a BÀI 7 – CHÙM MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NẮM Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng ( )d đã biết Ta đã biết đường thẳng d được xác định bằng vectơ chỉ phương ( ); ;u a b c= và đi qua điểm ([.]
a BÀI – CHÙM MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NẮM Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( d ) biết Ta biết đường thẳng d xác định vectơ phương u = ( a ; b ; c ) qua điểm x − x0 y − y0 z − z0 M ( x0 ; y0 ; z0 ) Nếu abc ≠ d có phương trình = (phương trình = a b c tắc đường thẳng) Nếu số a, b, c 0, hai số lại khác 0, chẳng x − x0 = hạn a = đường thẳng d có phương trình y − y0 z − z0 b = c Nếu có số a, b, c 0, chẳng hạn a= b= d có phương trình x − x0 = y − y0 = Trong cách viết theo dạng này, ta thấy xuất dấu phương trình đường thẳng d , dấu tượng trưng cho phương trình mặt phẳng Cách viết hiểu đường thẳng xác định thơng qua mặt phẳng cắt nhau, đường thẳng giao tuyến mặt phẳng ax + by + cz + d = , ( a, b, c ) Ở ta viết lại đường thẳng ( d ) dạng a′x + b′y + c′z + d ′ = ( a′, b′, c′) hai số không tỉ lệ với Xét (α ) : ax + by + cz + d = ( β ) : a′x + b′y + c′z + d ′ = d giao tuyến (α ) ( β ) Tất mặt phẳng chứa d viết dươi dạng ′) ( m2 + n2 ≠ ) m ( ax + by + cz + d ) + n ( a′x + b′y + c′z + d= Nếu n = 0, ( P) có dạng ax + by + cz + d = Nếu n ≠ 0, ( P ) có dạng m ( ax + by + cz + d ) + a′x + b′y + c′z + d ′ = với m ∈ x y −1 z Ví dụ: Để viết phương trình ( P ) chứa đường thẳng ( d = = , ta làm sau: ): −3 Bài – Chùm mặt phẳng 65 y −1 = x 2 x − y + = Ta viết lại đường thẳng ( d ) : ⇔ 3 x + z = x = z −3 Vậy ( P ) có phương trình x − y + = m ( x − y + 1) + x + z = ⇔ ( 2m + 3) x − my + z + m = MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho trước tiếp xúc với mặt cầu ( S ) biết Phương pháp giải Bước 1: Viết phương trình ( P ) phụ thuộc theo tham số Bước 2: Xác định tâm I bán kính R ( S ) , từ khai thác giả thiết ( P ) tiếp xúc với ( S ) d ( I ; ( P ) ) = R để viết phương trình mặt phẳng ( P ) Ví dụ: Cho đường thẳng d qua M ( 0;5;0 ) có vectơ phương u = (1;0;1) Viết phương 2 trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = cắt Oz điểm có cao độ lớn −1 Biết ( a ; b ; c ) vectơ pháp tuyến ( P ) với b số nguyên tố, a, c số nguyên Giá trị a + 6b + 2c A B C D Hướng dẫn giải Bước 1: Viết phương trình tham số d : x − z = Đường thẳng d có phương trình: nên mặt phẳng ( P ) có phương trình y − = 0 y −5 = x − z + m ( y − ) = ⇔ x + my − z − 5m = Bước 2: Khai thác giả thiết tiếp xúc Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;0 ) , bán kính R = Điều kiện để ( P ) tiếp xúc với ( S ) d ( I ; ( P )) = 66 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ TH1: ( P ) có phương trình y − = 0, dễ thấy d ( I ; ( P ) )= ≠ (loại) TH2: ( P ) có phương trình x + my − z − 5m = , ta có: = d ( I ; ( P )) Do d ( I ; ( P ) ) = + 2m − 5m = 12 + m + ( −1) − 3m 1 ⇔ = ⇔ (1 − 3m ) m2 + − 3m m2 + m = = m2 + ⇔ m = 40 1 Với m = , ta có ( P ) : x + y − z − = ⇔ x + y − z − = Mặt phẳng cắt Oz 2 điểm có cao độ − < −1 (loại) 7 Với m = , ta có ( P ) : x + y − z − = ⇔ 40 x + y − 40 z − 35 = Mặt phẳng