này đóng vai trò nền tảng,xuyên suốt và đợc vận dụng rất nhiều trong môn Toán bậc THPT Nhng

cha có một công trình nào nghiên cứu việc tăng cờng hoạt động của họcsinh trong dạy học chủ đề này, do đó chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu

của Luận văn là: "Tăng cờng các hoạt động của học sinh trong dạy học Bất đẳng thức - Bất phơng trình ở lớp 10 THPT"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc tổ chức, tập luyện, tăngcờng các hoạt động của học sinh trong dạy học BĐT - BPT ở lớp 10THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến khái niệm hoạt độngtrong Tâm lí học

3.2 Tổng quan một số vấn đề về tích cực hoá hoạt động học tậpcủa học sinh

3.3 Tìm hiểu Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán

3.4 Làm sáng tỏ các dạng hoạt động và hoạt động thành phần đợcthể hiện trong chủ đề BĐT - BPT

3.5 Đề xuất những quan điểm cơ bản về việc tăng cờng các hoạt

động của học sinh trong dạy học BĐT - BPT

3.6 Phân tích một số vấn đề về chơng trình và SGK Đại số lớp 10 phânban

3.7 Thể hiện việc tăng cờng các hoạt động của học sinh trong dạyhọc BĐT - BPT

3.8 Thực nghiệm s phạm

4 Phơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát và thực nghiệm s phạm

5 Giả thuyết khoa học

Nếu làm sáng tỏ đợc các dạng hoạt động thể hiện trong dạy họcBĐT-BPT ở lớp 10 THPT và tổ chức, thiết kế các hoạt động này mộtcách hợp lí, thì sẽ góp phần nâng cao đợc hiệu quả dạy học Toán ở trờngTHPT, đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu và định hớng đổi mới phơng phápdạy học

6 Cấu trúc luận văn

Chơng 1Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.3.1.3 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

1.3.1.4 Tập trung vào những hoạt động Toán học

2.4 Các dạng hoạt động tơng thích với Đ4 SGK Đại số 10 Nâng cao.2.5 Các dạng hoạt động tơng thích với Đ5 SGK Đại số 10 nâng cao

2.6 Các hoạt động tơng thích với Đ6 SGK Đại số 10 Nâng cao

2.7 Các dạng hoạt động tơng thích với Đ7 SGK Đại số 10 Nâng cao

2.8 Các hoạt động tơng thích với Đ8 SGK Đại số 10 Nâng cao

Kết luận chơng 2

Chơng 3 thực nghiệm s phạm3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận.

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Về định hớng đổi mới PPDH

Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ơng ĐảngCộng sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ:

"Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào đào tạo những con

ng-ời lao động, tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là dân giàu, nớc mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh".

Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ơng ĐảngCộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định:

"Phải đổi mới phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc sâu lối truyền

thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho ngời học Từng

b-ớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học".

Các quan điểm trên đây đã đợc pháp chế hoá trong Luật Giáo dục

nh sau:

"Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 4).

"Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự

giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, từng môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại

niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I,

Điều 24)

Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nớc đang đòi hỏi cấp bách phảinâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo Theo tinh thần Nghị quyết trên,cùng với những thay đổi về nội dung, cần phải có những đổi mới căn bản

về phơng pháp dạy học Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay,việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang ngự trị PGS TSTrần Kiều đã nhận xét:

"Giáo viên vẫn dạy theo cách nh đã dạy từ mấy chục năm qua, với phơng pháp "thuyết trình có kết hợp đàm thoại" là chủ yếu, về thực vẫn

là "thầy truyền đạt, trò tiếp nhận, ghi nhớ" Trong mấy năm gần đây xuất hiện một hiện tợng là sử dụng khá phổ biến cách dạy "thầy đọc, trò

chép" thậm chí "thầy đọc, chép và trò chép", dạy theo kiểu nhồi nhét,

dạy chay, dạy theo kiểu luyện thi "(Trần Kiều 1997, tr.11).

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xã hội côngnghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảysinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trongngành giáo dục và đào tạo Định hớng cho sự đổi mới PPDH hiện nay làPPDH cần hớng vào việc tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo Định hớng này còn đợc

gọi tắt là "Hoạt động hoá ngời học".

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt độngnhất định Phát hiện đợc những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung

là vạch đợc một con đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợcnhững mục đích dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hoá đợc mục

đích dạy học nội dung đó và chỉ ra cách kiểm tra xem mục đích dạy học

có đạt đợc hay không và đạt đợc đến mức độ nào Quan điểm này thểhiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và phơng pháp dạy học

Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học Mac-xitcho rằng con ngời phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra tronghoạt động

Cụ thể hoá Định hớng "hoạt động hoá ngời học", có những hàm ý

sau đặc trng cho PPDH hiện đại:

- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác, tích cực,chủ động, sáng tạo của hoạt động học tập đợc thực hiện độc lập hoặcgiao lu

- Ngời học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hìnhthành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo

lệnh của thầy giáo Với Định hớng "hoạt động hóa ngời học", vai trò chủ

thể của ngời học đợc khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt

động và bằng hoạt động của bản thân mình

- Xây dựng những tình huống có dụng ý s phạm cho học sinh họctập trong hoạt động và bằng hoạt động đợc thực hiện độc lập hoặc tronggiao lu

Tri thức là đối tợng của hoạt động học tập, chính vì thế để dạy mộttri thức nào đó, thầy giáo thờng không thể trao ngay cho học sinh điềuthầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thờng là cài đặt tri thức đó vào nhữngtình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tựgiác, tích cực, chủ động và sáng tạo của bản thân

Theo Lý thuyết Kiến tạo trong TLH, học tập là một quá trình trong

đó ngời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môitrờng, những khó khăn và những sự mất cân bằng Theo Lý thuyết tìnhhuống, một môi trờng không có dụng ý s phạm là không đủ để chủ thể(học sinh) kiến tạo đợc tri thức theo đúng yêu cầu mà xã hội mongmuốn Vì vậy điều quan trọng là thiết lập những tình huống có dụng ý sphạm để ngời học học tập trong hoạt động, học tập bằng thích nghi

- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học: Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quátrình học tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ởbản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thựchiện những quá trình học tập một cách có hiệu quả Đơng nhiên, ý tởngnày chỉ có thể đợc thực hiện trong những quá trình mà ngời học thực sựhoạt động để đạt đợc những gì mà họ cần đạt

Một mặt đặc biệt quan trọng của dạy việc học là dạy tự học Khotàng văn hoá của nhân loại là vô tận Để có thể sống và hoạt động suốt

