Trường điện từ

Trường điện từ

Tài liệu TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY 1 Mục lục TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Số tiết: 45 Tài liệu tham khảo 1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006 2 2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995 3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978 Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1. Vector { } zyxzyx akajaia,a,aa   ++== { } zyxzyx bkbjbib,b,bb  ++== { } zyxzyx ckcjcic,c,cc   ++== • zzyyxx bababab.a ++=   • ( ) ( ) ( ) xyyxzxxzyzzy zyx zyx babakbabajbabai bbb aaa kji ba −+−+−==×     • ( ) b,acosbab.a       = • cba    =× Phương: ( ) b,ac   ⊥ Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn: ( ) b,asinbac     = • ( ) ( ) ( ) b.a.cc.a.bcba       −=×× 2. Toán tử nabla       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =∇ z , y , x 3. Gradient z U k y U j x U iU.gradU ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇=  4. Divergence 3 z a y a x a a.adiv z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇=  5. Rotary         ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =×∇= y a x a k x a z a j z a y a i aaa zyx kji aarot x y zx y z zyx    Số phức Hàm mũ ( ) ysiniycoseee xiyxz +== + Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có 1k2sinik2cose ik2 =π+π= π Suy ra zik2zik2z ee.ee == ππ+ Công thức Euler e iy = cosy +isiny Khi đó số phức z = r e i ϕ = r(cosϕ +isinϕ) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21 =+ ′ + ′′ (1) Trong đó: a 1 , a 2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a 1 , a 2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 4 0yayay 21 =+ ′ + ′′ (2) a 1 , a 2 là các hàm của biến x Định lí 1. Nếu y 1 = y 1 (x) và y 2 = y 2 (x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (trong đó C 1 , C 2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi ( ) ( ) const xy xy 2 1 ≠ , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính Định lí 2. Nếu y 1 (x) và y 2 (x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (trong đó C 1 , C 2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y 1 (x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y 2 (x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y 1 (x) bằng cách đặt y 2 (x) = y 1 (x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: )x(fyayay 21 =+ ′ + ′′ (3) Trong đó: a 1 và a 2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất )x(f)x(fyayay 2121 +=+ ′ + ′′ (4) Nếu y 1 (x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 121 =+ ′ + ′′ (5) và y 2 (x) là nghiệm riêng của phương trình )x(fyayay 221 =+ ′ + ′′ (6) thì y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) 5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: 0qyypy =+ ′ + ′′ (7) p, q là các hằng số Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng kx ey = (8) Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định Suy ra kx key = ′ , kx2 eky = ′′ (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có ( ) 0qpkke 2kx =++ (10) Vì e kx ≠ 0 nên 0qpkk 2 =++ (11) Nếu k thoả mãn (11) thì y = e kx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k 1 và k 2 như sau - k 1 và k 2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là xk 1 1 ey = , xk 2 2 ey = (12) Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì ( ) conste y y xkk 2 1 21 ≠= − (13) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là xk 2 xk 121 21 eCeCyyy +=+= (14) - k 1 và k 2 là 2 số thực trùng nhau: k 1 = k 2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: xk 1 1 ey = , xk 2 1 xey = Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là 6 ( ) xk 21 xk 2 xk 1 111 exCCxeCeCy +=+= (15) - k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 = α + iβ và k 2 = α - iβ Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là ( ) ( ) xixxi 2 xixxi 1 eeey eeey β−αβ−α • βαβ+α • == == (16) Theo công thức Euler ta có xsinixcose xsinixcose xi xi β−β= β+β= β− β (17) Suy ra ( ) ( ) xsinixcoseeey xsinixcoseeey xxix 2 xxix 1 β−β== β+β== αβ−α • αβα • (18) Nếu • 1 y và • 2 y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm xsine i2 yy y xcose 2 yy y x 21 2 x 21 1 β= + = β= + = α •• α •• (19) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì constxtg y y 2 1 ≠β= (20) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là ( ) xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21 xx 2 x 1 β+β=β+β= ααα (21) 7 Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1. Vector cường độ điện trường • Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường EqF  = (1.1) Hay: q F E   = (1.2) • Cđđt E  tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó • Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q 2 0 0 r r 4 Qq F   πεε = (1.3) - m/F10.854,8 12 0 − =ε - hằng số điện - ε - độ điện thẩm tương đối - 0 r  - vector đơn vị chỉ phương • Hệ đt điểm n21 q, ,q,q ∑∑ == πεε == n 1i 2 i i0i 0 n 1i i r rq 4 1 EE   (1.4) i0 r  - các vector đơn vị chỉ phương • Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó: ∫ ρ πεε = l 2 l 0 l r r dl 4 1 E   (1.5) ∫ ρ πεε = S 2 S 0 S r r dS 4 1 E   (1.6) 8 ∫ ρ πεε = V 2 V 0 V r r dV 4 1 E   (1.7) 1.1.2. Vector điện cảm • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm D  ED 0  εε= (1.8) 1.1.3. Vector từ cảm • Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz BvqF    ×= (1.9) • Từ trường do phần tử dòng điện lId  tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL ( ) rlId r4 Bd 2 0    × π µµ = (1.10) - m/H10.257,110.4 67 0 −− =π=µ - hằng số từ - µ - độ từ thẩm tương đối • Từ trường của dây dẫn có chiều dài l ∫ × π µµ = l 2 0 r rlId 4 B    (1.11) 1.1.4. Vector cường độ từ trường • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường H  0 B H µµ =   (1.12) 1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân 9 • Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian dt dq I −= (1.13) Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm • Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện EvvenJ 0    σ=ρ== (1.14) dạng vi phân của định luật Ohm - n 0 - mật độ hạt điện có điện tích e - ρ - mật độ điện khối - v  - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện - σ - điện dẫn suất • Dòng điện qua mặt S được tính theo ∫∫∫ σ=== SSS SdESdJdII     (1.15) • Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có (lưu ý: áp dụng c/t S = L 2 và LS L R ρ =ρ= ) R U LU)EL)(L(ESEdSI S =σ=σ=σ=σ= ∫ (1.16) dạng thông thường của định luật Ohm Vì E  và Sd  cùng chiều, đặt RL 1 =σ (1.17) σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích 10 [...]... trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ 20 trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện - Phương trình Maxwell-Faraday... cơ bản của trường điện từ Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)   thì do J = σE = 0 , ta có:   ∂E  ∇ × H = ε0 = Jd0 ∂t (1.52) Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn 1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy,... Maxwell-Ampere Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II: Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường (Đã chứng minh bằng thực nghiệm) Lưu ý: điện trường nói chung có thể... gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác nhau 1.12 Nguyên lí đồng dạng điện động Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định mối quan hệ giữa trường điện từ Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ         (1.82) H =... sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần • Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104 Chất cách điện: ... ngoài Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho  nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài J O Đ.luật Ohm dạng vi phân:... của điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !) Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác... mô tả trường điện từ tại những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ tự do Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại   ∂B ∇×E = − ∂t 22     ∂D ∇ × H = J + JO + ∂t  ∇.D = ρ  ∇.B = 0 (1.63) Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là   môi trường điện môi: D = εε 0 E   môi trường dẫn điện: J = σE   môi trường từ hoá:... thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:  Lưu số của vector cường độ từ trường. .. xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện trường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện   không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn J = σE , còn điện trường tĩnh thì không tồn tại bên trong vật dẫn 29 Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường Lưu ý: - ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường . ) xixxi 2 xixxi 1 eeey eeey β−αβ−α • βαβ+α • == == (16) Theo công thức Euler ta có xsinixcose xsinixcose xi xi β−β= β+β= β− β (17) Suy ra ( ) ( ) xsinixcoseeey xsinixcoseeey xxix 2 xxix 1 β−β== β+β== αβ−α • αβα • (18) Nếu. mũ ( ) ysiniycoseee xiyxz +== + Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có 1k2sinik2cose ik2 =π+π= π Suy ra zik2zik2z ee.ee == ππ+ Công thức Euler e iy = cosy +isiny Khi đó. vì constxtg y y 2 1 ≠β= (20) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là ( ) xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21 xx 2 x 1 β+β=β+β= ααα (21) 7 Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA