CÂU 5 ROIRACHSG9HP318 QN 1QN Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặ[.]
CÂU ROIRACHSG9HP318 QN 1QN.Mỗi ô vuông đơn vị bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 Hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số trùng Chứng minh có số ghi 17 lần DAPAN Trên hình vng kích thước 2x2 có khơng q số chia hết cho 2, có khơng q số chia hết cho - Lát kín bảng 25 hình vng , kích thước 2x2 có nhiều 25 số chia hết cho 2, có nhiều 25 số chia hết cho Do có 50 số cịn lại khơng chia hết cho 2, khơng chia hết cho 3, chúng phải số 1; 5; Theo nguyên lý Đich-Le có số xuất 17 lần 2QN Trên mặt phẳng cho điểm, khơng có điểm thẳng hàng Người ta tô 2016 điểm bẳng màu đỏ tô 2018 điểm lại màu xanh Chứng minh rằng: tồn cách nối tất điểm màu đỏ với tất điểm màu xanh 2018 đoạn thẳng khơng có điểm chung Ta nhận thấy tồn cách nối 2018 cặp điểm với 2018 đoạn thẳng có 2018 cặp điểm nên số cách nối hữu hạn Và hiển nhiên hữu hạn cách nối ta ln tìm cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng ngắn Ta chứng minh cách nối cách mà cần tìm Thật vậy: Giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX BY cắt điểm O (giả sử A B tơ màu đỏ, cịn X Y tô màu xanh) B A O X Y Khi đó, ta thay đoạn thẳng AX BY hai đoạn AY BX, đoạn lại giữ ngun cách nối có tính chất: AY + BX < (AO + OY)+ (BO + OX) = (AO + OX) + (BO + OY) Suy ra: AY + BX < AX + BY Như vậy, với việc thay hai đoạn thẳng AX BY hai đoạn thẳng AY BX ta nhận cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng nhỏ Vơ lí, trái với giả thiết chọn cách nối có tổng độ dài bé Điều vơ lí chứng tỏ cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng ngắn khơng có điểm chung 3QN Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh tồn điểm mà đường trịn qua chúng khơng chứa điểm khác Giả sử điểm cho tồn điểm A1; A2 cho tất điểm lại thuộc nửa mặt phẳng bờ A1A2 Ta có, tập hợp n-2 góc có dạng Ai n- điểm lại Do số góc hữu hạn, nên tồn góc lớn Khi đó, đường trịn ngoại tiếp tam giác A1AkA2 khơng điểm khác Trongmộtgiảibóngđácó 12 độithamdự, thiđấuvòngtrònmộtlượt (haiđộibấtkỳthiđấuvớinhauđúngmộttrận) a) Chứngminhrằngsau vòngđấu (mỗiđộithiđấuđúng trận) lntìmđượcbađộibóngđơimộtchưathiđấuvớinhau b) Khẳngđịnhtrêncịnđúngkhơngnếucácđộiđãthiđấu trận? Giả sử kếtḷncủabàitoán là sai, tức là trongbađộibấtkỳ thì có haiđộiđã đấuvớinhaurồi Giả sử đội 1 đã gặpcácđội 2, 3, 4, Xétcácbộ (1; 6; i) với i {7; 8; 9;…;12}, trongcácbộ nàyphải có ítnhấtmộtcặpđã đấuvớinhau, tuynhiên 1 khônggặp 6 hay i nên 6 gặp i vớimọi i {7; 8; 9;…;12} , vôlý vì đội 6 nhưthế đã đấuhơn 4 trận Vậy có đpcm 4QN Kếtluậnkhôngđúng Chia 12 độithành 2 nhóm, mỗinhóm 6 đội Trongmỗinhómnày, chotấtcả cácđộiđôimộtđã thiđấuvớinhau Lúcnàyrõ ràngmỗiđộiđã đấu 5 trận Khixét 3 độibấtkỳ, phải có 2 độithuộccùngmộtnhóm, đó 2 độinàyđã đấuvớinhau Ta có phản ví dụ Có thể giảiquyếtđơngiảnhơnchocâu a nhưsau: Do mỗiđộiđã đấu 4 trậnnêntồntạihaiđội A, B chưađấuvớinhau Trongcácđộicònlại, vì A và B chỉ đấu 3 trậnvới họ nêntổngsố trậncủa A, B vớicácđộinàynhiềunhất là 6 và đó, tồntạiđội C trongsố cácđộicònlạichưađấuvớicả A và B Ta có A, B, C là bộ bađợiđơimợtchưađấuvớinhau 5QN Bên đường trịn tâm O bán kính R = có điểm phân biệt Chứng minh rằng; tồn hai điểm số chúng mà khoảng cách điểm nhỏ A2 A1 O Nhận xét: Ít điểm số điểm cho khác tâm O Gọi điểm Ta có góc nhỏ số góc ( khơng lớn bé Xét Giả sử hoặc hoặc Mà 6QN Trên hịn đảo có lồi tắc kè sinh sống, chúng có ba màu: xanh, đỏ tím Tất có 2017 màu xanh, 2018 màu đỏ 2019 màu tím Để lẩn chốn săn mồi lồi tắc kè biến đổi màu sau: Nếu hai tắc kè khác màu gặp chúng đồng thời đổi màu sang màu thứ ba Nếu hai tắc kè màu gặp giữ ngun màu Có tất tắc kè trở thành màu khơng ? Vì ? + Nếu tắc kè xanh gặp tắc kè đỏ hai tắc kè chuyển thành màu tím nên số tắc kè lúc là: 2016 xanh, 2017 đỏ 2021 tím Lúc số dư số tắc kè chia cho 0, 1, + Nếu tắc kè xanh gặp tắc kè tím hai tắc kè chuyển thành màu đỏ nên số tắc kè lúc là: 2016 xanh, 2020 đỏ 2018 tím Lúc số dư số tắc kè chia cho 0,1, đầy đủ ba số dư có ban đầu + Nếu tắc kè đỏ gặp tắc kè tím hai tắc kè chuyển thành màu xanh nên số tắc kè lúc là: 2019 xanh, 2017 đỏ 2018 tím Lúc số dư số tắc kè chia cho 0, 1, đầy đủ ba số dư ban đầu Lập luận dẫn đến số dư số tắc kè chia cho có đầy đủ ba số dư 0, 1, Mà số dư chia số 2017, 2018, 2019 cho : 1, 2, Mặt khác, tổng tất tắc kè đảo 2017 + 2018 + 2019 = 6054 số chia hết cho Nếu tất tắc kè màu số dư lượng tắc kè xanh, đỏ tím chia cho 0, 0, Điều vơ lí nên khơng thể có trường hợp tất tắc kè đảo có màu 7QN Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 50 điểm Xét điểm A hình trịn (C1) có tâm A, bán kính C C1 A C2 B - Nếu tất 98 điểm lại nằm (C1) hiển nhiên tốn chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (C1) Ta có: AB > (1) Vẽ hình trịn (C2) tâm B, bán kính + Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình trịn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C khơng thuộc hai hình trịn nói Suy ra: AC > BC > (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết) Chứng tỏ C (C1) C (C2) Như 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo nguyên tắc Dirichle phải có hình trịn chứa khơng 50 điểm 8QN Cho bảng kẻ ô vng kích thước x (gồm 49 vng đơn vị) Đặt 22 đấu thủ vào bảng cho vng đơn vị có khơng q đấu thủ Hai đấu thủ gọi công lẫn họ hàng cột Chứng minh với cách đặt ln tồn đấu thủ đơi không công lẫn DAPAN Ta điền số hình bên 7 6 5 4 3 2 Xem lồng chim gồm ô điền số Như ta có lồng chim Khi đặt 22 đấu thủ vào lồng có lồng chứa đấu thủ nhớ đấu thủ lồng đôi không công lẫn Đpcm 9QN Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu DAPAN B A C E D 0,25 Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tơ đỉnh A, B, C, D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều màu có đỉnh màu tạo 0,25 0,25 thành tam giác cân Vậy, trường hợp ln tồn tam giác cân, có đỉnh tơ màu đôi khác màu 0,25 10QN Bên hình vng có cạnh 8cm, lấy 100 điểm Chứng minh 100 điểm vừa lấy, có điểm nằm đường trịn có bán kính 1cm DAPAN M Q D A Ai B N C P Gọi ABCD hình vng có cạnh 8cm Giả sử 100 điểm vẽ bên hình vng ABCD A1, A2, …A100 Dựng 100 đường trịn có tâm Ai có bán kính 1cm, kí hiệu đường trịn (Ai) (i = 1, 2, 100) Tổng diện tích 100 đường trịn vừa vẽ 100πcm2 Vẽ hình vng MNPQ có tâm với hình vng ABCD (như hình vẽ), có MN // AB MN = 10cm Khi tất đường trịn vẽ nằm bên hình vng MNPQ hình vng MNPQ có diện tích S1 = 100cm2 Do π> nên S > 3S1, suy tồn điểm O điểm đường tròn số đường tròn (Ai) Giả sử đường trịn (A1), (A2), (A3), (A4) Khi điểm A1, A2, A3, A4 nằm bên đường trịn tâm O bán kính 1cm 11QN Một học sinh có 12 sách đơi khác nhau, có sách Tốn, sách Văn sách Anh văn Có cách xếp lên kệ sách dài sách loại xếp liền DAPAN Đặt nhóm sách lên kệ dài có 3! cách 0,25 Trong nhóm ta hốn vị sách loại với sách Tốn có 2! cách Sách Văn có 4! cách 0,5 Sách Anh văn có 6! cách Vậy có 3!.2!.4!.6! = 207360 cách xếp 0,25 12QN Cho hình vng đơn vị chứa 101 điểm Chứng minh có điểm thuộc đường trịn có bán kính nhỏ DAPAN Chia hình vng đơn vị thành 25 hình vng có cạnh Xếp 101 điểm vào 25 hình vng Theo ngun lí Đrichlê tồn hình vng chứa điểm Giả sử điểm thuộc hình vng ABCD Gọi I giao điểm AC BD 0,25 0,25 0,25 ABCD nằm (I, IA) mà 0,25 Vậy có điểm thuộc đường trịn có bán kính nhỏ 13QN.Sau bữa tiệc, người bắt tay lần với người khác phòng Hệ thống camera tự động đếm thấy có tất 66 bắt tay Hỏi phịng có người? DAPAN Gọi số người phịng cần tìm n (người) người bắt tay với