Tài liệu Giáo trình trường điện từ_Chương 1 + 2 pdf

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA VIỄN THÔNG II BÀI GIẢNG Biên soạn: TS. Phan Hồng Phương (Lưu hành nội bộ) TP HCM - 2000 3 Chương Chương I. MỞ ĐẦUI. MỞ ĐẦU Tương tác điện từ là một trong các dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên, nó được thực hiện thông qua trường điện từ. Trường điện từ tồn tại ngay trong các hệ vi mô như nguyên tử, phân tử, lực điện từ có cường độ bằng khoảng 2 10 − lần so với lực tương tác hạt nhân. Ngoài ra ảnh hưởng của trường điện từ còn có thể được lan truyền dưới dạng sóng trong không gian và trong các môi trường chất. Trong một số trường hợp ta có thể khảo sát riêng trường điện và trường từ, tuy nhiên trong đa số các trường hợp trường điện và trường từ có mối tương quan chặt chẽ. Trong chương này ta sẽ xét một số khái niệm cơ bản về trường điện từ: các thông số, đònh luật, … làm cơ sở để khảo sát các chương sau. I.1 Các đại lượng vector đặc trưng cho trường điện từI.1 Các đại lượng vector đặc trưng cho trường điện từ Xét hai điện tích điểm q và q 1 dứng yên trong chân không, chọn gốc tọa độ trùng với vò trí của q, q 1 nằm tại điểm P. Mỗi điện tích đều sinh ra một trường điện. Lực điện của trường gây bởi q tác động lên q 1 là r 2 r0 1 E i r4 qq F r r ⋅ ⋅ε⋅ε⋅π ⋅ = gọi là lực Coulomb, trong đó [ ] m/F 10 9 4 1 9 0 ⋅ ⋅ π =ε là hằng số điện, hay độ thẩm điện của môi trường chân không, r là khoảng cách giữa q và q 1 . E F r hướng về phía q nếu q và q 1 trái dấu (lực hút), hướng ra xa q nếu q và q 1 cùng dấu (lực đẩy). Xét đại lượng vector       ⋅ ⋅ε⋅ε⋅π == m V i r4 q q F E r 2 r0 1 e r r r . Vậy E r chỉ phụ thuộc vào điện tích q tạo ra điện trường và vector bán kính r irr r r ⋅= . Do đó ta có thể dùng đại lượng E r để đặc trưng cho điện trường gây bởi q tại một điểm trong không gian. E r gọi là vector cường độ điện trường có đơn vò là m/V . E r hướng vào q nếu q < 0, hướng ra xa q nếu q > 0 (hình 1.1). Hình 1.1 Xét môi trường điện môi được cấu tạo bởi các phân tử, môi trường này trung hòa về điện. Nếu đặt điện môi vào một điện trường, điện môi bò phân cực (hình 1.2). Mức độ phân cực điện được đặc trưng bởi vector phân cực điện P r . Khi đó vector cường độ điện trường tại một điểm trong điện môi được đònh nghóa như sau: 4 r 2 i r 4 q E r r ⋅ ⋅ ε ⋅ π =       m V trong đó ε là độ thẩm điện của môi trường. Hình 1.2 Hình 1.3 Ngoài ra, người ta còn đặc trưng cho trường điện bằng vector cảm ứng điện:       +ε= 2 0 m c PED rrr . Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ điện trường không quá lớn, vector P r tỉ lệ với E r : EkP E0 r r ⋅⋅ε= , trong đó E k là độ cảm điện của môi trường. Khi đó ( ) EEEk1D r0E0 r r r r ε=εε=⋅+ε= , tức ED r v ε= . r ε ε = ε 0 là độ thẩm điện của môi trường, r ε gọi là độ thẩm điện tương đối của môi trường. Nếu điện tích điểm q chuyển động với vận tốc v r thì tại mỗi điểm trong chân không ngoài lực điện E F r còn có lực từ tác dụng BvqF M r r r ×= , trong đó B r là vector cảm ứng từ có đơn vò là Tesla [T] (hình 1.3). Tổng của lực điện và lực từ là lực điện từ hay lực Lorentz: BvqEqFFF ME r r r r r r ×+=+= . Nếu đặt từ môi trong từ trường, từ môi sẽ bò phân cực từ. Mỗi phân tử từ môi có thể xem như tương đương với một dòng điện chảy khép kín gọi là dòng điện phân tử. Moment từ của phân tử: n iSim r r ⋅⋅= , trong đó n i r là vector pháp tuyến của mặt có chứa dòng điện phân tử. Gọi M r là vector phân cực từ đặc trưng cho mức độ bò phân cực của từ môi:       ∆ = ∑ = →∆ m A V m limM n 1i i 0V r r . Người ta còn đặc trưng cho trường từ bằng vector cường độ từ trường: 5 M B H 0 r r r − µ =       m A , trong đó       ⋅π=µ − m H 104 7 0 là hằng số từ. Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ từ trường không quá lớn: HkM M r r ⋅= , M k là độ cảm từ của môi trường. HHkHB M00 r r r r µ=µ+µ= , ( ) r0M0 k1 µ µ = + µ = µ là độ thẩm từ của môi trường       m H , r µ gọi là độ thẩm từ tương đối của môi trường. I.2 Một số khái niệm khácI.2 Một số khái niệm khác A. Mật độ điện tích Mật độ điện tích khối:       ∆ ∆ =ρ →∆ 3 0V m c V q lim Mật độ điện tích mặt:       ∆ ∆ =σ →∆ 2 0S S m c S q lim Mật độ diện tích dài:       ∆ ∆ =λ →∆ m cq lim 0 ll Điện tích tổng: ∫ = C,S,V dqq ;      λ σ= ld dS qdV dq S B. Cường độ dòng điện Các điện tích chuyển động sinh ra dòng điện. Cường độ dòng điện chảy qua mặt S được đònh nghóa như sau: [ ] A t q limI 0t ∆ ∆ = →∆ C. Mật độ dòng điện J r Xét một dây dẫn kim loại có mật độ điện tích khối là ρ (hình 1.4a). Các điện tích di chuyển dọc theo dây với vận tốc v r . Trong khoảng thời gian ∆t các điện tích di chuyển được một đoạn t v ∆ ⋅ = ∆ l . Lượng điện tích đi qua thiết diện 'S∆ của dây trong thời gian ∆t là t ' S v ' S V ' q ∆ ⋅ ∆ ⋅ ρ = ∆ ⋅ ∆ ⋅ ρ = ∆ ⋅ ρ = ∆ l . Xét trường hợp tổng quát hơn (hình 1.4b): lượng điện tích chảy qua mặt cắt không vuông góc với trục dây là tSvq ∆⋅∆⋅ρ=∆ r . Dòng điện tương ứng là: SJSv t q I ∆⋅=∆⋅ρ= ∆ ∆ =∆ r r trong đó vJ r r ρ= gọi là vector mật độ dòng điện, có đơn vò là       2 m A . 6 Dòng điện chạy qua mặt S bất kỳ sẽ là: ∫ = S dSJI r [A]. Theo đònh luật Ohm, vector J r liên hệ với cường độ điện trường E r như sau: EJ r r σ= σ là độ dẫn điện của môi trường, có đơn vò là       m S . a). b). Hình 1.4 I.3 Hệ phương trình Maxwell và điều kiện bờ.I.3 Hệ phương trình Maxwell và điều kiện bờ. Hệ phương trình Maxwell là tổng hợp của 4 đònh luật cơ bản rút ra từ kết quả thực nghiệm và được biểu diễn dưới