Chùm mặt phẳng

TRƯỜNG PTTH VÕ THỊ SÁU MÔN : TOÁN GIÁO VIÊN THỰC HIỆN : TRẦN MẠNH QUỲNH 1/ Đònh nghóa : Cho mặt phẳng (α1 ) ; (α 2) cắt theo giao tuyến d Tập hợp mặt phẳng (α ) qua giao tuyến d (α1) va ø(α2) gọi chùm mặt phẳng xác đònh α mp (α1) (α2) α d α2 / Đònh lý ý quan trọng : a/ Đònh lý :Trong kg oxyz Cho mp (α1) : A1x + B1y +C1z +D1 = (α2): A2 x + B2y + C2 z + D2 = cắt theogiaotuyếnd Mọi mp (α) qua giao tuyến d có phương trình : μ (A1x+B1y+C1z +D1) + λ (A2x+B2y+C2z+D2)=α0 (1) Với μ + λ ≠ uu r n1 I d r n M uu r n2 α2 α CM uur g( α ) có pvt n1 = ( A1;B1;C1 ) uur ( α ) có pvt n2 = ( A ;B2 ;C2 ) v Gọi n pvt mp ( α ) quad r uur uur tacó n;n1 ;n đồng phẳng (vì ⊥ d ) r uur uur ⇔ n = µ n1 + λ n ( µ + λ ≠ 0) ur ⇔ n = ( µ A1 + λ A ; µ B1+ λ B2 ; µ C1 + λ C2 ) gTrên d = ( α ) ∩ ( α ) lấy I ( x ;y ;z0 ) gGọi M ( x;y;z ) ; M ∈ ( α ) uuur r uuur ⇔ IM.n = IM = ( x − x ;y − y ;z − z ) ( ) ⇔ ( x − x ) ( µ A1 + λ A ) + ( y − y ) ( µ B1 + λ B2 ) + ( z − z ) ( µ C1 + λ C2 ) = ⇔ µ  A1x + B1y + C1z − ( A1x0 + B1y + C1z )  +   λ  A x + B2 y + C2 z − ( A x + B2 y + C2 z0 )  =   ⇔ µ ( A1x + B1y + C1z + D1 ) + ( λ ( A x + B2 y + C2 z + D2 ) = ( ∗ )  A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = Vậy ta cóđiều phải chứng huur n Tacó :   A x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 = d I M  D1 = − ( A1x0 + B1y0 + C1z0 )  ⇔ ( ∗)  D2 = − ( A x0 + B2 y0 + C2 z0 ) ) r n α2 α uu r n2 α b/Chú ý: μ (A1x+B1y+C1z +D1) + λ (A2x+B2y+C2z+D2)= (1) Với μ + λ 2≠ * (1) gọi pt chùm mp xác đònh mp (α1) ; (α2) * (1) biểu thò cho mp (α) qua d kể (α1) (α2) gNếu µ = λ ≠ ,ta có ( α ) ≡ ( α ) gNếu λ = µ ≠ , ta có ( α ) ≡ ( α1 ) ( α ) không trùng ( α1 )  gNếu µ ≠ λ ≠ , ta có  ( α ) không trùng ( α ) λ ≠ µ *Khi :  đặt : m = , ( 1) Viết dạng: λ µ ∈ ¡ m  A1x + B1y + C1z + D1 ÷ + A 2x + B2y + C2z + D2 = ( )  với m ∈ ¡ ( ) pt mp ( α ) qua d  khác ( α1 ) / Các ví dụ Ví dụ : Cho mp (α1) : x + 3y – z + = (α ) : 2x – y + z + = (α 3) : -2x + 2y + 3z + = a/ CMR (α 1) cắt (α ) theo giao tuyến d b/ Viết pt mp ( α) qua giao tuyến d (α) qua M0 (1,2,1) c/ Viết pt mp ( β) qua d vuông góc (α3) GIẢI : 1a / CMR: ( α ) :x + 3y − z + = ( α ) : 2x − y + z + = cắt theo giao tuyến d a)Ta có : ≠ ⇒ 1: 3: − ≠ : − : −1 ⇒ ( α1 ) cắt ( α ) theogiao tuyến d 1b/ Viết phương trình mặt phẳng(α) qua giao tuyến d và(α) qua M0 (1, 2, 1) b / (α) qua d nên pt (α) códạng µ ( x + 3y − z + ) + λ ( 2x − y + z + 1) = Với µ + λ ≠ hay ( µ + 2λ ) x + ( 3µ − λ ) y + ( λ − µ ) z + λ + 2µ = M0 ( 1, 2,1) ∈( α ) ⇔ ( µ + 2λ ) + ( 3µ − λ ) + ( λ − µ ) + λ + 2µ = ⇔ 2λ + 8µ = ⇔ λ + 4µ = ⇔ λ = −4µ chọn µ = −1 , ta có λ = lúc ( α ) : 7x − 7y + 5z + = 1c/ Viết pt mp () qua d vuông góc (3) (3) : -2x + 2y +3z +3 = 1c/ ( β ) qua d nên ( 2 β : µ + λ x + µ − λ y + λ − µ z + λ + µ = µ + λ ≠0 ( )( ) ( ) ( ) ) ( β ) ⊥ ( α3 ) ⇔ ( µ + 2λ ) ( −2 ) + ( 3µ − λ ) + ( λ − µ ) = ⇔ µ = 3λ chọn λ = 1ta có µ = ( β ) :5x + 8y − 2z + = Ví dụ : Cho mp (α1) : 5x – 4y + 3z + = (α2) : 3x – 2y + 2z + = cắt theo giao tuyến