đời thì phải học suốt đời Để học đợc suốt đời thì phải có khả năng tựhọc Khả năng này cần đợc rèn luyện ngay trong khi còn là học sinh ngồitrên ghế nhà trờng Vì vậy quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học.Việc dạy tự học đơng nhiên chỉ có thể thực hiện đợc trong một cách dạyhọc mà ngời học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng nhu cầu của xãhội đã chuyển hoá thành nhu cầu của chính bản thân họ

- Chế tạo và khai thác những phơng tiện phục vụ quá trình dạy học:Phơng tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơngiản tới những phơng tiện kỹ thuật tinh vi nh thiết bị nghe nhìn, côngnghệ thông tin và truyền thông giúp thiết lập những tình huống có dụng

ý s phạm, tổ chức những hoạt động và giao lu của thầy và trò

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả củabản thân ngời học

Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo một mặt

đòi hỏi và mặt khác tạo ra niềm vui Niềm vui này có thể có đợc bằngnhiều cách khác nhau nh động viên, khen thởng, nhng quan trọng nhấtvẫn là niềm lạc quan dựa trên lao động và thành quả học tập của bản thânngời học

- Xác định vai trò mới của ngời thầy với t cách ngời thiết kế, uỷthác, điều khiển và thể chế hoá

Định hớng hoạt động hoá ngời học dễ dẫn tới việc ngộ nhận vì sựgiảm sút vai trò của ngời thầy Nhng vai trò, trách nhiệm của ngời thầybây giờ là ở chỗ khác, quan trọng hơn, nặng nề hơn, nhng tế nhị hơn, cụthể là:

Thiết kế: lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học cả về mặt mục

đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức tổ chức

Uỷ thác: hoạt động của thầy nhằm chuyển giao ý đồ s phạm, ý đồ

dạy học sang ý đồ nhận thức cho học sinh Học sinh thấy đợc mongmuốn giải quyết vấn đề thầy đặt ra nhờ các hoạt động t duy, tích cực, độclập, sáng tạo

Điều khiển: là sự động viên, hớng dẫn trợ giúp và đánh giá.

Thể chế hoá: là xét xem những vấn đề học sinh tìm đợc đúng hay

sai? Nếu đúng thì ghi nhận, còn sai thì phân tích, sửa chữa sai lầm chohọc sinh

1.2 Hoạt động

Trong mục này, Luận văn sẽ sơ lợc quan điểm hoạt động dới góc

độ cấu trúc vĩ mô của hoạt động, đợc đề xuất bởi A N Lêontiev để thấy

đợc sự tơng hợp nhất định giữa Quan điểm hoạt động trong phơng phápdạy học Toán và Lý thuyết hoạt động trong Tâm lý học Một quan điểm cơbản của lý thuyết hoạt động của Lêontiev là:

" , hoạt động mang hình thức bên trong sinh ra từ hoạt động thực tiễn bên ngoài, không tách xa và không đứng trên hoạt động bên ngoài, mà duy trì mối liên hệ mang tính nguyên tắc, đồng thời là hai chiều với hoạt

động bên ngoài "(Một số công trình Tâm lý học A N Lêontiev - GS, Viện sĩ Phạm Minh Hạc - Biên dịch và giới thiệu - Nxb Giáo dục - 2003).

Theo tác giả, một hoạt động bao giờ cũng nhằm vào một đối tợngnhất định, hai hoạt động khác nhau đợc phân biệt bởi hai đối tợng khácnhau Đối tợng của hoạt động là cái con ngời cần làm ra, cần chiếm lĩnh,

đó là động cơ Ông cho rằng: "Đã gọi là "hoạt động tâm lý" thì phải có

động cơ phù hợp Không thể có một hoạt động không có động cơ" (dẫn

theo Hồ Ngọc Đại - Tâm lý học dạy học - Nxb ĐHQG Hà Nội - 2000).

Nh vậy, khái niệm hoạt động gắn liền một cách tất yếu với kháiniệm động cơ Động cơ có hai nơi ở : bên ngoài và bên trong tâm lý Nóvẫn là một duy nhất Trong cả hai trờng hợp, hoạt động bao giờ cũng là

sự gặp gỡ giữa chủ thể và đối tợng của hoạt động

Về phía đối tợng, trớc hết ta có động cơ đợc thể hiện thành nhucầu Nhng động cơ này tự nó không sẵn có ngay từ đầu, mà cũng là cái

đang sinh thành và phát triển Động cơ đợc phát triển từ những đối tợngkém phát triển, còn trừu tợng, theo xu hớng ngày càng cụ thể hơn Tiếntrình đó đợc chốt lại trong những mục đích Về phía đối tợng, còn có mộtkhái niệm nữa là nhiệm vụ Quá trình đi đến mục đích bị quy định bởicác điều kiện, phơng tiện thực hiện nó Nhiệm vụ là thể thống nhất giữamục đích và điều kiện

Về phía chủ thể, để thực hiện động cơ, chủ thể phải dùng sức căngcủa bắp thịt và thần kinh, phải vận dụng năng lực thực tiễn đã có Quátrình ấy gọi là hoạt động Động cơ đợc cụ thể hoá thành hệ thống mục

đích Mỗi mục đích là một đối tợng cần chiếm lĩnh Quá trình chiếm lĩnhnày gọi là hành động

1.3 Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán

Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học có thể đợc thểhiện ở các T tởng chủ đạo sau đây (Nguyễn Bá Kim 2002, trang 122):

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt

động thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học;

- Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;

- Dẫn dắt học sinh chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh phơng tiện và kết quả của hoạt động;

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.

Những T tởng chủ đạo này giúp thầy giáo điều khiển quá trình họctập của học sinh Muốn điều khiển phải đo những đại lợng ra, so sánh vớimẫu yêu cầu và khi cần thiết thì phải có sự điều chỉnh Trong dạy học,việc đo và so sánh này căn cứ vào những hoạt động của học sinh Việc

điều chỉnh đợc thực hiện nhờ tri thức, trong đó có tri thức phơng pháp vàdựa vào sự phân bậc hoạt động

Những T tởng chủ đạo này phân ranh giới rõ ràng với quan điểmthực dụng phiến diện, chỉ quan tâm tới những hành động thụ động, máymóc Khác với quan điểm đó, ở đây, ta chú ý đến mục đích, động cơ, đếntri thức phơng pháp, đến trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo đợctính tự giác, chủ động, sáng tạo của hoạt động, một yếu tố không thểthiếu của sự phát triển nói chung và của hoạt động học tập nói riêng

Những T tởng chủ đạo trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục

đích dạy học Hớng vào hoạt động theo các t tởng chủ đạo trên không hềlàm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diệncủa mục đích đó

Sau đây ta sẽ đi cụ thể vào những T tởng chủ đạo mà Nguyễn BáKim xem nh những thành tố cơ sở của PPDH, ta gọi các thành tố cơ sởcủa PPDH là:

Nội dung của T tởng này là:

Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học.

