(Luận Văn Thạc Sĩ) Điều Kiện Cần Và Đủ Cho Tựa Nghiệm Hữu Hiệu Yếu Của Bài Toán Tối Ưu Đa Mục Tiêu Không Trơn.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  VŨ VIỆT BÌNH ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VIỆT BÌNH ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VIỆT BÌNH ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Đỗ Văn Lưu THI NGUYấN - 2020 Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu Mởt số kián thực chuân b 1.1 Dữợi vi phƠn Clarke 1.2 Nân ti¸p tuy¸n v  nân ph¡p tuy¸n Clarke i·u ki»n c¦n v  i·u ki»n ừ tối ữu 2.1 iÃu kiằn cƯn Kuhn-Tucker 2.2 iÃu kiằn cƯn Kuhn-Tucker mÔnh 15 2.3 i·u ki»n õ tèi ÷u 18 ối ngău 25 3.1 ối ngău yáu 25 3.2 ối ngău mÔnh v ối ngău ngữủc 27 Kát luên Ti liằu tham kh£o 29 31 i Líi cam oan Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc ởc lêp cừa riảng bÊn thƠn tổi dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa GS TS ộ Vôn Lữu CĂc nởi dung nghiản cựu, kát quÊ luên vôn ny l trung thỹc v chữa tứng cổng bố dữợi bĐt ký hẳnh thực no trữợc Ơy Ngoi ra, luên vôn tổi cõ sỷ dửng mởt số kát quÊ cừa cĂc tĂc giÊ khĂc Ãu cõ trẵch dăn v thẵch nguỗn gốc Náu phĂt hiằn bĐt ký sỹ gian lªn n o tỉi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nëi dung luên vôn cừa mẳnh ThĂi Nguyản, ngy 20 thĂng nôm 2020 TĂc giÊ Vụ Viằt Bẳnh ii Lới cÊm ỡn Trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu  hon thnh luên vôn tổi  nhên ữủc sỹ giúp ù nhiằt tẳnh cừa ngữới hữợng dăn, GS TS ộ Vôn Lữu Tổi cụng muốn gỷi lới cÊm ỡn Khoa ToĂn-Tin Trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi  tổi cõ th hon thnh tốt luên vôn ny Do thới gian cõ hÔn, bÊn thƠn tĂc giÊ cỏn hÔn chá nản luên vôn cõ th cõ nhỳng thiáu sõt TĂc giÊ mong muốn nhên ữủc ỵ kián phÊn hỗi, õng gõp v xƠy dỹng cừa cĂc thƯy cổ, v cĂc bÔn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, ngy 20 thĂng nôm 2020 TĂc giÊ Vụ Viằt Bẳnh BÊng kỵ hiằu coM bao lỗi cừa têp M coM coneM bao lỗi õng cừa têp M M cỹc Ơm cõa M Ms X∗ cüc ¥m ch°t cõa M T (M, x) TC (M, x) nõn tiáp liản cừa M tÔi x N (M, x) f (x, d) nõn phĂp tuyán Clarke cừa M tÔi x nõn lỗi sinh bi M khổng gian ối ngău tổ pổ cừa khổng gian X nõn tiáp tuyán Clarke cừa M tÔi x Ôo hm Dini dữợi cừa f tÔi x theo ph÷ìng d f + (x, d) f (x, d) Ôo hm Dini trản cừa f tÔi x theo phữỡng d C f (x) f (x) dữợi vi phƠn Clarke cừa f tÔi x t ữ tữỡng ựng KT KT V CP Kuhn-Tucker Ôo hm suy rởng Clarke cừa f tÔi x theo phữỡng d dữợi vi phƠn cừa hm lỗi f tÔi x im tợi hÔn vectỡ Kuhn- Tucker M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn Khi tẵnh toĂn cĂc nghiằm hỳu hiằu, sau mởt số hỳu hÔn bữợc, cĂc thuêt toĂn tối ữu ch cho ta cĂc nghiằm hỳu hiằu xĐp x Vẳ vêy viằc nghiản cựu cĂc nghiằm hỳu hiằu xĐp x l rĐt cƯn thiát Tứ õ dăn án viằc nghiản cựu cĂc tỹa nghiằm hỳu hiằu GolestaniSadeghiTavan (2017)  nghiản cựu c¡c i·u ki»n