dạng toán học. Đó là các đònh luật: – Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday; – Đònh luật lưu số Ampère-Maxwell; – Đònh luật Gauss đối với trường điện; – Đònh luật Gauss đối với trường từ. I.3.1 Đònh luật cảm ứng điện từ FaradayI.3.1 Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday Trường từ thay đổi theo thời gian tạo ra dòng điện cảm ứng. Công lực điện của trường điện cảm ứng dòch chuyển một đơn vò điện tích dọc theo đường kín C gọi là sức điện động cảm ứng, có giá trò bằng ∫ =ε C C dE l r , tính bằng Volt. Sức điện động cảm ứng có giá trò bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây kín (hình 1.5): 7 ∫∫ −= SC dSB dt d dE r l r (phương trình Maxwell thứ hai dạng tích phân) Dấu trừ biểu hiện đònh luật Lenz về chiều của dòng điện cảm ứng: dòng điện cảm ứng luôn có chiều sao cho tác dụng chống lại nguyên nhân sinh ra nó. Trong hệ SI, đơn vò của từ thông là Weber [ ] Wb , tương đương với [ ] sV ⋅ B r C dS S Hình 1.5 Theo đònh lý Stockes ta có: ∫ ∫ = C S dSErotdE r l r . Với mặt S bất kỳ không phụ thuộc thời gian, ta có ( ) SdSErotdS t B dSB dt d SSS ∀−= ∂ ∂ = ∫∫∫ r r r ⇒ t B Erot ∂ ∂ −= r r (phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân) Ví dụ : Một cuộn dây bán kính a, có N vòng được nối với điện trở R. Chọn mặt phẳng Oxy của hệ tọa độ Descartes trùng với mặt phẳng cuộn dây như trên hình 1.6. Mạch điện này được đặt vào một từ trường biến thiên ( ) tsini3i2BB zy0 ω+= r r r , trong đó ω là tần số góc và s/rad10 3 =ω . Tính: – Từ thông móc vòng qua một vòng dây; – Sức điện động cảm ứng trong cuộn dây; cho N = 10, T2.0B 0 = , a = 10 cm, s/rad10 3 =ω ; – Dòng điện cảm ứng trong mạch, cho R = 1 kΩ. ♦ Từ thông móc vòng qua mỗi vòng dây là: ( ) [ ] tsinBa3dSitsini3i2BdSB 0 2 S zzy0 S ωπ=⋅ω+==Φ ∫∫ r r r r [Wb]. Sức điện động cảm ứng trong cuộn dây: ( ) tcosBaN3tsinBNa3 dt d dt d N 0 2 0 2 C ωωπ−=ωπ−= Φ −=ε Thế các giá trò số N = 10, T2.0B 0 = , a = 10 cm, s/rad10 3 =ω vào công thức trên: t10cos5.188 3 C −=ε [V]. 8 Hình 1.6 Tại thời điểm t = 0, 0dtd > Φ và V5.188 C − = ε . Lúc này từ thông đang tăng, do đó theo đònh luật Lenz dòng điện cảm ứng i phải có chiều chống lại nguyên nhân sinh ra nó, tức có chiều như trên hình 1.6. Suy ra thế tại điểm 2 cao hơn tại điểm 1 và V5.188VV 21C − = − = ε . Dòng điện cảm ứng i có dạng như sau: t10cos19.0t10cos 10 5.188 R VV i 33 3 12 == − = . ♦ I.3.2 Đònh luật lưu số AmpèreI.3.2 Đònh luật lưu số Ampère MaxwellMaxwell Lưu số của vector cường độ từ trường H r theo đường kín C tùy ý bằng tổng đại số cường độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C. ∑ ∫ = k k C IdH l r [ ] ∫∫ += S S C C dSD dt d IdH r l r trong đó số hạng thứ nhất [ ] S C I – dòng điện dẫn; số hạng