1.3.1.1 Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung:

Một hoạt động là tơng thích với một nội dung nếu nó góp phần

đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Từ

"kết quả" ở đây đợc hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể,phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trờng bên ngoài Việc phát hiện nhữnghoạt động tơng thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sựhiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau(nh khái niệm, định lý hay phơng pháp), về những con đờng khác nhau

để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đờng quy nạp hay suydiễn để xây dựng khái niệm, con đờng thuần tuý suy diễn hay có pha suy

đoán để học tập định lý

Trong việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung, tacần phải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên nhữngbình diện khác nhau Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Những hoạt động ngôn ngữ;

+ Những hoạt động trí tuệ chung;

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến;

+ Những hoạt động toán học phức hợp

Sau đây ta sẽ đi vào các hoạt động cụ thể đó:

Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hớng tráingợc nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp.

ơng trình thứ hai nhng không là nghiệm của bất phơng trình thứ nhất.Tuy nhiên, nhiều học sinh suy nghĩ "đơn giản": lợc bỏ hai vế cùng biểuthức 2  x 3 thì đợc bất phơng trình tơng đơng

x với điều kiện x  4

Cố nhiên hai bất phơng trình không tơng đơng với nhau

Những hoạt động ngôn ngữ đợc học sinh thực hiện khi họ đợc yêucầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt làbằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác

Ví dụ 2:

Khi dạy tính chất: "Nếu c > 0 thì a > b  ac > bc", chúng ta yêucầu học sinh phát biểu tính chất trên bằng lời lẽ của mình, ta mong họcsinh sẽ phát biểu:

"Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một biểu thức

a



 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b"

Ta yêu cầu học sinh phát biểu bằng lời lẽ của mình về nội dung bất

đẳng thức đó

Mong đợi học sinh phát biểu:

"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bìnhnhân của chúng Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bìnhnhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau"

Những hoạt động trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, so sánh xéttơng tự, trừu tợng hoá, khái quát hoá, cũng đợc tiến hành thờng xuyênkhi học sinh học tập môn Toán

Ví dụ 4:

Sau khi học xong Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bìnhnhân đối với hai số không âm, chúng ta yêu cầu học sinh phát biểu kếtquả tơng tự cho ba số không âm

Mong đợi câu trả lời:

"Với a  0, b  0, c  0 ta có:

.3

c b a

Sau đó yêu cầu học sinh khá, giỏi khái quát hoá để đi đến bất đẳng

thức trên trong trờng hợp tổng quát

Mong đợi một số học sinh sẽ phát biểu rằng:

"Với a1, a2 , , an là các số không âm, ta có:

n

a

a a

1  2   n n

n

a a

Ta yêu cầu học sinh khái quát hoá, phân tích, định hớng tìm racách giải các dạng phơng trình, bất phơng trình sau:

0 1

2x   (2)Với các điều kiện (1) và (2), phơng trình đã cho tơng đơng với ph-

ơng trình

2

2 24 22 (2 1)

Hiển nhiên (3) kéo theo (1) Do đó, nghiệm của phơng trình đã cho

là nghiệm của phơng trình (3) thoả mãn bất phơng trình (2) Nói mộtcách khác, phơng trình đã cho tơng đơng với hệ gồm bất phơng trình (2)

và phơng trình (3)

Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọngtrong môn Toán, nhng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là:lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiềunghiệm), phân chia trờng hợp,

Ví dụ 7 (Hoạt động phân chia trờng hợp):

Khi dạy học giải và biện luận phơng trình ax + b = 0, chúng ta racho học sinh bài toán sau:

"Giải và biện luận phơng trình theo tham số m:

m2x + 2 = x + 2m"

Yêu cầu học sinh biến đổi tơng đơng để đa về dạng phơng trìnhbậc nhất:

(m2 - 1)x = 2(m - 1)Sau đó giáo viên nêu câu hỏi:

Muốn tìm x ta phải làm nh thế nào?

Học sinh trả lời:

Giáo viên hỏi tiếp:

Từ đó giáo viên phân tích, để dẫn đến xét ba trờng hợp: m 1;

m = 1 và m = -1

Những hoạt động Toán học phức hợp nh chứng minh, định nghĩa,giải toán bằng cách lập phơng trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹtích, thờng xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK phổ thông Chohọc sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững nhữngnội dung Toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực Toán học t-

a b

Giáo viên nêu câu hỏi:

Với a > 0, b > 0 Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức nào.

Mong đợi câu trả lời:

b a ab

b a







Và tơng đơng với Bất đẳng thức nào đơn giản hơn nữa?

Mong đợi câu trả lời:

 (a + b)2 ≥ 4ab

Từ đó hớng dẫn học sinh biến đổi để suy ra điều phải chứng minh

quan sát hình ảnh trực quan.

" Do đặc điểm của Toán học, hình thức trực quan đợc sử dụngrộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong môn Toán là trực quan tợng trng(hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu, )

Trong dạy học môn Toán, việc sử dụng hợp lý các phơng tiện trựcquan tợng trng đóng một vai trò vô cùng quan trọng, các phơng tiện trựcquan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái niệm mà còn hỗtrợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy học giải bài tập Toán …

(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận, Tạp chí Giáo dục, số 143, kỳ 1,tháng 8/2006).

Ví dụ 9:

Trong các sách giáo khoa trớc đây, Định lý về dấu tam thức bậchai đợc chứng minh hoàn toàn bằng suy diễn, nói cách khác là bằng biến

đổi, thêm bớt, phân tích đa thức thành nhân tử Còn hiện nay, Định lý ấy

đợc phát hiện nhờ vào sự quan sát hình ảnh trực quan Tuy con đờng đócha thể coi là chứng minh, nhng hi vọng với cách tiếp cận này học sinh

sẽ dễ tiếp thu hơn và do đó kiến thức có thể đợc khắc sâu hơn

Ta cho học sinh quan sát 6 trờng hợp về đồ thị của hàm số bậc hai:

1   0(tam thức bậc hai vô nghiệm)

(x

af < 0 với mọi x (x1;x2)

0 ) (x 

af với mọi

)

; ( )

; ( 1  2 

)

(x

f + o - o + f (x) - o + o -

Rồi sau đó yêu cầu học sinh trả lời những câu hỏi kiểu nh:

Ví dụ 10: Cho Bài toán sau:

Với các giá trị nào của m, bất phơng trình:

(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng với mọi 2]

