241 giáo trình xác suất thống kê

BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ NAM ĐỊNH, 2011 BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Mã số: GT 2010-04-03) NAM ĐỊNH, 2011 GIỚI THIỆU Lý thuyết Xác suất - Thố ng kê toán học đƣợc đƣa vào giảng dạy hầu hết các ngành đào tạo các trƣờng Đại học Cao đẳng giới nƣớc Nó ngành khoa học phát triển lý thuyết nhƣ ứng dụng Nó đƣợc ứng dụng rộng rãi hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên , khoa học xã hội, khoa học giáo dục các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v Để giúp sinh viên trƣờng Đại học SPKT Nam Định có tài liệu học tập tốt môn Xác suất thống kê, biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với chƣơng trình đào tạo Nhà trƣờng Giáo trình gồm chƣơng: Chƣơng 1: Các khái niệm xác suất Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Do giáo trình đƣợc giảng dạy cho sinh viên khơng phải ngành Toán, nên không sâu vào viê ̣c chƣ́ng minh nhƣ̃ng lý thuyế t toán ho ̣c phƣ́c ta ̣p mà trình bày các kiến thức nhƣ công cụ giải toán tập trung ch o viê ̣c đƣa các ví du ̣ minh ho ̣a cho các kiến thức học Do giáo trình đƣợc biên soạn lần đầu nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đƣợc đóng góp kiến bạn đọc để giáo trình đƣợc hồn thiện Mọi đóng góp xin gửi Khoa Khoa học bản, trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, Phƣờng Lộc Hạ, TP Nam Định Các tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC TÁC GIẢ Mục lục GIỚI THIỆU Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Quy tắc đếm 1.1.2 Chỉnh hợp Hoán vị 1.1.3 Tổ hợp 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1 Khái niệm phép thử biến cố 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ biến cố 11 1.2.3 Nhóm đầy đủ biến cố 14 1.3 XÁC SUẤT 16 1.3.1 Khái niệm xác suất 16 1.3.2 Các định nghĩa xác suất 17 1.3.3 Tính chất xác suất 20 1.3.4 Các cơng thức tính xác suất 20 BÀI TẬP CHƢƠNG 38 Chƣơng 2: BIẾN NGẪU NHIÊN 52 2.1 KHÁI NIỆM VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN 52 2.1.1 Định nghĩa 52 2.1.2 Phân loại 52 2.2 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 53 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 53 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 58 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 61 2.3 CÁC ĐẶC TRƢNG SỐ CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 65 2.3.1 Kỳ vọng (Expectation) 65 2.3.2 Phƣơng sai (Variance) 66 Tìm kì vọng, phƣơng sai, độ lệch X 68 2.3.3 Mod (giá trị chắn nhất): 72 2.3.4 Med (Trung vị): 72 2.4 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG DÙNG 72 2.4.1 Phân phối nhị thức .72 2.4.2 Phân phối Poisson .74 2.4.3 Phân phối chuẩn 78 2.4.4 Phân phối “khi bình phƣơng” .87 2.4.5 Phân phối Student .88 BÀI TẬP CHƢƠNG 90 Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG 98 3.1 LÝ THUYẾT MẪU 98 3.1.1 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả 98 3.1.2 Các phƣơng pháp lấy mẫu 100 3.1.3 Bảng phân phối thực nghiệm .101 3.1.4 Các đặc trƣng mẫu .103 3.1.5 Cách tính đặc trƣng mẫu .105 3.2 KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 109 3.2.1 Khái niệm ƣớc lƣợng 109 3.2.2 Ƣớc lƣợng điểm 110 3.2.3 Các tiêu chuẩn ƣớc lƣợng 110 3.3 ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 112 3.3.1 Bài toán ƣớc lƣợng khoảng .112 3.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 113 3.3.3 Khoảng tin cậy cho phƣơng sai 123 3.3.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 128 BÀI TẬP CHƢƠNG 136 Ch-ơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê 145 4.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT .145 4.1.1 Bài toán kiểm định 145 4.1.2 Các loại sai lầm, mức ý nghĩa 146 4.2 KIỂM ĐỊNH VỀ KỲ VỌNG 147 4.2.1 Bài toán 1: Phƣơng sai VX = σ2 biết 147 4.2.2 Bài toán 2: Phƣơng sai VX = σ2 chƣa biết 151 4.3 KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ 156 4.3.1 Kiểm định hai phía 156 4.3.2 Kiểm định phía phải 157 4.3.3 Kiểm định phía trái 158 4.4 KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG 163 4.4.1 Bài toán 1: Trƣờng hợp biết VX =  12 VY =  22 163 4.4.2 Bài toán 2: Trƣờng hợp chƣa biết VX =  12 VY = 22 165 4.4 Kiểm định vỊ sù b»ng cđa hai tû lƯ 169 4.4.1 Kiểm định hai phía 169 4.4.2 Kiểm định phía phải 170 4.4.3 Kiểm định phía trái 170 BÀI TẬP CHƢƠNG 173 CÁC BẢNG SỐ 178 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL 185 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TỐN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH 188 Giáo trình Xác xuất - Thống kê Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Trong thực tế, ta cần phải chia tập hợp các phần tử thành nhóm theo số tính chất đó, tính số nhóm tạo thành Xét nhóm có số phần tử, ta nói nhóm đó khác chúng có phần tử khác cách xếp các phần tử chúng khác Những nhóm nhƣ ta gọi nhóm có phân biệt thứ tự (gọi tắt nhóm có thứ tự) Xét nhóm có số phần tử, ta nói nhóm đó khác chúng có phần tử khác nhau, cịn cách xếp các phần tử chúng có thể khác Những nhóm nhƣ ta gọi nhóm khơng phân biệt thứ tự (gọi tắt nhóm không có thứ tự) 1.1.1 Quy tắc đếm Quy tắc cộng Để hồn thành cơng việc A, ta có k khả (KN) Trong đó: KN 1: có n1 cách hồn thành cơng việc A KN 2: có n2 cách hồn thành cơng việc A KN 3: có n3 cách hồn thành cơng việc A KN k: có nk cách hồn thành cơng việc A Suy ra: Số cách để hồn thành cơng việc A (n1 + n2 + n3 + + nk ) cách Lƣu ý: Chỉ cần thực các khả cơng việc A đƣợc hồn thành Ví dụ 1: Một nhóm có 15 sinh viên nam 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó sinh viên Hỏi có cách chọn ? Giáo trình Xác suất thống kê Giải: Cơng việc ta chọn sinh viên, công việc có khả để hoàn thành: - KN 1: Chọn sinh viên nam, có 15 cách chọn - KN 2: Chọn sinh viên nữ, có 10 cách chọn Rõ ràng, cơng việc ta chọn sinh viên, đó cần khả xảy cơng việc ta hoàn thành Vậy, ta sử dụng quy tắc cộng: Số cách để hồn thành cơng việc là: n = 15 + 10 = 25 cách Quy tắc nhân Để hồn thành cơng việc A, ta phải trải qua k bƣớc ( k giai đoạn) Trong đó: Bƣớc 1: có n1 cách hoàn thành bƣớc Bƣớc 2: có n2 cách hoàn thành bƣớc Bƣớc 3: có n3 cách hoàn thành bƣớc Bƣớc k: có nk cách hoàn thành bƣớc thứ k Suy ra: Số cách để hồn thành cơng việc A (n1 n2 n3 nk ) cách Lƣu ý: Để hồn thành cơng việc A, ta phải thực tất các bƣớc cơng việc A hồn thành Ví dụ 2: Để từ A tới C, bắt buộc ta phải qua B Có cách từ A đến B có cách từ B tới C Hỏi có cách từ A đến C ? A B C Nhƣ vậy, cơng việc cần hồn thành từ A tới C, công việc có thể chia làm bƣớc: - Bƣớc 1: từ A tới B, có cách - Bƣớc 2: từ B tới C, có cách Trƣờng ĐHSPKT Nam Định Rõ ràng, bƣớc xảy cơng việc chƣa hồn thành, mà hồn thành phần cơng việc thơi Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách từ A đến B n = * = cách Ví dụ 3: Một nhóm có 15 sinh viên nam 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó sinh viên Hỏi có cách chọn để sinh viên đƣợc chọn có sinh viên nam sinh viên nữ ? Giải Công việc ta chọn sinh viên sinh viên nữ, công việc đƣợc chia làm bƣớc: - Bƣớc1: Chọn sinh viên nam, có 15 cách chọn - Bƣớc 2: Chọn sinh viên nữ, có 10 cách chọn Rõ ràng, bƣớc hồn thành cơng việc ta chƣa hoàn thành, hoàn thành phần công việc Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách để hồn thành cơng việc là: n = 15 * 10 = 150 cách 1.1.2 Chỉnh hợp Hoán vị a) Chỉnh hợp Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho Số các chỉnh hợp chập k n phần tử, kí hiệu Ank : Ank = n.(n – 1).(n – 2) .(n – k +1) = n! (n  k )! Hàm thƣờng dùng MS Excel là: Akn = PERMUT(n;k) Lƣu ý: n! = n.(n-1).(n-2) 3.2.1 1! = 0! = Ví dụ 4: Mỗi lớp phải học môn, ngày học môn Hỏi có cách xếp thời khóa biểu ngày Giải: Giáo trình Xác suất thống kê Vì cách xếp thời khóa biểu ngày việc ghép môn số môn học Các cách mơn khác thứ tự xếp trƣớc sau hai mơn Vì cách xếp ứng với chỉnh hợp chập từ phần tử Do đó có tất cả: A62  6!  30 cách   ! Sử dụng hàm MS Excel là: A26 = PERMUT(6;2) = 30 b) Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho (trong có số phần tử lặp lại nhiều lần) ~ k Số các chỉnh hợp lặp chập k n phần tử, kí hiệu a (hoặc A n ): k n ~ k a = A n = nk k n Hàm thƣờng dùng MS Excel là: akn = POWER(n;k) Ví dụ 5: Có sinh viên vào phòng thực hành máy tính gồm dãy, dãy có máy tính Hỏi: a) Có cách để xếp các sinh viên ngồi vào dãy máy tính b) Có cách để xếp các sinh viên ngồi vào dãy máy tính mà dãy thứ có sinh viên c) Có cách xếp sinh viên ngồi các vị trí khác phòng Giải: a) Mỗi sinh viên có cách xếp vào dãy nên số cách xếp vào các dãy chỉnh hợp lặp chập Ta có: a84 = 48 = 65536 Sử dụng hàm MS Excel là: a84 = POWER(4;8) = 65536 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định λ 179 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0.070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 k 26 0,000002 27 0,000001 Giáo trình Xác suất thống kê 180 f (x)  Bảng 2: GIÁ TRỊ HÀM GAUSS 2π e  x2 X 0,0 0,3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 1516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0388 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 181 x 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0031 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 x Giáo trình Xác suất thống kê 182 Φ(x)  Bảng : HÀM LAPLACE 2π x  e t2 dt  X 0,0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1,0 1.1 1,2 1.3 1,4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2,0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.998650 0.999032 0.999313 0.999517 0.999663 0.999767 0.999841 0.999892 0.999928 0.999952 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.998999 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.999289 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.999499 0.999534 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.999651 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.999758 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999822 0.999828 0.999835 0.999847 0.999853 0.999858 0.999864 0.999869 0.999874 0.999879 0.999883 0.999888 0.999896 0.999900 0.999904 0.999908 0.999912 0.999915 0.999918 0.999922 0.999925 0.999931 0.999933 0.999936 0.999938 0.999941 0.999943 0.999946 0.999948 0.999950 0.999954 0.999956 0.999958 0.999959 0.999961 0.999963 0.999964 0.999966 0.999967 