thứ hai ∫ S dSD dt d r là dòng điện dòch theo luận điểm của Maxwell. C dS S D,J r r D,J r r 1 dS 2 dS 1 C 2 C Hình 1.7 Hình 1.8 Nếu dòng điện dẫn liên tục, ta có [ ] ∫ = S S C dSJI r , và: ∫∫∫ += SSC dSD dt d dSJdH r r l r (phương trình Maxwell thứ nhất dạng tích phân) (xem hình 1.7). Đối với một mặt kín S ta có (hình 1.8): 9        += += ∫∫∫ ∫∫∫ 222 111 S 2 S 2 C S 1 S 1 C dSD dt d dSJdH dSD dt d dSJdH rr l r r r l r _______________________________________ ∫∫ ++ += 2121 SSSS dSD dt d dSJ0 r r ⇒ ∫∫ −= SS dSJdSD dt d r r Vậy: Dòng điện dòch qua một mặt kín bằng dòng điện sinh ra do các điện tích chảy vào trong thể tích giới hạn bởi mặt kín đó. Để minh họa cho luận điểm về dòng điện dòch của Maxwell, ta xét mạch điện gồm một tụ điện nối với nguồn. Xét mặt kín như trên hình 1.9. Theo đònh luật Ampère ta có: )t(IdSD dt d S = ∫ r . Gọi A là diện tích mặt tụ điện, giả sử trường điện phân bố đều trên mặt tụ điện. ta có: ( ) )t(IAD dt d =⋅ ( )tI S Hình 1.9 Vậy giữa hai bản tụ điện có tồn tại dòng điện qua lớp điện môi có có giá trò bằng dòng điện dẫn trong mạch, Maxwell gọi là dòng điện dòch. Theo đònh lý Stockes ta có: ∫ ∫ = C S dSHrotdH r l r . Với mặt S bất kỳ không phụ thuộc thời gian: dS t D dSD dt d SS ∫∫ ∂ ∂ = r r Từ phương trình Maxwell thứ nhất suy ra: ( ) SdS t D dSJdSHrot SSS ∀ ∂ ∂ += ∫∫∫ r rr ⇒ t D JHrot ∂ ∂ += r rr (phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân) I.3.3 Đònh luật Gauss đối với trường điệnI.3.3 Đònh luật Gauss đối với trường điện 10 Thông lượng của vector cảm ứng điện D r gửi qua mặt kín bất kỳ S bằng tổng các điện tích tự do phân bố trong thể tích bao bởi mặt S. [ ] V S QdSD = ∫ r Nếu điện tích Q phân bố liên tục trong thể tích V, ρ là mật độ điện tích khối (hình 1.9), ta có: [ ] ∫ ρ= V V dVQ Vậy ∫∫ ρ= VS dVdSD r (phương trình Maxwell thứ ba dạng tích phân) S dS D r ρ Hình 1.10 Theo đònh lý divergence ta có: ∫∫ = VS dVDdivdSD r r Vậy ( ) VdVdVDdiv VV ∀ρ= ∫∫ r ⇒ ρ=Ddiv r (phương trình Maxwell thứ ba dạng vi phân) I.3.4 Đònh luật Gauss đối với trường từI.3.4 Đònh luật Gauss đối với trường từ Thông lượng vector cảm ứng từ B r (từ thông) gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng 0. 0dSB S m ==Φ ∫ r (phương trình Maxwell thứ tư dạng tích phân) Đònh luật này thể hiện tính liên tục của thông lượng vector cảm ứng từ B r : các đường sức từ không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc, chúng được khép kín hoặc đi xa vô cùng. Chú ý: Đònh luật Gauss đối với trường từ được suy ra từ đònh luật Faraday đối với mặt kín (hình 1.10):        −= −= ∫∫ ∫∫ 22 11 S 2 C S 1 C dSB dt d dE dSB dt d dE r l r r l r _____________________________ ∫ −= S dSB dt d 0 r B r 1 dS 2 dS 1 C 2 C Hình 1.10 11 Điều này đúng với