Giáo trình xác suất thống kê phần 1 đh sư phạm kỹ thuật nam định

BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ NAM ĐỊNH, 2011 BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Mã số: GT 2010-04-03) NAM ĐỊNH, 2011 GIỚI THIỆU Lý thuyết Xác suất - Thố ng kê toán học đƣợc đƣa vào giảng dạy hầu hết các ngành đào tạo các trƣờng Đại học Cao đẳng giới nƣớc Nó ngành khoa học phát triển lý thuyết nhƣ ứng dụng Nó đƣợc ứng dụng rộng rãi hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên , khoa học xã hội, khoa học giáo dục các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v Để giúp sinh viên trƣờng Đại học SPKT Nam Định có tài liệu học tập tốt môn Xác suất thống kê, biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với chƣơng trình đào tạo Nhà trƣờng Giáo trình gồm chƣơng: Chƣơng 1: Các khái niệm xác suất Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Do giáo trình đƣợc giảng dạy cho sinh viên khơng phải ngành Toán, nên không sâu vào viê ̣c chƣ́ng minh nhƣ̃ng lý thuyế t toán ho ̣c phƣ́c ta ̣p mà trình bày các kiến thức nhƣ công cụ giải toán tập trung ch o viê ̣c đƣa các ví du ̣ minh ho ̣a cho các kiến thức học Do giáo trình đƣợc biên soạn lần đầu nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đƣợc đóng góp kiến bạn đọc để giáo trình đƣợc hồn thiện Mọi đóng góp xin gửi Khoa Khoa học bản, trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, Phƣờng Lộc Hạ, TP Nam Định Các tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC TÁC GIẢ Mục lục GIỚI THIỆU Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Quy tắc đếm 1.1.2 Chỉnh hợp Hoán vị 1.1.3 Tổ hợp 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1 Khái niệm phép thử biến cố 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ biến cố 11 1.2.3 Nhóm đầy đủ biến cố 14 1.3 XÁC SUẤT 16 1.3.1 Khái niệm xác suất 16 1.3.2 Các định nghĩa xác suất 17 1.3.3 Tính chất xác suất 20 1.3.4 Các cơng thức tính xác suất 20 BÀI TẬP CHƢƠNG 38 Chƣơng 2: BIẾN NGẪU NHIÊN 52 2.1 KHÁI NIỆM VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN 52 2.1.1 Định nghĩa 52 2.1.2 Phân loại 52 2.2 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 53 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 53 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 58 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 61 2.3 CÁC ĐẶC TRƢNG SỐ CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 65 2.3.1 Kỳ vọng (Expectation) 65 2.3.2 Phƣơng sai (Variance) 66 Tìm kì vọng, phƣơng sai, độ lệch X 68 2.3.3 Mod (giá trị chắn nhất): 72 2.3.4 Med (Trung vị): 72 2.4 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG DÙNG 72 2.4.1 Phân phối nhị thức .72 2.4.2 Phân phối Poisson .74 2.4.3 Phân phối chuẩn 78 2.4.4 Phân phối “khi bình phƣơng” .87 2.4.5 Phân phối Student .88 BÀI TẬP CHƢƠNG 90 Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG 98 3.1 LÝ THUYẾT MẪU 98 3.1.1 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả 98 3.1.2 Các phƣơng pháp lấy mẫu 100 3.1.3 Bảng phân phối thực nghiệm .101 3.1.4 Các đặc trƣng mẫu .103 3.1.5 Cách tính đặc trƣng mẫu .105 3.2 KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 109 3.2.1 Khái niệm ƣớc lƣợng 109 3.2.2 Ƣớc lƣợng điểm 110 3.2.3 Các tiêu chuẩn ƣớc lƣợng 110 3.3 ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 112 3.3.1 Bài toán ƣớc lƣợng khoảng .112 3.