tèi ÷u Kuhn- Tucker cho tüa nghi»m húu hi»u y¸u (weak quasi efficient solution) v  tüa nghi»m hỳu hiằu (quasi efficient solution) v cĂc nh lỵ ối ngău cho bi toĂn tối ữu a mửc tiảu khổng trỡn Luên vôn trẳnh by cĂc iÃu kiằn cƯn v c¡c i·u ki»n õ cho tüa nghi»m húu hi»u y¸u cừa bi toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi cĂc hm Lipschitz a phữỡng qua dữợi vi phƠn Clarke cừa M Golestani, H Sadeghi, Y Tavan ông tÔp chẵ Numerical Functional Analysis and Optimization 38(2017), 883-704 v· i·u ki»n cƯn v ừ Kuhn-Tucker, ối ngău yáu, mÔnh v ối ngău ngữủc Nởi dung cừa à ti luên vôn Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng, kát luên v danh mửc cĂc ti liằu tham khÊo Chữỡng vợi tiảu Ã:"Kián thực chuân b" trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và dữợi vi phƠn Clarke, nõn tiáp tuyán v nõn phĂp tuyán Clarke Chữỡng vợi tiảu Ã: "iÃu kiằn cƯn v iÃu kiằn ừ tối ữu" trẳnh by cĂc kát quÊ nghiản cựu mợi Ơy cừa M Golestani, H Sadeghi, Y Tavan ông tÔp chẵ Numerical Functional Analysis and Optimization 38(2017), 683-704 và iÃu kiằn cƯn v ừ Kuhn-Tucker, ối ngău yáu, mÔnh v ối ngău ngữủc Chữỡng vợi tiảu Ã: "ối ngău" trẳnh by cĂc nh lỵ ối ngău yáu, mÔnh v ối ngău ngữủc cho tỹa nghiằm hỳu hiằu cừa bi toĂn ối ngău Mond-Weir cừa bi toĂn (MP) ThĂi Nguyản, ngy 15 thĂng nôm 2020 TĂc giÊ luên vôn Vụ Viằt Bẳnh Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và dữợi vi phƠn Clarke, nõn ti¸p tuy¸n v  nân ph¡p tuy¸n Clarke v  mët sè kián thực cƯn dũng cĂc chữỡng sau CĂc kián thực trẳnh by chữỡng ny ữủc tham khÊo [1,2,4] 1.1 Dữợi vi phƠn Clarke GiÊ sỷ x = (x1 , , x` ) v  y = (y1 , , y` ) l  hai vectỡ R` CĂc kẵ hiằu sau Ơy s ữủc sỷ dửng sau ny: x = y, náu xi = yi , vỵi måi i, x y, náu xi yi , vợi mồi i, x < y, náu xi < yi , vợi mồi i, x ≤ y, n¸u x y v  x 6= y Gi£ sû M l  mët tªp cõa R` Thỉng th÷íng, cl M , int M , co(M ) v cone (M ) ữủc kẵ hiằu l bao õng, phƯn trong, bao lỗi v nõn sinh bi M tữỡng ựng Cỹc Ơm v cỹc Ơm cht cừa M ữủc x¡c ành bði n o − ` := ν ∈ R ∀tn ↓ 0, ∀xn → x0 vỵi xn ∈ M, ∃νn → ν; xn + tn νn ∈ M ã Nõn phĂp tuyán Clarke (Clarke's normal cone) cừa M tÔi x0 l n o ` N (M, x0 ) := ν ∈ R hw, νi ≤ 0, ∀w TC (M, x0 ) Ta biát rơng TC (M, x0 ) ⊂ T (M, x0 ) Gi£ sû Q l mởt têp cừa R` Trong trữớng hñp fi , i ∈ {1, , m}, gj , j ∈ {1, , n}, hk , k ∈ {1, , p} l Lipschitz a phữỡng mởt lƠn cên ◦ cõa x0 ∈ clQ v  α ∈ int(Rm + ), theo Bê · 1.1, fi (x0 ; ·) + αi k · k, gj (x0 ; ·) v  h◦k (x0 ; Ã) l hỳu hÔn dữợi tuyán tẵnh trản R` , ∂C (−hk )(x0 ) = −∂C hk (x0 ) v  h◦k (x0 ; −ν) = (−hk )◦ (x0 ; ν) Hìn núa, TC (Q, x0 ) l  mët têp lỗi õng cừa R` v TC (Q, x0 ) CĂc kát quÊ sau Ơy l l cƯn thiát  chựng minh cĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu kiu Kuhn-Tucker v Kuhn-Tucker mÔnh cho tỹa nghiằm hỳu hi»u H» qu£ 1.1 [4] Gi£ sû f = (f1, , fm), g = (g1, , gn) v  h = (h1, , hp) l cĂc hm vectỡ vợi cĂc thnh phƯn Lipschitz a phữỡng trản R` GiÊ sỷ rơng Q l mët tªp cõa R`, x0 ∈ clQ v  α ∈ int(Rm+ ) Khi â, c¡c ph¡t biºu sau l  tữỡng ữỡng: (i) Hằ sau Ơy khổng cõ nghiằm: f ◦ (x0 ; ν) = (f1◦ (x0 ; ν), , fm (x0 ; ν)) < −αkνk, g ◦ (x0 ; ν) = (g1◦ (x0 ; ν), , gn◦ (x0 ; ν)) 0, h◦ (x0 ; ν) = (h◦1 (x0 ; ν), , h◦p (x0 ; ν)) 0, h◦ (x0 ; −ν) = (h◦1 (x0 ; −ν), , h◦p (x0 ; −ν)) 0, ν TC (Q, x0 ) ii) Tỗn tÔi (, à, ν, ν˜) ∈ Rm+ × Rn+ × Rp+ × Rp+, λ 6= cho 0∈ m X λi ∂C fi (x0 ) + i=1 + Chùng minh n X µj ∂C gj (x0 ) + i=1 p X ν˜k ∂C (−hk )(x0 ) + p X ν k ∂C hk (x0 ) k=1 m X (1.1) λi αi B + N (Q, x0 ) i=1 k=1 H» qu£ ÷đc chựng minh tữỡng tỹ Bờ à 2.2 v nh lỵ 2.3 [5], b¬ng c¡ch thay Q b¬ng TC (Q, x0 ) v  c¡c h m fi , gj t÷ìng ùng bði fi0 (x0 ; ) + αi ||.|| v  (gj0 (x0 , ), h0k (x0 ; ), (−hk )0 (x0 ; ))  H» qu£ 1.2 [4] Gi£ sû f = (f1, , fm), g = (g1, , gn) v  h = (h1, , hp) l  c¡c h m vectì vỵi c¡c thnh phƯn Lipschitz a phữỡng trản R` v Q l mët tªp cõa R` v  x0 ∈ clQ Gi£ sỷ rơng int(Rm+ ) v vợi mội i0 ∈ I = {1, , m}, nân   Di0 = cone co  [ (∂C fi (x0 ) + αi B) + cone co i∈I\{i0 } p [ + cone co ! ∂C gj (x0 ) j=1 ! ∂C hk (x0 ) k=1 n [ + cone co p [ ! ∂C (−hk )(x0 ) + N (Q, x0 ) k=1 âng, th¼ c¡c ph¡t biºu sau Ơy l tữỡng ữỡng: (i) Hằ sau Ơy khổng câ nghi»m: ◦ f ◦ (x0 ; ν) = (f1◦ (x0 ; ν), , fm (x0 ; ν)) < −αkνk, g ◦ (x0 ; ν) = (g1◦ (x0 ; ν), , gn◦ (x0 ; ν)) 0, h◦ (x0 ; ν) = (h◦1 (x0 ; ν), , h◦p (x0 ; ν)) 0, h◦ (x0 ; −ν) = (h◦1 (x0 ; −ν), , h◦p (x0 ; −ν)) 0, TC (Q, x0 ) (ii) Tỗn tÔi (, à, , ) Rm++ ì Rn+ ì Rp+ × Rp+, λ 6= cho (1.1) óng Chữỡng iÃu kiằn cƯn v iÃu kiằn ừ tối ữu Chữỡng trẳnh by cĂc iÃu kiằn cƯn Kuhn-Tucker v Kuhn-Tucker mÔnh vợi cĂc iÃu kiằn ừ cho tüa nghi»m húu hi»u v  tüa nghi»m húu hi»u yáu cừa bi toĂn tối ữu a mửc tiảu khổng trỡn cõ rng buởc CĂc kát quÊ cừa chữỡng ny ữủc tham khÊo [38] 2.1 iÃu kiằn cƯn Kuhn-Tucker Trong ch÷ìng n y, chóng ta x²t b i to¡n câ r ng buởc bĐt ng thực, ng thực v rng buởc têp sau ¥y: (MP) f (x) := (f1 (x), , fm (x)), vỵi r ng bc: g(x) := (g1 (x), , gn (x)) 0, h(x) := (h1 (x), , hp (x)) = 0, x ∈ Q, â fi , i ∈ I = {1, , m}, gj , j ∈ J = {1, , n}, hk , k ∈ K = {1, , p} l  c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng gi¡ tr thỹc trản R` v Q R` l têp bĐt kẳ Kẵ hiằu S l miÃn chĐp nhên ữủc cõa b i to¡n (MP), cö thº n o ` S := x ∈ R g(x) 0, h(x) = 0, x Q nh nghắa 2.1 im chĐp nhên ữủc x0 ữủc gồi l a) Nghiằm hỳu hiằu a phữỡng (hoc hỳu hiằu) náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x0 cho vợi bĐt ký x U S (t.ữ, x S ) bĐt ¯ng thùc sau khỉng óng f (x) ≤ f (x0 ) b) Nghiằm hỳu hiằu yáu a phữỡng (hoc hỳu hiằu yáu) náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x0 cho vợi bĐt ký x U S (t.ữ., x S ) bĐt ng thực sau khỉng óng f (x) < f (x0 ) ành ngh¾a 2.2 [6] im chĐp nhên ữủc x0 ữủc gồi l a) Tüa nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng (ho°c tüa nghi»m hỳu hiằu) cho (MP) náu tỗn tÔi int(Rm + ) v lƠn cên U cừa x0 cho vợi bĐt ký x U S (t.