[-1,

Bài toán có thể giải nh sau:

Ta viết bất phơng trình đã cho dới dạng:

(m2 + m +1)x +3m +1 > 0

Đặt: f(x) = (m2 + m + 1)x +3m +1

Ta thấy, với mỗi giá trị của m, đồ thị của hàm số y  f(x) là đờng

thẳng (dm)

Gọi Am, Bm là các điểm trên đờng thẳng(dm)

có hoành độ thứ tự là -1 và 2

Nhìn vào hình vẽ ta thấy f(x)  0

với x  [-1, 2] khi và chỉ khi

đoạn thẳngAmBm nằm phía trên

trục hoành Điều này xảy ra khi

và chỉ khi hai điểm Am và Bmnằm phía trên trục hoành, nghĩa là:











 0 ) 2 (

0 ) 1 (

f f

Thay: f(-1) = -m2 + 2m

f(2) = 2m2 + 5m + 3

Ta đợc hệ bất phơng trình:

Am

Bm

y

x 2

-1

02

m m

Rút ra đợc: 0m 2

Ví dụ 11:

Khi dạy dấu của tam thức bậc hai trên một miền (miền ở đây cóthể là đoạn, khoảng, nửa khoảng, ), chúng ta không thể bắt học sinhhọc thuộc hàng loạt các hệ điều kiện tơng đơng với các mệnh đề:

Khi dạy giải dạng toán này, thay vì áp đặt các hệ điều kiện tơng

đ-ơng, chúng ta có thể dẫn dắt bằng các câu hỏi nh sau:

H1: Hãy sử dụng khái niệm tập nghiệm của bất phơng trình để cho

Mong đợi câu trả lời:

H2: Mọi x 2 đều làm cho f (x)  0, tức là x [ 2 ,+) đều

Mong đợi câu trả lời:

[2, +) là tập con của tập nghiệm.

H3: Tập nghiệm của bất phơng trình f (x)  0 còn phụ thuộc vào yếu tố nào nữa, hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phơng trình tơng ứng với các trờng hợp?.

Mong đợi câu trả lời:

Mong đợi câu trả lời:

) ,

[ ] , (  1  2 



Từ đây, giáo viên lí giải cho học sinh:

Ta thấy, theo giả thiết, hễ x  2 là f(x)  0, hay hễ x  [2, +) là

).

, [ ] ,

,

(  x1  x2 

H6: Hãy biểu diễn [2, +) cùng với (,x1][x2,).trên trục

Mong đợi câu trả lời:

Minh hoạ trên trục số ta suy ra đợc rằng: x1 < x 2  2

f(x) = 2x2 + mx + 3 ≤ 0 x[-1, 1]

Giáo viên có thể dẫn dắt bằng các câu hỏi tơng tự ví dụ trên sau đóminh hoạ trên trục số biểu diễn [-1, 1] cùng với [x1, x2] (khi   0 ) trêntrục số để rút ra vị trí tơng đối giữa các số -1, 1, x1, x2

- Khi dạy chủ đề hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số, để tìm cực

trị của biểu thức L(x,y)ax by với hệ điều kiện ràng buộc kèm theo,học sinh chỉ đợc dựa vào sự suy luận thông qua hình vẽ Việc tìm cực trịcủa biểu thức L(x,y)ax by đã phản ánh rõ nét ý nghĩa của phơngtiện trực quan tợng trng trong dạy học Đại số 10

b ax

1 2

H1: Em có so sánh gì về dấu của

5 3

1 2







x x

Mong đợi câu trả lời:

Hai biểu thức cùng dấu với mọi x

f(x) là một tam thức bậc hai có hệ số a = -6 < 0, có hai nghiệm

1 ,

ơng trình x 1  x luôn không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc bấtphơng trình tơng đơng x -1 < x2" (2)

Giáo viên biết rằng học sinh đã lập luận sai, nhng phân tích, sửachữa sai lầm của học sinh bằng cách nh thế nào (cho họ dễ hiểu) thìkhông phải điều dễ Phơng pháp tơng đối hợp lý là giáo viên phân tích và

lí giải cho học sinh:

"Theo định nghĩa, hai bất phơng trình tơng đơng là hai bất phơngtrình cùng tập nghiệm ở đây, vì 0 chẳng hạn là nghiệm của bất phơngtrình (2) nhng không là nghiệm của bất phơng trình (1) cho nên 2 bất ph-

ơng trình không tơng đơng với nhau"

Và nhấn mạnh thêm cho học sinh: "Hệ quả trên nói rằng: Nếu f(x)

) ( )

khoát phải hiểu rằng sự tơng đơng đó là xét ở trên D Vì sao? Đối với[f(x)]2 và [g(x)]2 thì tuần tự thực hiện phép tính là: thay x vào f (hoặc g);tiếp tục bình phơng các kết quả vừa tìm đợc, do đó khi dùng kí hiệu[f(x)]2 ta phải ngầm hiểu rằng x phải thuộc vào tập xác định của f (bởi vìnếu x không thuộc tập xác định của f thì f(x) đã vô nghĩa mất rồi) Dùrằng [f(x)]2 và [g(x)]2 có thể đợc biến đổi cho gọn nhng "sự gọn" ấyphải diễn ra trên tập xác định D Nói một cách khác, hớng tới "cái gọn"nhng vẫn không đợc lãng quên nhờ đâu mà đi tới đợc "cái gọn" đó".

Hệ quả ở trang 116, sách Đại số 10, Nâng cao (bàn về sự tơng

đ-ơng của việc nâng lên luỹ thừa bậc hai), nếu sửa đổi thành:

"Nếu f(x), g(x) không âm xD, thì trên D f(x) < g(x)  [f(x)]2

< [g(x)]2 có lẽ sẽ hạn chế bớt đợc những sai lầm của học sinh trong quátrình biến đổi tơng đơng

Sau đó củng cố cho học sinh Bài toán sau:

Ví dụ 16: Giải bất phơng trình sau (bằng cách bình phơng hai vế),

giải thích rõ các phép biến đổi tơng đơng đã thực hiện:

x

Chúng ta dẫn dắt học sinh bằng các câu hỏi để phát huy tính tíchcực của học sinh nh sau:

- Vì sao ta sử dụng đợc qui tắc nâng lên luỹ thừa bậc hai?

Mong đợi câu trả lời:

Vì hai vế của bất phơng trình x  1  x luôn luôn không âm  x.

