Bắt đầu từ năm 2018, Bộ Giáo dục đã có nhiều văn bản quy định việc điều chỉnh dạy và học toán cho độ tuổi học sinh tiểu học. Cụ thể, trong Thông tư 322018TT BGDĐT ngày 26122018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quy định về việc tổ chức dạy và học Toán tiểu học chia làm 2 giai đoạn như sau: Giai đoạn giáo dục cơ bản: Đây là thời điểm trẻ bắt đầu làm quen với Toán học với các khái niệm, công thức cơ bản để trẻ hiểu căn bản và ứng dụng Toán học trong cuộc sống thực tiễn. Giai đoạn giáo dục định hướng: Thời điểm này cần đổi mới phương pháp dạy học toán ở tiểu học, giúp trẻ hiểu về vai trò toán học, ứng dụng toán trong các định hướng nghề nghiệp sau này. Trẻ cần có năng lực toán học để tự tìm hiểu, giải quyết các vấn đề thuộc lĩnh vực toán học kể cả trong sách vở và cuộc sống. Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng cho rằng các nội dung toán học trong sách vở cũng nên được nghiên cứu, rút gọn lý thuyết và đề cao tính ứng dụng thực tế hơn. Ngoài ra, dạy học toán ở tiểu học cũng cần chú ý tích hợp các nội dung cơ bản bao gồm: số và đại số, thống kê và xác suất, hình học và đo lường. hoatdongtuongtacvahoptactronghoctoan Phương pháp dạy học toán ở tiểu học cần kết hợp học lý thuyết đi với thực hành. Trẻ cần được tổ chức và tham gia các trải nghiệm tự sáng tạo đề toán, học và chơi cùng câu lạc bộ toán học, thi toán học, thậm chí khuyến khích trẻ tham gia các dự án ứng dụng môn Toán trong đời sống…. Chương trình giáo dục toán tiểu học mới đề cao cải thiện kiến thức toán học và tư duy sáng tạo của trẻ để hướng tới mục đích giúp trẻ thực hành áp dụng kiến thức vào cuộc sống tốt nhất. Thầy cô và phụ huynh có thể tham khảo thêm các giáo trình phương pháp dạy học toán ở tiểu học như: Giáo trình thực hành phương pháp dạy học toán ở tiểu học, Hướng dẫn dạy học môn Toán tiểu học theo chương trình giáo dục phổ thông mới, Dạy học phát triển năng lực môn Toán tiểu học… để hiểu rõ hơn.
BÀI GIẢNG DẠY HỌC GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC Phần thứ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC §1 PHƢƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG Khi phân tích tốn cần phải thiết lập liên hệ phụ thuộc đại lượng cho tốn Việc dùng đoạn thẳng để mơ tả đối tượng tốn học, điều biết, điều chưa biết (thường số) phát minh lớn loài người Điều này, nhà trường tiểu học, đặc biệt lớp đầu cấp tiểu học giúp học sinh nhận thức, biểu diễn giải vấn đề, tốn cách trực quan Thơng qua việc biểu diễn đoạn thẳng: dài (ngắn hơn), đoạn thẳng dài nhau, đoạn thẳng dài lần đoạn thẳng kia, … học sinh nắm được, biểu diễn đối tượng, mối quan hệ từ đề tốn Từ đó, học sinh dễ dàng việc tìm đối tượng (số) chưa biết thông qua đối tượng biết Một số lưu ý cho giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ đoạn thẳng: - Về kĩ vẽ sơ đồ đoạn thẳng: Cần lường trước độ dài đoạn thẳng cho phù hợp (không dài q, vượt khổ giấy; khơng ngắn q dẫn đến khó vẽ, khó nhìn) - Khi vẽ, nên chọn vẽ đối tượng nhỏ trước (đây kinh nghiệm, nguyên tắc) Cần dạy học sinh thẳng hàng đoạn thẳng bên trái (chẳng hạn, ví dụ đây, phía sau dấu hai chấm “:”) Thông thường, học sinh đầu cấp tiểu học, bắt đầu làm quen với phương pháp này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh vẽ theo trình tự thơng tin đề - Giáo viên cần vừa vẽ, vừa (trong lần đầu tiên) sau yêu cầu học sinh nêu cách vẽ (theo bước vẽ) để thấy mối liên hệ phụ thuộc đại lượng - Cần hướng dẫn học sinh đưa cách tìm đại lượng chưa biết từ hình vẽ, thông qua đại lượng biết, sau mối quan hệ chúng hình vẽ Từ đó, hình thành nên bước trình bày lời giải - Vẽ đẹp, chữ đẹp yêu cầu quan trọng với yêu cầu đương nhiên vẽ Vẽ nhanh yêu cầu nên khuyến khích học sinh Có nhiều dạng tốn giải phương pháp sơ đồ đoạn thẳng Trong toán có liên quan đến sơ đồ đoạn thẳng, có số dạng khác nhau: lập sơ đồ đoạn thẳng để giải, lập sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với phương pháp khác để giải, đề toán từ sơ đồ đoạn thẳng cho để giải, … Ví dụ Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều số mét vải xanh 540m Hỏi loại vải có mét, biết số mét vải xanh số mét vải hoa? Lưu ý: Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ theo hai cách: +) Cách Vẽ đoạn thẳng biểu thị độ dài mảnh vải xanh (bé hơn) trước (chẳng hạn 1cm, thước), lấy bốn đoạn với độ dài mảnh