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 183 Bảng 4: PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƢƠNG P(X > 2(n, )) với X  2 (n) Bậc 0.005 0.010 0.025 0.050 0.500 0.950 0.975 0.990 0.9950 7.8794 6.6349 5.0239 3.8415 0.4549 0.0039 0.00098 0.00016 0.000039 10.5966 9.2103 7.3778 5.9915 1.3863 0.1026 0.0506 0.0201 0.0100 12.8382 11.3449 9.3484 7.8147 2.3660 0.3518 0.2158 0.1148 0.0717 14.8603 13.2767 11.1433 9.4877 3.3567 0.7107 0.4844 0.2971 0.2070 16.7496 15.0863 12.8325 11.0705 4.3515 1.1455 0.8312 0.5543 0.4117 18.5476 16.8119 14.4494 12.5916 5.3481 1.6354 1.2373 0.8721 0.6757 20.2777 18.4753 16.0128 14.0671 6.3458 2.1673 1.6899 1.2390 0.9893 21.9550 20.0902 17.5345 15.5073 7.3441 2.7326 2.1797 1.6465 1.3444 23.5894 21.6660 19.0228 16.9190 8.3428 3.3251 2.7004 2.0879 1.7349 10 25.1882 23.2093 20.4832 18.3070 9.3418 3.9403 3.2470 2.5582 2.1559 11 26.7568 24.7250 21.9200 19.6751 10.3410 4.5748 3.8157 3.0535 2.6032 12 28.2995 26.2170 23.3367 21.0261 11.3403 5.2260 4.4038 3.5706 3.0738 13 29.8195 27.6882 24.7356 22.3620 12.3398 5.8919 5.0088 4.1069 3.5650 14 31.3193 29.1412 26.1189 23.6848 13.3393 6.5706 5.6287 4.6604 4.0747 15 32.8013 30.5779 27.4884 24.9958 14.3389 7.2609 6.2621 5.2293 4.6009 16 34.2672 31.9999 28.8454 26.2962 15.3385 7.9616 6.9077 5.8122 5.1422 17 35.7185 33.4087 30.1910 27.5871 16.3382 8.6718 7.5642 6.4078 5.6972 18 37.1565 34.8053 31.5264 28.8693 17.3379 9.3905 8.2307 7.0149 6.2648 19 38.5823 36.1909 32.8523 30.1435 18.3377 10.1170 8.9065 7.6327 6.8440 20 39.9968 37.5662 34.1696 31.4104 19.3374 10.8508 9.5908 8.2604 7.4338 21 41.4011 38.9322 35.4789 32.6706 20.3372 11.5913 10.2829 8.8972 8.0337 22 42.7957 40.2894 36.7807 33.9244 21.3370 12.3380 10.9823 9.5425 8.6427 23 44.1813 41.6384 38.0756 35.1725 22.3369 13.0905 11.6886 10.1957 9.2604 24 45.5585 42.9798 39.3641 36.4150 23.3367 13.8484 12.4012 10.8564 9.8862 25 46.9279 44.3141 40.6465 37.6525 24.3366 14.6114 13.1197 11.5240 10.5197 26 48.2899 45.6417 41.9232 38.8851 25.3365 15.3792 13.8439 12.1981 11.1602 27 49.6449 46.9629 43.1945 40.1133 26.3363 16.1514 14.5734 12.8785 11.8076 28 50.9934 48.2782 44.4608 41.3371 27.3362 16.9279 15.3079 13.5647 12.4613 29 52.3356 49.5879 45.7223 42.5570 28.3361 17.7084 16.0471 14.2565 13.1211 30 53.6720 50.8922 46.9792 43.7730 29.3360 18.4927 16.7908 14.9535 13.7867 31 55.0027 52.1914 48.2319 44.9853 30.3359 19.2806 17.5387 15.6555 14.4578 32 56.3281 53.4858 49.4804 46.1943 31.3359 20.0719 18.2908 16.3622 15.1340 33 57.6484 54.7755 50.7251 47.3999 32.3358 20.8665 19.0467 17.0735 15.8153 34 58.9639 56.0609 51.9660 48.6024 33.3357 21.6643 19.8063 17.7891 16.5013 35 60.2748 57.3421 53.2033 49.8018 34.3356 22.4650 20.5694 18.5089 17.1918 36 61.5812 58.6192 54.4373 50.9985 35.3356 23.2686 21.3359 19.2327 17.8867 37 62.8833 59.8925 55.6680 52.1923 36.3355 24.0749 22.1056 19.9602 18.5858 38 64.1814 61.1621 56.8955 53.3835 37.3355 24.8839 22.8785 20.6914 19.2889 39 65.4756 62.4281 58.1201 54.5722 38.3354 25.6954 23.6543 21.4262 19.9959 40 66.7660 63.6907 59.3417 55.7585 39.3353 26.5093 24.4330 22.1643 20.7065 Giáo trình Xác suất thống kê 184 Bảng : PHÂN PHỐI STUDENT: P(T< t) = p với t  t(n) n\p 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Ơ 0.800 1.3764 1.0607 0.9785 0.9410 0.9195 0.9057 0.8960 0.8889 0.8834 0.8791 0.8755 0.8726 0.8702 0.8681 0.8662 0.8647 0.8633 0.8620 0.8610 0.8600 0.8591 0.8583 