cắt 40 40 35 Oz điểm có cao độ − > −1 (thỏa mãn) 40 Vậy = n ( 40;7; − 40 ) // ( a ; b ; c ) , mà b số nguyên tố a, c ∈ nên a = 40; b = 7; c = −40 suy a + 6b + 2c = Bài tập luyện tập x y + z −1 mặt cầu : d= = 10 Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d , tiếp xúc với ( S ) : x + y + z + x − y + z − 15 = Trong không gian ( S ) cắt trục Oz Oxyz , cho đường thẳng điểm có cao độ lớn Khi giao điểm ( P ) với trục Oz có cao độ A Trong khơng gian B Oxyz , C cho đường thẳng D x y +1 z −1 = d= : −1 mặt cầu = Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d , tiếp xúc với ( S ) cắt trục tung điểm có tung độ âm Khoảng cách từ điểm A (1; 2;3) đến ( P ) ( S ) : x2 + y + z − A B C D 2 Bài – Chùm mặt phẳng 67 x + y z +1 Mặt phẳng ( P ) chứa đường = = −1 81 2 thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) =và không song song với Oz Khoảng cách từ điểm A ( 0; − 1; − 1) tới ( P ) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : A 95 B 96 C 97 D 98 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho trước cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Phương pháp giải Bước 1: Viết phương trình ( P ) phụ thuộc theo tham số Bước 2: Xác định tâm I bán kính R ( S ) , từ khai thác giả thiết ( P ) cắt ( S ) theo = giao tuyến đường trịn có bán kính r d ( I ; ( P )) Ví Trong dụ: khơng gian Oxyz , cho đường thẳng R2 − r x= − 4t d : y= − t z= + t 65 + y + ( z + ) = Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính cắt trục tung điểm có tung độ âm Biết ( a ; b ; c ) véctơ pháp tuyến ( P ) với c số nguyên tố a, b ∈ Giá trị 4a − 5b + 6c ( S ) : ( x − 1) A 20 B 25 C 26 D 30 Giải Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;0; − ) , bán kính R = trịn có bán kính d ( I ; ( P ) )= 65 Để ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường R − r 2= 65 − = 9 68 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Bước 1: Viết phương trình ( P ) phụ thuộc tham số x − y + = Ta viết lại phương trình đường thẳng d : y + z − = TH1 ( P ) : x − y + = , d ( I ;= ( P )) 17 ≠ (loại) 17 TH2 ( P ) : m ( x − y + 3) + y + z − = ⇔ mx + (1 − 4m ) y + z + 3m − = Bước 2: Khai thác yếu tố khoảng cách Ta có: d ( I ; ( P ) ) = m − + 3m − = m + (1 − 4m ) + 4m − 17 m − 8m + m= ⇒ d ( I ; ( P ) ) = ⇔ 4m − = 17 m − 8m + ⇔ m = − 49 118 1 Nếu m = , ta có ( P ) : x − y + z − = ⇔ x − y + z − = , mặt phẳng cắt trục 2 tung điểm có tung độ âm (thỏa mãn) a = Vậy ( a ; b ; c ) // (1; − 2; ) , mà c số nguyên tố a, b ∈ nên b = −2 c = Vậy 4a − 5b + 6c = 26 49 49 157 619 Nếu m = − , ta có ( P ) : − x+ y+z− , mặt phẳng cắt trục tung = 118 118 59 118 điểm có tung độ dương (khơng thỏa mãn) Bài tập luyện tập Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ( ∆ ) : x =− y =− z + cắt mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + y2 + z2 = theo đường tròn có bán kính Biết (α ) cắt trục tung, điểm sau thuộc mặt phẳng (α ) ? A (1; 2;3) B (1; 2;5 ) C (1; 2;7 ) D (1; 2;10 ) Bài – Chùm mặt phẳng 69 Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d : x + = y z cắt mặt cầu = 16 + z = theo đường trịn có bán kính Biết ( P ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương Khoảng cách từ O tới ( P ) ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) A B C D 3 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho trước hợp với mặt phẳng ( Q ) cho trước góc ϕ Phương pháp giải Bước 1: Viết phương trình ( P ) phụ thuộc theo tham số Bước 2: Sử dụng cơng thức góc hai mặt phẳng: Cho (α ) : ax + by + cz + d = , số đo ϕ ( β ) : a′x + b′y + c′z + d ′ = cos ϕ = góc mặt phẳng tính bởi: aa′ + bb′ + cc′ a + b + c a ′ + b′ + c ′ x = t đường thẳng d : y = Mặt phẳng Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz , cho (α ) : x + y + z + = z = −2 ( P ) chứa đường thẳng d tạo với (α ) góc 60° Biết mặt phẳng ( P ) cắt Oy điểm có tung độ lớn qua điểm ( a ; b ;1) Giá trị b thuộc khoảng sau đây? A [10; 20] B ( 20; + ∞ ) C ( −∞ ; − 10 ) D [ −10;10 ) Giải Bước 1: Viết phương trình ( P ) phụ thuộc tham số y = Đường thẳng d : z + = TH1 ( P ) : y = 0, n( P ) = = ≠ (loại) ( 0;1;0 ) ⇒ cos ( ( P ) ; (α ) ) = 2 +1 +1 TH2 ( P ) : my + z + = 70 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Bước 2: Khai thác theo góc Ta có: g ( ( P ) ; (α ) )= 60° ⇒ m +1 = ⇔ ( m + 2m + 1)= 3m + 3 m +1 2 m =−4 + 15 ⇔ m + 8m + = ⇔ m =−4 − 15 Với m =−4 + 15, ( P ) : tung độ − 15 ) ( 15 − y + z + = 0, giao điểm ( P ) với trục tung điểm có > (thỏa mãn) Vì ( P ) qua điểm ( a ; b ;1) nên b = ( ) − 15 Với m =−4 − 15 ⇒ ( P ) : −4 − 15 y + z + =0, giao điểm ( P ) với trục tung điểm có tung độ Vậy b = + 15 − 15 Bài tập tương tự Trong không < (không thỏa mãn) ∈ ( 20; + ∞ ) gian Oxyz , cho đường thẳng x =−1 + t d : y = 1− t z = mặt phẳng (α ) : x − y + z + =0 Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d hợp với mặt phẳng (α ) góc 60° Biết ( P ) có vectơ pháp tuyến n = (1; b ; c ) với c > Giá trị 8b + 7c A 7 B C D x +1 z −1 mặt phẳng = y= −3 Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d , hợp với d góc ϕ thỏa mãn (α ) : x − y + z = Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d: cos ϕ = Biết ( P ) không qua gốc tọa độ Khoảng cách từ điểm A ( 0; − 1; ) tới ( P ) 2 3 B C D 19 19 19 19 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0;0;1) B ( 3;0;0 ) Có mặt phẳng A qua hai điểm A B, đồng thời tạo với mặt phẳng ( xOy ) góc 30° A B C D Bài – Chùm mặt phẳng 71 Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Có mặt phẳng qua điểm O A, đồng thời tạo với ( P ) góc α thỏa mãn sin α = A B C D Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho trước cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tác điểm A, B, C cho thể tích tứ diện OABC số biết Phương pháp giải Bước 1: Viết phương trình ( P ) phụ thuộc theo tham số Bước 2: Tìm tọa độ điểm A, B, C theo tham số, từ sử dụng VOABC = OA.OB.OC x −1 y − z Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = Mặt phẳng ( P ) chứa 2 đường thẳng d , cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC điểm C có cao độ dương Biết ( a ; b ; c ) vectơ pháp tuyến ( P ) với b số nguyên tố, a, c ∈ Giá trị 2a + 3b − c A −5 B C −1 D Giải Bước 1: Viết phương trình tham số d x − y + = Ta viết lại d : 3 x − z − = TH1 Mặt phẳng ( P ) có phương trình x − y + = 0, A ( −3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;0 ) nên C ≡ O, không tồn tứ diện OABC TH2 Mặt phẳng ( P ) có phương trình m ( x − y + 3) + x − z − = ⇔ ( m + 3) x − my − z + 3m − = với m ∈ 72 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Bước 2: Khai thác giả thiết thể tích tứ diện m + ≠ ⇔ m ∉ {−3;0;1} Vì A, B, C khơng trùng với O nên m ≠ 3m − ≠ 3m − − 3m 3m − Khi A ;0;0 ; B 0; ;0 ; C 0;0; m m+3 Ta có OA = − 3m 3m − 3m − ; OB = ; OC = m+3 m Tứ diện OABC có góc đỉnh O 90° nên 1 27 ( m − 1) VOABC = OA.OB.OC = 6 2m ( m + 3) ( m − 1) 3m − Theo đề bài, cao độ điểm C dương nên > ⇔ m > Do VOABC = 4m ( m + 3) ( m − 1) Từ giả thiết V = suy =1 ⇔ ( m3 − 3m + 3m − 1) =4m + 12m ⇔ m = 4m ( m + ) nên ( a ; b ; c ) // ( −6;3; ) , mà b số nguyên tố a, c ∈ Vậy ( P ) : x − y − z + = nên a = 3; c = nên 2a + 3b − c =−5 −6; b = Lưu ý: Có thể giải tốn theo cách khác sau Vì ( P ) khơng qua gốc tọa độ O cắt trục tọa độ nên ta gọi ( P ) : mx + ny + pz = 1, với mnp ≠ 1 1 Giao điểm ( P ) với trục tọa độ A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0; p m n 1 1 Theo đề p > Ta có: VOABC = ⇒ mnp = OA.OB.OC = = 6 mnp Lại có ( P ) chứa d nên ( P ) qua M (1; 4;0 ) có vectơ pháp tuyến vng góc với m + 4n = u = ( 2; 2;3) nên 2m + 2n + p = 3p + Ta có: m = − 4n, vào (1 − 4n ) + 2n + p =0 ⇔ − 6n + p =0 ⇔ n = 6 p + −6 p − Vậy m =− 4n =− = 3 Bài – Chùm mặt phẳng 73 ( p + 1)( p + ) p = ⇔ p p + p + = ⇔ p = 1 ⇔ ) )( ( 3.6 1 Vậy m = −1; n =⇒ ( P ) : − x + y + z = ⇔ −6 x + y + z − = 2 Từ b = 3; a = suy 2a + 3b − c =−5 −6; c = Vì p > nên ta có mnp = Bài tập tương tự 10 y +1 = z + Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d , cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC điểm C có cao độ dương Biết điểm M ( 4;5; m ) thuộc ( P ) Khẳng định sau đúng? Trong không gian cho đường thẳng d : x − = A m ∈ ( −∞ ; − 1) 11 B m ∈ [ −1;1) C m ∈ [1;5 ) x y +1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d= : = thẳng d , cắt trục tọa độ ba điểm A, B, C cho điểm C có cao độ dương Diện tích tam giác ABC 48 A 21 15 B 21 16 C 21 21 D m ∈ [5; + ∞ ) z Mặt phẳng ( P ) chứa đường tứ diện OABC tích bằng D 21 18 Một số dạng toán khác 12 x y +1 z + Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d= : Mặt phẳng ( P ) chứa đường = 2 thẳng d vuông góc với ( Q ) : x + y − z − = Khoảng cách từ O đến ( P ) A 13 65 B 65 C 62 D 62 x−2 Trong không gian Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d : = cắt trục Ox, Oy A B cho vectơ AB vng góc với d mặt phẳng ( P ) thỏa mãn? A B C D y −1 z = −1 Có 74 14 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ x y +1 z + Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d= : Mặt phẳng ( P ) chứa đường = 2 thẳng d , thỏa mãn giao tuyến ( P ) mặt phẳng ( Q ) : x + y = hợp với đường thẳng d góc ϕ mà cos ϕ = Biết ( P ) không song song với trục tung, ( P ) cắt trục tung điểm có tung độ A 15 B C D Cho hai đường thẳng song song d : x= y= − z d ′ : x= y= − z Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d , cách đường thẳng d ′ khoảng từ điểm O tới ( P ) A B C 2 - Hết - cắt trục tung Khoảng cách D 2