vải xanh đẻ biểu thị độ dài mảnh vải hoa Sau viết, vẽ đường, số khác cho sử dụng hết thông tin cho đề Ta có sơ đồ đoạn thẳng: Vải xanh: 540 m ?m Vải hoa: ?m +) Cách Vẽ độ dài mảnh vải hoa trước, chia đôi hành hai đoạn, chia đơi hai đoạn cịn lại - khơng dùng thước chia ước chừng mắt (có thể chọn đoạn 4cm 8cm 6cm chia thành bốn đoạn tương ứng 1cm 2cm 1,5cm - dùng thước kẻ) Sau viết, vẽ đường, số khác cho sử dụng hết thông tin cho đề ?m Vải hoa: Vải xanh: 540 m ?m Giải Cách 1: Theo sơ đồ, số mét vải xanh là: 540 : = 180 (m) Số mét vải hoa là: 180 + 540 = 720 (m) (hoặc 180 = 720 (m)) Đáp số: 180m vải xanh 720m vải hoa Cũng giải toán theo cách sau đây: Cách 2: Số mét vải hoa là: 540 : = 720 (m) Số mét vải xanh là: 720 – 540 = 180 (m) Đáp số: 180m vải xanh 720m vải hoa Ví dụ Báo cáo doanh nghiệp nhỏ sản xuất máy gặt lúa liên hoàn quý I cho thấy, tháng sản xuất nhiều tháng 20 máy, tháng sản xuất nhiều tháng 10 máy, tháng họ sản xuất 150 máy Hỏi trung bình, suất tháng doanh nghiệp quý I máy? Lưu ý Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng (hình 2): 150 máy Tháng 1: 10 máy Tháng 2: 20 máy Tháng 3: Lưu ý: Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ theo hai cách: +) Cách Vẽ đoạn thẳng biểu thị sản lượng tháng trước (vì tháng có số lượng nhất, tháng khác vẽ thêm – “nhiều hơn”), đến tháng 2, tháng (Nên làm theo cách này) +) Cách Vẽ đoạn thẳng biểu thị sản lượng tháng trước, vẽ tháng lại theo thứ tự: tháng 2, tháng (thứ tự đề toán) 20 máy Tháng 3: 10 máy Tháng 2: Tháng 1: 150 máy Giải Cách 1: Từ sơ đồ ta có: Tháng sản xuất số máy là: 150 + 10 = 160 (máy) Tháng sản xuất số máy là: 150 + 20 = 170 (máy) Cả ba tháng sản xuất số máy là: 150 + 160 + 170 = 480 (máy) Trung bình tháng sản xuất số máy là: 480 : = 160 (máy) Đáp số: trung bình sản xuất 160 máy Cách 2: Cả ba ngày sửa chữa là: 150 + 10 + 20 = 480 (máy) Trung bình tháng sản xuất số máy là: 480 : = 160 (máy) Đáp số: trung bình sản xuất 160 máy Cách 3: Nếu ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng (hình 3) tốn giải cách ngắn gọn sau: 20 máy Tháng 3: 10 máy Tháng 2: 150 máy Tháng 1: Theo sơ đồ đoạn thẳng, ta chuyển l0 máy ngày tháng sang tháng ba tháng làm số lượng tháng Tháng sản xuất số máy là: 150 + 10 = 160 (máy) Vậy, Trung bình tháng sản xuất số máy là: 160 (máy) Đáp số: trung bình sản xuất 160 máy Ví dụ Lớp 3A có 45 học sinh, số học sinh nam số học sinh nữ Hãy tính số học sinh nam học sinh nữ lớp Phân tích Có thể hướng dẫn học sinh giải phương pháp sơ đồ sau: Nếu số học sinh nam phần số học sinh nữ phần Nên ta có sơ đồ: Học sinh nam ? HS 45 HS Học sinh nữ ? HS Giải Số học sinh nữ là: 45 : (4 + 5) × = 25 (học sinh) Số học sinh nam là: 45 – 25 = 20 (học sinh) Đáp số: 25 học sinh nữ 20 học sinh nam Ví dụ Hai cửa hàng bán tổng cộng 1360 sản phẩm Biết rằng, số sản phẩm bán cửa hàng thứ hai số sản phẩm bán cửa hàng thứ Hỏi cửa hàng bán sản phẩm? Phân tích Trước hết cần xác định tỉ lệ số sản phẩm bán hai cửa hàng (để xác định số phần nhau) Tỉ số sản phẩm bán hàng thứ thứ hai là: 2:4 7 10 Ta có sơ đồ sau: phần Sản phẩm cửa hàng thứ Sản phẩm cửa hàng thứ ? sản phẩm ? sản phẩm 10 phần 1360 sản phẩm Lưu ý: Trong sơ đồ trên, khơng cần xác định rõ số phần nhau, mà cần mô tả số phần Giải Số sản phẩm cửa hàng thứ bán là: 1360 : (10 + 7) × = 560 (sản phẩm) Số sản phẩm cửa hàng thứ hai bán là: 1360 – 560 = 800 (sản phẩm) Đáp số: cửa hàng thứ bán 560 sản phẩm cửa hàng thứ hai bán 800 sản phẩm Ví dụ Có hồ đẹp công viên Nghĩa Đô, quận Cầu Giấy, Hà Nội (xem đồ chụp từ vệ tinh đây) Hai bạn Dũng Minh tập thể dục cách chạy vòng quanh hồ theo hai hướng ngược Hai bạn xuất phát lúc chẳng hạn điểm A gặp lần thứ điểm B lại tiếp gặp điểm C Biết độ dài quãng đường từ A đến B theo chiều Dũng 330m, quãng đường A tới C theo chiều Minh 250m Em tính xem qng đường vịng quanh hồ Nghĩa Đơ dài kilomet? B A Dũng Minh C Ta có sơ đồ đoạn thẳng hình đây: Bắt đầu xuất phát từ điểm A, ta hình dung kéo dài đường ven hồ thành đoạn thẳng ta đoạn thẳng đây: A A Ta có sơ đồ di chuyển hai bạn sau: Minh A 250m A C B 330m Dũng Giải Cho đến gặp lần thứ hai hai bạn Dũng Minh tất lần quãng đường vòng quanh hồ Ở lần gặp thứ nhất, B, Dũng 330m; hai bạn tổng cộng quãng đường chiều dài vòng hồ Ở lần gặp thứ hai, Dũng hết vòng hồ thêm 250m; hai bạn (theo sơ đồ) hết quãng đường ba lần chiều dài vòng