Chùm mặt phẳng

• Bài học kết thúc• Xin chân thành cám ơn • sự tham dự của qúi thầy cô.

TRƯỜNG PTTH

MÔN : TOÁN

GIÁO VIÊN THỰC HIỆN :

TR N M NH QU NH Ầ Ạ Ỳ

1/ Định nghĩa :

Cho 2 mặt phẳng (α1 ) ; (α 2) cắt nhau theo giao tuyến d Tập hợp các mặt phẳng (α ) qua giao tuyến d của (α1) va ø(α2)

gọi là một chùm mặt phẳng xác định bởi 2

mp (α1) và (α2)

α

1

α

d

α

2 / Định lý và các chú ý quan trọng :

(α1) : A1x + B1y +C1z +D1 = 0

(α2): A2 x + B2y + C2 z + D2 = 0 cắt nhau theogiaotuyếnd Mọi mp (α) qua giao tuyến d đều có phương trình :

μ (A 1 x+B 1 y+C 1 z +D 1 ) + λ (A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 )= 0 (1)

Với μ 2 + λ 2 ≠ 0 nuur1

α

1

α

2

nuur

nr

2 α

( ) ( ) ( )

0 0

= α ∩ α









gTrên d lấy I x ;y ;z

A x B y C z D Tacó :

A x B y C z D

D A x B y C z

D A x B y C z

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 0 0

0 1 2 0 1 2

0 1 2

1 1 1 1 0 1 0 1 0

2 2 2 2 0 2 0 2 0

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

0

0

∈ α

⇔ − µ + λ + − µ + λ + − µ + λ =

⇔ µ  + + − + +  +

g uuur r uuur

GọiM x;y;z ; M IM.n IM x x ;y y ;z z

x x A A y y B B

z z C C

A x B y C z A x B y C z

A x B y C z A x B y C z

A x B y C z D

A x B y C z D do Vậytacóđiềuphảichứngmin h

1

nuur

α

1 α

2

nuur

nr

( )

1 2

2 2

1 2

1

0

α

⊥

uur g

uur v

r uur uur

r uur uur

ur

CM

có pvt n A ;B ;C

có pvt n A ;B ;C

Gọin là pvtcủamp bất kỳquad

tacó n;n ;n đồngphẳng (vìcùng d)

n n n

n A A ; B B ; C C

b/Chú ý :

μ (A 1 x+B 1 y+C 1 z +D 1 ) + λ (A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 )= 0 (1) Với μ 2 + λ 2 ≠ 0

* (1) được gọi là pt chùm mp xác định bởi 2 mp (α1) ; (α2)

* (1) biểu thị cho mọi mp (α) qua d kể cả (α1) và (α2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

1 2

Nếu thì ,tacó Nếu thì , tacó

không trùng Nếu và , tacó

không trùng





g g g

( )

( )

0

1

2

0 2

*Khi : đặt: m , Viết dưới dạng:

là pt mọi mp qua d và khác

m A x B y C z D A x B y C z D

với m





α



α

∈

¡

¡

3 / Các ví dụ

Ví dụ 1 :

Cho 3 mp

(α1) : x + 3y – z + 2 = 0 (α 2 ) : 2x – y + z + 1 = 0 (α 3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0 a/ CMR (α 1) cắt (α 2 ) theo một giao tuyến d b/ Viết pt mp ( α) qua giao tuyến d và (α) qua

M0 (1,2,1)

c/ Viết pt mp ( β) qua d và vuông góc (α3)

( ) ( ) 1 2

1 3

1 3 1 2 1 1

2 1

a)Tacó : : : : :

cắt theogiaotuyếnd

−

( ) ( )

1 2

GIẢI :

a/ CMR: :x y z

: x y z cắt nhau theo giao tuyến d

1b/ Viết phương trình mặt phẳng(α) qua giao tuyến d và(α) qua M0 (1, 2, 1)

2 2

0

µ + λ ≠

µ + λ + µ − λ + λ − µ + λ + µ =

Với

( ) ( )

( )

0 1 2 1

4

∈ α

⇔ λ + µ = ⇔ λ + µ =

⇔ λ = − µ

M , ,

chọn , tacó

lúcnày : x y z

1c/ Viết pt mp () qua d và vuông góc (3)

(3) : -2x + 2y +3z +3 = 0

( )

β

β µ + λ + µ − λ + λ − µ + λ + µ = µ + λ ≠2 2

1c/ qua d nên

: 2 x 3 y z 2 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

β ⊥ α ⇔ µ + λ − + µ − λ + λ − µ =

⇔ µ = λ

3

3 125 với cos ϕ =

Ví dụ 2 :

Cho 2 mp

Tìm pt mp (α) qua d và tạo với mp (β) : x + y – z = 0 một

góc φ

GIẢI VD2 :

⇒ α

( ) ( )· ( ) ( )

( ) ( )

1

125

50 3

+ − + −

 α β =

( ) ( ) ( )

1 2

5 4 3 1 0

3 2 2 7 0

3 0

125

VỚI GT : : x y z

: x y z : x y z ; cos

( ) ( )1 1 0

1 : x 5 4 y 3 z

TH : α ≡ α − + + =

∗

( ) ( )·

125

5 3 2 4 2 3 1 1 1

giả thiết cho cos ; cos

GIẢI VD2 ( )

( ) ( )

1 2

3 0

125

( ) ( ) ( ) ( )

pt códạng:m 5x 4y 3z 1 3x 2y 2z 7 0 m

: 5m 3 x 2 4m y 2 3m z 7 m 0

⇒ α − + + + − + + = ∈

⇔ α + − + + + + + =

¡

( )

1

2 không tru

d



α ⊃

∗





( )

14

25

m = − : α : x + y + z + =

g

2

2

2

125

1

25

m

m

m





( )

g

Ví dụ 3 :

Cho (P) : 5x + ky + 4z + t = 0

(Q) : x – 9y – 2z + 5 = 0

(R) : 3x – 7y + z – 3 = 0

Xác định k , t để 3 mp trên đi qua một đường thẳng

GIẢI VD3 : VỚI GT : (P) : 5x + ky + 4x + t = 0

(Q) : x – 9y – 2z + 5 = 0

(R) : 3x – 7y + z – 3 = 0

1 9 2 3 7 1

−

−

⇒

Q cắt R theo giao tuyến d

( )

P không thể trùng Q nên:

Yêu cầu của bài toán

P chùm mp có pt :

⇔ ∈

− − + + − + − = ∈ ¡

( )

− +

 = −





⇔  = −

 = −





= − = −

7 9m

1 m

2

C ng cố :ủ Nhắc lại định lý.

Cho 2 mp : (α1) : A1x + B1y +C1z +D1 = 0

(α2) : A2 x + B2y + C2 z + D2 = 0

cắt nhau theo giao tuyến d

 Mọi mp (α) qua giao tuyến d đều có phương trình :

 Mọi mp (α)≢ (α 1 ) và qua giao tuyến d đều có

phương trình :

∈ ¡

m A x + B y + C z + D + A x + B y + C z + D = 0 2 với m

Dặn dò : Làm các bài tập 4; 5

trang 88 (Sách GK)

• Bài học kết thúc

• Xin chân thành cám ơn

• sự tham dự của qúi thầy cô.