ữ., x ∈ S ) b§t ¯ng thùc sau khỉng óng f (x) ≤ f (x0 ) − αkx − x0 k (2.1) b) Tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu a phữỡng (hoc tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu) cừa (MP) náu tỗn tÔi int(Rm + ) v mởt lƠn cên U cừa x0 cho vợi bĐt ký x U S (t.ữ., x S ) bĐt ng thực sau khỉng óng f (x) < f (x0 ) − αkx − x0 k (2.2) Ta nâi r¬ng x0 l  mët tüa nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng (ho°c l  tüa nghiằm hỳu hiằu yáu a phữỡng) cừa (MP) theo náu nh nghắa trản úng vợi int(Rm + ) Hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh nghắa trản l mởt nghiằm hỳu hiằu a phữỡng (nghiằm hỳu hiằu yáu àa ph÷ìng) l  mët tüa nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng (t.ữ., tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu a phữỡng) cừa (MP) iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng, cõ th thĐy vẵ dử sau Ơy 10 Vẵ dử 2.1 Xt bi toĂn tối ữu a mửc tiảu sau Ơy: (P1) f (x) = (x2 − x, −x), vỵi r ng buëc g(x) = −x ≤ 0, h(x) = 0, x ∈ Q, â Q = {x ∈ R : |x| 1} Bi vẳ vợi = (1, 1) khổng tỗn tÔi x S cho (2.1) (hoc (2.2)) úng tÔi x0 = 0, nhữ vêy x0 l  mët tüa nghi»m húu hi»u (y¸u) theo α = (1, 1) Dạ dng kim chựng rơng x0 = khổng l nghiằm hỳu hiằu (yáu) a phữỡng cừa (P1)  thuên tiằn ta ữa vo mởt vi kỵ hiằu sau ¥y:  S l := x ∈ R` fi (x) ≤ fi (x0 ) − αi kx − x0 k, ∀i 6= l, g(x) 0, h(x) = 0, x ∈ Q S F := (∂C fi (x0 ) + αi B) i∈IS F l := (∂C fi (x0 ) + αi B) i∈I\{l} S G := ∂C gj (x0 ) j∈J(x ) S S H := ∂C hk (x0 ) ∪ ∂C (−hk )(x0 ), k∈K k∈K õ J(x0 ) kỵ hiằu têp ch số cĂc rng buởc tẵch cỹc tÔi im chĐp ` nhên ữủc x0 v  α ∈ int(Rm + ) v  B l  hẳnh cƯu ỡn v õng R Mửc ẵch cừa phƯn ny l trẳnh by cĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu KuhnTucker v Kuhn-Tucker mÔnh cho tỹa nghiằm hỳu hiằu (yáu) vợi cĂc iÃu kiằn chẵnh quy sau Ơy: \ \ \ (F i )s Gs H − TC (Q, x0 ) 6= ∅, ∀i ∈ I − \ − \ − \ m \ (CQ1) T (S i , x0 ) (CQ2) F s G− H − TC (Q, x0 ) ⊆ T (S, x0 )  F s T G− T H − T T (Q, x ) ⊆ T (S, x ) C 0 T T T (F i )s G− H − T (Q, x ) 6= ∅, ∀i ∈ I (CQ3) F G H TC (Q, x0 ) ⊆ i=1 \ \ \ C (CQ4) Nhên xt 2.1 Li [3]  ch rơng: náu khổng cõ hẳnh cƯu ỡn v õng 11 B v  r ng bc ¯ng thùc v  tr÷íng hđp x0 ∈ int Q, (CQ1) l  mët t÷ìng tü khổng trỡn cừa iÃu kiằn chẵnh quy ữủc cho bi Maeda [7] l  mët têng qu¡t hâa cõa i·u ki»n chẵnh quy Cottle v trữớng hủp khÊ vi liản tưc cõa (MP), (CQ1) quy v· mët i·u ki»n ch½nh quy yáu hỡn iÃu kiằn chẵnh quy cừa cừa Maeda v  nh÷ l  mët têng qu¡t hâa cõa i·u ki»n chẵnh quy Mangasarian-Fromovitz Bi vẳ (CQ2) phử thuởc vo int(Rm + ), cƯn ỵ rơng khổng tỗn tÔi quan hằ giỳa (CQ2) v iÃu kiằn chẵnh quy sau ¢ cho [5]: !− m [ \ \ \ \ − − ∂C fi (x0 ) G H TC (Q, x0 ) ⊆ T (X i , x0 ), (CQ) i=1 i∈I â