hồ Như vậy, lần gặp thứ hai, Dũng ba lần quãng đường lần gặp thứ bằng: 330 = 990 (m) Một vịng hồ có độ dài 990 – 250 = 740 (m) Khi gặp lần thứ nhất, Minh quãng đường là: 740 – 330 = 410 (m) Vậy, Minh nhanh Dũng Đáp số: vòng hồ dài 740m Minh nhanh Dũng BÀI TẬP Bài Anh em học tuổi Anh học lớp em học lớp Hãy tính tuổi người tuổi anh gấp ba lần tuổi em Bài Người ta lấy khỏi kho đông lạnh 17 cá Hỏi phải đưa vào khó cá để kho có số cá nhiều số cá trước lấy tấn? Bài Trung bình cộng hai số 14 Biết phần ba số phần tư số Tìm số Bài Cho ba số có trung bình cộng 21 Tìm ba số đó, biết số thứ ba gấp lần số thứ hai, số thứ hai gấp lần số thứ Bài Tổ 1, tổ 2, tổ thi đua thực kế hoạch nhỏ cách thu gom giấy vụn Tổ tổ đóng góp 46km; tổ tổ 35kg; tổ tổ 39kg Hỏi tổ đóng góp kilôgam giấy vụn? Bài Một thùng đựng sơn cân nặng tất 14kg Người ta đổ phần ba số sơn thùng thùng số sơn cịn lại nặng 10kg Hãy tính cân nặng vỏ thùng sơn Bài Hiệu hai số 12 Nếu gấp số lớn lên lần số tạo thành số bé 48 đơn vị Tìm số cho Bài Tổng ba số 74 Nếu lấy số thứ hai chia cho số thứ lấy số thứ ba chia cho số thứ hai thương dư Tìm số Bài Tổng 100 số hạng có tổng 19400, biết số hạng đứng sau lớn số hạng đứng trước đơn vị Tính số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng, số hạng thứ hai, số hạng thứ 15 tổng Bài 10 Tìm số có bốn chữ số biết chữ số xếp theo thứ tự bốn số tự nhiên liên tiếp tổng chữ số 26 §2 PHƢƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ PHƢƠNG PHÁP TỈ SỐ Trong toán đơn giản đại lượng tỉ lệ thuận (đại lượng tỉ lệ nghịch) thường có hai đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc nghịch) với Trong đề toán thường cho trước hai giá trị đại lượng này, giá trị đại lượng yêu cầu học sinh tìm giá trị lại Chẳng hạn giá tiền phải trả số lít xăng mà chủ xe mua cửa hàng hai đại lượng tỉ lệ thuận Một số toán đặt là: +) Bài tốn hỏi số tiền: Một người mua lít xăng hết 107500đ Hỏi người mua lít hết tiền? (Ở có hai giá trị đại lượng “lít xăng” (lít) (lít), có giá trị đại lượng “số tiền” 107500đ +) Bài tốn hỏi số lít xăng: Một người mua lít xăng hết 107500đ Hỏi người mua hết 86000đ lít xăng? (Ở có giá trị đại lượng “lít xăng” (lít), có hai giá trị đại lượng “số tiền” 107500đ 86000đ Một số lưu ý cho giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ đoạn thẳng: Đối với toán đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch giải phương pháp rút đơn vị phương pháp tỉ số Bài tốn ví dụ 3, ví dụ chương ví dụ Do đó, tuỳ vào lứa tuổi học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ đoạn thẳng không (dùng phương pháp rút đơn vị phương pháp tỉ số) Cách làm sau: Bước Phương pháp rút đơn vị Phương pháp tỉ số Bước Tính đơn vị đại lượng thứ ứng với đơn vị đại lượng thứ hai (hoặc ngược lại) Tính tỉ số hai giá trị đại lượng biết (gấp hay lần) Bước Tính giá trị chưa biết đại lượng thứ hai Khi hướng dẫn học sinh giải toán toán liên quan tới đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch, sử dụng phương pháp tỉ số, giáo viên hướng dẫn cho học sinh thực quy tắc: “quy tắc tam xuất thuận” (đối với toán tỉ lệ thuận), “quy tắc tam xuất nghịch” (đối với tốn tỉ lệ nghịch) Việc thơng báo tường minh, yêu cầu học sinh ghi nhớ thực cho tốn tương tự Ví dụ Có 56m vải may 16 quần áo comple Hỏi phải dùng mét vải loại để may 100 quần áo thế? Phân tích Trong tốn có hai đại lượng tỉ lệ thuận là: số comple số mét vải Đề người ta cho biết hai giá trị đại lượng thứ (16 100 bộ) giá trị đại lượng thứ hai (56m) Ta phải tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai (đó số mét vải để may 100 quần áo) Ta tóm tắt tốn sau: 16 : 56m 100 : ? m Bài toán giải theo hai bước sau đây: : ?m 100 : ? m a) Bước : Tìm xem quần áo hết mét vải? (của đại lượng thứ hai) b) Bước hai: Tìm xem 100 quần áo hết mét vải? (của đại lượng thứ hai) Giải Cách Phương pháp rút đơn vị Số mét vải để may quần áo là: 56 : 16 = 3,5 (m) Số mét vải để may quần áo : 3,5 100 = 350 (m) Bài toán giải phương pháp rút đơn vị Đáp số: 350 mét vải Cách Phương pháp tỉ số So sánh 100 với 16 ta thấy: 16 : 100 = 16 100 25 Vậy số mét vải để may 100 quần áo là: 56 : 56 25 = 350 (mét) 25 Đáp số: 350 mét vải Ví dụ Một xe máy 60km: Hỏi xe kilơmét? (coi vận tốc khơng đổi) Phân tích Đây toán liên quan tới hai đại lượng tỉ lệ thuận thời gian quãng đường (vận tốc đại lượng khơng đổi) Tóm tắt tốn sau: giờ: 60km giờ: ? km Giải Cách Phương pháp tỉ số So sánh với ta thấy: : = (lần) Vậy xe máy được: 60 = 120 (km) Đáp số: 120km Cách Phương pháp rút đơn vị Ngoài cách giải phương pháp tỉ số, tốn ví dụ cịn giải phương pháp rút đơn vị: 10 = + = + (cấu tạo thập phân số) Vì a ≠ mà phép cộng có nhớ sang hàng trăm nên a = Khi đó: 100 = 11 + , = 100 – 11 (tìm số hạng tổng) = 89 Thử lại: = + + = 19 + 98 + 81 = 198 = Vậy số phải tìm = 198 Ví dụ Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho tổng chữ số thường dư 13 Tìm số cho Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm (a ≠ ; a, b < 10) Theo đầu ta có = (a + b) X + 13 Vì số dư bé số chia nên 13 < a + b Mặt khác a + b = 18 18 X + 13 = 103 số có a + b < 18 Ta có: 13 < a + b < 18 Xét trường hợp với a + b: + Xét a + b = 14 Khi có: 14 + 13 83, + 11 nên trường hợp bị loại + xét a + b = 15 Khi có: 15 × + 13 = 88, + = 16 nên trường hợp bị loại + xét a + b = 16 Khi có: 16 × + 13 = 93, + = 12 nên trường hợp bị loại + xét a + b = 17 Khi đó: 17 × + 13 = 98, + = 17 nên trường hợp với đầu Vậy số phải tìm 98 Ví dụ Tìm số có bốn chữ số, biết số nhân với số có bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm abcd (a ≠ ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự ngược lại dcba Theo đầu ta có: abcd × dcba Vì tích số có bốn chữ số ( dcba ) nên a = d = Khi ta có: 1bc9 × 9cb1 Khi nhân chữ số hàng trăm số bị nhân b với phép nhân khơng nhớ sang hàng nghìn (vì có nhớ sang hàng nghìn tích số dư có chữ số) Do đó: b = b = + Nếu b = ta có: 10c9 × 9c01 Khi đó: × = 81, viết nhớ c × + = hay c × phải có tận 48 Do : c = để × = 72 Thử : 1089 × = 9801 Đúng với đẩu + Nếu b = ta có: 11c9 × 9c11 Khi : × = 81, viết nhớ c × = hay c × phải có tận Do c = để × = 63 Thử : 1179 × = 10611, trái với đầu tích có chữ số Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số biểu thức chữ Một số kiến thức cần dùng – Một số có hai, ba, bốn, chữ số tổng chữ số có giá trị nhỏ giá trị lớn × = 18, × = 27, × = 36, – Trong tổng A + B, thêm vào A đơn vị bớt B nhiêu đơn vị tổng khơng thay đổi Do A + B khơng đổi mà A đạt giá trị lớn B đạt giá trị nhỏ Ví dụ : Tìm số có hai chữ số, biếl số chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm ab (a ≠ ; a, b < 10) Theo đầu ta có : ab = b × Vì số dư bé số chia nên < b Nếu lấy giá trị nhỏ b (trong trường hợp này) giá trị nhỏ ab × = 41 Do a Nếu lấy giá trị lớn b giá trị lớn ab × = 59 Do a ≤ Vì ≤ a ≤ nghĩa giá trị nhỏ a lớn a • Nếu a = =b×65 Ta thấy b × có giá trị từ 41 đến 49 nên b lấy giá trị 49 Vì b × số chẵn nên b × + số lẻ Do b số lẻ Vậy ta chọn b = Thử: 47 : = (dư 5) Đúng với đầu • Nếu a = = b × + Ta thấy b × + có giá trị từ 51 đến 59 nên b lấy giá trị Vì b × + số lẻ nên ta chọn b = Thử: 59 : = (dư 5) với đầu Vậy số phải tìm 47 59 Ví dụ Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho thương tích chữ số hàng chục nhân với Tìm số cho Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm (a ≠ ; a, b < 10) Theo đầu ta có : :6=a×a hay = a × a × Nhận xét: + a = l a × a × 6= l × l × = số có chữ số + Số lớn có hai chữ số chia hết cho 96 Do a × a × có giá trị lớn 96 Vì a × a có giá trị lớn 96 : = 16 Vậy a có giá trị lớn (vì × = 16) hay a < Từ hai nhận xét ta xét trường hợp: – Nếu a = a × a × = × × = 24= Đúng với điều kiện đầu tốn 24 : = 4, = × – Nếu a = a × a × = × × = 54 Trái với điều kiện tốn ≠ 54 – Nếu a = a × a × = × × = 96 Trái với điều kiện tốn ≠ 96 Vậy số phải tìm 24 Ví dụ Cho số tự nhiên Nếu viết thêm số có hai chữ số (khác 0) vào bên phải số cho số lớn số cũ 2008 đơn vị Hãy tìm số cho số viết thêm Hướng dẫn giải Gọi số cho N số viết thêm số Theo đầu ta có : – N = 2008 N × 100 + – N = 2008 (Phân tích số thành N × 100 + N × (100 – 1) + = 2008 (một số nhân với hiệu) N × 99 + = 2008 + Nếu đạt giá trị lớn 99 N đạt giá trị nhỏ xác định sau: N × 99 + 99 = 2008 N × 99 = 2008 – 99 (tìm số hạng tổng) N × 99 = 1909 N = 1909 : 99 (tìm thừa số tích) N = 19,28 Vì N số tự nhiên nên giá trị nhỏ N ghi N > 10 + Nếu đạt giá trị nhỏ 10 N đạt giá trị lớn định sau: N × 99 + 10 = 2008 N × 99 = 2008 – 10 (tìm số hạng tổng) 50 N × 99 = 1998 N = 1998 : 99 (tìm thừa số tích) N = 20,18 Vì N số tự nhiên nên giá trị lớn N ghi ≤ 20 Vì 19 ≤ N ≤ 20 nên ta thử với N = 20 – N = 2008 = 2008 + N = 2008 + 20 = 2028 Vậy số phải tìm 20 số viết thêm 28 Sự chia hết số tự