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 113 3.3.3 Khoảng tin cậy cho phƣơng sai 123 3.3.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 128 BÀI TẬP CHƢƠNG 136 Ch-ơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê 145 4.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT .145 4.1.1 Bài toán kiểm định 145 4.1.2 Các loại sai lầm, mức ý nghĩa 146 4.2 KIỂM ĐỊNH VỀ KỲ VỌNG 147 4.2.1 Bài toán 1: Phƣơng sai VX = σ2 biết 147 4.2.2 Bài toán 2: Phƣơng sai VX = σ2 chƣa biết 151 4.3 KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ 156 4.3.1 Kiểm định hai phía 156 4.3.2 Kiểm định phía phải 157 4.3.3 Kiểm định phía trái 158 4.4 KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG 163 4.4.1 Bài toán 1: Trƣờng hợp biết VX =  12 VY =  22 163 4.4.2 Bài toán 2: Trƣờng hợp chƣa biết VX =  12 VY = 22 165 4.4 Kiểm định vỊ sù b»ng cđa hai tû lƯ 169 4.4.1 Kiểm định hai phía 169 4.4.2 Kiểm định phía phải 170 4.4.3 Kiểm định phía trái 170 BÀI TẬP CHƢƠNG 173 CÁC BẢNG SỐ 178 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL 185 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TỐN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH 188 Giáo trình Xác xuất - Thống kê Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Trong thực tế, ta cần phải chia tập hợp các phần tử thành nhóm theo số tính chất đó, tính số nhóm tạo thành Xét nhóm có số phần tử, ta nói nhóm đó khác chúng có phần tử khác cách xếp các phần tử chúng khác Những nhóm nhƣ ta gọi nhóm có phân biệt thứ tự (gọi tắt nhóm có thứ tự) Xét nhóm có số phần tử, ta nói nhóm đó khác chúng có phần tử khác nhau, cịn cách xếp các phần tử chúng có thể khác Những nhóm nhƣ ta gọi nhóm khơng phân biệt thứ tự (gọi tắt nhóm không có thứ tự) 1.1.1 Quy tắc đếm Quy tắc cộng Để hồn thành cơng việc A, ta có k khả (KN) Trong đó: KN 1: có n1 cách hồn thành cơng việc A KN 2: có n2 cách hồn thành cơng việc A KN 3: có n3 cách hồn thành cơng việc A KN k: có nk cách hồn thành cơng việc A Suy ra: Số cách để hồn thành cơng việc A (n1 + n2 + n3 + + nk ) cách Lƣu ý: Chỉ cần thực các khả cơng việc A đƣợc hồn thành Ví dụ 1: Một nhóm có 15 sinh viên nam 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó sinh viên Hỏi có cách chọn ? Giáo trình Xác suất thống kê Giải: Cơng việc ta chọn sinh viên, công việc có khả để hoàn thành: - KN 1: Chọn sinh viên nam, có 15 cách chọn - KN 2: Chọn sinh viên nữ, có 10 cách chọn Rõ ràng, cơng việc ta chọn sinh viên, đó cần khả xảy cơng việc ta hoàn thành Vậy, ta sử dụng quy tắc cộng: Số cách để hồn thành cơng việc là: n = 15 + 10 = 25 cách Quy tắc nhân Để hồn thành cơng việc A, ta phải trải qua k bƣớc ( k giai đoạn) Trong đó: Bƣớc 1: có n1 cách hoàn thành bƣớc Bƣớc 2: có n2 cách hoàn thành bƣớc Bƣớc 3: có n3 cách hoàn thành bƣớc Bƣớc k: có nk cách hoàn thành bƣớc thứ k Suy ra: Số cách để hồn thành cơng việc A (n1 n2 n3 nk ) cách Lƣu ý: Để hồn thành cơng việc A, ta phải thực tất các bƣớc cơng việc A hồn thành Ví dụ 2: Để từ A tới C, bắt buộc ta phải qua B Có cách từ A đến B có cách từ B tới C Hỏi có cách từ A đến C ? A B C Nhƣ vậy, cơng việc cần hồn thành từ A tới C, công việc có thể chia làm bƣớc: - Bƣớc 1: từ A tới B, có cách - Bƣớc 2: từ B tới C, có cách Trƣờng ĐHSPKT Nam Định Rõ ràng, bƣớc xảy cơng việc chƣa hồn thành, mà hồn thành phần cơng việc thơi Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách từ A đến B n = * = cách Ví dụ 3: Một nhóm có 15 sinh viên nam 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó sinh viên Hỏi có cách chọn để sinh viên đƣợc chọn có sinh viên nam sinh viên nữ ? Giải Công việc ta chọn sinh viên sinh viên nữ, công việc đƣợc chia làm bƣớc: - Bƣớc1: Chọn sinh viên nam, có 15 cách chọn - Bƣớc 2: Chọn sinh viên nữ, có 10 cách chọn Rõ ràng, bƣớc hồn thành cơng việc ta chƣa hoàn thành, hoàn thành phần công việc Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách để hồn thành cơng việc là: n = 15 * 10 = 150 cách 1.1.2 Chỉnh hợp Hoán vị a) Chỉnh hợp Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho Số các chỉnh hợp chập k n phần tử, kí hiệu Ank : Ank = n.(n – 1).(n – 2) .(n – k +1) = n! (n  k )! Hàm thƣờng dùng MS Excel là: Akn = PERMUT(n;k) Lƣu ý: n! = n.(n-1).(n-2) 3.2.1 1! = 0! = Ví dụ 4: Mỗi lớp phải học môn, ngày học môn Hỏi có cách xếp thời khóa biểu ngày Giải: Giáo trình Xác suất thống kê Vì cách xếp thời khóa biểu ngày việc ghép môn số môn học Các cách mơn khác thứ tự xếp trƣớc sau hai mơn Vì cách xếp ứng với chỉnh hợp chập từ phần tử Do đó có tất cả: A62  6!  30 cách   ! Sử dụng hàm MS Excel là: A26 = PERMUT(6;2) = 30 b) Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho (trong có số phần tử lặp lại nhiều lần) ~ k Số các chỉnh hợp lặp chập k n phần tử, kí hiệu a (hoặc A n ): k n ~ k a = A n = nk k n Hàm thƣờng dùng MS Excel là: akn = POWER(n;k) Ví dụ 5: Có sinh viên vào phòng thực hành máy tính gồm dãy, dãy có máy tính Hỏi: a) Có cách để xếp các sinh viên ngồi vào dãy máy tính b) Có cách để xếp các sinh viên ngồi vào dãy máy tính mà dãy thứ có sinh viên c) Có cách xếp sinh viên ngồi các vị trí khác phòng Giải: a) Mỗi sinh viên có cách xếp vào dãy nên số cách xếp vào các dãy chỉnh hợp lặp chập Ta có: a84 = 48 = 65536 Sử dụng hàm MS Excel là: a84 = POWER(4;8) = 65536 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 83 chọn α = 3 ta có P(|X − μ | < 3) = 2.(3) - = 2*0.9987 – = 0.9973 Xác suất gần nên coi kiện |X − μ | < 3. hầu nhƣ chắn Vậy ta có qui tắc 3: “Nếu X có phân phối chuẩn N(a,) chắn X lấy trị số khoảng (μ − 3, μ + 3) Ví dụ 9: Khi đo lực chịu nén loại xà ngƣời ta thấy tuân theo luật phân phối chuẩn với lực chịu bình quân 320kg, độ lệch chuẩn 5kg Hỏi muốn đảm bảo an tồn tải trọng tối đa cho phép đặt lên xà bao nhiêu? Giải: Ta có: μ = 320, σ = Gọi X lực chịu nén xà hầu nhƣ chắn |X − 320| < * = 15 (kg)  305 (kg)< X < 335 (kg) Vậy muốn đảm bảo an tồn tải trọng tối đa cho phép đặt lên xà 305kg Ví dụ 10: Trọng lƣợng loại sản phẩm nhà máy sản xuất đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng 250 gam phƣơng sai 25 Sản phẩm đƣợc gọi loại trọng lƣợng từ 245 gam đến 260 gam Tìm tỉ lệ sản phẩm loại nhà máy đó Giải: Gọi X trọng lƣợng loại sản phẩm đó  X  N (250, 25) Ta cần tìm P(245  X  260) Giáo trình Xác suất thống kê 84 Theo ra, ta có: a = 245, b = 260 ,  = 250,  = 25 = Do đó  b   a   P (245  X  260) =       = Φ(2) – Φ(-1)       mà Φ(-1) = - Φ(1)  P (245  X  260) = Φ(2) + Φ(1) -1 Tra bảng hàm số Laplace, ta đƣợc  (1) = 0,8413,  (2) = 0,8772 Vậy, tỉ lệ sản phẩm loại nhà máy P (245  X  260) = 0,7185 Ví dụ 11: Một đề thi trắc nghiệm có 100 câu hỏi, xác suất trả lời câu sinh viên 0,4 Tính xác suất để sinh viên đó trả lời a) 50 câu hỏi b) 50 câu hỏi Giải: Xem phép thử trả lời câu hỏi, ta có n = 100 phép thử độc lập Gọi A biến cố sinh viên trả lời câu hỏi đó, theo đề bài, P(A) = p = 0,4 Gọi X số câu sinh viên trả lời X  B(100 ; 0,4) Vì n khá lớn p khơng quá lớn, không quá bé nên X có xấp xỉ phân phối chuẩn, tức X  N(, 2), đó  = np = 40, 2 = np(1 – p) = 24 a) Áp dụng hàm mật độ Gauss, ta có P(X = 50) =  50  40  f f (2,04)  24  24  24 Tra bảng hàm số Gauss (bảng 2) ta đƣợc: f(2,04) = 0,0498 Vậy: P(X = 50) = 0,0498 24 = 0,0102 b) Áp dụng hàm số Laplace, ta có  100 40   50  40    Φ   Φ (12,25)  Φ (2,04) P(50  X  100) = Φ  24 24     Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 85 Tra bảng hàm số Laplace ta đƣợc: (12,25)  ; Φ(2,04)  0,9793 P(60  X  100) = 0,0207 Vậy: Ví dụ 12: Một loại chi tiết máy đƣợc xem đạt tiêu chuẩn, đƣờng kính nó sai lệch so với đƣờng kính thiết kế khơng quá 0,33mm Cho biết đƣờng kính loại chi tiết máy đó đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch 0,3mm Tìm số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình sản xuất 200 chi tiết Giải: Gọi X số chi tiết đạt tiêu chuẩn số 200 chi tiết sản xuất  X  B (200, p) đó p xác suất sản xuất đƣợc chi tiết đạt tiêu chuẩn Rõ ràng, số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình sản xuất 200 chi tiết kì vọng X Để tính E(X), trƣớc hết ta tìm p Gọi Y đƣờng kính loại chi tiết máy đó Theo đề bài, Y  N ( ; 0,32) Do đó   p  P  Y    0,33  2 0,33   2(1,1)  0,3 Tra bảng hàm số Laplace, ta đƣợc (1,1) = 0,8643 Suy ra: p = 0,7286  E(X) = np = 200 * 0,7286 = 145,72 Nhƣ vậy, sản xuất 200 chi tiết, trung bình có khoảng 146 chi tiết đạt tiêu chuẩn Ví dụ 13: Sản phẩm nhà máy đƣợc đóng thành hộp, hộp 10 sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại có hộp Cho biết X có phân phối xác suất nhƣ sau X 10 P 0,2 0,3 0,3 0,2 Giáo trình Xác suất thống kê 86 Tiến hành kiểm tra 300 hộp theo cách sau Mỗi hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Nếu thấy có sản phẩm loại nhận hộp đó a) Tìm xác suất để có 240 hộp đƣợc nhận b) Tìm số hộp đƣợc nhận có khả lớn Giải: Xem phép thử kiểm tra hộp, ta có n = 300 phép thử độc lập Gọi N biến cố nhận hộp Ta tính P(N) = p Gọi Ni biến cố có i sản phẩm loại sản phẩm đƣợc kiểm tra hộp, i= 0,3 Ta có: N = N2 + N3 N2, N3 xung khắc Do đó: P(N) = P(N2) + P(N3) Gọi Mk biến cố có k sản phẩm loại số 10 sản phẩm hộp, k = 0,10 Theo đề bài, M7, M8, M9, M10 tạo thành nhóm đầy đủ (vì chúng xung khắc đôi tổng xác suất 1) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có P(N2) = P(M7)P(N2/M7) + … + P(M10)P(N2/M10), P(N3) = P(M7)P(N3/M7) + … + P(M10)P(N3/M10) Các xác suất P(Mk), k = 7,10 , đƣợc cho bảng phân phối xác suất X; định nghĩa ta tính đƣợc: P(Ni/Mk) , i = 2,3 ; k = 7,10 Chẳng hạn: P(N2/M7) = Suy ra: P(N2) = 0,2 C27C13 C10 C27C13 C10 , + 0,3 P(N3/M7) = C82 C12 C10 C37 C10 + 0,3 C29 C11 C10 + 0,2.0 = 0,335, Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 87 P(N3) = 0,2 Vậy: C38 C39 C 73 + 0,3 + 0,3 + 0,2.1 = 0,41 3 C103 C10 C10 P(N) = 0,335 + 0,41 = 0,745 a) Gọi Y số hộp đƣợc nhận 300 hộp kiểm tra Ta cần tìm P(240  Y  300) Ta có Y  B(300 ; 0,745), n khá lớn , p không quá lớn, không quá bé nên có thể xem Y có xấp xỉ phân phối chuẩn Y  N(, 2), với  = np = 223,5 ; 2 = np(1 – p) = 56,9925,  = 7,5493 Áp dụng hàm số Laplace, ta đƣợc  300  223,5   240  223,5       7,5493   7,5493  P(240  Y  300) =  = Φ(10,13) – Φ(2,186) = – 0,9854 = 0,0146 b) Ta có: Y  B(300 ; 0,745) n = 300, p = 0,745, q = 0,255  (n + 1)p = 224,245 = 224 Vậy, số hộp đƣợc nhận có khả lớn 224 hộp 2.4.4 Phân phối “khi bình phƣơng” a) Định nghĩa: Đa ̣i lƣơ ̣ng ngẫu nhiên liên tục X đƣơ ̣c go ̣i là có phân phố i bình phương với n bâ ̣c tƣ̣ do, ký hiệu X ~ nx nế u hàm mâ ̣t đô ̣ của nó có da ̣ng: 0  n x  x 1 e  f(x) =  n  n 2   2    đó: (x)  t Chú ý: x 1 , x0 , x0 e  t dt , x > hàm Gamma Giáo trình Xác suất thống kê 88 1) Nế u X 1, X2, , Xn các biến ngẫu nhiên đô ̣c lâ ̣p và có cùng phân phố i chuẩ n tắ c N(0; 1) n X i 1 i có phân phối “khi bình phƣơng” với bậc tự n 2) Tìm giá trị n phân phối  có thể dùng hàm MS-Excel: nCHIINV(α , n) b) Định lý: Nếu X ~ nxthì EX = n , VX = 2n 2.4.5 Phân phối Student Phân phố i Student Wililam S.Gosset đƣa năm 1908 (Student là bút danh bài báo công bố Wililam S.Gosset) Định nghĩa: Đa ̣i lƣơ ̣ng ngẫu nhiên liên tục X đƣơ ̣c go ̣i là có phân phố i Student với n bâ ̣c tƣ̣ do, ký hiệu X ~ T(n) nế u hàm mâ ̣t đô ̣ đƣơ ̣c xác đinh ̣ bởi: f(x) = n n    2  x  2 1   n 1   n 1   (n  1)       đó: (x)   t x 1 e  t dt , x > hàm Gamma Khi đó:  Với n > 1: E(T) = (f(t) hàm chẵn)  Với n > 2: V(T) = n n2 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 89 Chú ý: 1) Nếu X, X1, X2, Xn độc lập phân phối N(0, 1) thì: X có phân n X i 1 i n phối Student với bậc tự n 2) Tìm giá trị tn phân phối Student với n bậc tự có thể dùng hàm MSExcel: tn() = TINV(, n - 1) Giáo trình Xác suất thống kê 90 BÀI TẬP CHƢƠNG 2.1 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau X P a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2 + a a) Tính a b) Tính P(X  5), P(X < 3) c) Tìm giá trị bé k cho P(X  k)  2.2 Trong hộp có 10 sản phẩm, đó có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số phế phẩm các sản phẩm lấy Hãy lập bảng phân phối xác suất hàm phân phối xác suất X Vẽ đồ thị hàm số đó 2.3 Một túi chứa 10 thẻ đỏ thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên thẻ a) Gọi X số thẻ đỏ lấy đƣợc Hãy lập bảng phân phối xác suất X b) Giả sử rút thẻ đỏ đƣợc điểm, thẻ xanh đƣợc điểm Gọi Y số điểm tổng cộng thẻ rút Hãy tìm hàm phân phối xác suất Y 2.4 Có hai hộp bi, hộp thứ có bi xanh bi đỏ, hộp thứ hai có bi xanh bi đỏ Từ hộp thứ lấy viên bi bỏ vào hộp thứ hai Sau đó lại lấy viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ Gọi X, Y số bi đỏ tƣơng ứng lấy hai hộp Hãy lập bảng phân phối xác suất X, Y Tính EX, EY 2.5 Cho hai đại lƣợng ngẫu nhiên X Y độc lập với các bảng phân phối xác suất nhƣ sau X -1 Y -1 P 0,2 0,3 0,3 0,2 P 0,3 0,4 0,3 Hãy lập bảng phân phối xác suất X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY 2.6 Gieo đồng thời hai súc sắc Gọi X1, X2 lần lƣợt số chấm xuất hai súc sắc đó Tìm bảng phân phối xác suất các đại lƣợng ngẫu nhiên sau đây: a) Y1 = X1 + X2 b) Y2 = X1 – X2 c) Y3 = max(X1, X2) Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 91 2.7 Một nhóm có 10 ngƣời gôm nam va nữ, chọn ngẫu nhiên ngƣời Gọi X số nữ nhóm Lập bảng phân phối xác suất X tính EX, VX, modX 2.8 Một tổ học sinh có 10 nam nữ Chọn hú hoạ nhóm ngƣời Lập bảng phân phối xác suất số nữ nhóm ngƣời đó Một tổ học sinh có 10 nam nữ Chọn hú hoạ nhóm ngƣời Lập bảng phân phối xác suất số nữ nhóm ngƣời đó tính kỳ vọng, phƣơng sai chúng 2.9 Hai xạ thủ A B tập bắn, ngƣời bắn hai phát Xác xuất băn trúng đích A phát 40%, B 50% Gọi X số phát trúng A trừ số phát trúng B a) Tìm phân bố xác suất X b) Tìm phân bố xác suất Y = |X| 2.10 Một ngƣời có chùm chìa khóa gồm giống nhau, đó có mở đƣợc cửa Ngƣời đó thử ngẫu nhiên (thử xong bỏ ngồi) tìm chìa mở đƣợc cửa Gọi X số lần thứ cần thiết Hãy lập bảng phân phối xác suất tính kì vọng, phƣơng sai X 2.11 Cho X, Y hai đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất nhƣ sau X Y P 0,4 0,3 0,2 0,1 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Tìm bảng phân phối xác suất tính kì vọng, phƣơng sai X + Y, XY 2.12 Cho ĐLNN X có bảng phân bố xác suất nhƣ sau: x p(x) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Tìm phân bố xác suất Y=min {X, 4} 2.13 Một túi chứa 10 thẻ đỏ thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên thẻ (khơng hồn lại) a) Gọi X số thẻ đỏ Tìm phân bố xác suất X tính EX , VX b) Giả sử rút thẻ đỏ đƣợc điểm rút thẻ xanh đƣợc điểm Gọi Y số điểm tổng cộng ba thẻ rút Tìm phân bố xác suất Y Tính EY, VY Giáo trình Xác suất thống kê 92 2.14 Cho hai ĐLNN X Y Có phân bố xác suất nhƣ sau: X p(x) 0,15 0.3 0.25 0.2 0.08 0.02 Y p(y) 0,3 0.2 0.2 0.15 0.1 0.05 a) Tính EX ,EY b) Tìm P  X+Y   X Y độc lập 2.15 Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ cx (1  x ) x  [0,1] f (x)   x  [0,1] 0 a) Tìm số c b) Tính EX , VX c) Tìm mod d) Tìm P{0,4  X  0,6} e) Tìm hàm phân phối F(x) 2.16 Cho ĐLNN X có hàm mật độ kx(2  x) x  [0,2] f (x)   x  [0,2] 0 a) Xác định số k b) Vẽ đồ thị f(x) c) Tính EX, VX d) Tìm P{X > 1,5} P{ 1} 2.30 Trọng lƣợng toa tàu đại lƣợng ngẫu nhiên có giá trị trung bình 65 độ lệch chuẩn 0,9 Tìm xác suất để trọng lƣợng toa tàu không vƣợt quá 70 nhƣng lớn 60 tấn, biết trọng lƣợng tuân theo luật phân phối chuẩn 2.31 Xác suất để hạt thóc giống bị hỏng 0,006 Tính xác suất cho số 1000 hạt thóc giống có a) hạt hỏng b) khơng hạt hỏng c) không nhiều hạt hỏng 2.32 Xác suất sinh bé trai 0,51 Tìm xác suất để 200 em bé, số bé trai số bé gái 2.33 Ở xí nghiệp may xuất khẩu, sau quần áo may xong, ngƣời ta đóng thành hộp, hộp quần áo Khi đóng hộp xảy tƣợng Giáo trình Xác suất thống kê 96 xếp áo quần nhầm số Cho biết xác suất xếp áo số 0,7; xếp quần số 0,8 hộp đƣợc chấp nhận có quần áo xếp số a) Kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp xí nghiệp Tìm xác suất để 50 hộp đƣợc chấp nhận b) Phải kiểm tra hộp để xác suất có hộp đƣợc chấp nhận lớn hay 0,9 2.34 Träng l-ỵng cđa bò ĐLNN phân bố chuẩn với kỳ vọng 250kg độ lệch tiêu chuẩn 40kg Tìm xác suất để bò có trọng l-ợng a) Nặng 300kg b) Nhẹ 175kg c) Trong khoảng 260kg đến 270kg 2.35 Thời gian từ nhà đến tr-ờng sinh viên Bình ĐLNN có phân bố chuẩn Biết 65% số ngày Bình đến tr-ờng 20 phút 8% số ngày 30 phút a) Tìm thời gian trung bình độ lệch tiêu chuẩn thời gian đến tr-ờng b) Nếu Bình xuất phát từ nhà tr-ớc vào học 25 phút xác suất để Bình học muộn bao nhiêu? c) Bình cần phải xuất phát tr-ớc vào học phút để khả bị muộn học bé 0,02 2.36 Chiều dài mọt loại ĐLNN có phân bố chuẩn Trong mẫu gồm 640 có 25 thấp 18m 110 cao 24m a) Tìm kỳ vọng độ lệch tiêu chuẩn b) Ước l-ợng số có độ cao khoảng từ 16m đến 20m mÉu nãi trªn 2.37 Chiề u cao X (m) sinh viên tuân theo luật phân phối chuẩn N (1,55; 0,01) Tính xác suất để sinh viên có chiều cao nằm khoảng từ 1,53 đến 1,58 2.38 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 2100 độ lệch tiêu chuẩn 200 Hãy tính: a) P{X > 2400} b) P{1700 < X < 2200} c) Xác định a để P{X > a} = 0,03 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 97 2.39 Xác suất sinh bé trai 0,51 Tìm xác suất để 200 em bé, số bé trai số bé gái 2.40 Một đề thi gồm 45 câu hỏi, với câu hỏi thí sinh cần chọn bốn câu trả lời kèm theo, đó có câu trả lời Một sinh viên hoàn toàn không học bài, thi chọn ngẫu nhiên bốn câu trả lời Tìm xác suất để sinh viên đó trả lời 30 câu hỏi 2.41 Một máy tính điện tử gồm 10000 bóng bán dẫn, chia làm ba loại Loại có 1000 bóng, xác suất hỏng bóng 0,0005 Loại hai có 3000 bóng, xác suất hỏng tƣơng ứng 0,0003 Loại ba có xác suất hỏng tƣơng ứng 0,0001 Máy tính ngừng làm việc có hai bóng bán dẫn bị hỏng Tìm xác suất máy tính ngừng làm việc, các bóng hỏng hay tốt độc lập với 2.42 Một máy sản xuất hàng loạt sản phẩm Các sản phẩm đƣợc xem đạt tiêu chuẩn trọng lƣợng nó sai lệch so với trọng lƣợng quy định không quá 0,588 Biết trọng lƣợng sản phẩm máy sản xuất đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phƣơng sai 0,09 Tìm xác suất để 10 sản phẩm máy sản xuất có sản phẩm đạt tiêu chuẩn ... (A1B0 + A0B1) + A0B0 , P(B) = P(A) + P(A1) P(B0) + P(A0) P(B1) + P(A0) P(B0) = = C1 C1 C C1 C C2 C2 71 23 + 31 + 42 71 + 42 31 = 30 15 0 C10 C10 C10 C10 C10 C10 Giáo trình Xác suất thống kê. .. biến cố 11 1. 2.3 Nhóm đầy đủ biến cố 14 1. 3 XÁC SUẤT 16 1. 3 .1 Khái niệm xác suất 16 1. 3.2 Các định nghĩa xác suất 17 1. 3.3 Tính chất xác suất ... SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Mã số: GT 2 010 -04-03) NAM ĐỊNH, 2 011 GIỚI THIỆU Lý thuyết Xác suất - Thố ng kê