d Tìm pt mp (α) qua d tạo với mp (β) : x + y – z = góc φ với cos ϕ = 125 GIẢI VD2 : VỚI GT : ( α1 ) : 5x − 4y + 3z +1 = ( α2 ) : 3x − 2y + 2z + = ( β) ; cos ϕ = 125 : x +y −z = ∗ TH : ( α ) ≡ ( α1 ) : 5x − 4y + 3z + = ·  Ta có cos  ( α1 ) ; ( β ) ÷ =   = 5.1 + 1( −4 ) + ( −1) + ( −4 ) + 2 50 ≠ + + ( −1) 125 ⇒ ( α1 ) không nghiệm toán 2 GIẢI VD2 VỚI GT : ( α1 ) : 5x − 4y + 3z +1 = ( α2 ) : 3x − 2y + 2z + = ( β) : x + y − z = ; cos ϕ = 125 ( α) không trùng ( α1 )  ∗ TH :  α) ⊃ d (   ⇒ pt ( α ) có dạng:m ( 5x − 4y + 3z + 1) + 3x − 2y + 2z + = ( m ∈ ¡ ⇔ ( α ) : ( 5m + 3) x − ( + 4m ) y + ( + 3m ) z + + m = · giả thiết cho cos  ( α ) ; ( β ) ÷ = cos ϕ   ⇔ 5m + − − 4m − − 3m ( 5m + 3) + ( −2 − 4m ) + ( + 3m ) 2 + + ( −1) 2 = 125 ) ⇔ ( −2m −1 50m +58m +17 ) = 125 ( ⇔ 4m +4m +1 125 =9 50m +58m +17 ) ⇔50m −22m −28 = ⇔25m m =1 −11m −14 =0 ⇔ m =−14  25  g m = : ( α ) : 8x − y + 5z + = 14 gm = − : ( α ) : 5x + 6y + 8z + 161 = 25 Ví dụ : Cho (P) : 5x + ky + 4z + t = (Q) : x – 9y – 2z + = (R) : 3x – 7y + z – = Xác đònh k , t để mp qua đường thẳng GIẢI VD3 : VỚI GT : (P) : 5x + ky + 4x + t = (Q) : x – 9y – 2z + = (R) : 3x – 7y + z – = −9 Nhận xét : ≠ ⇒ : − : − ≠ : − :1 −7 ⇒ ( Q ) cắt ( R ) theo giao tuyến d ( P) trùng ( Q ) nên : Yêu cầu toán ⇔ ( P ) ∈ chùm mp có pt : m ( x − 9y − 2z + ) + 3x − 7y + z − = ( m ∈ ¡ ) ⇔ ( P ) ∈ chùm có pt : ( + m ) x − ( + 9m ) y + ( − 2m ) z + 5m − = m ∈R + m − ( + 9m ) − 2m 5m − ⇔ = = = k t  m = −  ⇔  k = −5 t = −11   Vậy k = − ; t = − 11 giá trò cần tìm Củng cố : Nhắc lại đònh lý Cho mp : (α1) : A1x + B1y +C1z +D1 = (α2) : A2 x + B2y + C2 z + D2 = cắt theo giao tuyến d  Mọi mp (α) qua giao tuyến d có phương trình : μ(A1x+B1y+C1z +D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (1) Với μ + λ ≠  Mọi mp (α)≢ (α1) qua giao tuyến d có phương trình : m ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + A x + B2 y + C z + D2 = ( ) với m∈¡ Dặn dò : Làm tập 4; trang 88 (Sách GK) • Bài học kết thúc • Xin chân thành cám ơn • tham dự qúi thầy cô [...]... – 3 = 0 1 −9 Nhận xét : ≠ ⇒ 1 : − 9 : − 2 ≠ 3 : − 7 :1 3 −7 ⇒ ( Q ) cắt ( R ) theo giao tuyến d ( P) không thể trùng ( Q ) nên : Yêu cầu của bài toán ⇔ ( P ) ∈ chùm mp có pt : m ( x − 9y − 2z + 5 ) + 3x − 7y + z − 3 = 0 ( m ∈ ¡ ) ⇔ ( P ) ∈ chùm có pt : ( 3 + m ) x − ( 7 + 9m ) y + ( 1 − 2m ) z + 5m − 3 = 0 m ∈R 3 + m − ( 7 + 9m ) 1 − 2m 5m − 3 ⇔ = = = 5 k 4 t 1  m = − 2  ⇔  k = −5 t = −11   ...1/ Đònh nghóa : Cho mặt phẳng (α1 ) ; (α 2) cắt theo giao tuyến d Tập hợp mặt phẳng (α ) qua giao tuyến d (α1) va ø(α2) gọi chùm mặt phẳng xác đònh α mp (α1) (α2) α d α2 /... d a)Ta có : ≠ ⇒ 1: 3: − ≠ : − : −1 ⇒ ( α1 ) cắt ( α ) theogiao tuyến d 1b/ Viết phương trình mặt phẳng( α) qua giao tuyến d và(α) qua M0 (1, 2, 1) b / (α) qua d nên pt (α) códạng µ ( x + 3y −... giao tuyến d ( P) trùng ( Q ) nên : Yêu cầu toán ⇔ ( P ) ∈ chùm mp có pt : m ( x − 9y − 2z + ) + 3x − 7y + z − = ( m ∈ ¡ ) ⇔ ( P ) ∈ chùm có pt : ( + m ) x − ( + 9m ) y + ( − 2m ) z + 5m − = m