mặt S bất kỳ, do đó: ∫ = S 0dSB r . Theo đònh lý divergence ta có: ( ) VdVDdiv0dSB VS ∀== ∫∫ r r ⇒ 0 Bdiv = r (phương trình Maxwell thứ tư dạng vi phân) I.4 Đònh luật bảo toàn điện tíchI.4 Đònh luật bảo toàn điện tích Điện tích trong một hệ cô lập về điện không thay đổi. Dòng điện qua mặt kín S bằng tốc độ thay đổi điện tích trong thể tích V bao bởi mặt S. Điều này được thể hiện dưới dạng toán học như sau: ∫∫ −= VS qdV dt d dSJ r (dạng tích phân) Chú ý: Đònh luật này có thể suy ra từ đònh luật Gauss và đònh luật Ampère-Maxwell: ∫∫ = VS qdVdSD r (đònh luật Gauss) ∫∫ −= SS dSJdSD dt d r r (đònh luật Ampère) ⇒ ∫∫ −= VS qdV dt d dSJ r Theo đònh lý divergence ta có: ( ) VdVJdivSdJ VS ∀= ∫∫ r r r ⇒ t Jdiv ∂ ρ∂ −= r I.6 Các điều kiện bờI.6 Các điều kiện bờ Điều kiện bờ là giá trò các vector đặc trưng của trường tại mặt biên phân chia hai môi trường chất khác nhau. Các điều kiện bờ rút ra từ các phương trình Maxwell dạng tích phân:                = = += −= ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ 0dSB qdVdSD dSD dt d dSJdH dSB dt d dE S VS SSC SC r r l r r l r [...]... d 1 2 r d d 1 r r E1 P α r E q1 a) b) z q2 r d 2 P αr E2 c) z q 1 z q2 rq P r E d r rq Eq1 E d 2 rq2 d P rq1 r E q1 d) e) Hình 2 .10 Vậy ta có kết quả của bài toán như sau:  q  1  r  z k1 ( 2d + z )  r  k1  r ⋅ ir +   +  2 2 +  z 2 + r 2 ( 2d + z ) 2 + r 2  ⋅ iz  z +r 2 2 ( 2d + z ) + r   4π 1       r  trong môi trường 1 E=  r r k 2q  r ⋅ ir + z ⋅ iz trong môi trường. .. trí điện tích điểm q Vậy ta có:  r  z k 1 (2 d + z )  r  q  1 k1 ⋅ i r ⋅ ir +  +  2 2 +  z 2 + r 2 ( 2d + z ) 2 + r 2  z  4π 1  z + r ( 2d + z ) 2 + r 2        r Bây giờ ta tính cường độ điện trường E trong môi trường 2 (hình 2 .10 e): r r r r q 2 rq 2 r , trong đó rq 2 = z ⋅ iz + r ⋅ ir E= 2 4πε 2 rq 2 r r r k 2q Suy ra: r ⋅ ir + z ⋅ iz E= 4πε 2 ( z 2 + r 2 ) r E= ( ) 32 z... phần điện trường của môi trường 2 tại điểm P trên bờ S là q2 cos α E 2 = E 2 cos α = 4πε 2 r 2 q D 2n = D 2 sin α = 2 2 sin α 4πr 31 Ta cần tìm giá trò q1 , q 2 sao cho điện trường trên bờ S thỏa mãn các điều kiện bờ của bài toán E1τ = E 2 τ ; D1n = D 2 n , suy ra: ε −ε q1 = 1 2 ⋅ q = k1q  q + q1 q 2 1 + ε 2 =  ⇒ 2  1 2 2  q − q1 = q 2 q2 = ⋅ q = k 2q  1 + ε 2 Giả sử 1 < ε 2 , suy ra k1 R 2 , giả sử cho trước giá trò b1 + b 2 = D , và ảnh hưởng của mặt đất là không đáng kể Giải hệ phương trình trên ta xác đònh được a: 2 1 2 2 2 2 D 2 + R 1 − R 2 − 4R 1 D 2 a = b1 − R 1 == 2 2D Thế tại các điểm P1 và P2 là: R −b +a PM λ λ ϕ E (P1 ) = ln 1 1 ln 1 1 = 2 ε P1M 2 2πε a + b1 − R 1. .. phương trình ban đầu, ta có: + − + − ϕ E (r , ϕ) = B1 r + B1 r 1 ⋅ (A1 cos ϕ) = A1B1 r cos ϕ + A1B1 r 1 cos ϕ ( ) = C + r cos ϕ + C − r 1 cos ϕ Gọi điện thẩm của vật liệu dây hình trụ là 1 , của môi trường xung quanh là ε 2 Các hàm thế trong các môi trường trên tương ứng là ϕ E1 , ϕ E 2 Ta có: + − ϕ E1 = C1 r cos ϕ + C1 r 1 cos ϕ + − ϕ E 2 = C 2 r cos ϕ + C 2 r 1 cos ϕ + − Trong đó C1 , C1 , C +. .. tích q1 , q 2 , q 3 , , q n (hình 2. 