0.8575 0.8569 0.8562 0.8557 0.8551 0.8546 0.8542 0.8538 0.8520 0.8507 0.8497 0.8489 0.8482 0.8477 0.8472 0.8468 0.8464 0.8461 0.8459 0.8456 0.8454 0.8452 0.8416 0.850 1.9626 1.3862 1.2498 1.1896 1.1558 1.1342 1.1192 1.1081 1.0997 1.0931 1.0877 1.0832 1.0795 1.0763 1.0735 1.0711 1.0690 1.0672 1.0655 1.0640 1.0627 1.0614 1.0603 1.0593 1.0584 1.0575 1.0567 1.0560 1.0553 1.0547 1.0520 1.0500 1.0485 1.0473 1.0463 1.0455 1.0448 1.0442 1.0436 1.0432 1.0428 1.0424 1.0421 1.0418 1.0364 0.875 2.4142 1.6036 1.4226 1.3444 1.3009 1.2733 1.2543 1.2403 1.2297 1.2213 1.2145 1.2089 1.2041 1.2001 1.1967 1.1937 1.1910 1.1887 1.1866 1.1848 1.1831 1.1815 1.1802 1.1789 1.1777 1.1766 1.1756 1.1747 1.1739 1.1731 1.1698 1.1673 1.1654 1.1639 1.1626 1.1616 1.1607 1.1600 1.1593 1.1588 1.1583 1.1578 1.1574 1.1571 1.1503 0.900 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3062 1.3031 1.3006 1.2987 1.2971 1.2958 1.2947 1.2938 1.2929 1.2922 1.2916 1.2910 1.2905 1.2901 1.2815 0.925 4.1653 2.2819 1.9243 1.7782 1.6994 1.6502 1.6166 1.5922 1.5737 1.5592 1.5476 1.5380 1.5299 1.5231 1.5172 1.5121 1.5077 1.5037 1.5002 1.4970 1.4942 1.4916 1.4893 1.4871 1.4852 1.4834 1.4817 1.4801 1.4787 1.4774 1.4718 1.4677 1.4645 1.4620 1.4599 1.4582 1.4567 1.4555 1.4544 1.4535 1.4527 1.4519 1.4513 1.4507 1.4395 0.950 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6896 1.6839 1.6794 1.6759 1.6730 1.6706 1.6686 1.6669 1.6654 1.6641 1.6630 1.6620 1.6611 1.6602 1.6448 0.975 12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0301 2.0211 2.0141 2.0086 2.0040 2.0003 1.9971 1.9944 1.9921 1.9901 1.9883 1.9867 1.9853 1.9840 1.9600 0.990 31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4377 2.4233 2.4121 2.4033 2.3961 2.3901 2.3851 2.3808 2.3771 2.3739 2.3710 2.3685 2.3662 2.3642 2.3264 0.995 63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7238 2.7045 2.6896 2.6778 2.6682 2.6603 2.6536 2.6479 2.6430 2.6387 2.6349 2.6316 2.6286 2.6259 2.5758 0.9995 636.619 31.5991 12.9240 8.6103 6.8688 5.9588 5.4079 5.0413 4.7809 4.5869 4.4370 4.3178 4.2208 4.1405 4.0728 4.0150 3.9651 3.9216 3.8834 3.8495 3.8193 3.7921 3.7676 3.7454 3.7251 3.7066 3.6896 3.6739 3.6594 3.6460 3.5911 3.5510 3.5203 3.4960 3.4764 3.4602 3.4466 3.4350 3.4250 3.4163 3.4087 3.4019 3.3959 3.3905 3.2905 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 185 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL Giải tích tổ hợp Akn  PERMUT(n,k) %k  POWER(n,k) A n Ckn  COMBIN(n,k) Pn  FACT(n) A 420  PERMUT(20,4)=116280 Ví dụ: C18  COMBIN(18,7)  31824 Phân phối nhị thức Cho X ~ B(n, p) ta cần tính P(X  x) P(X  x) ta có thể dùng công thức: P(X  x)  BINOMDIST(x, n, p,false) P(X  x)  BINOMDIST(x, n, p, true) (trong công thức có thể thay false true 1) Ví dụ: Cho X ~ B(10; 0.4) ta cần tính P(X  6);P(X  4) P(X  6)  BINOMDIST(6,10,0.4,0)  0.111477 P(X  4)  BINOMDIST(4,10,0.4,1)  0.633103 Phân phối Poisson Cho X ~ P(  ) ta cần tính P(X  x) P(X  x) ta có thể dùng cơng thức: P(X  x)  POISSON(x, ,0) P(X  x)  POISSON(x, ,1) Ví dụ: Cho X ~ P(2) ta cần tính P(X  3);P(X  4) P(X  3)  POISSON(3, 2,0)  0.180447 P(X  4)  POISSON(4, 2,1)  0.947347 Phân phối chuẩn  Để tính giá trị hàm mật độ f(x) hàm phân phối F(x) X ~ N(2 ) ta dùng hàm NORMDIST:  f (x)  e  2 (x 2 2  NORMDIST(X,  x  F(x)  P(X  x)  e   2  (t 2 2 dt  NORMDIST(x,  Giáo trình Xác suất thống kê 186  Để tính ngƣợc phân phối chuẩn, có nghĩa để tìm x từ biểu thức: x  F(x)  e   2  (t 2 2 dt  p Ta dùng hàm: x = NORMINV(p,  Để tính các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc X ~ N(0, 1): x t2  dt  NORMSDIST(x) (x)  e  2  Hàm phân phối Laplace: Ví dụ: (0.1)  NORMSDIST(0.1)  0.539828  Để tính hàm ngƣợc phân phối chuẩn tắc, tức tìm x từ biểu thức x t2  2  dt  p G(x)  e  2  ta dùng hàm: x = NORMSINV(p) Ví dụ: Cho (x)  0.975 , tìm x = ?  