- Hãy tiếp tục biến đổi tơng đơng và chỉ rõ đó là những phép biến

2 1

1 2

(*) Hoạt động suy luận logic:

Theo Từ điển, suy luận nghĩa là phơng pháp suy nghĩ đòi hỏi ta đi

từ những cái đã biết để nêu ra những lí lẽ logic nhằm để chứng minh mộtvấn đề

a a

b b

a

.2



HĐ 2: Hoạt động này tạo tình huống mới nhằm phát triển khả năngsuy diễn cho học sinh Ta mong đợi học sinh trả lời: a, b trái dấu, chẳnghạn a > 0, b < 0, đặt c = -b (c > 0) Khi đó:

c c a

Ví dụ 18:

Sau khi học xong Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0)

Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x

Nếu   0thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 

(-a

b

2 ).

Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 Khi đó, f(x)trái dấu với

hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (x1; x2), và f(x) cùng dấu với hệ số avới mọi x nằm ngoài đoạn [x1; x2] ( tức là với x < x1 hoặc x > x2)

Chúng ta có thể nêu các câu hỏi để học sinh suy luận nhằm pháthiện Định lý về tam thức không đổi dấu

nguyên một dấu?

Mong đợi câu trả lời:

Chỉ có duy nhất trờng hợp < 0

H2: Để f(x) luôn nhận dấu dơng với mọi x, cần có những điều kiện

gì?

Mong đợi câu trả lời:

Để f(x) luôn nhận dấu dơng với mọi x, có nghĩa f(x) luôn giữnguyên một dấu  < 0

 < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với x, suy ra a > 0 Điềukiện cần tìm a > 0, < 0

ở hoạt động này, nếu học sinh gặp khó khăn có thể nêu câu hỏi gợiý:

- Nếu f(x) luôn nhận dấu dơng với mọi x thì dấu của f(x) có thay

H3: Nếu a > 0,  < 0 ta suy ra dấu của f(x) nh thế nào?

Mong đợi câu trả lời:

Nếu a > 0, < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, nghĩa làf(x) > 0 x

d-ơng và suy luận cho trờng hợp f(x) luôn âm.

Những câu hỏi dẫn dắt trên đây có dụng ý giúp học sinh đi đến mộtkiến thức rất quan trọng của Đại số 10, đó là tam thức bậc hai không đổidấu.

Sau khi học Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và các hệ quảcủa nó, chúng ta đa ra các bài toán có tình huống thực tiễn giúp học sinhcủng cố kiến thức đồng thời giúp học sinh có ý thức và khả năng tối uhoá trong suy nghĩ cũng nh hành động, luôn coi trọng tiết kiệm và hiệuquả của công việc Hay dạy về chủ đề Hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn

số, để góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực Toán học hoá tìnhhuống thực tiễn, chúng ta xác định cho học sinh vấn đề tìm nghiệm của

hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số có liên quan chặt chẽ đến quyhoạch tuyến tính Đó là một ngành Toán học có nhiều ứng dụng trong

xe Toyota có thể chở 10 ngời và 1,5 tấn hàng hoá Tiền thuê một xe loạiHyundai là 4 triệu đồng và một xe loại Tôyota là 3 triệu đồng Hỏi phảithuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí là thấp nhất?

2- Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm Mỗi kg sản phẩm loại

A cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg

sản phẩm loại B cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời30000đồng Nhà máy có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc Nênsản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Hớng dẫn:

19.1) Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiềudài cạnh vuông góc với bờ giậu, theo bài ra ta có x + 2y = a Diện tíchcủa miếng đất là S = y(a - 2y)

S cực đại khi và chỉ khi 2y(a - 2y) cực đại

áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

2y) -2y(a2S 

4

a2

y2ay

 2y a -2y

24

a x

20.1) Trớc hết ta hãy đặt Bài toán thành hệ bất phơng trình

Gọi:

)Ny,x(y,

lần lợt là số xe loại Huyndai, loại Toyota

cần thuê Từ bài toán ta đợc hệ bất

6

,

0

140y

10x

20

9y0

10x0

14yx2

9y0

10x0

1496

15x

y

Tổng chi phí T(x,y)4x 3y (triệu đồng)

Thực chất của Bài toán này là tìm x, y nguyên không âm thoả mãn

hệ (*) sao cho T(x, y) nhỏ nhất

Bớc tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phơng trình

Miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC

Ta cần xác định toạ độ (x, y) của một điểm thuộc miền tứ giácIABC (kể cả biên) sao cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu Xét họ đờngthẳng cho bởi phơng trình: 4x 3y T (T  R) hay:

3

Tx3

4

ta thấy đờng thẳng này song song với đờng thẳng

x y

305y 2x   và 2x  y  14 Toạ độ của I là (xI = 5; yI = 4) Nh vậy thuê 5 xe hiệu Huyndai và 4 xehiệu Toyota thì chi phí vận tải là thấp nhất

2) Thực chất của bài toán này là phải tìm: x ≥ 0, y ≥ 0 thoả mãn hệ:

13x30

200y

4x2

sao cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất

100y

2x

0y0x

sao cho 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất.

Trên Hình vẽ ta ký hiệu:

C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80),

I là giao điểm của CE và DF Dễ thấy

toạ độ của I là (20; 40), miền nghiệm

của hệ bất phơng trình là miền tứ

giác OCID (kể cả biên) Với mỗi L

xác định, ta nhận thấy có vô số điểm

M(x; y) sao cho 4x + 3y = L, những

điểm M nh thế nằm trên đờng thẳng

AB với A(L/4; 0), B(0; L/3) Hệ số góc của đờng thẳng AB là - 4/3

Cho L lớn dần lớn lên thì đờng thẳng AB sẽ "tĩnh tiến dần lên" phía trên.Nhìn vào Hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trong những đờng thẳng có hệ sốgóc - 4/3, thì đờng thẳng đi qua I là đờng thẳng ở vị trí "cao nhất" đangcòn có điểm chung với tứ giác OCID Cha đạt tới vị trí này thì L cha phải

là lớn nhất Vợt quá "ngỡng" này thì toạ độ của mọi điểm trên đờngthẳng sẽ không còn thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc nữa Từ đó dễ dàng

đi đến kết luận là khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất

1.3.1.2 Phân tích hoạt động thành những thành phần:

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thểxuất hiện nh một thành phần của hoạt động khác Phân tách đợc một hoạt

động thành những hoạt động thành phần là biết đợc cách tiến hành hoạt

động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt

động toàn bộ, vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt độngthành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết

Chẳng hạn, khi dạy học bất phơng trình chứa ẩn trong dấu căn bậchai, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt thành phầnbằng các câu hỏi sau:

Ví dụ 21:

Giải bất phơng trình

xy

10 3

2



x < x 2

H1: Hãy nêu điều kiện xác định của bất phơng trình đã cho?

