Công thức vật lý - Trường điện từ

Trang 1

Công thức vật lý Trường điện từ

Trang 2

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

z y

bbb

aaa

kji

,x

3 Gradient

z

Uky

Ujx

UiU.gradU

ax

aa.a

akx

az

ajz

ay

aiaaa

zyx

kjiaa

z y x

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2i Thực vậy, ta có

1 k sin i k cos

Suy ra

z i k z i k z

e e e

Công thức Euler

eiy = cosy +isiny

Khi đó số phức z = r ei = r(cos +isin)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Trang 3

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

)x(yaya

Trong đó:

a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a1, a2  const  (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0yaya

a1, a2 là các hàm của biến x

Định lí 1 Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2

là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy

Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi  

 x consty

x y

2

1  , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính

Định lí 2 Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy

Định lí 3 Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với

y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

)x(fyaya

Trong đó:

a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x)  0

Định lí 1 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của

phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3)

Định lí 2 Cho phương trình không thuần nhất

)x(f)x(fyaya

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình

)x(fyaya

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình

)x(fyaya

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0qyy

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

Trang 4

k pk q 0

Vì ekx  0 nên

0qpk

Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7)

Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7)

Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1 và k2 như sau

- k 1 và k 2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

x 1

2 1

eCeCyy

1 1

eC

- k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 =  + i và k 2 =  - i

Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

 

 i  x x i x 2

x i x x i 1

eee

y

eee

xsinixcose

x i

cos x isin x

eeey

xsinixcoseeey

x x i x 2

x x i x 1

xsinei2

yyy

xcose2

yyy

x 2 1 2

x 2 1 1

tgy

2 x

(21)

Trang 5

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1 Vector cường độ điện trường

 Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

Eq

0 r

r4

QqF

i 0 i 0

n

1 i i

r

rq4

1E

- các vector đơn vị chỉ phương

 Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:







l 2 l 0 l

r

rdl4

1E

r

rdS4

1E

r

rdV4

1E

 Từ trường của dây dẫn có chiều dài l

Trang 6

rlId4B



1.1.4 Vector cường độ từ trường

 Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường

độ từ trường H

0

BH







1.2 Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân

 Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dq

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

 Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

Evven

S

SdESdJdI

L

R  )

R

ULU)

EL)(

L(ESEdSI

 - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m

1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích

 Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện

 Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ thể tích V đó

 Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có

dQ

Trang 7

(1.20) Suy ra



  

V S

dVtS

S

dVtdV

J.Sd

Suy ra

0tJ

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục

1.3 Các đặc trưng cơ bản của môi trường

 Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , , 



gọi là các phương trình vật chất

 , ,   cường độ trường : môi trường tuyến tính

 , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

 , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng hướng Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

 , ,   vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính

Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến

 > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

 < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu

cơ

 >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch

từ và thuận từ hàng trăm triệu lần

 Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện:  > 104 1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10-10 <  < 104

Chất cách điện:  < 10-10,  = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0

1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

 Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell

 Thông lượng của vector điện cảm D

qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân





E DdS

(1.26)

Trang 8

) : hình chiếu của S lên phương D

 Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D

do q tạo ra qua mặt kín S, ta có

4

Sd,Dcos.dS.qSdD

d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của D

qua toàn mặt kín S là

qd4

qSdD

D

Thông lượng của D

do hệ q1, q2, , qn gây ra qua toàn mặt kín S

QqSdDS

dD

n

1 i i n

1

i Si S

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm D

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, , qn, do đó  có thể âm hoặc dương

 Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối  thì  được tính theo

QdVS

dD

V S

Trang 9

Nguyên lý liên tục của từ thông

 Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

 Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B

Thông lượng của B

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó Vì vậy thông lượng của B

được tính theo

0SdB

1.5 Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện cảm ứng Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E

có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !) Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là

0ldEq

l



và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy

Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng tạo ra một điện trường xoáy

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây

B 

(1.35)

là thông lượng của vector từ cảm B

qua S được bao bởi vòng dây Suy ra

S

t

BS

ddt

BdS

dBdt

ddt

Trang 10

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta có

Sdt

Bl

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)



  

S l

SdEl

d

(1.39) Theo các phương trình (1.38) và (1.39)

t

BE

1.6 Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là

thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường

theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường H

dọc theo một đường cong kín bất kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

IIldH

n

1 i i l

Trang 11

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện  J

thì



 