n-1 người lại Mỗi “Cái bắt tay” phải có người với (2 lần ) Như n người có n(n-1) lần bắt tay Và số “Cái bắt tay” 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm Vậy số người phòng 12 người 0,25điểm 14QN Có chiếc bàn vừa màu xanh, vừa màu đỏ xếp thành một hàng dọc cách đều Chứng minh rằng có ít nhất một chiếc bàn được xếp cách bàn cùng màu với mình một khoảng cách DAP AN (1đ) + Gäi tên theo thứ tự bàn B1,B2,B3, B4,B5,B6 B7,B8,B9 Giả sử bàn đợc xếp cách hai bàn màu với (*) + Không tổng quát, giả sử B bàn màu xanh, B4 B6 màu xanh Có hai khả 0,25 đ năng: - B4 B6 màu đỏ Do B4 cách B2 B6, B6 cách B4 B8 nên B2 B8 màu xanh, suy B5 đợc xếp cách hai bàn màu xanh 0,25 đ B2 B8, trái với giả thiết (*) - B4 B6 khác màu, không tổng quát, giả sử B màu xanh B6 màu đỏ Do B4 cách B3 B5 nên B3 bàn màu đỏ Do B cách B3 B9 nên B9 bàn màu xanh Do B cách B1 B9 nên B1 màu đỏ Do B2 cách B1 B3 nên B2 màu xanh Do B5 0,25 đ cách B2 B8 nên B8 có màu đỏ Do B6 B8 có màu đỏ nên B7 có màu xanh Nh B7 đợc xếp cách hai bàn màu xanh B B9, trái với giả thiết (*) 0,25 đ Vậy hai khả dẫn đến vô lý nên điều giả sử (*) sai Nh có bàn đợc xếp cách với hai bàn màu với 15QN Hi cú hay khơng 16 số tự nhiên, số có ba chữ số tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số chúng khơng có số dư chia cho 16? ĐAPAN 5/ (1đ) Không tồn 16 số Thật vậy, giả sử trái lại, tìm 16 số thỏa mãn Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; có số chẵn, số lẻ Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn a, b chữ số lẻ c 0.25 0.25 Có số lẻ tạo thành từ chữ số này: 0.25 Gọi số có hai chữ số thu từ số cách bỏ chữ số c (ở hàng đơn vị) Khi khơng ước tức không chia hết cho Nhưng số kỳ số có ba số lẻ nên số bất ln có hai số có số dư chia cho 8, 0.25 mâu thuẫn Tương tự, trường hợp ba số a, b, c có hai số lẻ, số chẵn không xảy 16QN Cho A làmộtsốngundương Biếtrằngtrongbamệnhđềsauđây P, Q, R chỉcóduynhấtmộtmệnhđềsai Tìm A? P = “ A + 51 làbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên” Q = “ A cóchữsốtậncùng 1” R = “ A- 38 làbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên” DAPAN Nếumệnhđề Q => A+51 tậncùnglà => P làmệnhđềsai 0.25 điểm Khiđó A – 38 tậncùnglà => R khơnglàbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên => R làmệnhđềsai VậyQlàmệnhđềsai VậyQlàmệnhđềsaivà P, Rlàhaimệnhđềđúng 0.25 điểm 0.5 điểm Ta có 18QN Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tơ màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đôi khác màu DAPAN 10 B A C (1,0 điểm) E D Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác ln tạo thành tam giác cân Do tô đỉnh A, B, C, D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy, trường hợp ln tồn tam giác cân, có đỉnh tơ màu đơi khác màu Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường trịn, 19QN đường trịn có đường kính bảy đường trịn m Chứng minh tồn đường thẳng giao với DAPAN Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1m Vì đường kính hình trịn lớn 0,1m nên đường trịn bị đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt khơng q đường trịn số đường trịn khơng q 9.6=54 (1,0 Vì có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng 11 0,25 0,25 Điểm) cắt đường tròn 0,25 0,25 Một gia đình lớn gồm bốn hệ, có bảy cặp ông nội – cháu nội Biết 20QN rằng, gia đình người có nhiều hai Hỏi gia đình có người nam? Tại sao? Xét người cháu nội: +/ Nếu người hệ hệ trước người phải có nam (vì người nam cha nhiều hai người con) hệ trước phải có hai nam (cha người nam nói trên) Như số người nam trường hợp khơng +/ Nếu người thuộc vào hai hệ (thế hệ hệ 4) số người nam khơng (tự suy luận tương tự) Vậy mơ hình gia đình hệ thỏa mãn yêu cầu đề có người nam (nút trịn trai, nút vuông gái) 12