nhiên Một số kiến thức cần dùng – Nếu A × B × C = D D chia hết cho thừa số, tức D A, D B, D C – Một số chẵn chia hết cho 2, số chia hết cho số chẵn – Một số có tận chia hết cho ; số chia hết cho có tận – Một số có tổng chữ số chia hết cho số chia hết cho 3, số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho – Một số có tổng chữ số chia hết cho số chia hết cho 9, số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho – Một số có hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho số chia hết cho 4, số chia hết cho có hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho – Một số có ba chữ số tận tạo thành số chia hết cho số chia hết cho 8, số chia hết cho có ba chữ số tận tạo thành số chia hết cho – Số chia hết cho số tự nhiên khác – Một số chia cho dư (hoặc 2) tổng chữ số chia cho dư (hoặc 2), số chia cho dư tổng chữ số chia cho dư nhiêu – Nếu A B chia hết cho N A + B (hoặc A – B, B – A) chia hết cho N – Nếu A B chia hết cho N, mà A chia hết cho N B chia hết cho N Ví dụ Tìm số biết số chia hết cho 2, Hướng dẫn giải + Vì chia hết cho nên b = + Vì chia hết a b số chia hết cho Vì b = nên a = 13 a phải chia hết cho Vì a < 10 nên ta ×ét trường hợp sau: 13 a chia hết cho chọn 13 a = 15, a = 13 a chia hết cho chọn 13 a = 18, a = 13 a chia hết cho chọn 13 a = 21, a = Vậy số phải tìm 28320, 28350, 28380 Ví dụ Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm (a ≠ 0; a, b < 10) Theo đầu ta có : =b×3 Nhận xét : a ≠ nên b ≠ chia hết cho a, b 51 Vì chia hết cho a nên b chia hết cho a a < để b số có chữ số Xét trường hợp a = 1, a = 2, a = 3, a = + Với a = = × b × = b × Vì b × có tận b (≠ 0) nên b = Thử : × × = 15 Đúng với đầu + Với a = =2×b×3=b×6 Vì b × có tận b (≠ 0) nên b = 2, 4, 6, Nhưng b × = nên b = để × = 24 Thử: × × = 24 Đúng với đầu + Với a = = × b × = b × Vì b × có tận b (≠ 0) nên b = Thử: × × = 45 > 35 Loại + Với a = = × b × = b × 12 Nếu = b × 12 chia hết cho 12 Do b = 8, hay số phải tìm 48 Khi ta có : b × 12 = × 12 = 96 Vì 48 ≠ 96 nên loại trường hợp Vậy số phải tìm 15 24 Phối hợp nhiều cách giải Có khơng tốn mà giải tốn địi hỏi phải có phối hợp (hợp lí) nhiều biện pháp hi vọng có giải hay, cách giải đẹp, gọn gàng, dễ hiểu (lẽ đương nhiên giải theo cách phải chặt chẽ) Ví dụ Tìm số có ba chữ số, biết số cộng với tổng chữ số 555 Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm (a ≠ 0, a, b, c < 10) Theo đầu ta có + a + b + c = 555 Nhận xét: * abc < 555, a ≤ b ≤ * Trong trường hợp tổng chữ a + b + c đạt giá trị lớn + + = 18; Khi đạt giá trị nhỏ 555 – 18 = 537 Do > 536 • Từ nhận xét ta có : 536 ≤ ≤ 555 Do ta có: a = Khi ta có: + + b + c = 555 500 + + + b + c = 555 (cấu tạo thập phân số) 505 + + c + c = 555 (cấu tạo thập phân số) + c × = 555 – 505 (tìm số hạng tổng) + c × = 50 Nếu c đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ 50 – × = 32 ; b > Vì b ≤ 5và b nên b = b = c × 50 số chẵn nên b phải số chẵn Do b = Khi ta có: 44 + c × = 50 c × = 50 – 44 (tìm số hạng tổng) c×2=6 52 c = : (tìm thừa số tích) c=3 Thử: 543 + + + = 555 Đúng với đầu Vậy số phải tìm 543 Ví dụ Cho sổ có ba chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên phải số cho, viết thêm chữ số vào bên trái số cho số có bốn chữ số, mà số gấp ba số Hãy tìm số dã cho Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm (a ≠ 0, a, b, c < 10) Theo đầu ta có hai số mói Trong hai số có số lớn gấp ba lần số kia, có khả < > a) Xét khả < Theo đầu ta có X3= Vì a ≠ nên a × > (hàng nghìn) Do có khơng mãn điều kiện toán b) Xét khả < Theo đầu ta có: ×3= (2000 + )×3= × 10 + (cấu tạo thập phân số) 2000 × + ×3= × 10 + (nhân tổng với số) 6000 + ×3= × (3 + 7) + 6000 + ×3= ×3+ × + (một số nhân với tổng) 6000 = × + (cùng trừ × 3) × = 6000 – (tìm số hạng tổng) × = 5999 = 5999 : (tìm thừa số tích) = 857 Thử lại : 2857 × = 8571 Đúng với đầu Vậy số phải tìm 857 BÀI TẬP Bài 109 Tìm số, biết lấy số nhân với 0.25 cộng với 75 lấy số chia cho 0.25 trừ với 75 Bài Số thương thay đổi ta nhân số bị chia với trừ số chia nó? Bài 110 Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị thương 18 dư Tìm số cho Bài 111 Cho số có hai chữ số số có bốn chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số viết theo thứ tự ngược lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho Bài 112 Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết viết