S l

SdJld

H   

(1.42) Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức

dP 0 0

t

P t

E t

- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng điện dịch

Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên E

và dòng điện biến thiên chạy qua tụ Dòng điện này chính là dòng điện

dịch trong chân không vì giữa 2 bản tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

t

ES

  vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1

Trang 12

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

t

ESSdEdt

ddt

dq

S 0

l

Sdt

DSdJld

Sdt

DJld

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)



  

S l

SdHl

d

(1.50) Suy ra

d

JJt

DJ

1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện

S

S'+q

-q

E 

~

Trang 13

Bl

Sdt

DJld

Dạng vi phân

t

D J H

dV D S d

(1.60)

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình Maxwell

t

BE

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện

Trang 14

hoặc không điện Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài J O

Đ.luật Ohm dạng vi phân:

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại những điểm trong

không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ tự do Khi có nguồn

ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại

t

BE

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là

môi trường điện môi: D  0E 

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

 Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài JJO 0



0 H 

 

Nhận xét: E

và H

đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

 Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức







 

Trang 15

M

H

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc  nên có thể biểu diễn dưới dạng phức, ta có

my i

mx m

EH

E







1.8 Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián đoạn của các

vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường

D1n - D2n = S

S mật độ điện mặt

Khi S = 0 ta có: D1n = D2n hay

1 2 n

Trang 16

Khi IS = 0 ta có: H1 = H2 hay

1 2 2

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có 2

=  Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là E 2  H 2  0

Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ E2;H2 0

thì dưới tác dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0 Trên bề mặt S của vật dẫn lí tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn

và thành phần tiếp tuyến của H

1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

2

H2

E

- Định lí Umov Poynting

Đã chứng minh được

O t S

PPdt

dWS

dV E dV E

2 Biết thành phần tiếp tuyến của E

và thành phần tiếp tuyến của H

tại mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t <  hay còn gọi là điều kiện biên

Trang 17

E = E|S hoặc H = H|S với 0 < t <  (1.77) Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất

1.11 Nguyên lí tương hỗ

Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo

ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian

m 1 m 2 E m 2 m 1 E m 1 m 2 m

2 m 1

HJHJ

EJEJH

E.H

E

1 m 2 E m 2 m 1 E

S

m 1 m 2 m

2 m 1

dVHJHJE

JEJ

dSH

EH

JEJ

V

m 1 m 2 M m 2 m 1 M m

1 m 2 E m 2 m 1

m 1 m 2 M m 1 m 2 E 1

V

m 2 m 1 M m 2 m 1

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ

6 6 5

5 4 4 M 3 3 E 2 2 1

4 3 2

Trang 18

HJ

2 2 1

a

acc

a

acaca

5 1 5

Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ khác nhau qua

hệ số ci Hai hệ điện từ có các hệ số ci tương ứng bằng nhau gọi là 2 hệ đồng dạng điện động với nhau

1.13 Trường tĩnh điện

Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi theo thời gian,

ta có hệ phương trình Maxwell như sau



 , còn điện trường tĩnh thì không tồn tại bên trong vật dẫn

Trang 19

Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường

Lưu ý:

-  là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường

-  là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường

EH

H

EE

2 2 0 0 2

Jt

J1

Jt

Ht

Jt

Et

E

0 0

M 0

2 2 0 0 2

hoặc H

Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải Rất khó giải vì vế phải là các hàm rất phức tạp Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn và điện môi lí tưởng  = 0, ta có

0t

H

2 0 0 2

E

2 0 0 2

2.2 Phương trình cho các thế điện động

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau

2.2.1 Đối với nguồn điện

Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng  = 0 hệ phương trình Maxwell (2.1) được viết lại

Trang 20

EJ

 

(4) Đặt:

được biểu diễn qua AE

và E theo các công thức (2.6) và (2.8) tương ứng

0 0 E 2

E 2 0 0 E 2

Jt

A.t

0 0

E 2 0 0 E 2

Jt

E 2 0 0 E 2

2.2.2 Đối với nguồn từ

Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng  = 0 có dạng

Trang 21

 M0

M 2 0 0 M 2

Jt

M 2 0 0 M 2

0 0

và M là các thế điện động đối với nguồn từ

Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và nguồn từ, có nghĩa là

AA

2.2.3 Đối với trường điều hoà

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc  thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên độ phức như sau

Em 0 2

Em 2 2 Em 2

Jt

AkA

Em 2 2 Em 2

Mm 2 2 Mm 2

Jt

AkA

Mm 2 2 Mm 2

Trong đó: k 00 là số sóng trong môi trường

(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình Hemholtz

Biểu thức của E

và H

có dạng

Trang 22

Em Mm

0

AiE

AA

1H

2.3 Phương trình sóng cho các vector Hertz

2.3.1 Vector Hertz điện

Đặt

t

0 0 E

2 0 0 E E

E

t

.t

AE

E 2 0 0 E 2 0

0 2

E 2 0 0 E 2

Jt

tt

E 2 0 0 E 2

J1t

E 2 0 0 E 2

dtJ1t

E J dt

P

gọi là vector phân cực của nguồn điện

Trang 23

Phương trình (2.29) được viết lại

0

E 2

E 2 0 0 E

Như vậy: vector phân cực PE

là nguồn tạo ra vector Hertz điện E

Do đó E

còn gọi là thế vector phân cực điện

t

M 2 0 0 M 2

J1t

M 2 0 0 M 2

dtJ1t

M J dt

M

P

gọi là vector từ hoá của nguồn từ

(2.37) được viết lại

0

M 2

M 2 0 0 M

Như vậy: vector từ hoá PM

là nguồn tạo ra vector Hertz từ M

Do đó M

còn gọi là thế vector từ hoá

Nhận xét: E

và H

được biểu diễn qua vector Hertz điện E

hoặc vector Hertz từ M

đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ

Trường hợp các vector Hertz điện E

nói chung khác 0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM

Trang 24

- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ M

một thành phần) sẽ có E

theo phương

z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của E

nói chung khác 0 Trường điện từ loại này gọi

là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE

Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ

2.4 Tìm nghiệm của phương trình sóng

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình d’ Alambert chỉ cần xác định E

g

t2

2 0 0 2

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V

Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là tìm nghiệm của phương trình sau

0

t2

2 0 0 2

1rr

2

2 2

2

Đặt  = r ta có

0t

2 0 0 2

rt

Suy ra

rv

rtfr

v

rt

1v

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng  nguồn

Điều kiện bức xạ tại vô cùng:

0Eikt

Erlim

Hrlim

Trang 25

Trong đó: k 00 là số sóng

Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) cho nguồn điểm là hàm f1 và loại bỏ hàm f2

Vậy

rv

rt

là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng

Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại

g4

1v

rt

v

rtrg4

1tr

rv

rtrJ4trA

rv

rtrJ4trA

i ikr m v r t i

gv

rt

v

rt

Trang 26

  ikr M v r t i Mm

v

rt

etrg4

1tr

0

r

etrJ4trA

0

r

etrJ4trA



2.5 Trường điện từ của lưỡng cực điện

Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten

Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng điện biến đổi

do nguồn cung cấp bên ngoài

Để đơn giản ta có giả thiết như sau

- đặt trong điện môi lí tưởng:  = 0; ,  = const

- l << , l là chiều dài của lưỡng cực điện và  là bước sóng của trường điện từ do nó

phát ra

- Dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện biến thiên điều hoà với tần số góc 

- r >> l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực điện

Ứd phương pháp thế chậm để tính trường

2.5.1 Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện

Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có dạng

t i m t

me kJ SeI

Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện

Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl nên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz Thế chậm của lưỡng cực điện là

ikr m 0 l

ikr m 0 V

ikr m 0 Em

r4

lIkdlr

eI4kdVr

eJ4kAk

Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của dòng điện cung

cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên

lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường đều bằng r

Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức

rr4

leI

ikr m 0 Em



Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là

Trang 27

e4

lIA

1

ikr m

Em 0

14

lIH

ikr m

0 m

là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu

Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có

m 0

ikkr

1cos

r

ikr

1r2

.r

ei4

lIH

i

1E

2 2 0 2

0

ikr

0

m m

0 m

và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng pha là mặt cầu bán kính r

Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu Vận tốc dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha vph

Ta có phương trình của mặt đẳng pha là

 = t – kr = const d = dt – kdr = 0

(2.72)