3) Gọi thế trên các mặt vật dẫn tương ứng là ϕ E1 , ϕ E 2 , ϕE 3 , , ϕ En Ta sẽ chứng minh rằng trong môi trường tuyến tính ta có mối quan hệ như sau: ϕ E1 = α 11 q1 + 12 q 2 + + α1n q n ϕ En = α n1q1 + α n 2 q 2 + + α nn q n Thật vậy, nếu ta chọn thế mốc ở xa vô cùng, ta có: 1 1 ϕ E1 = σS1 dS1 + + σ S dSn = ϕ E 11 + ϕ E 12 + + ϕE1n 4πεr 4πεr n ∫ S1 ∫ Sn Các... suy ra k1 < 0 , k 2 > 0 , ta sẽ tính vector cường độ điện trường r E trong môi trường 1 (hình 10 d) Khi đó ε −ε q1 = k1q = 1 2 ⋅ q k1 < 0 , tức q và q1 trái dấu ε + r r r 1 2 E = E q + E q1 r r q1 rq1 r r q rq E q1 = ; Eq = 2 2 4πε1rq 4πε1rq 1 r r  r r r rq1 q  rq E = E q + E q1 = ⋅  2 + k1 2  4π 1  rq rq1    r r r r r r trong đó rq = z ⋅ iz + r ⋅ ir ; rq1 = (2d + z ) ⋅ iz + r ⋅ ir trong hệ... trình Laplace có dạng: 35 ∂ 2 E ∂x 2 + ∂ 2 ϕE ∂y 2 + ∂ 2 E ∂z 2 =0 Thế hàm tích vào hệ phương trình trên ta có: ∂ 2X ∂ 2Y 2 Z 1 ∂2X 1 ∂2Y 1 ∂ 2Z + YZ 2 + ZX 2 + XY 2 = 0 ⇒ =0 + X ∂x 2 Y ∂y 2 Z ∂z 2 ∂x ∂y ∂z Ba số hạng trong phương trình trên là các hàm số riêng không phụ thuộc vào nhau, do đó để tổng của chúng bằng 0 thì từng hàm phải là hằng số: 1 ∂ 2Y 1 ∂ 2X 1 ∂2Z = ky ; = kx ; = kz ; kx + k y +. .. trường 1 tại điểm P trên bờ S là: E1τ = E cos α + E1 cos α = q 4πε1r 2 cos α + q1 4πε1r 2 cos α = q + q1 4πε1r 2 cos α q − q1 sin α (α là góc D1n = D sin α + D1 sin α = ε1E sin α + ε1E1 sin α = 4πr 2 r r giữa các vector trường E, E1 với mặt phẳng bờ S) Tương tự, để xác đònh trường trong môi trường ε 2 , ta thay hệ trên bằng một điện tích q 2 đặt tại vò trí của q đặt trong môi trường ε 2 (hình 2 .10 c)... = C1x + C 2 ⇒ Để xác đònh các hằng số C1 , C 2 ta dùng các điều kiện bờ: ϕE ⇒ ϕE x =0 x =d = C2 = 0 = C1d + C 2 = u C 2 = 0; C1 = u / d u ⇒ ϕE = x d r Vậy ta xác đònh được vector cường độ điện trường E : r  ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r  ur E = −gradϕE = − E ix + E iy + E iz  = − ix   ∂x ∂z  ∂y d  20 ♦ Bản kim loại + - d 0 + + + + + + + d - - - - - - + + + + r E - - ++ - Điện môi Bản kim loại Hình 2. 5 2 Giải . Chương II. Chương II. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨTRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH VÀ TRƯỜNG ĐIỆNNH VÀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG TỪ DỪNG II .1 Trường điện từ tónhII .1 Trường điện từ tónh. điện trường E r : xz E y E x E E i d u i z i y i x gradE rrrr r −=         ∂ ϕ∂ + ∂ ϕ∂ + ∂ ϕ∂ −=ϕ−= ♦ 21 d d + + + + + + + + + + + + + + - - -