Mong đợi câu trả lời:

0103

1.3.1.3 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung thờng tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên, nếukhuyến khích tất cả các hoạt động nh thế thì có thể sa vào tình trạng rảimành mành, làm cho học sinh thêm rối ren Để khắc phục tình trạng này,cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện đợc để tập trung vào nhữngmục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đốivới việc thực hiện những mục đích còn lại

Ví dụ 22:

Khi dạy học giải, biện luận bất phơng trình dạng axb 0, điềuchủ yếu của bài học là hình thành kĩ năng giải và biện luận bất phơngtrình bậc nhất Tuy nhiên, giáo viên hớng cho học sinh chủ yếu là giảibất phơng trình bậc nhất và biểu diễn tập nghiệm trên trục số Điểm nhấnmạnh là khi biểu diễn tập nghiệm của bất phơng trình trên trục số, thứ tựcủa các điểm biểu diễn các số là quan trọng, còn khoảng cách thì khôngnhất thiết phải theo một tỉ lệ nhất định nào đó

1.3.1.4 Tập trung vào những hoạt động Toán học

Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tơng thích của hoạt

động đối với mục đích dạy học, ta cần nắm đợc chức năng phơng tiện vàchức năng mục đích của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năngnày Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trớc hết nh phơng tiện

để đạt đợc những yêu cầu Toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năngToán học Đối với những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục

đích và chức năng phơng tiện theo công thức: "Thực hiện chức năng mục

đích của hoạt động trong quá trình thực hiện chức năng phơng tiện"

(Faust 1978, tr 7 và tr 16)

1.3.2 Động cơ hoạt động

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi họcsinh phải có ý thức về những mục đích đặt ra và tạo đợc động lực bêntrong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó Điều này

đợc thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục

đích mà quan trọng hơn còn do gợi động cơ

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạymột tri thức nào đó, mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thểphân biệt những cách gợi động cơ sau:

- Gợi động cơ mở đầu hoạt động;

- Gợi động cơ và hớng đích trong quá trình tiến hành hoạt động;

- Gợi động cơ sau khi tiến hành hoạt động

* Gợi động cơ mở đầu hoạt động:

(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế:

Ví dụ 1:

Mở rộng tập số thực thành tập hợp số phức để có thể khai căn bậchai của mọi số, kể cả số âm, để cho mọi phơng trình bậc hai đều cónghiệm

Ví dụ 2:

Mở rộng khái niệm góc chuyển từ góc trong hình học phẳng (chỉxét góc dơng trong phạm vi từ 0 0 3600), sang góc lợng giác (ở đâyphạm vi góc đợc mở rộng cho góc bất kì, bao gồm có góc dơng, góc âm,góc không)

(ii) Hớng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc:

Ví dụ 3:

Lập quy trình các bớc tính khoảng cách cho hai đờng thẳng chéonhau Sau đó cho một hệ toạ độ nào đó trong không gian rồi tiến tớichuyển giao quy trình này cho máy tính

Ví dụ 4:

Lập quy trình thuật giải phơng trình bậc hai sau đó tiến tới chuyểngiao cho máy tính

(iii) Chính xác hoá một khái niệm:

Có những khái niệm mà học sinh đã biết nhng trớc kia cha thể có

định nghĩa chính xác; đến một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầygiáo gợi lại vấn đề và giúp học sinh chính xác hoá khái niệm đó

Ví dụ 5:

Trong SGK Toán lớp 7 (Tập 1), ngời ta định nghĩa khái niệm hàm

số nh sau:

"Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi

giá trị của x ta luôn xác định chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi

là hàm số của x và x đợc gọi là biến số".

Khi học lên lớp 10, khái niệm hàm số đã đợc chính xác hoá nh sau:

"Cho một tập hợp khác rỗng d r Hàm số f xác định trên d là

định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm f".

(iv) Hớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống hoá:

Chúng ta nên dẫn dắt cho học sinh đi từ đồ thị y = ax2 ( a0) đã biết cónhững đặc điểm sau: Đồ thị y = ax2 (a  0 ) là Parabol

- Đỉnh parabol là gốc toạ độ 0

- Parabol có trục đối xứng là trục tung

- Parabol hớng bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dới khi a < 0 sau

đó phân tích dạng đồ thị y = ax2 + bx + c (  a 0 )và thông báo chohọc sinh:

Nếu tịnh tiến parabol y = ax2 (  a 0 ) một cách thích hợp thì ta sẽ

(vi) Xét tơng tự

Ví dụ 1: Sau khi học bất đẳng thức cho hai số không âm bằng cách

tơng tự, hãy tìm và chứng minh bất đẳng thức đối với ba số không âm

Ví dụ 2: Sau khi học xong định lý: "Nếu M là trung điểm của đoạn

thẳng AB thì với mọi điểm 0 bất kỳ ta có: 20M =OA+ AB ".

Bằng cách tơng tự, chúng ta gợi động cơ cho việc phát hiện vàchứng minh định lý:

"Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm 0 bất kỳ ta có:

3OG =GA+OB+OC

(vii) Khái quát hoá

Ví dụ 1: Phát triển ví dụ 1 trên, đặt vấn đề phát hiện và chứng minh

bất đẳng thức cho n số không âm

Ví dụ 2: Đặt vấn đề khái quát hoá chứng minh đẳng thức vectơ cho

trọng tâm của hệ n điểm trong mặt phẳng

"Cho n điểm A1, A2, , An Khi đó tồn tại G: 





n i

i O GA

1

(viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc đại lợng nào đó:

Ví dụ: Cho dạng phơng trình trùng phơng

ax4 + bx2 + c nếu đặt y = x2 ( y 0) thì ta đi đến phơng trình bậchai đối với y : ay2 + by + c.