Và

kdt

0HHE

krtcoskr

1krtsin1rk

1sin

r4

lkIE

krtcoskr

1krtsinrk

1cosr2

lkIE

krtsinkrtcoskr

1sinr4

lkIH

r

2 2 0

2 m

2 2 0

2 m r m

và độ lệch pha kr ta có

Trang 28

lIE

tsincosr2

lIE

tcossinr4

lIH

3 0 m

3 0

m r

2 m





= 0, có nghĩa là năng lượng trường điện từ của lưỡng cực điện ở vùng gần chủ yếu là của

dao động xung quanh nguồn, không mang tính chất sóng, gọi là vùng cảm ứng Hình 2.1 trình

bày cấu trúc đường sức của E

ta có

r2

lIkrtsinsinr4

lkIE

krtsinsinr2

lIkrtsinsinr4

lkIH

0

0 m

0

2 m

m m

Trang 29

2.5.4 Công suất bức xạ, trở bức xạ

Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức

SdP

S tb bx

3 2 2 m

r32

klIr

3 2

0 0 3 2

3 2 2 m

2

I 12

k l I d sin d r

32

k l I

0 2 bx

13

26

z





zc - trở sóng của môi trường

Trong chân không hoặc không khí, ta có  =  = 1, do đó

Trang 30

2 0

bx

1790

180R

W

1I395P

2 2 m 0

2.6 Trường điện từ của lưỡng cực từ

Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten

Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ biến đổi do

nguồn cung cấp bên ngoài Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực điện hoặc áp dụng nguyên

lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay H

14

lIE

ikr Mm

0 m

ikkr

1cos

r

ikr

1r2r

ei

4

lI

2 0 2

0 ikr

0

Mm m

có tính định hướng trong không gian

Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực điện thay thế cho nhau Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với E

và H đổi chỗ cho nhau

2.6.1 Trường điện từ của vòng dây

Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1 vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi Im chạy qua tương tự như lưỡng cực từ Vòng dây dẫn này gọi là

anten khung nguyên tố

Giả sử:

- mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu

- kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó phát ra

- dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc : t

meI

I  

dọc theo đường dây có giá trị như nhau

Theo (2.61) thế chậm tại điểm Q thuộc trường điện từ do vòng dây phát ra

r

J4A

Trang 31

r

e4

Thí dụ:

Xét 2 yếu tố vi phân dl

của vòng dây đặt đối xứng với nhau qua mặt phẳng P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (mặt phẳng P gọi là mặt phẳng kinh tuyến) Mỗi một yếu tố vi phân dl

lại phân tích thành 2 yếu tố vi phân: d l

// (P) và d l

 (P) Nhận xét:

- thế vector do các yếu tố vi phân d l

tạo ra tại Q có cùng giá trị nhưng hướng ngược nhau nên bị triệt tiêu

- thế vector do các yếu tố vi phân d l

tạo ra tại Q có cùng giá trị và cùng hướng với nhau nên tăng gấp đôi

Do đó tích phân trong (2.87) chỉ cần lấy theo yếu tố vi phân d l

Hơn nữa do tính đối xứng của d l

đối với mặt phẳng P nên tích phân trên chỉ cần lấy theo nửa vòng dây và nhân đôi

0 0

r

cose2

RI

abaQ

dl’

dl’’

dl

Trang 32

1cossinr

R1r1

cossinr

R1

1r

1cossinRr

1r

eee

e

ikr

cos sin ikR ikr cos

sin R r ik r ik

e2dcosr

m 0 0

r

1sinr

4

eI

ikkr

1cos

r

ikr

1r2r

e4

RI

2 0 2

0

ikr 2 m m

1sinri4

lekRIH

i

1E

0

ikr 2 2 m 0 m 0

RIi

lI

Trang 33

 

 t kr

cossinr

4

kRIE

krtcossinr4

kRIH

0 0 2

2 m

2 2 m

2.7 Trường điện từ của yếu tố diện tích mặt

Xét trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích mà trên đó có dòng điện và từ mặt chảy vuông góc với nhau

Giả sử yếu tố vi phân diện tích nằm trong mặt phẳng xOy có dạng hình chữ nhật kích thước a, b

Dòng điện mặt hướng theo trục x: IESx bthiên điều hoà theo thời gian

Dòng từ mặt hướng theo trục y: IMSy bthiên điều hoà theo thời gian

S <<  nên biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là giống nhau trên toàn bộ yếu tố vi phân diện tích S, còn gọi là nguyên tố Huyghens

Áp dụng các nghiệm thế chậm cho trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích với dòng điện mặt IESx và dòng từ mặt IMSy ta có

r

eI4A

r

eI4A

(2.104)

Vì dòng điện mặt IESx hướng theo trục x nên AExm



cũng chỉ có thành phần này, tương tự dòng từ mặt IMSy hướng theo trục y nên AMym



cũng chỉ có thành phần này Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể đưa các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài

r4

eISA

ikr ESxm 0 Exm

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	873,79 KB