thêm chữ số vào hàng nghìn hàng trăm số gấp lần số phải tìm Bài 113 Tìm số có ba chữ số, biết số vừa chia hết cho vừa chia hết cho 9, hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại 297 Bài 114 Tìm số có hai chữ số, biết chia số cho chữ số hàng đơn vị 53 thương số chia số dư chữ số hàng chục Bài 115 Tìm biết: ( × c + d) × d = 1977 Bài 116 Cho ba chữ số khác khác Bài 10 Từ ba chữ số lập tất số gồm ba chữ số, số phải có đủ ba chữ số khác cho Biết tổng số vừa lập 2664, hiệu số lớn số bé 198 Tìm ba chữ số Bài 11 117 Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm số 17 lần tổng chữ số Bài 12 118 Cho ba chữ số khác Hãy tìm số cho, biết số tổng tất số gồm hai chữ số khác ba chữ số cho Bài 13 Khi giải tập, bạn An phải chia số cho nhân với bạn An nhầm sau : Nhân số với 3, lấy tích trừ Mặc dù nhầm vậy, đáp số Hỏi số bao nhiêu? Bài 14 Một người cha chia đàn ngựa cho theo cách sau: Người đầu ngựa 1 số ngựa lại, người thứ hai ngựa số ngựa 11 11 lại,….cứ tiếp tục đến người út Bằng cách người cha chia hết số ngựa chia đàn ngựa cho Hỏi đàn ngựa có con? CÁ 54 PHẦN THỨ HAI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC C PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ PHƢƠNG PHÁP TỈ SỐ 2.1 Khái niệm Trong toán đơn giản đại lượng tỉ lệ (thuận hay nghịch) người ta thường cho biết hai giá trị đại lượng thứ giá trị đại lượng thứ hai, tốn địi hỏi phải tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai Để tìm giá trị chưa biết Tiểu học sử dụng phương pháp thường dùng phương pháp rút đơn vị, phương pháp tỉ số Đây hai phương pháp dùng để giải toán tương quan tỉ lệ (tỉ lệ thuận/nghịch, tỉ lệ kép) Các bước vận dụng Phương pháp rút đơn vị để giải toán Bước 1: Rút đơn vị Ta tìm đơn vị đại lượng thứ tương ứng với giá trị đơn vị đại lượng thứ hai ngược lại Bước 2: Tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai Lấy giá trị thứ nhân với (hoặc chia cho) giá trị đại lượng thứ hai tương ứng với đơn vị đại lượng thứ vừa tìm bước Ví dụ 1: Dùng 32m vải may quần áo Hỏi dùng 100m vải loại may quần áo thế? Tóm tắt: 32m vải: 100m vải: quần áo ? quần áo Bài giải: Số mét vải dùng để may quần áo là: 32: = (m) Dùng 100m vải may số quần áo là: 100:4=25 (bộ) Đáp số: 25 quần áo Các bước vận dụng Phương pháp tỉ số để giải toán Bước 1: Tìm tỉ số 55 Trong bước ta xác định hai giá trị biết đại lượng thứ giá trị gấp (hoặc kém) giá trị lần Bước 2:Tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai Ví dụ 2: Mua hết 54 000 đồng Hỏi dùng 324 000 đồng mua loại ? Tóm tắt: 54 000 đồng: mua 324 000 đồng: mua ? Bài giải: Số tiền 324 000 đồng gấp 54 000 đồng số lần là: 324000 : 54000 = (lần) Số mua là: 8× 6= 48 (quyển vở) Đáp số: 48 2.2 Hƣớng dẫn học sinh tiểu học vận dụng Phƣơng pháp rút đơn vị - phƣơng pháp tỉ số để giải toán Một số lưu ý: - Một số toán giải hai phương pháp - Một số tốn giải hai phương pháp - Hai phương pháp cịn sử dụng để giải tốn tỷ lệ kép Ví dụ Có 45m vải may quần áo Hỏi phải dùng mét vải loại để may quần áo thế? Hoạt động 1: Tổ chức hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề tóm tắt toán Yêu cầu học sinh phải đọc kỹ đề Giáo viên đặt câu hỏi giúp học sinh nhớ kiện toán cho cách xác nắm vững yêu cầu đề bài, cụ thể: Bài tốn cho biết gì? Bài tốn u cầu gì? Bài tốn cho thuộc dạng toán nào? Khi học sinh trả lời, Giáo viên giúp em gạch chân từ quan trọng mà nhiều học sinh đọc không kỹ đề nên bỏ sót dẫn đến làm sai Hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn 56 Tùy theo dạng tốn có cách tóm tắt khác cách thật ngắn gọn, đầy đủ kiện dễ hiểu Giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích: Trong tốn người ta cho biết hai giá trị đại lượng thứ (9 bộ) giá trị đại lượng thứ hai (45m) Ta phải tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai (đó số mét vải để may quần áo) Ta tóm tắt tốn sau: : 45m : ?m Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải tốn Dựa vào việc nhận dạng toán tốn hoạt động 1, hoạt động học sinh yêu cầu tốn Giáo viên đặt câu hỏi: Muốn giải đáp yêu cầu đề em cần phải biết từ tốn? Những điều đề cho biết chưa? Nếu chưa biết em nên tìm cách để biết? Dựa vào đâu để tìm chúng? Cứ em tìm cách giải đáp từ kiện cho sẵn đề Đây bước quan trọng giúp em hiểu vấn đề, cách giải toán Bài tốn giải phương pháp rút đơn vị Cách giải theo phương pháp thường tiến hành theo