Do đó, muốn biết số nghiệm của phơng trình trùng phơng, ta chỉcần biết số nghiệm của phơng trình đã đặt và dấu của chúng

* Gợi động cơ và hớng đích trong quá trình tiến hành hoạt động (i) Hớng đích

Hớng đích cho học sinh là hớng vào những mục đích đặt ra, vàohiệu quả dự kiến của những hoạt động của họ nhằm đạt những mục đích

đó

Hớng đích là làm sao cho đối với những gì nói và làm, họ đều biếtnhững cái đó nhằm mục đích gì và trong quá trình tìm hiểu và mô tả con

đờng đi tới đích, họ luôn luôn biết hớng vào những quyết định và hoạt

động của mình vào mục đích đã đặt ra

Ví dụ: Khi chứng minh Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai có hai dạng: f(x) = ax2 + bx + c (  a 0 )

4

4 )

2 ( )

(

a

ac b

a

b x a x f

2

2

2 2

2 2

4

)2()

(

4

)2

4(

4

4)

2()

(

a a

b x a x

af

a a

x a a

ac b

a

b x a x

Nếu hai số dơng thay đổi nhng tổng không đổi thì tích của chúnglớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Nếu hai số dơng thay đổi nhng có tích không đổi thì tổng củachúng nhỏ nhất khi và chi khi 2 số đó bằng nhau Chúng ta yêu cầu họcsinh phát biểu đối với trờng hợp ba số dơng

(iv) Khái quát hoá

Giả sử học sinh đã giải bài toán: "Cho tứ giác ABCD với trọng tâm

G CMR với mọi điểm 0 bất kỳ ta có:

)"

( 4

1

OD OC

OB OA

Bằng cách phân tích vectơ nh sau:

DG OD

OG

CG OC

OG

BG OB

OG

AG OA

Hớng tới giải bài toán tổng quát đối với trọng tâm G của một hệ n

điểm A1, A2, , An trong mặt phẳng, có thể đặt vấn đề để học sinh kháiquát hoá cách làm trong trờng hợp tam giác, tứ giác, phân tích vectơ OGtheo n cách sau:

G A OA OG

G A OA OG

G A OA OG

1 1

(v) Xét sự biến thiên và phụ thuộc

Ví dụ: Cho dạng phơng trình trùng phơng

ax4 + bx2 + c = 0 (1) đặt x2 = y (y ≥ 0) ta có phơngtrình bậc hai đối với y

ay2 + by + c = 0 (2)Chúng ta yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi:

- Có phải phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (2) sẽ cónghiệm?

- Có phải phơng trình (2) có nghiệm thì phơng trình (1) chắc chắn

có nghiệm?

Phân tích câu hỏi thứ 2 ta thấy:

Trong trờng hợp phơng trình (2) chỉ có nghiệm âm (hoặc mộtnghiệm kép âm, hoặc hai nghiệm âm phân biệt), thì khi đối chiếu với

điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm ta thấy không thoả mãn Vậy sẽ

là sai nếu cho rằng, hễ (2) có nghiệm là (1) có nghiệm

* Gợi động cơ sau khi tiến hành hoạt động:

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác tronghoạt động học tập nh các cách gợi động cơ khác Mặc dù nó không cótác dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện,nhng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học tập nói chung vànhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trờng hợp này lại là sự chuẩn bị gợi

động cơ mở đầu cho những trờng hợp tơng tự sau này

Trên đây chúng ta đã trình bày nội dung gợi động cơ cho hoạt

động, việc sử dụng tất cả các hình thức gợi động cơ cho một hoạt động là

điều không thể thực hiện đợc vì mỗi hoạt động chỉ thích hợp với một sốhình thức gợi động cơ

1.3.3 Tri thức trong hoạt động:

Nội dung của T tởng chủ đạo này là: Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp, nh phơng tiện và kết quả của hoạt

động.

Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả của hoạt động Vì vậy,trong dạy học, ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những trithức đạt đợc trong quá trình hoạt động Có những dạng khác nhau của trithức: tri thức sự vật, tri thức phơng pháp, tri thức chuẩn, tri thức giá trị.Trong đó tri thức phơng pháp định hớng trực tiếp cho hoạt động và ảnhhởng quan trọng tới việc rèn luyện kỹ năng

Đứng trớc một nội dung dạy học, ngời thầy giáo cần nắm đợc tấtcả các tri thức phơng pháp có thể có trong nội dung đó Nắm đợc nh vậy

không phải để dạy tất cả cho học sinh một cách tờng minh mà còn phảicăn cứ vào mục đích và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độlàm việc thích hợp, từ cấp độ dạy học tờng minh tri thức phơng pháp đợcphát biểu tổng quát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phơngpháp.

Sau đây sẽ trình bày về các cấp độ đó:

- Dạy học tờng minh tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cáchtổng quát: ở cấp độ này, ngời thầy phải rèn luyện cho học sinh nhữnghoạt động dựa trên tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cách tổng quát,không chỉ dừng ở mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phơngpháp này Từng bớc hành động, phải làm cho học sinh hiểu đợc ngôn ngữdiễn tả bớc đó và tập cho họ biết hành động dựa trên phơng tiện ngônngữ đó

Ví dụ 1: Khi dạy Định lý về dấu của tam thức bậc hai, học sinh

phải nắm khái niệm tam thức bậc hai, công thức tính nghiệm của phơngtrình bậc hai Sau đó giáo viên có thể cho học sinh quan sát đồ thị rồi rút

ra kết luận về Định lý dấu của tam thức bậc hai trong các trờng hợp:

0,

0,

0    





- Thông báo tri thức phơng pháp trong quá trình hoạt động

Đối với một số tri thức phơng pháp cha đợc qui định trong chơngtrình, ta vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trìnhhọc sinh hoạt động nếu những tiêu chuẩn sau đây đợc thoả mãn:

* Những tri thức phơng pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiệnmột số hoạt động quan trọng nào đó đợc qui định trong chơng trình;

* Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian

Chẳng hạn, "Quy lạ về quen" là một tri thức phơng pháp tuy không

đợc qui định trong chơng trình nhng thoả mãn cả hai điều kiện trên trithức này có thể đợc thông báo cho học sinh trong quá trình họ hoạt động

ở rất nhiều cơ hội khác nhau

Ví dụ 2: "Quy lạ về quen"

Quá trình phân tích đi lên trong chứng minh mệnh đề:

Chứng minh A chứng minh B  Mệnh đề F(F là kiến thức

đã biết, biết chứng minh)

Ví dụ 3: Khi học sinh có kiến thức về tích vô hớng, hớng dẫn học

sinh tìm độ dài đờng trung tuyến

Việc phân bậc hoạt động dựa vào những căn cứ sau đây:

- Sự phức tạp của đối tợng hoạt động; Đối tợng hoạt động càngphức tạp thì hoạt động đó càng khó thực hiện Vì vậy có thể dựa vào sựphức tạp của đối tợng để phân bậc hoạt động

Ví dụ 1: Công thức sina + sinb

Khi cho học sinh luyện tập về công thức này, có thể phân bậc hoạt

động dựa vào sự phức tạp của biểu thức đối số hàm số sin Chẳng hạntính:

)2

3sin(

)2

3sin( x  y  y  x

Hoạt động bậc thấp: sina + sinb

2

3sin(

)2

3sin( x y  y x

Ví dụ 2:

Bậc thấp: Chứng minh rằng trong ABC, luôn có:

1-.cosC4cosA.cosB

cos2Ccos2B

Bậc cao hơn:

cos2kA + cos2kB + cos2kC = (-1)k.4coskA.coskB.coskC - 1

- Sự trừu tợng, khái quát của đối tợng:

Đối tợng hoạt động càng trừu tợng, khái quát có ý nghĩa là yêu cầuthực hiện hoạt động cao

Ví dụ 3: Cho phơng trình

(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0

Mức độ 1: Giải phơng trình với m = 3;

Mức độ 2: Xác định m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 2

- Nội dung của hoạt động:

Nội dung của hoạt động chủ yếu là những tri thức liên quan tớihoạt động và những điều kiện khác của hoạt động Nội dung hoạt độngcàng gia tăng thì hoạt động càng khó thực hiện, cho nên nội dung cũng làmột căn cứ phân bậc hoạt động

- Sự phức hợp của hoạt động:

Một hoạt động phức hợp bao gồm nhiều hoạt động thành phần Giatăng những thành phần nào cũng có nghĩa là nâng cao yêu cầu đối vớihoạt động

Ví dụ 5:

Ta đã biết bài toán tìm quỹ tích có hai phần đó là phần thuận vàphần đảo Ta đặt ra các câu hỏi sau:

"Các điểm có tính chất  nằm trên hình nào?" (1)

Hay "Tìm quỹ tích của các điểm có tính chất  " (2)

Rõ ràng yêu cầu của (1) chỉ là phần thuận, nghĩa là chỉ đòi hỏi thựchiện một thành phần của hoạt động giải toán tìm quỹ tích Hoạt động (1)chỉ đòi hỏi ở mức thấp hơn so với hoạt động (2)

- Chất lợng của hoạt động

Chất lợng của hoạt động thờng là tính độc lập hoặc độ thành thạo,cũng có thể lấy làm căn cứ để phân bậc hoạt động

1.4 Một số vấn đề về SGK Đại số 10 Nâng cao

SGK phân ban đợc đa vào sử dụng chính thức từ năm 2006 -2007, sovới chơng trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chơng trình và sáchgiáo khoa phân ban có nhiều đổi mới về nội dung và phơng pháp trình bày.Việc đổi mới chơng trình hiện nay là do những nguyên nhân sau đây:

- Chơng trình SGK chỉnh lí hợp nhất còn có những chỗ cha hợp lý,cha đảm bảo đợc tính liên môn Chẳng hạn đầu lớp 12 môn Vật lý cầnkhảo sát dao động của con lắc, sử dụng về kiến thức đạo hàm ngay, nên

khái niệm đạo hàm cần phải đa vào cuối lớp 11, để phục vụ cho hai mônSinh học và Vật lý.

- Một số nội dung Toán học cần bổ sung cho hoàn chỉnh chơngtrình THPT, nh số phức, thống kê, tổ hợp, xác suất, … Nếu để các chơngtrình này trong chơng trình lớp 12 thì chơng trình lớp 12 quá nặng, cầnphải san sẻ xuống các lớp dới

- Cách viết SGK nh từ trớc tới nay còn mang tính hàn lâm: thôngbáo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ, đa ra nhiều cácbài toán khó nên còn thiếu tính s phạm SGK cha thể hiện đợc phơngpháp dạy học tích cực

Chơng trình Đại số 10 Nâng cao là một phần trong chơng trìnhmôn Toán THPT Nâng cao Chơng trình này đợc biên soạn trên cơ sở ch-

ơng trình Toán THPT (Ban khoa học Tự nhiên thí điểm)

Về nội dung, chơng trình Đại số 10 Nâng cao vẫn đề cập đến hầuhết các chủ đề nội dung lớn có trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhấtnăm 2000 nh: Mệnh đề - tập hợp; Hàm số bậc nhất và bậc hai; Bất đăngthức; Phơng trình, bất phơng trình bậc nhất và bậc hai Điểm khác làSGK Đại số 10 Nâng cao còn có thêm hai chủ đề mới là Thống kê và L-ợng giác

Nếu trớc kia - theo cách dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài liệukhoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô

đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là cáctính chất và chứng minh, rồi các Định lí và chứng minh, cuối cùng là các

ví dụ và các bài toán Theo Định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và ớng dẫn nh thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng cóthể tự học đợc, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn

h-Cấu trúc của sách và phân bố thời lợng trong Phân phối chơngtrình của môn Đại số 10 (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000) gồm 5 ch-

ơng, 99 tiết:

Chơng 1: Tập hợp - Mệnh đề 10 tiết

Chơng 3: Phơng trình và bất phơng trình bậc nhất 27 tiết

Chơng 4: Phơng trình và bất phơng trình bậc hai 31 tiết

Chơng trình Đại số 10 Nâng cao gồm sáu chơng, 90 tiết, phân bố

nh sau:

Chơng 1: Mệnh đề - Tập hợp 12 tiếtChơng 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai 11 tiếtChơng 3: Phơng trình và hệ phơng trình 16 tiếtChơng 4: Bất đẳng thức và bất phơng trình 25 tiếtChơng 5: Thống kê 9 tiếtChơng 6: Góc lợng giác và công thức lợng giác 14 tiết

Ôn tập và kiểm tra cuối năm 3 tiết Nhìn chung so với sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000,SGK phân ban chơng trình mới chứa đựng nhiều chủ đề nội dung hơntrong khi quỹ thời gian lại giảm đi 9 tiết

Những điểm mới trong sách giáo khoa phân ban 2006 - 2007 đợcthể hiện:

Nếu nh trớc đây (SGK 2000), vấn đề số gần đúng và sai số đợctrình bày ở cuối sách - điều đó làm giảm ý nghĩa thực tiễn và tính thựchành của vấn đề số gần đúng và sai số, thì nay vấn đề này đợc gộp vàochơng đầu sau khi nói về tập số thực nhằm áp dụng vào một số bài toán ởcác chơng tiếp theo (nhất là các bài toán thực tế) Nh vậy, Chơng 1 của

Đại số Nâng cao 10 gồm nhiều vấn đề trừu tợng và khá khó, lại kéo dàitới 12 tiết Tuy nhiên, SGK đã trình bày một cách khá ngắn gọn, đầy đủ,vừa thật sự hữu ích và hứng thú đối với học sinh

Vấn đề giải và biện luận phơng trình, hệ phơng trình và bất phơngtrình cũng có những điểm cần chú ý Trớc đây, Định lí đảo về dấu củatam thức bậc hai là một công cụ quan trọng để so sánh các nghiệm củamột tam thức với một số hoặc hai số Định lí này chủ yếu đợc ứng dụngtrong việc giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, nhất là các ph-

ơng trình, bất phơng trình vô tỷ, lợng giác, mũ và logarit có chứa tham

số Nay các phơng trình và bất phơng trình nh thế, SGK không yêu cầu