x  NORMSINV(0.975)  1,959964 ; 1.96  Nếu X ~ N(2 ) ta cần tính P(X  x) P(x1  X  x ) ta có thể dùng hàm: P(X  x)  NORMDIST(x,  P(x1  X  x )  NORMDIST(x ,   NORMDIST(x1,   Nếu X ~ N(01) ta cần tính P(X  x) P(x1  X  x ) ta có thể dùng hàm: P(X  x)  NORMSDIST(x,  P(x1  X  x )  NORMSDIST(x ,   NORSMDIST(x1,   Nếu X ~ N(2 ) ta cần tính P( X    ) ta có thể dùng hàm:  P( X    )  2* NORMSDIST     Phân phối Student  Nếu T ~ t(k), để tính P(T > t0), t0 > dùng hàm P(T > t0) = TDIST(t0, k, 1) Chú ý: Nếu t0 < P(T > t0) = - P(T > -t0) với - t0 >  Nếu T ~ t(k), để tính P( T  t ), t  dùng hàm: Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 187 P  T  t   TDIST(t , k, 2)  Nếu T ~ t(k), để tìm t   t k (1   cho P(X  t      ta dùng công thức t   t k (1    TINV(2*  k) Phân phối Khi bình phƣơng  Nếu 2 ~ 2 (k) , để tính P(2  02 ) dùng hàm P(2  02 )  CHIDIST(22 ,k)  Nếu 2 ~ 2 (k) , để tìm X 2k ( cho P(2  k2 ())   dùng hàm 2k (  CHIINV( k) Tính đặc trƣng mẫu Chú ý: - Chỉ dùng cho mẫu đơn (x1, x2, , xn) - Nếu mẫu tổng quát ta có thể coi giá trị xi xuất ni lần ni giá trị đơn xi - Coi các giá trị x1, x2, ,xn) nằm cột bảng tính Excel, chẳng hạn cột A  Trung bình mẫu: x  n  xi  AVERAGE(A1 : An ) n i1  Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh: s2    n x  (x)2  STDVE(A1 : A n ) ^ n 1  Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: s  s2  STDVE(A1 : An ) Ƣớc lƣợng cho kỳ vọng Cho mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n, độ tin cậy 1  , ta tính độ xác theo cơng thức:   u   CONFIDENCE( n) n  s u   CONFIDENCE( s n) n Ƣớc lƣợng phƣơng sai Để tính giá trị (n  1)s2 ta dùng hàm DEVSQ(x1, x2, , xn) có nghĩa: (n  1)s2  DEVSQ(A1 : An ) Giáo trình Xác suất thống kê 188 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TỐN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH Tính đặc trƣng số đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc Ta có thể sử dụng tính toán thống kê các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, để tính kỳ vọng, phƣơng sai độ lệch chuẩn đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ: Xét đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhƣ sau: X P 2/15 8/15 1/3 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 189 190 Tính đặc trƣng mẫu Giáo trình Xác suất thống kê Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 191 192 Giáo trình Xác suất thống kê Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 193 ... tốt môn Xác suất thống kê, chúng tơi biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với chƣơng trình đào tạo Nhà trƣờng Giáo trình gồm chƣơng: Chƣơng 1: Các khái niệm xác suất Chƣơng 2:... 14 1.3 XÁC SUẤT 16 1.3.1 Khái niệm xác suất 16 1.3.2 Các định nghĩa xác suất 17 1.3.3 Tính chất xác suất 20 1.3.4 Các cơng thức tính xác suất ... 185 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TỐN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH 188 Giáo trình Xác xuất - Thống kê Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Trong thực tế,