hai bước: : ?m : ?m Bước : Tìm xem quần áo hết mét vải? (của đại lượng thứ hai) Tìm xem đơn vị đại lượng thứ tương ứng với giá trị đại lượng thứ hai (ở tốn quần áo ứng với 5m vải) Để làm việc ta thực phép tính chia Bước 2: Tìm xem quần áo hết mét vải? (của đại lượng thứ hai) Có đơn vị đại lượng thứ có nhiêu lần giá trị tương ứng (vừa tìm) đại lượng thứ hai Giá trị đại lượng thứ hai số phải tìm tốn (ở tốn quần áo ứng với 35m vải) Để làm viêc ta thực phép tính nhân Hoạt động 3: Trình bày lời giải Giải Số mét vải để may quần áo là: 45 : = (m) Số mét vải để may quần áo : = 35 (m) Đáp số: 35 mét Hoạt động 4: Tổ chức học sinh tự đánh giá kết tốn tìm phƣơng án giải khác u cầu học sinh tự đánh giá kết toán cách thử lại kết Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải khác 57 Ví dụ Có 50m vải may 10 quần áo Hỏi có 40m vải loại may quần áo thế? Hoạt động 1: Tìm hiểu đề Hướng dẫn học sinh tóm tắt toán Yêu cầu học sinh phải đọc kỹ đề Bài tốn cho biết gì? Bài tốn u cầu gì? Bài toán cho thuộc dạng toán nào? Hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn Giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích: Trong tốn người ta cho biết hai giá trị đại lượng thứ (50m 40m) giá trị đại lượng thứ hai (10 bộ) Ta phải tìm giả trị chừa biết đại lượng thứ hai (đó số quần áo may từ 40m vải) Ta tóm tắt tốn sau: 50m: 10 40m: ? Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải tốn Bài tốn giải theo hai bước sau đây: ? m: 40m: ? Bước 1: Tìm xem quần áo hết mét vải? (của đại lượng thứ nhất) Tìm xem đơn vị đại lượng thứ hai tương ứng với giá trị đại lượng thứ (ở tốn quần áo ứng với 5m vải) Để làm việc này, ta thực phép tính chia Bước 2: Tìm xem 40m vải may quần áo? (của đại lượng thứ hai) So sánh giá trị lại đại lượng thứ với giá trị tương ứng (vừa tìm) xem lớn hay nhỏ gấp lần (ở toán so sánh 40m với 5m vải) Kết số phải tìm tốn Để làm việc ta thực phép tính chia Hoạt động 3: Trình bày lời giải Giải Số mét vải để may quần áo là: 50 : 10 = (m) Số quần áo may : 40 : = (bộ) Đáp số: quần áo Hoạt động 4: Tổ chức học sinh tự đánh giá kết tốn tìm phƣơng án giải khác u cầu học sinh tự đánh giá kết toán cách thử lại kết Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải khác Ví dụ 3: Lát 9m² nhà hết 100 viên gạch Hỏi lát 36 m² nhà loại gạch hết viên? 58 Hoạt động 1: Tìm hiểu đề hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn u cầu học sinh phải đọc kỹ đề Bài toán cho biết gì? Bài tốn u cầu gì? Bài tốn cho thuộc dạng toán nào? Hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn Giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích: Trong tốn người ta cho biết hai giá trị đại lượng thứ (9m² 36m²) giá trị đại lượng thứ hai (100 viên gạch) Ta phải tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai (số viên gạch để lát 36m² nhà) Ta tóm tắt toán sau: 9m² nhà: 100 viên gạch 36m² nhà: ? viên gạch Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải tốn Số viên gạch dùng để lót 1m² nhà đại lượng khơng đổi Số viên gạch diện tích nhà hai đại lượng biến thiên tương quan tỉ lệ thuận Bài toán giải theo hai bước sau đây: Bước 1: Tìm tỉ số giá trị đại lượng thứ (Diện tích 36m² gấp lần diện tích 9m²) Bước 2: Vậy số gạch cần lát 36m² gấp lần số gạch cần để lát 9m² Để làm việc ta thực phép tính nhân Hoạt động 3: Trình bày lời giải Diện tích 36m² gấp diện tích 9m² số lần là: 36: = (lần) Số gạch cần để lát 36m² nhà là: 100 × = 400 (viên) Đáp số: 400 viên gạch Hoạt động 4: Tổ chức học sinh tự đánh giá kết tốn tìm phƣơng án giải khác u cầu học sinh tự đánh giá kết toán cách thử lại kết Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải khác Ví dụ Mua gói bánh hết 54 000 đồng Hỏi dung 270 000 đồng mua gói bánh loại ? Hoạt động 1: Tìm hiểu đề hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn u cầu học sinh phải đọc kỹ đề Bài toán cho biết gì? Bài tốn u cầu gì? Bài tốn cho thuộc dạng tốn nào? Hướng dẫn học sinh tóm tắt toán 59 Giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích: Trong tốn người ta cho biết hai giá trị đại lượng thứ (54000 đồng 270000 đồng) giá trị đại lượng thứ hai (9 gói bánh) Ta phải tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai (số gói bánh mua với 270000 đồng) Tóm tắt: 54 000 đồng: mua gói bánh 270 000 đồng: mua ? gói bánh Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải tốn Giá tiền gói bánh đại lượng khơng đổi Số tiền số gói bánh hai đại lượng biến thiên tương quan tỉ lệ thuận Bài toán giải theo hai bước sau đây: Bước 1: Tìm giá tiền mua gói bánh Bước 2: Vậy với 270000 đồng mua gói bánh, để tìm số gói bánh mua ta lấy số tiền cần mua chia cho giá tiền gói bánh Ngồi cách giải phương pháp rút đơn vị, toán ví dụ cịn giải phương pháp tỉ số Thực hai bước giải: Bước 1: So sánh hai giá trị đại lượng thứ xem số gấp lần số (270000 đồng gấp lần 54000 đồng) Bước 2: Giá trị biết đại lượng thứ hai tăng số lần vừa tìm bước Hoạt động 3: Trình bày lời giải Cách 1: Phương pháp rút đơn vị: Bài giải: Giá tiền gói bánh là: 54 000 : = 6000 (đồng) Số gói bánh mua là: 270000 : 6000 =45 (gói bánh) Đáp số: 45 gói bánh Hoạt động 4: Tổ chức học sinh tự đánh giá kết toán tìm phƣơng án giải khác Yêu cầu học sinh tự đánh giá kết toán cách thử lại kết Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải khác: ngồi cách giải tốn trên, em cách giải khác? Cách 2: Phương pháp tỉ số: Số tiền 270 000 đồng gấp 54 000 đồng số lần là: 270 000 : 54 000 = 5(lần) Số gói bánh mua là: 9× 5=45 (gói) Đáp số: 45 gói bánh Ví dụ Xe tơ từ A đến B với vận tốc 36 km/giờ hết Nếu từ A đến B hết tơ với vận tốc km/giờ? 60 Hoạt động 1: Tìm hiểu đề hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn Yêu cầu học sinh phải đọc kỹ đề Bài tốn cho biết gì? Bài tốn u cầu gì? Bài toán cho thuộc dạng toán nào? Hướng dẫn học sinh tóm tắt tốn Giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích: Trong tốn người ta cho biết hai giá trị đại lượng thứ (4 giờ) giá trị đại lượng thứ hai (36km/giờ) Ta phải tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai (vận tốc giờ) Tóm tắt : : 36 km/giờ giờ: ?km/giờ Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải tốn Quãng đường đại lượng không đổi Vận tốc thời gian hai đại lượng biến thiên tương quan tỉ lệ nghịch Bài toán giải theo hai bước sau đây: Bài tốn giải theo phương pháp rút đơn vị Cách giải tiến hành theo hai bước Bước 1: Tìm tương ứng đơn vị đại lượng thứ với giá trị đại lượng thứ hai (1 ứng với ? km/giờ) cách thực phép tính nhân (36 = 144 km/giờ) Bước 2: Nhờ tương ứng mà tìm giá trị chưa biết đại lượng thứ hai (6 ứng với ? km/giờ) cách thực phép tính chia (144 : = 24 km/giờ) Hoạt động 3: Trình bày lời giải Giả sử ơtơ từ A đến B hết vận tốc ôtô là: 36 = 144 (km/giờ) Nếu từ A đến B hết vận tốc ôtô là: 144 : = 24 (km/giờ) Đáp số: 24 km/giờ Hoạt động 4: Tổ chức học sinh tự đánh giá kết toán tìm phƣơng án giải khác Yêu cầu học sinh tự đánh giá kết toán cách thử lại kết Hướng dẫn học sinh tìm phương án giải khác: ngồi cách giải tốn trên, em cịn cách giải khác? (Ngồi cách giải phương pháp rút đơn vị, tốn ví dụ cịn giải phương pháp tỉ số) Bài tập Hãy giải toán hƣớng dẫn học sinh giải tốn sau: Mua ngịi bút hết 3000 đồng Hỏi mua 12 ngòi bút hết tiền? Một người tính mua 15 kg gạo phải trả 30000 đồng Hỏi người trả 6000 đồng mua ki – lô – gam gạo thế? Quãng đường từ cột điện thứ đến cột điện thứ năm dài 480 bước Hỏi quãng từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mười dài bước, biết khoảng cách hai cột điện 61 liên tiếp nhau? Một người xe máy từ A đến B 30 km hết Khi trở từ B đến A người hết Hỏi trở ki-lô-mét, biết lúc không nghỉ dọc đường? Trong kì thi chọn học sinh giỏi người ta thấy bạn có bạn gái cịn lại trai Hãy tính xem kì thi có bạn gái, biết có 240 bạn trai tham gia? Một đơn có 45 người chuẩn bị đủ gạo ăn 15 ngày Sau ngày đơn vị tiếp nhận thêm người Hãy tính xem số gạo cịn lại đủ cho đơn vị ăn ngày nữa? (Lượng ăn không thay đổi) Theo dự định đơn vị niên xung phong phải làm xong qng đường 10 ngày Ngày hơm sau có 10 người chuyển nơi khác ngày nên đội niên phải làm xong quãng đường 12 ngày Hỏi lúc đầu đội niên có người? (Sức lao động nhau) Một đội 15 công nhân dự định lắp xong máy 20 ngày, ngày làm việc Nếu thêm người mà đội ngày làm việc 10 giờ, lắp xong máy ngày? (Cơng suất lao động nhau) Người ta tính ơtơ chở hàng, ơtơ 50km tiền chi phí tất 120000 đồng Vậy ôtô thế, ơtơ 100km chi phí hết tiền? 10 Một ôtô chạy từ tỉnh A đến tỉnh B Nếu chạy 60km ơtơ đến B vào lúc 15 Nếu chạy 40km ơtơ đến B vào 17 ngày a) Hỏi tỉnh A cách tỉnh B kilơmét? b) Hãy tính xem trung bình ơtơ phải chạy kilômét để đến B vào lúc 16 ngày? GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC 62